Contoh Soal TKA Matematika (Pilihan) SMA/MA Sederajat dan Kunci Jawaban

Calon Guru belajar matematika dari model soal penalaran matematika UTBK - SNBT (Seleksi Nasional Berbasis Tes). Sebuah gergaji mesin mempunyai komponen utama tangkai gergaji, roda penggerak, dan batang penggerak. Batang tersebut menghubungkan tangkai gergaji dengan roda penggerak (lihat gambar).

Diketahui panjang batang penggerak $\left( \text{panjang}\ AB \right)$ adalah $500\ \text{mm}$ dan jari-jari roda penggerak adalah $100\ \text{mm}$.

$\left( 1 \right).$ Jika pada saat gergaji mesin bekerja $\theta = 0^{\circ}$, maka jarak titik $A$ ke titik $C$ atau $AC=\cdots$.

$(A)\ 100\sqrt{29}\ \text{mm} $

$(B)\ 100\sqrt{23}\ \text{mm} $

$(C)\ 100\sqrt{21}\ \text{mm} $

$(D)\ 100\sqrt{19}\ \text{mm} $

$(E)\ 100\sqrt{17}\ \text{mm} $

Alternatif Pembahasan:

Pada saat $\theta = 0^{\circ}$, keadaan gergaji mesin dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar di atas, dengan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga siku-siku $ABC$ kita peroleh:
$\begin{align} AB^{2} &= AC^{2} + BC^{2} \\
500^{2} &= AC^{2} + 200^{2} \\
25 \cdot 10^{4} &= AC^{2} + 4 \cdot 10^{4} \\
AC^{2} &= 25 \cdot 10^{4} - 4 \cdot 10^{4} \\
AC^{2} &= 21 \cdot 10^{4} \\
AC &= \sqrt{21 \cdot 10^{4}} \\
AC &= 100\sqrt{21} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 100\sqrt{21}$

$\left( 2 \right).$ Jika pada saat gergaji mesin bekerja $\theta = 90^{\circ}$, maka jarak titik $A$ ke titik $C$ atau $AC=\cdots$.

$(A)\ 100\sqrt{21}+100\ \text{mm} $

$(B)\ 100\sqrt{23}+100\ \text{mm} $

$(C)\ 200\sqrt{2}+100\ \text{mm} $

$(D)\ 200\sqrt{3}+100\ \text{mm} $

$(E)\ 200\sqrt{6}+100\ \text{mm} $

Alternatif Pembahasan:

Pada saat $\theta = 90^{\circ}$, keadaan gergaji mesin dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar di atas, dengan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga siku-siku $ABD$ kita peroleh:
$\begin{align} AB^{2} &= BD^{2} + AD^{2} \\
500^{2} &= 100^{2} + AD^{2} \\
25 \cdot 10^{4} &= 1 \cdot 10^{4} + AD^{2} \\
AD^{2} &= 25 \cdot 10^{4}-1 \cdot 10^{4} \\
AD^{2} &= 24 \cdot 10^{4} \\
AD &= \sqrt{24 \cdot 10^{4}} \\ AD &= 2 \cdot 10^{2} \sqrt{6} \\ AD &= 200 \sqrt{6} \end{align}$

Karena $AD= 200$ dan $AC=AD+DC$, sehingga $AC=200 \sqrt{6} +100$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 200\sqrt{6}+100\ \text{mm} $

$\left( 3 \right).$ Jika pada saat gergaji mesin bekerja $\theta = 270^{\circ}$, maka jarak titik $A$ ke titik $C$ atau $AC=\cdots$.

$(A)\ 200\sqrt{6}-100\ \text{mm} $

$(B)\ 200\sqrt{6}-50\ \text{mm} $

$(C)\ 200\sqrt{3}-100\ \text{mm} $

$(D)\ 100\sqrt{26}-100\ \text{mm} $

$(E)\ 100\sqrt{23}-100\ \text{mm} $

Alternatif Pembahasan:

Pada saat $\theta = 270^{\circ}$, keadaan gergaji mesin dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar di atas, dengan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga siku-siku $ABD$ kita peroleh:
$\begin{align} AB^{2} &= BD^{2} + AD^{2} \\
500^{2} &= 100^{2} + \left(AC+CD \right)^{2} \\
25 \cdot 10^{4} &= 1 \cdot 10^{4} + \left(AC+CD \right)^{2} \\
24 \cdot 10^{4} &= \left(AC+CD \right)^{2} \\
\left( \sqrt{24} \cdot 10^{2} \right)^{2} &= \left(AC+CD \right)^{2} \\
\sqrt{24} \cdot 10^{2} &= AC+CD \\
2\sqrt{6} \cdot 100 &= AC+100 \\
AC &= 200\sqrt{6} - 100 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 200\sqrt{6}-100\ \text{mm} $

$\left( 4 \right).$ Jika pada saat gergaji mesin bekerja, maka jarak maksimum titik $A$ ke titik $C$ atau $AC$ terjauh adalah....

$(A)\ 100\sqrt{35}\ \text{mm} $

$(B)\ 100\sqrt{26}\ \text{mm} $

$(C)\ 100\sqrt{21}\ \text{mm} $

$(D)\ 91\sqrt{35}\ \text{mm} $

$(E)\ 91\sqrt{26}\ \text{mm} $

Alternatif Pembahasan:

Jarak titik $A$ ke titik $C$ dipengaruhi posisi titik $B$ pada perputaran roda. Titik $C$ dan pusat roda yang kita misalkan titik $O$ merupakan dua titik pada posisi yang tetap $\left( OC \right)$, sehingga apabila $AO$ maksimum akan mengakibatkan $AC$ maksimum. $AO$ maksimum terjadi saat $AO$ segaris dengan $AB$ yaitu $AO=500+100$.

Keadaan gergaji mesin dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar di atas, dengan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga siku-siku $AOC$ kita peroleh:
$\begin{align} AO^{2} &= AC^{2} + OC^{2} \\
600^{2} &= AC^{2} + 100^{2} \\
36 \cdot 10^{4} &= AC^{2} + 1 \cdot 10^{4} \\
AC^{2} &= 36 \cdot 10^{4} - 1 \cdot 10^{4} \\
AC^{2} &= 35 \cdot 10^{4} \\
AC &= \sqrt{35 \cdot 10^{4}} \\
AC &= 100\sqrt{35} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 100\sqrt{35}$

$\left( 5 \right).$ Jika pada saat gergaji mesin bekerja, maka jarak minimum titik $A$ ke titik $C$ atau $AC$ terdekat adalah....

$(A)\ 100\sqrt{15}\ \text{mm} $

$(B)\ 200\sqrt{3}\ \text{mm} $

$(C)\ 200\sqrt{6}-100\ \text{mm} $

$(D)\ 200\sqrt{3}-100\ \text{mm} $

$(E)\ 100\sqrt{6}\ \text{mm} $

Alternatif Pembahasan:

Jarak titik $A$ ke titik $C$ dipengaruhi posisi titik $B$ pada perputaran roda. Titik $C$ dan pusat roda kita misalkan titik $O$ yang merupakan dua titik pada posisi yang tetap $\left( OC \right)$, sehingga apabila $AO$ minimum akan mengakibatkan $AC$ minimum.

$AO$ minimum terjadi saat $AO$ segaris dengan $AB$ yaitu $AO=500-100$. Keadaan gergaji mesin dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar di atas, dengan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga siku-siku $AOC$ kita peroleh:
$\begin{align} AO^{2} &= AC^{2} + OC^{2} \\
400^{2} &= AC^{2} + 100^{2} \\
16 \cdot 10^{4} &= AC^{2} + 1 \cdot 10^{4} \\
AC^{2} &= 16 \cdot 10^{4} - 1 \cdot 10^{4} \\
AC^{2} &= 15 \cdot 10^{4} \\
AC &= \sqrt{15 \cdot 10^{4}} \\
AC &= 100\sqrt{15} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 100\sqrt{15}$

Catatan Soal Penalaran Matematika UTBK SNBT: Sebuah Gergaji Mesin Mempunyai Komponen Utama di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.

Pythagoras