Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Kelas X Penilaian Akhir Semester Genap. Akhir semester genap adalah waktu yang dinantikan siswa karena mereka akan naik kelas ke kelas berikutnya sedangkan untuk para Pegawai Negeri Sipil (PNS)😊 sangat menantikannya karena akan datang gaji yang ke-13.
Untuk menunggu gaji ke-13 nya datang, kita coba membahas soal Ujian akhir semester pelajaran matematika yang diberikan kepada siswa kelas X (sepuluh) dengan jumlah soal sebanyak 12 soal dan waktunya selama 90 menit. Materinya adalah pertidaksamaan, logika, trigonometri dan Dimensi Tiga.
Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Kelas X Penilaian Akhir Semester Genap
1. Pertaksamaan $ 2x-a \gt \dfrac{x-1}{2}+\dfrac{ax}{3}$, mempunyai penyelesaian $ x \gt 5$. Nilai $a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 2x-a &\gt \dfrac{x-1}{2}+\dfrac{ax}{3} \\ 2x-a &\gt \dfrac{3(x-1)}{2 \cdot 3}+\dfrac{2ax}{2 \cdot 3} \\ (2x-a) &\gt \dfrac{3x-3+2ax}{6} \\ 6(2x-a) &\gt 3x-3+2ax \\ 12x-6a &\gt 3x-3+2ax \\ 12x-3x-2ax &\gt 6a-3 \\ x(9-2a) &\gt 6a-3 \\ x &\gt \dfrac{6a-3}{9-2a} \end{align}$
Karena penyelesaiannya pertaksamaan adalah $ x \gt 5$ maka:
$\begin{align}
5 &= \dfrac{6a-3}{9-2a} \\
5(9-2a) &= 6a-3 \\
45-10a &= 6a-3 \\
45 + 3 &= 6a + 10a \\
48 &= 16a \\
3 &= a
\end{align}$
2. Kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut ini adalah...
Premis $(1)$: Jika hari panas maka Zeska memakai topi.
Premis $(2)$: Zeska tidak memakai topi atau ia memakai payung
Premis $(3)$: Zeska tidak memakai payung.
Alternatif Pembahasan:
misal pernyataan kita tulis dengan simbol
$\begin{align}
p &= \text{hari panas} \\
q &= \text{Zeska memakai topi } \\
r &= \text{Zeska memakai payung}
\end{align}$
Sehingga dengan menggunakan simbol premis $(1), (2)$ dan $(3)$ dapat kita tulis menjadi:
$\begin{align}
& (1)\ p\rightarrow q \\
&(2)\ \sim q \vee r\ \equiv q\rightarrow r \\
&(3)\ \sim r
\end{align}$
Dengan Konsep penarikan kesimpulan Silogisme $(1)$ dan $(2)$
$\begin{align}
&(1)\ p\rightarrow q \\
&(2)\ q\rightarrow r \\
\hline
&(4)\ p\rightarrow r
\end{align}$
Dengan Konsep penarikan kesimpulan Modus Tollens $(4)$ dan $(3)$
$\begin{align}
&(4)\ p\rightarrow r \\
&(3)\ \sim r \\
\hline
& \therefore\ \sim p
\end{align}$
Kesimpulan: hari tidak panas
3. Jika $ \sin \theta =-\dfrac{1}{4}$ dan $ \theta \gt 0$, hitunglah $ \cos \theta =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari soal kita peroleh bahwa $ \sin \theta$ bernilai negatif dan $\tan \theta$ bernilai positif berarti $ \theta$ berada di kwadran III.
Dari gambar:
$ AB=\sqrt{4^{2}-(-1)^{2}}=\sqrt{15}$ dan $ AB$ bernilai negatif, sehingga $ AB=-\sqrt{15}$
$ \cos \theta = \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{-\sqrt{15}}{4}=-\dfrac{1}{4}\sqrt{15} $
4. Nilai dari $ \dfrac{\tan 300^{\circ}}{\sin 120^{\circ}-\cos 210^{\circ}}\ =... $
Alternatif Pembahasan:
Nilai Perbandingan Trigonometri di atas dapat kita hitung dengan alternatif penyelesaian berikut;
$\begin{align}
& \dfrac{\tan 300^{\circ}}{\sin 120^{\circ}-\cos 210^{\circ}} \\
& = \dfrac{\tan (360-60)^{\circ}}{\sin (180-60)^{\circ}-\cos (180+30)^{\circ}} \\
& = \dfrac{-\tan 60^{\circ}}{\sin 60^{\circ}+\cos 30^{\circ}} \\
& = \dfrac{-\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -1
\end{align}$
5.Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $B$,
$ \cos \alpha =\dfrac{4}{5}\ dan\ \tan \beta =1.$
Jika $AD = x$ maka nilai $AC = ...$
Alternatif Pembahasan:
Perhatikan:
$ \cos \alpha =\dfrac{4}{5}\ =\dfrac{AB}{AC} $
dari persamaan diatas kita peroleh perbandingan panjang $AB$ dan panjang $AC$ sehingga panjang $AC$ dan panjang $AB$ dapat kita misalkan yaitu $AB = 4a$ dan $AC = 5a$.
$AD = x$ dan $AB = 4a$ maka $BD = 4a - x$.
Perhatikan:
$ \tan \beta =1 =\dfrac{BC}{BD}$
dari persamaan diatas kita peroleh panjang $BC =BD$, maka $BC = BD = 4a - x$
Dengan konsep teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
(4a)^{2}+(4a-x)^{2} &=(5a)^{2} \\
16a^{2}+16a^{2}-8ax+x^{2} &=25a^{2} \\
32a^{2}-25a^2-8ax+x^{2} &=0 \\
7a^{2}-8ax+x^{2} &=0 \\
(x-a)(x-7a)&=0
\end{align}$
Kita peroleh $ x = a$ atau $ x=7a$, pada saat $ x=7a$ tidak memenuhi (*kenapa tidak memenuhi?, coba Anda menyimpulkan sendiri dan sampaikan kepada admin sebagai catatan tambahan)
Hasil akhir diperoleh $x = a$, maka panjang $AC$ saat $AD = x$ adalah $5x$.
6. Jika $ \tan 2\alpha = 4 \sin \alpha\ \cos \alpha$, untuk $ \dfrac{\pi}{2} \lt \alpha\ \lt \pi$, maka $ \cos \alpha=...$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\tan 2\alpha &= 4 \sin \alpha\ \cos \alpha \\
\dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} &= 2\ \cdot\ 2 \sin \alpha\ \cos \alpha \\
\dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} &= 2\ \cdot\ \sin 2\alpha \\
\dfrac{1}{\cos 2\alpha} &= 2 \\
\dfrac{1}{2} &= \cos 2\alpha \\
\hline
\cos 2\alpha &= 2cos^{2}\ \alpha -1 \\
\hline
\dfrac{1}{2} &= 2cos^{2}\ \alpha -1 \\
\dfrac{3}{2} &= 2cos^{2}\ \alpha \\
\dfrac{3}{4} &= cos^{2}\ \alpha \\
\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} &= \cos \alpha \\
\pm \dfrac{\sqrt3}{2} &=\cos \alpha
\end{align}$
Karena $ \alpha$ berada pada kwadran II maka $ \cos \alpha = - \dfrac{\sqrt3}{2}$
7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $4\ cm$ dan titik $P$ adalah titik tengah $CH$. Hitunglah jarak titik $P$ ke titik $B$.
Alternatif Pembahasan:
Perhatikan segitiga $BCP$ adalah segitiga siku-siku di $C$, sehingga jarak titik $P$ ke $B$ adalah $BP$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{align}
BP^{2} &= BC^{2}+CP^{2} \\
\hline
BC &= 4 \text{dan}\ CP=\dfrac{1}{2}CH=2\sqrt{2} \\
\hline
BP^{2} &=4^{2}+(2\sqrt{2})^{2} \\
BP^{2} &=16+8 \\
BP &=\sqrt{24} =2\sqrt{6}
\end{align}$
8. Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $ \sqrt{3}\ cm$ dan titik $T$ pada $AD$ sehingga $AT=1\ cm$. Jarak titik $A$ terhadap garis $BT$ adalah ...
Alternatif Pembahasan:
Kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $T$ kita gambarkan, [*seperti gambar]
Perhatikan segitiga $ABT$ adalah segitiga siku-siku di $A$, sehingga jarak titik $A$ ke garis $BT$ adalah tinggi segitiga dengan alas $BT$. $BT$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{align}
BT^{2} &=AT^{2}+AB^{2} \\
&=1^{2}+(\sqrt{3})^{2} \\
&=1+3 \\
BT&=\sqrt{4}=2
\end{align}$
Dengan Konsep luas segitiga kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}BT\cdot AJ &=\dfrac{1}{2}AB\cdot AT \\
2\cdot AJ &=\sqrt{3}\cdot 1 \\
AJ &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}$
Jarak titik $A$ ke garis $BT$ adalah $ AJ=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
9. Kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $ \sqrt{5}$, diketahui $P$ dan $Q$ masing-masing adalah titik tengah $FG$ dan $BC$. $ \theta$ adalah sudut antara bidang $ADP$ dan bidang $ADQ$. Hitunglah besar sudut $ \theta$.
Alternatif Pembahasan:
Kubus $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan titik $Q$ kita gambarkan sehingga bidang $ADP$ dan $ADQ$ dapat kita ilustrasikan seperti gambar di atas. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah $AD$
Untuk menentukan sudut antara bidang $ADP$ dengan $ADQ$ yaitu dengan menggambar garis pada bidang $ADP$ dan $ADQ$ yang tegak lurus dengan $AD$, pada gambar diberi nama garis $PR$ dan $QR$.
Sudut antara bidang $ADP$ dengan $ADQ$ adalah $sudut$ yang dibentuk oleh garis $PR$ dan $QR$ yaitu sudut $PRQ$ sehingga $ \angle PRQ= \theta$.
- Dengan memperhatikan segitiga $PQR$ kita peroleh beberapa data:
- segitiga siku-siku di $Q$
- $PQ = QR$
$\begin{align}
\angle PRQ +\angle QPR + \angle PQR &= 180^{\circ} \\
\theta +\theta + 90^{\circ} &= 180^{\circ} \\
2\theta &= 180^{\circ}-90^{\circ} \\
2\theta &= 90^{\circ} \\
\theta &= 45^{\circ}
\end{align}$
10. Masih kubus $ABCD.EFGH$ tetapi kali ini panjang rusuknya terserah Anda berapa panjangnya. Jika sudut antara bidang $EBG$ dengan bidang $EDG$ adalah $ \beta$ maka $ \cos 2\beta\ =...$
Alternatif Pembahasan:
Kubus $ABCD.EFGH$, bidang $EBG$ dan bidang $EDG$ kita gambarkan, [*seperti gambar]. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah $EG$
Untuk menentukan sudut antara bidang $EBG$ dengan $EDG$ yaitu dengan menggambar garis pada bidang $EBG$ dan $EDG$ yang tegak lurus dengan $EG$, pada gambar diberi nama garis $DP$ dan $BP$.
Sudut antara bidang $EBG$ dengan $EDG$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis $DP$ dan $BP$ yaitu sudut $BPD$ sehingga $ \angle BPD= \beta$.
Dengan memperhatikan segitiga $BPD$ kita peroleh $BP = DP$, dan $BP$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras dari segitiga $BFP$, yaitu:$ BP^{2}=PF^{2}+BF^{2}$
Karena panjang rusuk kubus tidak diketahui, kita misalkan panjang rusuk kubus $2a$, sehingga:
$ BF =\ 2a$ dan $PF = a\sqrt{2}$
Dengan konsep teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
BP^{2} &=(a\sqrt{2})^2+(2a)^2 \\
BP^{2} &=2a^2+4a^2 \\
BP &=\sqrt{6a^2} \\
BP &=a\sqrt{6}
\end{align}$
$ BD= 2a\sqrt{2},\ BP = DP =a\sqrt{6}$
Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga $BDP$ diperoleh:
$\begin{align}
BD^{2} &=BP^{2}+DP^{2}-2\cdot BP\cdot DP\cdot \cos \beta \\
(2a\sqrt{2})^{2} &=(a\sqrt{6})^{2}+(a\sqrt{6})^{2}-2\cdot a\sqrt{6}\cdot a\sqrt{6}\cdot \cos \beta \\
8a^{2} &=6a^{2}+6a^{2}-2\cdot 6a^2\cdot \cos \beta \\
4a^{2} &=12a^{2}-12a^2\cdot \cos \beta \\
12a^{2}\cdot \cos \beta &= 12a^{2}-8a^{2} \\
12a^{2}\cdot \cos \beta &= 4a^{2} \\
\cos \beta &= \dfrac{1}{3} \\
\hline
\cos 2\beta &=2cos^{2}\ \beta -1 \\
\cos 2\beta &=2\left(\dfrac{1}{3} \right)^{2} -1 \\
\cos 2\beta &=2\left(\dfrac{1}{9} \right) -1 \\
\cos 2\beta &=\dfrac{2}{9} -1 \\
\cos 2\beta &=-\dfrac{7}{9}
\end{align}$
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Kelas X Penilaian Akhir Semester Genap di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.