Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

Dimensi Tiga dan Pembahasan Soal Uji Kompetensi dari Buku Matematika SMA

Dimensi Tiga dan Pembahasan Soal Latihan Uji Kompetensi dari Buku Matematika SMA

Calon Guru belajar matematika dasar SMA tentang dimensi tiga dan soal latihan yang kita pilih sebagai bahan diskusi dipilih dari soal Uji Kompetensi (UK) buku matematika SMA kelas XII (dua belas).


RUMUS JARAK DUA TITIK PADA KUBUS

Berikut ini coba kita gambarkan beberapa rumus jarak pada kubus dengan panjang rusuk kubus kita misalkan dengan a.

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Dimensi Tiga

Beberapa jarak titik yang disampaikan di atas jika tidak hafal dapat ditemukan dengan mengggunakan menggunakan teorema pythagoras. Untuk lebih memahami lagi tentang masalah yang berkembang tentang dimensi tiga ini, kita coba diskusikan beberapa soal berikut yang kita pilih dari soal Uji Kompetensi (UK) yang ditanyakan pada media sosial dan umumnya soal ini dari buku matematika SMA kelas XII.

1. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Perhatikan gambar berikut:
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
a. Dari Gambar (a), tentukan jarak dari titik A ke D.
b. Dari Gambar (b), tentukan jarak titik P terhadap garis g.
c. Dari Gambar (c), tentukan jarak titik P pada bidang-K.
Alternatif Pembahasan:

Kalau melihat soal nomor 1 ini sepertinya kita diajak untuk memahami konsep jarak itu, yaitu Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak.

  • (a), jarak dari titik A ke D adalah panjang AD yaitu AC+CD=17 m+29 m=46 m
  • (b), jarak titik P terhadap garis g adalah panjang PP1 karena P1 terletak pada garis g dan PP1 g.
  • (c), jarak titik P pada bidang-K adalah PP1 karena P1 terletak pada garis RP1 atau garis QP1 dimana garis RP1 atau garis QP1 terletak pada bidang-K dan PP1QP1 atau PP1RP1.

2. Soal UK Dimensi Tiga Matematika SMA


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Buat ilustrasi kubus tersebut. Tentukan langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG. Kemudian hitunglah jarak titik F ke bidang BEG.
Alternatif Pembahasan:

Pertama kita pastinya harus bisa menggambar kubus ABCD.EFGH dan bidang BEG

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Langkah-langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG, kurang lebih dapat kita lakukan seperti berikut ini;
  • Pertama, kita tarik garis pada bidang BEG misalkan kita sebut garis BB.
  • Kedua, kita tarik garis dari F sehingga tegak lurus pada garis BB misalkan kita sebut garis FF.
  • Ketiga, karena FFBB maka jarak titik F ke bidang BEG adalah panjang FF.
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Untuk menghitung jarak titik F ke bidang BEG yaitu panjang FF, kita membutuhkan beberapa data tambahan.
Karena BEG adalah samakaki maka BBEG dan B adalah titik tengah EG,
sehingga dapat kita tuliskan:
BB=BG2BG2=(92)2(922)2=162812=3242812=2432=926

Dari BFB adalah segitiga siku-siku di F, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
[BFB]=12×BF×FB=12×9×922=8142

Luas BFB dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
[BFB]=12×BB×FF[BFB]=12×926×FF8142=12×926×FF8142=946×FF812=96×FF92=6×FFFF=926FF=93FF=33
Jarak titik F ke bidang BEG adalah 33.

(*Sebagai catatan; jika panjang rusuk kubus di rubah panjangnya misal jadi a, maka jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal di atas adalah 13a3. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas)

3. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB=2a, dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG=a.
a. Buatlah ilustrasi dari masalah di atas.
b. Tentukan PQ.
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan ilustrasi dari masalah di atas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Untuk menghitung PQ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Titik potong perpanjangan garis EF dengan garis yang tegak lurus AP di P kita misalkan Titik R. Lalu jika kita hubungkan titik P, Q,R maka akan kita peroleh segitiga PQR yang siku-siku di R.

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

PQ=PR2+QR2PR=a dan QR=QF2+FR2QR=(2a)2+(2a)2=8a2=2a2PQ=PR2+QR2=a2+(2a2)2=a2+8a2=9a2=3a

4. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Panjang setiap bidang empat beraturan T.ABC sama dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, tentukan PQ.
Alternatif Pembahasan:

Jika kita coba ilustrasikan masalah di atas, kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Titik P dan Q merupakan titik tengah AT dan BC pada bidang empat beraturan, sehingga kita peroleh CPT yang siku-siku di P sehingga berlaku;
CP=CT2TP2=16282=25664=192=83

Pada PQC yang siku-siku di Q, berlaku;
PQ=CP2CQ2=(83)282=19264=128=82

5. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Tentukan jarak titik H ke DF.
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Alternatif Pembahasan:

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Untuk menghitung jarak titik H ke DF kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Kita tarik garis dari H yang tegak lurus ke DF, misal kita sebut HH.
Segitiga HDF adalah segitiga siku-siku di H sehingga:
[HDF]=12×HD×HF=12×6×6=18
Luas segitiga HDF dapat juga kita hitung dengan cara;
[HDF]=12×DF×HH18=12×63×HHHH=1833HH=92

Karena HH tegak lurus dengan DF maka jarak titik H ke DF adalah 92

6. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH. Tentukan perbandingan volum limas P.BCS dan volum kubus ABCD.EFGH.
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung perbandingan volume kubus dengan limas, mungkin kita butuh ilustrasi kubus ABCD.EFGH dan limas P.BCS bisa kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Karena pada soal panjang rusuk kubus tidak ditentukan, kita misalkan panjang rusuk kubus AB=2a.
Volume kubus adalah Vk=(2a)3=8a3.

Volume Limas adalah 13×luas alas×tinggi
Vl=13×[BCS]×PP=13×12BC×CS×PP=13×122a×a×a=13a3
Perbandingan Volume Kubus dan Limas adalah:
Vk:Vl=8a3:13a3Vk:Vl=8:13Vk:Vl=24:1

7. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH.Tentukan jarak titik A ke titik S.
Alternatif Pembahasan:

Jika kita ilustrasikan gambar di atas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Titik S adalah hasil proyeksi titik C pada bidang AFH sehingga SC tegak lurus pada bidang AFH. Garis AS terletak pada bidang AFH maka AS tegak lurus SC secara simbol dapat kita tuliskan ASSC.

Dari kumpulan informasi di atas sekarang kita coba hitung panjang AS,
Coba perhatikan ACE adalah segitiga siku-siku di A, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
[ACE]=12×AC×AE=12×a2×a=12a22

Luas ACE dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
[ACE]=12×CE×AS[ACE]=12×a2×ASa22=12×a2×AS2a22=a2×ASAS=2a22a2AS=2a2aAS=2a

8. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik potong EG dan FH. Tentukan jarak titik R ke bidang EPQH.
Alternatif Pembahasan:

Jika kita ilustrasikan gambar soal di atas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Untuk menghitung jarak titik R ke bidang EPQH kita membutuhkan beberapa informasi tambahan, antara lain;
Titik tengah EH kita sebut S, dan titik tengah PQ kita sebut T.
Titik R kita proyeksikan ke bidang EPQH dan hasilnya terletak pada garis ST, kita sebut titik R sehingga RR tegak lurus dengan ST.
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Karena RR tegak lurus dengan ST dan ST berada pada bidang EPQH maka jarak titik R ke EPQH adalah RR.

Sekarang kita coba menghitung RR dengan bantuan TRS
Coba perhatikan TRS adalah segitiga siku-siku di R, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
[TRS]=12×TR×RS=12×2a×a=a2

Luas TRS dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
[TRS]=12×TS×RRTS2=TR2+RS2=(2a)2+a2=4a2+a2=5a2TS=a5[TRS]=12×TS×RRa2=12×a5×RR2a2=a5×RRRR=2a2a5RR=25a5

Jarak titik R ke bidang EPQH adalah 25a5

9. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. P titik tengah EH. Tentukan jarak titik P ke garis CF.
Alternatif Pembahasan:

Jika kita ilustrasikan gambar soal di atas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Untuk menghitung jarak titik P ke garis CF, kita perlu beberapa informasi tambahan, antara lain;
Titik P kita proyeksikan ke garis CF, misal kita sebut titiknya adalah P sehingga PP tegak lurus CF, karena PPCF maka jarak titik P ke garis CF adalah panjang PP.

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Sekarang kita coba menghitung PP dengan bantuan PFC
Coba perhatikan PFC kita bisa menghitung luasnya dengan cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi;
[PFC]=s(sa)(sb)(sc)
dimana s=12×keliling PFC
s=12(PF+CP+CF)
Dengan menggunakan teorema phytagoras kita dapat menghitung panjang ketiga sisi PFC,
PF=25=a; CP=6=b dan CF=42=c
s=12(25+6+42)
s=5+3+22
sa=5+3+2225=3+225
sb=5+3+226=5+223
sc=5+3+2242=5+322

[PFC]=s(sa)(sb)(sc)=(5+3+22)(3+225)(5+223)(5+322)=(9+122+85)(12+122)=(122+12)(12212)=288144=144=12

Luas PFC dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
[PFC]=12×CF×PP=12×42×PP12=22×PPPP=1222PP=32

Jarak titik P ke garis CF adalah 32

10. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA

Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik C dengan bidang BDG.
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan titik C dan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Diketahui kubus  ABCD.EFGH  dengan panjang rusuk 3 cm . Jarak titik C ke bidang BDG adalah

Jarak titik C ke bidang BDG dari gambar di atas merupakan tinggi limas BDG.C yang kita sebut CO. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik C ke O adalah 13a3, sehingga dengan panjang rusuk a=6 maka kita peroleh CO=1363=23

Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas atau Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang (Geometri)

Catatan Dimensi Tiga dan Pembahasan Soal Latihan Uji Kompetensi dari Buku Matematika SMA di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
close