Soal dan Pembahasan Matematika Kelas X Ulangan Akhir Semester Genap

Akhir semester genap akhirnya datang juga, masa ini adalah waktu yang dinantikan siswa karena mereka akan naik kelas ke kelas berikutnya sedangkan untuk para PNS sangat menantikannya karena akan datang gaji yang ke-13.

Untuk menunggu gaji ke-13 nya datang, kita coba membahas soal Ujian akhir semester pelajaran matematika yang diberikan kepada siswa kelas X [sepuluh] dengan jumlah soal sebanyak 12 soal dan waktunya selama 90 menit. Materinya adalah pertidaksamaan, logika, trigonometri dan Dimensi Tiga.

Mari kita mulai:
1. Pertaksamaan $ 2x-a> \frac{x-1}{2}+\frac{ax}{3}$, mempunyai penyelesaian $ x > 5$. Nilai a adalah...
Alternatif Pembahasan:

Hint

$ 2x-a > \frac{x-1}{2}+\frac{ax}{3}$

$ 2x-a > \frac{3(x-1)}{2 \cdot 3}+\frac{2ax}{2 \cdot 3}$

$ (2x-a) > \frac{3x-3+2ax}{6}$

$ 6(2x-a) > 3x-3+2ax$

$ 12x-6a > 3x-3+2ax$

$ 12x-3x-2ax > 6a-3$

$ x(9-2a) > 6a-3$

$ x > \frac{6a-3}{9-2a}$

karena penyelesaiannya adalah $ x > 5$ maka $ 5 = \frac{6a-3}{9-2a}$

$ 5(9-2a) = 6a-3$

$ 45-10a = 6a-3$

$ 45 + 3 = 6a + 10a$

$ 48 = 16a$

$ 3 = a$



2. Kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut ini adalah...
Premis $(1)$: Jika hari panas maka Zeska memakai topi.
Premis $(2)$: Zeska tidak memakai topi atau ia memakai payung
Premis $(3)$: Zeska tidak memakai payung.
Alternatif Pembahasan:

Hint

misal pernyataan kita tulis dengan simbol
p = hari panas;
q = Zeska memakai topi;
r = Zeska memakai payung

Sehingga dengan menggunakan simbol premis $(1), (2)$ dan $(3)$ dapat kita tulis menjadi:
$(1)\ p\rightarrow q$
$(2)\ \sim q \vee r$ $ \equiv $ $ q\rightarrow r$
$(3)\ \sim r$

Dengan Konsep penarikan kesimpulan Silogisme $(1)$ dan $(2)$
$(1)\ p\rightarrow q$
$(2)\ q\rightarrow r$
--------------------
$(4)\ p\rightarrow r$

Dengan Konsep penarikan kesimpulan Modus Tollens $(4)$ dan $(3)$
$(4)\ p\rightarrow r$
$(3)\ \sim r$
--------------------
$ \therefore\ \sim p$

Kesimpulan: hari tidak panas



3. Jika $ sin\ \theta =-\frac{1}{4}$ dan $ \theta > 0$, hitunglah $ cos\ \theta = . . .$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari soal kita peroleh bahwa $ sin\ \theta$ bernilai negatif dan $tan\ \theta$ bernilai positif berarti $ \theta$ berada di kwadran III.


Dari gambar:
$ AB=\sqrt{4^{2}-(-1)^{2}}=\sqrt{15}$ dan $ AB$ bernilai negatif, sehingga $ AB=-\sqrt{15}$

$ cos\ \theta = \frac{AB}{AC}=\frac{-\sqrt{15}}{4}=-\frac{1}{4}\sqrt{15}$



4. Nilai dari $ \frac{tan\ 300^{\circ}}{sin\ 120^{\circ}-cos\ 210^{\circ}}\ =... $
Alternatif Pembahasan:

Hint

$ \frac{tan\ 300^{\circ}}{sin\ 120^{\circ}-cos\ 210^{\circ}}$

$ = \frac{tan\ (360-60)^{\circ}}{sin\ (180-60)^{\circ}-cos\ (180+30)^{\circ}}$

$ = \frac{-tan\ 60^{\circ}}{sin\ 60^{\circ}+cos\ 30^{\circ}}$

$ = \frac{-\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{3}}$

$ = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$ = -1 $



5.

Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $B$,
$ cos\ \alpha =\frac{4}{5}\ dan\ tan\ \beta =1.$
Jika $AD = x$ maka nilai $AC = ...$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Perhatikan:
$ cos\ \alpha =\frac{4}{5}\ =\frac{AB}{AC} $
dari persamaan diatas kita peroleh perbandingan panjang $AB$ dan panjang $AC$ sehingga panjang $AC$ dan panjang $AB$ dapat kita misalkan yaitu $AB = 4a$ dan $AC = 5a$.
$AD = x$ dan $AB = 4a$ maka $BD = 4a - x$.

Perhatikan:
$ tan\ \beta =1 =\frac{BC}{BD}$
dari persamaan diatas kita peroleh panjang $BC =BD$, maka $BC = BD = 4a - x$

Dengan konsep teorema pythagoras kita peroleh:
$ (4a)^{2}+(4a-x)^{2}=(5a)^{2}$

$ 16a^{2}+16a^2-8ax+x^2=25a^{2}$

$ 32a^{2}-25a^2-8ax+x^2=0$

$ 7a^{2}-8ax+x^2=0$

$ (x-a)(x-7a)=0$

Kita peroleh $ x = a$ atau $ x=7a$, pada saat $ x=7a$ tidak memenuhi [kenapa tidak memenuhi?, coba Anda menyimpulkan sendiri melalui kotak komentar]
Hasil Akhir diperoleh $x = a$, maka panjang $AC$ saat $AD = x$ adalah $5x$.



6. Jika $ tan\ 2\alpha = 4 sin\ \alpha\ cos\ \alpha$, untuk $ \frac{\pi}{2}< \alpha\ <\pi$, maka $ cos\ \alpha=...$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$ tan\ 2\alpha = 4 sin\ \alpha\ cos\ \alpha$

$ \frac{sin\ 2\alpha}{cos\ 2\alpha} = 2\ \cdot\ 2 sin\ \alpha\ cos\ \alpha$

$ \frac{sin\ 2\alpha}{cos\ 2\alpha} = 2\ \cdot\ sin\ 2\alpha$

$ \frac{1}{cos\ 2\alpha} = 2$

$ \frac{1}{2} = cos\ 2\alpha$
--------------------------------------
--------------------------------------
$ cos\ 2\alpha =2cos^{2}\ \alpha -1$

$ \frac{1}{2} =2cos^{2}\ \alpha -1$

$ \frac{3}{2} =2cos^{2}\ \alpha$

$ \frac{3}{4} =cos^{2}\ \alpha$

$ \pm \sqrt{\frac{3}{4}} =cos\ \alpha$

$ \pm \frac{\sqrt3}{2} =cos\ \alpha$
Karena $ \alpha$ berada pada kwadran II maka $ cos\ \alpha = - \frac{\sqrt3}{2}$



7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $4\ cm$ dan titik $P$ adalah titik tengah $CH$. Hitunglah jarak titik $P$ ke titik $B$.
Alternatif Pembahasan:

Hint


Kubus ABCD.EFGH dan titik $P$ kita gambarkan, [*seperti gambar]
Perhatikan segitiga BCP adalah segitiga siku-siku di C, sehingga jarak titik P ke B adalah BP dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras, yaitu:$ BP^{2}=BC^{2}+CP^{2}$
$BC = 4$ dan $CP$ adalah setengah $CH$ yaitu $ 2\sqrt{2}$

$ BP^{2}=4^{2}+(2\sqrt{2})^{2}$

$ BP^{2}=16+8$

$ BP=\sqrt{24}$

$ BP=2\sqrt{6}$


8. Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $ \sqrt{3}\ cm$ dan titik $T$ pada $AD$ sehingga $AT=1\ cm$. Jarak titik $A$ terhadap garis $BT$ adalah ...
Alternatif Pembahasan:

Hint


Kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $T$ kita gambarkan, [*seperti gambar]
Perhatikan segitiga $ABT$ adalah segitiga siku-siku di $A$, sehingga jarak titik $A$ ke garis $BT$ adalah tinggi segitiga dengan alas $BT$. $BT$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras, yaitu:$ BT^{2}=AT^{2}+AB^{2}$
$ BT^{2}=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}$

$ BT^{2}=1+3$

$ BT=\sqrt{4}$

$ BT=2$

Dengan Konsep luas segitiga kita peroleh:
$ \frac{1}{2}BT\cdot AJ=\frac{1}{2}AB\cdot AT$

$ 2\cdot AJ=\sqrt{3}\cdot 1$

$ AJ=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Jarak titik $A$ ke garis $BT$ adalah $ AJ=\frac{1}{2}\sqrt{3}$



9. Kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $ \sqrt{5}$, diketahui $P$ dan $Q$ masing-masing adalah titik tengah $FG$ dan $BC$. $ \theta$ adalah sudut antara bidang $ADP$ dan bidang $ADQ$. Hitunglah besar sudut $ \theta$.
Alternatif Pembahasan:

Hint



Kubus $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan titik $Q$ kita gambarkan sehingga bidang $ADP$ dan $ADQ$ dapat kita gambarkan, [*seperti gambar]. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah $AD$

Untuk menentukan sudut antara bidang $ADP$ dengan $ADQ$ yaitu dengan menggambar garis pada bidang $ADP$ dan $ADQ$ yang tegak lurus dengan $AD$, pada gambar diberi nama garis $PR$ dan $QR$.

Sudut antara bidang $ADP$ dengan $ADQ$ adalah $sudut$ yang dibentuk oleh garis $PR$ dan $QR$ yaitu sudut $PRQ$ sehingga $ \angle PRQ= \theta$.
Dengan memperhatikan segitiga $PQR$ kita peroleh beberapa data:
  • segitiga siku-siku di Q
  • PQ = QR
Berdasarkan data diatas, segitiga $PQR$ adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga $ \angle PRQ=\angle QPR= \theta$
$ \angle PRQ +\angle QPR + \angle PQR = 180^{\circ}$
$ \theta +\theta + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$ 2\theta = 180^{\circ}-90^{\circ}$
$ 2\theta = 90^{\circ}$
$ \theta = 45^{\circ}$



10. Masih kubus $ABCD.EFGH$ tetapi kali ini panjang rusuknya terserah Anda berapa panjangnya. Jika sudut antara bidang $EBG$ dengan bidang $EDG$ adalah $ \beta$ maka $ cos\ 2\beta\ =...$
Alternatif Pembahasan:

Hint



Kubus $ABCD.EFGH$, bidang $EBG$ dan bidang $EDG$ kita gambarkan, [*seperti gambar]. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah $EG$

Untuk menentukan sudut antara bidang $EBG$ dengan $EDG$ yaitu dengan menggambar garis pada bidang $EBG$ dan $EDG$ yang tegak lurus dengan $EG$, pada gambar diberi nama garis $DP$ dan $BP$.

Sudut antara bidang $EBG$ dengan $EDG$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis $DP$ dan $BP$ yaitu sudut $BPD$ sehingga $ \angle BPD= \beta$.
Dengan memperhatikan segitiga $BPD$ kita peroleh $BP = DP$, dan $BP$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras dari segitiga $BFP$, yaitu:$ BP^{2}=PF^{2}+BF^{2}$
Karena panjang rusuk kubus tidak diketahui, kita misalkan panjang rusuk kubus $2a$, sehingga:
$ BF\ =\ 2a$ dan $PF\ = a\sqrt{2}$
$ BP^{2}=(a\sqrt{2})^2+(2a)^2$

$ BP^{2}=2a^2+4a^2$

$ BP=\sqrt{6a^2}$

$ BP=a\sqrt{6}$

$ BD= 2a\sqrt{2},\ BP = DP =a\sqrt{6}$
Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga $BDP$ diperoleh:
$ BD^{2}=BP^{2}+DP^{2}-2\cdot BP\cdot DP\cdot cos\ \beta$

$ (2a\sqrt{2})^{2}=(a\sqrt{6})^{2}+(a\sqrt{6})^{2}-2\cdot a\sqrt{6}\cdot a\sqrt{6}\cdot cos\ \beta$

$ 8a^{2}=6a^{2}+6a^{2}-2\cdot 6a^2\cdot cos\ \beta$

$ 4a^{2}=12a^{2}-12a^2\cdot cos\ \beta$

$ 12a^2\cdot cos\ \beta = 12a^{2}-8a^{2}$

$ 12a^2\cdot cos\ \beta = 4a^{2}$

$ cos\ \beta = \frac{1}{3}$

---------------------
$ cos\ 2\beta =2cos^{2}\ \beta -1$

$ cos\ 2\beta =2(\frac{1}{3})^{2} -1$

$ cos\ 2\beta =2(\frac{1}{9}) -1$

$ cos\ 2\beta =\frac{2}{9} -1$

$ cos\ 2\beta =-\frac{7}{9}$



Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: