Matematika itu, Produk atau Proses?

Mendengar kata matematika secara umum masyarakat selalu memberikan efek negatif, atau dengan kata lain kalau boleh ganti topik pembicaraan aja. Untuk mengurangi efek negatif terhadap matematika, sekarang kita coba berdiskusi tentang Matematika itu produk atau proses. Pada diskusi sebelumnya kita mengetahui Matematika itu, Ilmu atau Bukan?.

Matematika itu produk. Ia adalah produk dari pemikiran intelektual manusia. Pemikiran intelektual itu bisa didorong dari persoalan pemikiran belaka maupun dari persoalan yang menyangkut kehidupan nyata sehari-hari.

Contoh matematika sebagai produk (SD, SMP, SMA)

Bilangan dapat dikatakan sebagai produk pemikiran manusia. Bilangan asli dipercaya muncul karena kebutuhan manusia untuk mengetahui jumlah hewan yang dimiliki manusia kuno. Sementara bilangan imajiner (bilangan khayal) muncul karena kebutuhan manusia untuk memberi arti pada penyelesaian suatu masalah yang murni bersifat pemikiran belaka (matematis).
Contohnya, bilangan apakah yang menjadi penyelesaian: $ x^{2}+1=0 $, hasilnya adalah bilangan imajiner (bilangan khayal).
Contoh lain, bilangan prima (bilangan yang hanya mempunyai dua faktor yaitu satu dan bilangan itu sendiri),
bilangan sempurna (bilangan asli yang jumlah faktor-faktornya selain dirinya merupakan bilangan itu sendiri. Contoh: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14),
bilangan bersahabat (pasangan dua bilangan asli yang jumlah faktor-faktor bilangan yang satu (kecuali dirinya) sama dengan bilangan yang lain, dan sebaliknya. Contoh: 220 dan 284, 17296 dan 18416) juga merupakan produk pemikiran belaka.

Contoh matematika sebagai produk (SMP, SMA)

Trigonometri, khususnya fungsi-fungsi trigonometri, merupakan produk usaha manusia dalam memahami keberadaan dan pergerakan bintang-bintang.

Di samping sebagai produk pemikiran, matematika dapat pula dipandang sebagai proses berpikir itu sendiri. Matematika berperan menata pemikiran manusia sehingga hasil yang diperoleh benar-benar dapat dipertanggung jawabkan. Dalam hal ini, logika matematika memegang fungsi penting. Selain itu, secara sederhana dapat pula memandang matematika sebagai sarana atau alat yang ampuh dalam menyelesaikan persoalan manusia. Penggunaan simbol-simbol matematika menjadikan proses berpikir menjadi lebih efisien dan akurat.

Contoh-contoh berikut mengilustrasikan matematika sebagai proses atau memainkan peran penting dalam proses berpikir.

Contoh matematika sebagai proses (SD, SMP, SMA)

Yusuf dan Aminah membeli jenis pensil dan pulpen yang sama. Yusuf membeli 2 pensil dan sebuah pulpen dan membayar Rp1.400,00. Sedang Aminah membayar Rp2.575,00 untuk membeli 3 pensil dan 2 pulpen. Bagaimana setiap orang dapat mengetahui berapa harga masing-masing pensil dan pulpen (tanpa harus bertanya ke Yusuf Aminah, atau toko yang menjual!).

Di sini matematika akan membantu. Andaikan pensil dan pulpen yang dibeli Yusuf menjadi dua kali, yaitu 4 pensil dan 2 pulpen, maka ia harus membayar juga dua kali pula, yaitu Rp2.800,00. Andaikan pula dari 4 pensil dan 2 pulpen Yusuf tersebut dikembalikan 3 pensil dan 2 pulpen, maka yang tersisa adalah sebuah pensil.

Karena harga 3 pensil dan 2 pulpen adalah Rp2.575,00, maka harga sebuah pensil tersebut adalah 2.800−2.575=225 rupiah.
Selanjutnya, harga 2 pensil menjadi Rp450,00.
Karena itu, harga sebuah pulpen adalah 1.400−450=950 rupiah.
Walaupun proses penyelesaian tersebut merupakan kegiatan matematis, tetapi kita dapat pula menggunakan simbol matematika agar lebih efisien.
Andaikan harga sebuah pensil = a dan
harga sebuah pulpen = b.
Maka proses di atas dinyatakan sebagai berikut:

Contoh matematika sebagai proses (SMP,SMA)

Pandang persoalan berikut:
Apakah $ \sqrt{2} $ bilangan rasional? Atau apakah $ \sqrt{2} $ dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan asli? Nah, hal yang penting bukan pada jawaban ya atau tidak, tetapi bagaimana proses untuk mendapatkan keyakinan jawaban ya atau tidak.
Dalam matematika banyak kemungkinan cara yang dapat ditempuh, salah satunya dengan cara kontradiksi.
Andaikan $ \sqrt{2} $ adalah bilangan rasional.
Jadi ada bilangan asli $ a $ dan $ b $ sehingga $ \frac{a}{b}=\sqrt{2} $ dan
$ \frac{a}{b}$ adalah bentuk yang paling sederhana (tidak memiliki faktor yang sama kecuali 1).
Akibatnya $ \frac{a^{2}}{b^{2}}=2$ atau $ a^{2}=2b^{2}$.
Ini artinya bilangan $ a^{2}$ adalah bilangan genap (sebab dua kali bilangan $ b^{2}$).
Karena $ a^{2}$ genap maka pasti $ a $ juga genap.
Jadi, dapat dimisalkan $ a=2k$ dengan $ k $ suatu bilangan asli.
Kembali $ a^{2}=2b^{2}$
⇔ $ {2k}^{2}=2{b}^{2}$
⇔ $ 4{k}^{2}=2{b}^{2}$
⇔ $ 2{k}^{2}=b^{2}$
Nah, ini artinya $ b^{2}$ adalah bilangan genap sehingga $ b$ adalah bilangan genap.
Karena $ a $ dan $ b $ genap, maka terdapat faktor persekutuan 2. Ini bertentangan dengan pengandaian semula. Karena itu, $ \sqrt{2} $ pasti bukan merupakan bilangan rasional.

Demikianlah, matematika dapat dipandang sebagai produk maupun sebagai proses berpikir, tergantung segi mana yang kita tekankan. Begitu juga dengan menganggap matematika itu sulit atau mudah tergantung dari tingkat kebutuhan kita akan matematika itu. (Matematika itu, Produk atau Proses? - Sumardyono)

Catatan tentang Matematika itu, Produk atau Proses? di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.