Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Kelas X Penilaian Akhir Semester Genap. Akhir semester genap adalah waktu yang dinantikan siswa karena mereka akan naik kelas ke kelas berikutnya sedangkan untuk para Pegawai Negeri Sipil (PNS)😊 sangat menantikannya karena akan datang gaji yang ke-13.
Untuk menunggu gaji ke-13 nya datang, kita coba membahas soal Ujian akhir semester pelajaran matematika yang diberikan kepada siswa kelas X (sepuluh) dengan jumlah soal sebanyak 12 soal dan waktunya selama 90 menit. Materinya adalah pertidaksamaan, logika, trigonometri dan Dimensi Tiga.
Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Kelas X Penilaian Akhir Semester Genap
1. Pertaksamaan 2x−a>x−12+ax3, mempunyai penyelesaian x>5. Nilai a adalah...
Alternatif Pembahasan:
2x−a>x−12+ax32x−a>3(x−1)2⋅3+2ax2⋅3(2x−a)>3x−3+2ax66(2x−a)>3x−3+2ax12x−6a>3x−3+2ax12x−3x−2ax>6a−3x(9−2a)>6a−3x>6a−39−2a
Karena penyelesaiannya pertaksamaan adalah x>5 maka:
5=6a−39−2a5(9−2a)=6a−345−10a=6a−345+3=6a+10a48=16a3=a
2. Kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut ini adalah...
Premis (1): Jika hari panas maka Zeska memakai topi.
Premis (2): Zeska tidak memakai topi atau ia memakai payung
Premis (3): Zeska tidak memakai payung.
Alternatif Pembahasan:
misal pernyataan kita tulis dengan simbol
p=hari panasq=Zeska memakai topi r=Zeska memakai payung
Sehingga dengan menggunakan simbol premis (1),(2) dan (3) dapat kita tulis menjadi:
(1) p→q(2) ∼q∨r ≡q→r(3) ∼r
Dengan Konsep penarikan kesimpulan Silogisme (1) dan (2)
(1) p→q(2) q→r(4) p→r
Dengan Konsep penarikan kesimpulan Modus Tollens (4) dan (3)
(4) p→r(3) ∼r∴
Kesimpulan: hari tidak panas
3. Jika \sin \theta =-\dfrac{1}{4} dan \theta \gt 0, hitunglah \cos \theta =\cdots
Alternatif Pembahasan:
Dari soal kita peroleh bahwa \sin \theta bernilai negatif dan \tan \theta bernilai positif berarti \theta berada di kwadran III.

Dari gambar:
AB=\sqrt{4^{2}-(-1)^{2}}=\sqrt{15} dan AB bernilai negatif, sehingga AB=-\sqrt{15}
\cos \theta = \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{-\sqrt{15}}{4}=-\dfrac{1}{4}\sqrt{15}
4. Nilai dari \dfrac{\tan 300^{\circ}}{\sin 120^{\circ}-\cos 210^{\circ}}\ =...
Alternatif Pembahasan:
Nilai Perbandingan Trigonometri di atas dapat kita hitung dengan alternatif penyelesaian berikut;
\begin{align}
& \dfrac{\tan 300^{\circ}}{\sin 120^{\circ}-\cos 210^{\circ}} \\
& = \dfrac{\tan (360-60)^{\circ}}{\sin (180-60)^{\circ}-\cos (180+30)^{\circ}} \\
& = \dfrac{-\tan 60^{\circ}}{\sin 60^{\circ}+\cos 30^{\circ}} \\
& = \dfrac{-\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -1
\end{align}
5.Diketahui segitiga ABC siku-siku di B,
\cos \alpha =\dfrac{4}{5}\ dan\ \tan \beta =1.
Jika AD = x maka nilai AC = ...
Alternatif Pembahasan:
Perhatikan:
\cos \alpha =\dfrac{4}{5}\ =\dfrac{AB}{AC}
dari persamaan diatas kita peroleh perbandingan panjang AB dan panjang AC sehingga panjang AC dan panjang AB dapat kita misalkan yaitu AB = 4a dan AC = 5a.
AD = x dan AB = 4a maka BD = 4a - x.
Perhatikan:
\tan \beta =1 =\dfrac{BC}{BD}
dari persamaan diatas kita peroleh panjang BC =BD, maka BC = BD = 4a - x
Dengan konsep teorema pythagoras kita peroleh:
\begin{align}
(4a)^{2}+(4a-x)^{2} &=(5a)^{2} \\
16a^{2}+16a^{2}-8ax+x^{2} &=25a^{2} \\
32a^{2}-25a^2-8ax+x^{2} &=0 \\
7a^{2}-8ax+x^{2} &=0 \\
(x-a)(x-7a)&=0
\end{align}
Kita peroleh x = a atau x=7a, pada saat x=7a tidak memenuhi (*kenapa tidak memenuhi?, coba Anda menyimpulkan sendiri dan sampaikan kepada admin sebagai catatan tambahan)
Hasil akhir diperoleh x = a, maka panjang AC saat AD = x adalah 5x.
6. Jika \tan 2\alpha = 4 \sin \alpha\ \cos \alpha, untuk \dfrac{\pi}{2} \lt \alpha\ \lt \pi, maka \cos \alpha=...
Alternatif Pembahasan:
\begin{align} \tan 2\alpha &= 4 \sin \alpha\ \cos \alpha \\ \dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} &= 2\ \cdot\ 2 \sin \alpha\ \cos \alpha \\ \dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} &= 2\ \cdot\ \sin 2\alpha \\ \dfrac{1}{\cos 2\alpha} &= 2 \\ \dfrac{1}{2} &= \cos 2\alpha \\ \hline \cos 2\alpha &= 2cos^{2}\ \alpha -1 \\ \hline \dfrac{1}{2} &= 2cos^{2}\ \alpha -1 \\ \dfrac{3}{2} &= 2cos^{2}\ \alpha \\ \dfrac{3}{4} &= cos^{2}\ \alpha \\ \pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} &= \cos \alpha \\ \pm \dfrac{\sqrt3}{2} &=\cos \alpha \end{align}
Karena \alpha berada pada kwadran II maka \cos \alpha = - \dfrac{\sqrt3}{2}
7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4\ cm dan titik P adalah titik tengah CH. Hitunglah jarak titik P ke titik B.
Alternatif Pembahasan:

Perhatikan segitiga BCP adalah segitiga siku-siku di C, sehingga jarak titik P ke B adalah BP dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras, yaitu:
\begin{align} BP^{2} &= BC^{2}+CP^{2} \\ \hline BC &= 4 \text{dan}\ CP=\dfrac{1}{2}CH=2\sqrt{2} \\ \hline BP^{2} &=4^{2}+(2\sqrt{2})^{2} \\ BP^{2} &=16+8 \\ BP &=\sqrt{24} =2\sqrt{6} \end{align}
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk \sqrt{3}\ cm dan titik T pada AD sehingga AT=1\ cm. Jarak titik A terhadap garis BT adalah ...
Alternatif Pembahasan:

Kubus ABCD.EFGH dan titik T kita gambarkan, [*seperti gambar]
Perhatikan segitiga ABT adalah segitiga siku-siku di A, sehingga jarak titik A ke garis BT adalah tinggi segitiga dengan alas BT. BT dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras, yaitu:
\begin{align}
BT^{2} &=AT^{2}+AB^{2} \\
&=1^{2}+(\sqrt{3})^{2} \\
&=1+3 \\
BT&=\sqrt{4}=2
\end{align}
Dengan Konsep luas segitiga kita peroleh:
\begin{align}
\dfrac{1}{2}BT\cdot AJ &=\dfrac{1}{2}AB\cdot AT \\
2\cdot AJ &=\sqrt{3}\cdot 1 \\
AJ &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
Jarak titik A ke garis BT adalah AJ=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
9. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk \sqrt{5}, diketahui P dan Q masing-masing adalah titik tengah FG dan BC. \theta adalah sudut antara bidang ADP dan bidang ADQ. Hitunglah besar sudut \theta.
Alternatif Pembahasan:


Kubus ABCD.EFGH, titik P dan titik Q kita gambarkan sehingga bidang ADP dan ADQ dapat kita ilustrasikan seperti gambar di atas. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah AD
Untuk menentukan sudut antara bidang ADP dengan ADQ yaitu dengan menggambar garis pada bidang ADP dan ADQ yang tegak lurus dengan AD, pada gambar diberi nama garis PR dan QR.
Sudut antara bidang ADP dengan ADQ adalah sudut yang dibentuk oleh garis PR dan QR yaitu sudut PRQ sehingga \angle PRQ= \theta.
- Dengan memperhatikan segitiga PQR kita peroleh beberapa data:
- segitiga siku-siku di Q
- PQ = QR
\begin{align} \angle PRQ +\angle QPR + \angle PQR &= 180^{\circ} \\ \theta +\theta + 90^{\circ} &= 180^{\circ} \\ 2\theta &= 180^{\circ}-90^{\circ} \\ 2\theta &= 90^{\circ} \\ \theta &= 45^{\circ} \end{align}
10. Masih kubus ABCD.EFGH tetapi kali ini panjang rusuknya terserah Anda berapa panjangnya. Jika sudut antara bidang EBG dengan bidang EDG adalah \beta maka \cos 2\beta\ =...
Alternatif Pembahasan:


Kubus ABCD.EFGH, bidang EBG dan bidang EDG kita gambarkan, [*seperti gambar]. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah EG
Untuk menentukan sudut antara bidang EBG dengan EDG yaitu dengan menggambar garis pada bidang EBG dan EDG yang tegak lurus dengan EG, pada gambar diberi nama garis DP dan BP.
Sudut antara bidang EBG dengan EDG adalah sudut yang dibentuk oleh garis DP dan BP yaitu sudut BPD sehingga \angle BPD= \beta.
Dengan memperhatikan segitiga BPD kita peroleh BP = DP, dan BP dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras dari segitiga BFP, yaitu: BP^{2}=PF^{2}+BF^{2}
Karena panjang rusuk kubus tidak diketahui, kita misalkan panjang rusuk kubus 2a, sehingga:
BF =\ 2a dan PF = a\sqrt{2}
Dengan konsep teorema pythagoras kita peroleh:
\begin{align}
BP^{2} &=(a\sqrt{2})^2+(2a)^2 \\
BP^{2} &=2a^2+4a^2 \\
BP &=\sqrt{6a^2} \\
BP &=a\sqrt{6}
\end{align}
BD= 2a\sqrt{2},\ BP = DP =a\sqrt{6}

Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga BDP diperoleh:
\begin{align}
BD^{2} &=BP^{2}+DP^{2}-2\cdot BP\cdot DP\cdot \cos \beta \\
(2a\sqrt{2})^{2} &=(a\sqrt{6})^{2}+(a\sqrt{6})^{2}-2\cdot a\sqrt{6}\cdot a\sqrt{6}\cdot \cos \beta \\
8a^{2} &=6a^{2}+6a^{2}-2\cdot 6a^2\cdot \cos \beta \\
4a^{2} &=12a^{2}-12a^2\cdot \cos \beta \\
12a^{2}\cdot \cos \beta &= 12a^{2}-8a^{2} \\
12a^{2}\cdot \cos \beta &= 4a^{2} \\
\cos \beta &= \dfrac{1}{3} \\
\hline
\cos 2\beta &=2cos^{2}\ \beta -1 \\
\cos 2\beta &=2\left(\dfrac{1}{3} \right)^{2} -1 \\
\cos 2\beta &=2\left(\dfrac{1}{9} \right) -1 \\
\cos 2\beta &=\dfrac{2}{9} -1 \\
\cos 2\beta &=-\dfrac{7}{9}
\end{align}
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Kelas X Penilaian Akhir Semester Genap di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.