Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi Guru [UKG]

Untuk menentukan jenis bilangan akar-akar persamaan kuadrat dapat kita tentukan dengan melihat nilai Diskriminan [D].
$ D = b^2 - 4ac$
$ D = 3^2 - 4(1)(1)$
$ D = 9 - 4$
$ D = 5$

Lalu kita ke rumus abc, yaitu:
$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$
jika kita substitusikan nilai D = 5 maka kita peroleh $ x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$ dan hasilnya adalah bilangan irasional karena $ \sqrt{5}$ adalah bilangan irasional.

Akar persamaan kuadrat adalah nilai variabel persamaan kuadrat sehingga persamaan kuadrat benar sama dengan nol. Pada soal didapat nilai x = -3 sehingga $ 2(x)^2 + (a-4)x -2a = 0$ kita ubah menjadi:
$ 2(-3)^2 + (a-4)(-3) -2a = 0$
$ 2(9) + (-3a+12) -2a = 0$
$ 18 - 3a +12 -2a = 0$
$ 30 - 5a = 0$
$ 30 = 5a$
$ 6 = a$

Dengan melihat pola banyak kursi setiap baris, pola membentuk deret aritmatika dengan suku pertama $(a)= 4$ dan beda $(b)= 3$ sedangkan yang ditanyakan adalah jumlah kursi sampai baris ke-15 $(S_{15})$
$ S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$ S_{15}=\frac{15}{2}(2 \cdot 4+(15-1)3)$
$ S_{15}=\frac{15}{2}(8+(14)3)$
$ S_{15}=\frac{15}{2}(50)$
$ S_{15}=(15)(25)$
$ S_{15}=375$
Jumlah kursi sampai baris ke-15 adalah 375

Dari soal kita peroleh pola bilangan ganjil berarti pola membentuk deret aritmatika dengan beda $(b)=2$ dan jumlah 20 bilangan adalah 600 $(S_{20}=600)$
$ S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$ S_{20}=\frac{20}{2}(2a +(20-1)2)$
$ 600=10(2a+38)$
$ 60= 2a+38$
$ 22= 2a$
$ 11= a$
Dengan memperoleh nilai suku pertama $(a = 11)$ maka bilangan terkecil adalah 11. Sekarang kita coba menentukan bilangan terbesar yaitu suku ke-20 $(U_{20})$ dari persamaan berikut:
$ U_{n}=a+ (n-1)b$
$ U_{20}=11+ (20-1)2$
$ U_{20}=11+ 38$
$ U_{20}=49$

Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 49-11 =38

$ \frac{2x^{3}+4x^{2}-18x-36}{x^{2}-2x-3}$

$ =\frac{2(x^{3}+2x^{2}-9x-18)}{(x+1)(x-3)}$

$ =\frac{2(x-3)(x^{2}+5x+6}{(x+1)(x-3)}$

$ =\frac{2(x-3)(x+2)(x+3)}{(x+1)(x-3)}$

$ =\frac{2(x+2)(x+3)}{(x+1)}$

Garis yang sejajar sumbu y adalah garis $ x=1$ atau $ x=2$ atau $ x=-1$ atau $ x=-2$ atau secara umum dapat kita tuliskan $ x=a$
karena garis melalui titik $(-3,3)$ sehingga garis yang diminta adalah garis $ x=-3$

Dari soal kita peroleh $ 0 < a < \frac{\pi }{2}$ berarti a berada di kwadran yang pertama dan $ (\pi-a)$ berada di kwadran yang kedua.
$ tan\ (a-\pi )\ = tan\ [-(\pi-a)]$
$ tan\ (a-\pi )\ = - [tan\ (\pi-a)]$
$ tan\ (a-\pi )\ = - [- tan\ a]$
$ tan\ (a-\pi )\ = tan\ a$

Karena $ sin\ a\ =\ 0,8$ dengan menerapkannya pada segitiga siku-siku atau pada identitas trigonometri kita peroleh $ cos\ a\ =\ 0,6$ dan $ tan\ a\ = \frac{8}{6}$

Dari soal kita peroleh $ tan\ a\ =\ t$ berarti $ tan\ a\ = \frac{t}{1}$, lalu dengan teorema pythagoras kita peroleh sisi miring segitiga $ \sqrt{t^2+1}$ [*perhatikan gambar]

Jika A, B dan M adalah matriks 2x2 yang memenuhi persamaan $ A \cdot M\ =\ B$ maka berlaku persamaan
$ M\ = A^{-1} \cdot B$

$ M\ =\ \frac{1}{2\cdot 4-3\cdot3}\begin{pmatrix}4 & -3\\ -3 & 2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}$
$ M\ =\ \begin{pmatrix}-4 & 3\\ 3 & -2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 2\end{pmatrix}$
$ M\ =\ \begin{pmatrix}-4+6 & -12+6\\ 3-4 & 9-4\end{pmatrix}$
$ M\ =\ \begin{pmatrix}2 & -6\\ -1 & 5\end{pmatrix}$

$ A \cdot B\ =\ I$ maka $ A\ = I \cdot B^{-1}$

$ A\ =\ \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3\cdot2 - (-5)\cdot(-1)}\begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$
$ A\ =\ \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$
$ A\ =\ \begin{pmatrix}2+0 & 1+0\\ 0+5 & 0+3\end{pmatrix}$
$ A\ =\ \begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$

$n(S) = n(P) + n(Q) - n(P \cap Q) + n(P \cup Q)'$
ekuivalensi dalam himpunan yaitu $(P \cup Q)' \equiv (P' \cap Q')$, sehingga persamaan diatas dapat kita tuliskan sebagai berikut:
$n(S) = n(P) + n(Q) - n(P \cap Q) + n(P' \cap Q')$
$26 = 18 + 12 - n(P \cap Q) + 3$
$26 = 33 - n(P \cap Q)$
$n(P \cap Q) = 33 - 26$
$n(P \cap Q) = 7$

$n(S) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) + n(A \cup B)'$
ekuivalensi dalam himpunan yaitu $(A \cup B)' \equiv (A' \cap B')$, sehingga persamaan diatas dapat kita tuliskan sebagai berikut:
$n(S) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) + n(A' \cap B')$
$34 = 17 + 18 - n(A \cap B) + 2$
$34 = 37 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 37 - 34$
$n(A \cap B) = 3$

$ g(x)=(a-b)x+c$ maka $ g(a)=(a-b)a+c$ dan $ g(b)=(a-b)b+c$

$ \frac{g(b)-g(a)}{b-a}= \frac{[(a-b)b+c]-[(a-b)a+c]}{b-a}$

$ \frac{g(b)-g(a)}{b-a}= \frac{(a-b)b+c-(a-b)a-c}{b-a}$

$ \frac{g(b)-g(a)}{b-a}= \frac{(a-b)b-(a-b)a}{b-a}$

$ \frac{g(b)-g(a)}{b-a}= \frac{(a-b)(b-a)}{b-a}$

$ \frac{g(b)-g(a)}{b-a}= (a-b)$

Titik A, B dan C segaris [kolinier] maka akan memenuhi persamaan berikut:
$ \overrightarrow{AB}=k \cdot \overrightarrow{BC}$ dan k adalah konstanta [bilangan real]

$ \begin{pmatrix}2-2\\ -1-5\\ -2-4\end{pmatrix}=k \cdot \begin{pmatrix}p-2\\ q+1\\ 1+2\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}0\\ -6\\ -6\end{pmatrix}=k \cdot \begin{pmatrix}p-2\\ q+1\\ 3\end{pmatrix}$
Dari persamaan diatas kita peroleh:
☛ $-6=3k$, nilai $ k = -\frac{1}{2}$
☛ $-6=k(q + 1)$, nilai $(q+1)=12$ maka $q = 11$

☛ $0=k(p-2)$, nilai $(p-2)=0$ maka $p = 2$

Banyak kemungkinan susunan huruf $ =6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\ = 720$
Banyak kemungkinan susunan huruf tetapi A dan B berturut-turut menempati urutan pertama dan kedua $ =1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\ = 24$
Peluang huruf A dan B berturut-turut menempati urutan pertama dan kedua $ \frac{24}{720}$

Untuk menghitung sudut dalam segi-n dapat menggunakan persamaan suku ke-n pada barisan aritmatika, tetapi sekarang kita hitung dengan persamaan yang lebih sederhana.
Jumlah sudut dalam segi-n $ = (n-2) \cdot 180^0$

Jumlah sudut dalam segi-40 adalah $ = 38 \cdot 180^0\ =6840$