Modul Pembelajaran Mendalam, Koding dan AI Kurikulum Nasional 2025 untuk SD, SMP, dan SMA/SMK

The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika dasar SMA dari Vektor yaitu Perbandingan Vektor. Pada catatan sebelumnya kita sudah mengetahui bagaimana cara menyelesaikan masalah vektor yang berkaitan dengan Tinjauan Analitis Vektor.

TINJAUAN GEOMETRIS PERBANDINGAN VEKTOR

Dalam operasi aljabar vektor kita tidak mengenal pembagian dua vektor. Dalam hal ini kita hanya menentukan perbandingan panjang dua vektor, atau perbandingan ruas garis.

Secara geometris terdapat dua kemungkinan perbandingan ruas garis, yaitu:

(1). Titik $P$ membagi $AB$ di dalam dengan perbandingan $m : n$
Jika titik $P$ membagi $AB$ dengan perbandingan $\vec{AP} : \vec{PB} = m : n $, dapat kita gambarkan seperti berikut ini.

(2). Titik $P$ membagi $AB$ di luar dengan perbandingan $m : n$
Untuk kondisi ini ada dua kemungkinan titik $P$, yaitu titik $P$ berada di sebelah kiri $AB$ atau disebelah kanan $AB$.

Jika titik $P$ di sebelah kiri $AB$
Perbandingan secara umum kita tulis $\vec{PA}:\vec{PB}=m:n$ yang dalam vektor dapat dituliskan menjadi $\vec{AP}:\vec{PB}=-m:n$.
Perbandingan bernilai negatif disini untuk menunjukkan arahnya, dapat kita gambarkan seperti berikut ini.

Jika titik $P$ di sebelah kanan $AB$
Perbandingan secara umum kita tulis $\vec{AP}:\vec{BP}=m:n$ yang dalam vektor dapat dituliskan menjadi $\vec{AP}:\vec{PB}= m:-n$.
Perbandingan bernilai negatif disini untuk menunjukkan arahnya, dapat kita gambarkan seperti berikut ini.

Beberapa contoh perbandingan ruas garis dapat kita lihat dari contoh soal berikut ini:

1. Diketahui sebuah ruas garis $AB$ dengan panjang $9\ cm$. Jika $AP : PB = 2 : 1$, gambar letak titik $P$ adalah...

2. Diketahui sebuah ruas garis $AB$ dengan panjang $4\ cm$. Jika $AP : PB = –2 : 1$, gambar letak titik $P$ adalah...

3. Diketahui sebuah ruas garis $AB$ dengan panjang $4\ cm$. Jika $P$ membagi $AB$ di luar dengan perbandingan panjang $2 : 3$, maka gambar letak titik $P$ adalah...

TINJAUAN ANALITIS PERBANDINGAN VEKTOR

Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal di $O(0,0)$ dan dilambangkan dengan satu huruf kecil. Dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \left.\begin{matrix} O \left (0, 0, 0 \right)\\ A \left (a_{1}, a_{2}, a_{3} \right) \end{matrix}\right\} &= \vec{OA} \\ \vec{a} &= a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k} \\ \vec{a} &=\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix} \end{align}$

Misal diketahui $A(2, -3, 4)$ maka vektor posisi $\vec{a}$ adalah $\vec{a} = 2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$.

Jika $\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$ maka kita peroleh $\vec{a} + \vec{AB} = \vec{b}$ atau $\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}$.

Untuk $A(2, -1, 6)$ dan $B(-3, 2, 4)$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{AB} &= \vec{b}-\vec{a} \\ & =\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3-2 \\ 2-(-1) \\ 4-6 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} = -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \end{align}$

---

RUMUS PERBANDINGAN RUAS GARIS

Jika $\vec{OA}$ vektor posisinya adalah $\vec{a}$, $\vec{OB}$ vektor posisinya adalah $\vec{b}$ dan $\vec{OP}$ vektor posisinya adalah $\vec{p}$, maka untuk perbandingan $AP:PB=m : n$ berlaku $\vec{p}=\dfrac{n \cdot \vec{a}+m \cdot \vec{b}}{m+n}$.

$\begin{align} \vec{AP} : \vec{PB} &= m : n \\ n\vec{AP} &= m \vec{PB} \\ n \left(\vec{p}-\vec{a} \right) &= m \left(\vec{b}-\vec{p} \right) \\ n \vec{p}- n\vec{a} &= m \vec{b}- m\vec{p} \\ m\vec{p} + n \vec{p} &= m \vec{a}+ n \vec{b} \\ \vec{p} \left( m + n \right) &= n \vec{a} + m \vec{b} \\ \vec{p} &= \dfrac{n \vec{a} + m \vec{b} }{ m + n } \end{align}$

Dari hasil di atas untuk $A \left( x_{a}, y_{a}, z_{a} \right)$, $B \left( x_{b}, y_{b}, z_{b} \right)$ dan $P \left( x_{p}, y_{p}, z_{p} \right)$ terletak segaris dengan $\vec{AB}$ dan memiliki perbandingan $\vec{AP} : \vec{PB} = m : n$, maka berlaku:
$x_{p}=\dfrac{n \cdot x_{a}+m \cdot x_{b}}{m+n}$, $y_{p}=\dfrac{n \cdot y_{a}+m \cdot y_{b}}{m+n}$, dan $z_{p}=\dfrac{n \cdot z_{a}+m \cdot z_{b}}{m+n}$.

Untuk tambahan penjelasan mari kita lihat beberapa contoh soal berikut ini:

Misalkan $P$, $Q$, dan $R$ adalah tiga titik yang segaris dan berlaku $\vec{PR} : \vec{RQ} = –2 : 5$ maka nyatakanlah vektor $\vec{r}$ dalam $\vec{p}$ dan $\vec{q}$.

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan perbandingan $\vec{PR} : \vec{RQ} = -2 : 5 $ pada sebuah garis, seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \vec{p} &= \dfrac{3 \vec{r} + 2 \vec{q} }{ 3 + 2 } \\ \vec{p} &= \dfrac{3 \vec{r} + 2 \vec{q} }{ 5 } \\ 5\vec{p} &= 3 \vec{r} + 2 \vec{q} \\ 5 \vec{p} - 2 \vec{q} &= 3 \vec{r} \\ \dfrac{1 }{ 3 } \left( 5 \vec{p} - 2 \vec{q} \right) &= \vec{r} \end{aligned}

Jika titik $A$, $B$, dan $P$ kolinier dengan perbandingan $\vec{AP} : \vec{PB} = –4 : 3$ maka nyatakanlah vektor $\vec{a}$ dalam $\vec{p}$ dan $\vec{b}$.

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan perbandingan $\vec{AP} : \vec{PB} = –4 : 3$ pada sebuah garis, seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \vec{b} &= \dfrac{1 \cdot \vec{p} + 3 \cdot \vec{a} }{ 1 + 3 } \\ \vec{b} &= \dfrac{\vec{p} + 3 \vec{a} }{ 4 } \\ 4 \vec{b} &= \vec{p} + 3 \vec{a} \\ 4 \vec{b}- \vec{p} &= 3 \vec{a} \\ \dfrac{1 }{ 3 } \left( 4 \vec{b} - \vec{p} \right) &= \vec{a} \end{aligned}

---

Untuk berikutnya, jika sudah paham, maka tidak perlu digambarkan lagi. Proses pengerjaan seperti berikut ini:
\begin{aligned} \vec{AP} : \vec{PB} &= –4 : 3 \\ \hline \vec{p} &= \dfrac{3 \cdot \vec{a} + (-4) \cdot \vec{b} }{ -4 + 3 } \\ \vec{p} &= \dfrac{3\vec{a} - 4 \vec{b} }{ -1 } \\ - \vec{p} &= 3\vec{a} - 4 \vec{b} \\ 4 \vec{b} - \vec{p} &= 3 \vec{a} \\ \dfrac{1 }{ 3 } \left( 4 \vec{b} - \vec{p} \right) &= \vec{a} \end{aligned}

Jika titik $A$, $B$, dan $C$ kolinier dan berlaku $\vec{AB} = \frac{2}{5} \vec{AC}$, nyatakanlah vektor $\vec{b}$ dalam $\vec{a}$ dan $\vec{c}$.

Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan $\vec{AB} = \frac{2}{5} \vec{AC}$ dapat kita peroleh:
\begin{aligned} 5\vec{AB} &= 2\vec{AC} \\ 5 \left( \vec{b} - \vec{a} \right) &= 2 \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \\ 5\vec{b} - 5\vec{a} &= 2\vec{c} - 2\vec{a} \\ 5\vec{b} &= 2\vec{c} + 3\vec{a} \\ \vec{b} &= \dfrac{1}{5} \left( 2 \vec{c} + 3\vec{a} \right) \end{aligned}

Diketahui dua titik $A(6, 5, –5)$ dan $B(2, –3, –1)$ serta titik $P$ pada $\vec{AB}$ sehingga $\vec{AP} : \vec{PB} = 3 : 1$. Tentukanlah koordinat titik $P$.

Alternatif Pembahasan:

Dari perbandingan $\vec{AP} : \vec{PB} = 3 : 1$ dapat kita peroleh:
\begin{aligned} \vec{p} &= \dfrac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b} }{ 3 + 1 } \\ \vec{p} &= \dfrac{\vec{a} + 3\vec{b} }{ 4 } \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \vec{a} + 3\vec{b} \right) \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \begin{bmatrix} 6 \\ 5 \\ -5 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{bmatrix}\right) \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \begin{bmatrix} 6 \\ 5 \\ -5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 \\ -9 \\ -3 \end{bmatrix}\right) \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \begin{bmatrix} 6+6 \\ 5-9 \\ -5-3 \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \begin{bmatrix} 12 \\ -4 \\ -8 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix} \\ \end{aligned}
Koordinat titik $P$ adalah $P(3,-1,-2)$

VEKTOR KOLINIER (VEKTOR SEGARIS)

Dua buah vektor dikatakan segaris (kolinier) jika kedua vektor itu sejajar atau terletak pada satu garis yang sama.

Misalkan terdapat tiga vektor yang segaris, seperti gambar berikut ini:

Jadi vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dikatakan segaris jika terdapat nilai $k \in \text{Real}$ sehingga $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Sedangkan tiga titik $A$, $B$, dan $C$ dikatakan segaris jika terdapat $k \in \text{Real}$ sehingga $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}$

Untuk tambahan penjelasan mari kita lihat beberapa contoh soal berikut ini:

Manakah diantara ketiga vektor berikut ini merupakan vektor yang segaris $\vec{a}= 2\vec{i} – 4\vec{j} + 5\vec{k}$,
$\vec{b}= 8\vec{i} – 16\vec{j} + 10\vec{k}$,
$\vec{c}= 6\vec{i} – 12\vec{j} + 15\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

• Vektor $\vec{a}= 2\vec{i} – 4\vec{j} + 5\vec{k}$ segaris dengan $\vec{c}= 6\vec{i} – 12\vec{j} + 15\vec{k}$ karena $3\vec{a}= \vec{C}$ atau $ \vec{a}=\frac{1}{3} \vec{C}$
• Vektor $\vec{a}= 2\vec{i} – 4\vec{j} + 5\vec{k}$ tidak segaris dengan $\vec{b}= 8\vec{i} – 16\vec{j} + 10\vec{k}$ karena tidak ada $k$ bilangan real yang memenuhi $ \vec{a}=k \cdot \vec{b}$
• Vektor $\vec{c}= 6\vec{i} – 12\vec{j} + 15\vec{k}$ tidak segaris dengan $\vec{b}= 8\vec{i} – 16\vec{j} + 10\vec{k}$ karena tidak ada $k$ bilangan real yang memenuhi $ \vec{c}=k \cdot \vec{b}$

Jika vektor $\vec{a} = 2\vec{i} – \vec{j} + x \vec{k}$ dan $\vec{b} = –6\vec{i} + y\vec{j} + 12 \vec{k}$ segaris, maka tentukanlah nilai $x$ dan $y$

Alternatif Pembahasan:

Syarat dua vektor $ \vec{a}$ dan $ \vec{b}$ segaris berlaku $ \vec{a}=k \cdot \vec{b}$. Sehingga dapat kita peroleh:

$\begin{align} \vec{a} & =k \cdot \vec{b} \\ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ x \end{bmatrix}\ &= k \cdot \begin{bmatrix} -6 \\ y \\ 12 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ x \end{bmatrix}\ &= \begin{bmatrix} -6k \\ yk \\ 12k \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh:

• $2=-6k \rightarrow k=-\frac{1}{3}$,
• $-1=yk \rightarrow y=3$, dan
• $x=12k \rightarrow x=-4$

Diketahui tiga titik yang segaris (kolinier) yaitu $A(2, –1, p)$, $B(8, –9, 8)$ dan $C(q, 3, 2)$. Tentukanlah nilai $p$ dan $q$

Alternatif Pembahasan:

Syarat tiga titik $A,\ B,$ dan $C$ segaris berlaku $ \vec{AB}=k \cdot \vec{AC}$. Sehingga dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{bmatrix} 8-2 \\ -9-(-1) \\ 8-p \end{bmatrix} & =k \cdot \begin{bmatrix} q-2 \\ 3-(-1) \\ 2-p \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 8-p \end{bmatrix} & = k \cdot \begin{bmatrix} q-2 \\ 4 \\ 2-p \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 8-p \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} k \left(q-2 \right) \\ 4k \\ k \left( 2-p \right) \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh:

• $-8=4k \rightarrow k=-2$,
• $6=k \left(q-2 \right) \rightarrow q=-1$, dan
• $8-p=k \left( 2-p \right) \rightarrow p=4$

---

Soal Latihan Perbandingan Vektor

Untuk menambah pemahaman kita terkait Perbandingan Vektor ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Perbandingan Vektorr Matematika SMA dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Soal latihan Perbandingan Vektor berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :	22 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Lukislah ruas garis $AB$ yang panjangnya $6\ cm$. Kemudian tentukanlah letak titik $P$ pada ruas garis $AB$ tersebut, jika:

1. $\vec{AP}:\vec{PB}=2 : 1$
   
   Alternatif Pembahasan:

   Untuk perbandingan $\vec{AP}:\vec{PB}=2 : 1$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   
2. $\vec{AP}:\vec{PB}=-2 : 1$
   
   Alternatif Pembahasan:

   Untuk perbandingan $\vec{AP}:\vec{PB}=-2 : 1$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   
3. $\vec{AP}:\vec{PB}= 2 : -1$
   
   Alternatif Pembahasan:

   Untuk perbandingan $\vec{AP}:\vec{PB}= 2 : -1$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   
4. $\vec{AP}:\vec{PB}= -2 : 3$
   
   Alternatif Pembahasan:

   Untuk perbandingan $\vec{AP}:\vec{PB}=-2 : 3$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   
5. $\vec{AB}:\vec{PB}= 3 : 1$
   
   Alternatif Pembahasan:

   Untuk perbandingan $\vec{AB}:\vec{PB}=3 : 1$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   
6. $\vec{AB}:\vec{BP}= 1 : -3$
   
   Alternatif Pembahasan:

   Untuk perbandingan $\vec{AB}:\vec{BP}= 1 : -3$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   
7. $\vec{BA}:\vec{PB}= -2 : 1$
   
   Alternatif Pembahasan:

   Untuk perbandingan $\vec{BA}:\vec{PB}=-2 : 1$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   
8. $\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{AB} $
   
   Alternatif Pembahasan:

   Dengan $\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{AB}$ kita peroleh perbandingan $\vec{AP}:\vec{AB}=1 : 3$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   
9. $\vec{AP}=3\vec{PB} $
   
   Alternatif Pembahasan:

   Dengan $\vec{AP}=3\vec{PB}$ kita peroleh perbandingan $\vec{AP}:\vec{PB}=3 : 1$, letak titik $P$ adalah seperti berikut ini:

   

2. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Jika $\vec{OD} : \vec{DB} = 1 : 2$ dan $E$ ditengah-tengah $\vec{OA}$, maka perbandingan dari $\vec{CD} : \vec{DE} = \cdots$

$(A)\ 2 : 1 $

$(B)\ 3 : 2 $

$(C)\ 5 : 2 $

$(D)\ 3 : 1 $

$(E)\ 4 : 3 $

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar jajar genjang $OABC$ di atas kita peroleh $\vec{CB} \parallel \vec{ OA }$ dan $\angle ODE=\angle BDC$ (sudut bertolak belakang) sehingga dapat juga kita peroleh bahwa $\angle DCB=\angle DEO$ dan $\angle DBC=\angle DOE$.

Karena besar ketiga sudut dalam $\bigtriangleup ODE$ dan $\bigtriangleup BCD$ sama maka $\bigtriangleup ODE$ dan $\bigtriangleup BCD$ adalah sebangun, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{\vec{OD}}{\vec{DE}} &=\dfrac{\vec{DB}}{\vec{CD}} \\ \dfrac{\vec{1}}{\vec{DE}} &=\dfrac{2}{CD} \\ \dfrac{\vec{CD}}{\vec{DE}} &=\dfrac{2}{1} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2 : 1$

3. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Misalkan $\vec{p}$ adalah vektor posisi dari titik $P$ dan $\vec{q}$ adalah vektor posisi dari titik $Q$ serta $R$ adalah titik pada $PQ$ sehingga berlaku perbandingan $\vec{PR} : \vec{RQ} = -3 : 1$, maka vektor $\vec{r}$ dapat dinyatakan sebagai...

$(A)\ \frac{1}{3} \left( 2 \vec{p}- \vec{q} \right) $

$(B)\ \frac{1}{3} \left( \vec{p}-2\vec{q} \right) $

$(C)\ \frac{1}{2} \left( 3 \vec{p}- 2\vec{q} \right) $

$(D)\ \frac{1}{2} \left( 3\vec{p}- \vec{q} \right) $

$(E)\ \frac{1}{2} \left( 3 \vec{q}- \vec{p} \right) $

Alternatif Pembahasan:

Dari perbandingan yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{PR} : \vec{RQ} &= -3 : 1 \\ \vec{RP} : \vec{RQ} &= 3 : 1 \\ \vec{RP} &= 3\vec{RQ} \\ \vec{p}-\vec{r} &= 3 \left( \vec{q}-\vec{r} \right) \\ \vec{p}-\vec{r} &=3\vec{q}-3\vec{r} \\ 3\vec{r}-\vec{r} &=3\vec{q}- \vec{p} \\ 2\vec{r} &=3\vec{q}- \vec{p} \\ \vec{r} &=\frac{1}{2}\left( 3\vec{q}- \vec{p} \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{2} \left( 3 \vec{q}- \vec{p} \right)$

4. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Jika titik $P$ terletak pada ruas garis $AB$ sehingga $\vec{AP} : \vec{PB} = –2 : 3$, maka vektor $\vec{b}$ dapat dinyatakan sebagai...

$(A)\ 3\vec{a}-2\vec{p} $

$(B)\ \frac{1}{2} \left( 3 \vec{a}-2\vec{p} \right) $

$(C)\ \frac{1}{2} \left( 3 \vec{a}- \vec{p} \right) $

$(D)\ \frac{1}{3} \left( \vec{a}-2\vec{p} \right) $

$(E)\ \frac{1}{3} \left( 2 \vec{a}- 3\vec{p} \right) $

Alternatif Pembahasan:

Dari perbandingan yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AP} : \vec{PB} &= –2 : 3 \\ 3\vec{AP} &= –2 \vec{PB} \\ 3 \left( \vec{p}-\vec{a} \right) &= – 2 \left( \vec{b}-\vec{p} \right) \\ 3\vec{p}-3\vec{a} &= – 2\vec{b}+2\vec{p} \\ 3\vec{p}-3\vec{a} - 2\vec{p} &= – 2\vec{b} \\ \vec{p}-3\vec{a} &= – 2\vec{b} \\ -\frac{1}{2}\left( \vec{p}-3\vec{a} \right) &= \vec{b} \\ \frac{1}{2}\left( 3\vec{a}-\vec{p} \right) &= \vec{b} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2}\left( 3\vec{a}-\vec{p} \right)$

5. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui titik $A$, $B$, dan $C$ terletak pada satu garis lurus. Jika $\vec{AB}=\frac{1}{3}\vec{AC}$ maka vektor posisi $\vec{b}$ dapat dinyatakan sebagai...

$(A)\ \frac{1}{3} \left(2\vec{a}+\vec{c} \right) $

$(B)\ \frac{1}{2} \left( \vec{a}-3\vec{b} \right) $

$(C)\ \frac{1}{3} \left( \vec{a} + 2\vec{b} \right) $

$(D)\ \frac{1}{2} \left( 3\vec{b}- \vec{a} \right) $

$(E)\ \frac{1}{2} \left( \vec{a} + 2\vec{c} \right) $

Alternatif Pembahasan:

Dari perbandingan yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AB} &= \frac{1}{3}\vec{AC} \\ 3 \vec{AB} &= \vec{AC} \\ 3 \left(\vec{b}-\vec{a} \right) &= \vec{c}-\vec{a} \\ 3\vec{b}-3\vec{a} &= \vec{c}- \vec{a} \\ 3\vec{b} &= \vec{c}- \vec{a}+3\vec{a} \\ \vec{b} &=\frac{1}{3}\left( \vec{c} + 2 \vec{a} \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3} \left(2\vec{a}+\vec{c} \right)$

6. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui koordinat $A(2, 1, 5)$ dan $B(8, -8, 5)$ serta titik $P$ membagi $AB$ di dalam dengan perbandingan $2 : 1$. Koordinat titik $P$ adalah...

$(A)\ P\left(5, 4, 11 \right) $

$(B)\ \left(3, 2, 10 \right) $

$(C)\ \left( -3, 5, 7 \right) $

$(D)\ \left( 6, -5, 5 \right) $

$(E)\ \left( 4, -2, 5 \right) $

Alternatif Pembahasan:

Titik $P$ membagi $AB$ di dalam dengan perbandingan $2 : 1$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AP} : \vec{PB} &= 2 : 1 \\ \vec{AP} &= 2 \vec{PB} \\ \left( \vec{p}-\vec{a} \right) &= 2 \left( \vec{b}-\vec{p} \right) \\ \vec{p} &= 2\vec{b}-2\vec{p} + \vec{a} \\ 3\vec{p} &= 2\vec{b}+ \vec{a} \\ 3\vec{p} &= 2 \begin{bmatrix} 8 \\ -8 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} \\ 3 \vec{p} &= \begin{bmatrix} 16 \\ -16 \\ 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} \\ 3 \vec{p} &= \begin{bmatrix} 16+2 \\ -16+1 \\ 10+5 \end{bmatrix} \\ \vec{p} &= \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 18 \\ -15 \\ 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -5 \\ 5 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left(6, -5, 5 \right)$

7. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Titik $M \left(5, -2, 3 \right)$ dan $N \left(1, 4, 8 \right)$ serta titik $P$ adalah tiga titik yang segaris. Jika berlaku $PM : MN = 2 : 1$, maka koordinat titik $P$ adalah...

$(A)\ \left(12, -10, 8 \right) $

$(B)\ \left(13, -14, -7 \right) $

$(C)\ \left( 10, 12, 8 \right) $

$(D)\ \left(14, -10, 9 \right) $

$(E)\ \left(10, -12, 9 \right) $

Alternatif Pembahasan:

Dari perbandingan yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{PM} : \vec{MN} &= 2 : 1 \\ \vec{PM} &= 2 \vec{MN} \\ \left( \vec{m}-\vec{p} \right) &= 2 \left( \vec{n}-\vec{m} \right) \\ - \vec{p} &= 2\vec{n}-3\vec{m} \\ \vec{p} &= 3\vec{m}-2\vec{n} \\ \vec{p} &= 3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} -2 \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{bmatrix} \\ \vec{p} &= \begin{bmatrix} 15 \\ -6 \\ 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 8 \\ 16 \end{bmatrix} \\ \vec{p} &= \begin{bmatrix} 13 \\ -14 \\ -7 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left(13, -14, -7 \right)$

8. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui tiga titik yang segaris yaitu titik $A \left(4, -1, 3 \right)$ dan $B \left(-2, 2, -6 \right)$ serta $\vec{AC}=\frac{2}{3}\vec{AB}$, maka koordinat titik $C$ adalah...

$(A)\ \left(1, 2, -3 \right) $

$(B)\ \left(0, 1 , -3 \right) $

$(C)\ \left( 2, 3, 0 \right) $

$(D)\ \left( 6, -1, 8 \right) $

$(E)\ \left( -3, 2, 6 \right) $

Alternatif Pembahasan:

Dari perbandingan yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AC} &= \frac{2}{3}\vec{AB} \\ 3\vec{AC} &= 2 \vec{AB} \\ 3\left( \vec{c}-\vec{a} \right) &= 2 \left( \vec{b}-\vec{a} \right) \\ 3\vec{c}-3\vec{a} &= 2\vec{b}- 2\vec{a} \\ 3\vec{c} &= 2\vec{b} - 2\vec{a} + 3\vec{a} \\ \vec{c} &= 2\vec{b} + \vec{a} \\ 3 \vec{c} &= 2 \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \\ 3 \vec{c} &= \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \\ -12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \\ 3 \vec{c} &= \begin{bmatrix} -4+4 \\ 4-1 \\ -12+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \end{bmatrix} \\ \vec{c} &= \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left(0, 1, -3 \right)$

9. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui koordinat $A(2, 4, 1)$ dan $B(3, 5, 2)$, Jika $C$ pada $AB$ sehingga $AC : BC=2 : 4$, maka koordinat $C$ adalah...

$(A)\ P\left(-3, 5, 3 \right) $

$(B)\ \left(3, 2, 0 \right) $

$(C)\ \left( -1, 2, 1 \right) $

$(D)\ \left( 1, 3, 0 \right) $

$(E)\ \left( 4, 6, 3 \right) $

Alternatif Pembahasan:

Dari perbandingan yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AC} : \vec{BC} &= 2 : 4 \\ 4\vec{AC} &= 2 \vec{BC} \\ 2\vec{AC} &= \vec{BC} \\ 2\left( \vec{c}-\vec{a} \right) &= \left( \vec{c}-\vec{b} \right) \\ 2\vec{c}-2\vec{a} &= \vec{c}- \vec{b} \\ 2\vec{c}-\vec{c} &= 2\vec{a} - \vec{b} \\ \vec{c} &= 2\vec{a} - \vec{b} \\ \vec{c} &= 2 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix} \\ \vec{c} &= \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix} \\ \vec{c} &= \begin{bmatrix} 4-3 \\ 8-5 \\ 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left(1, 3, 0 \right)$

10. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui $\vec{OP} = \vec{p}$ dan $\vec{OR} = \vec{r}$. Jika berlaku $\vec{PS} : \vec{SR} = 1 : 3$ maka $\vec{SQ} = \cdots$

$(A)\ \frac{1}{3} \left( 2 \vec{p} + \vec{r} \right) $

$(B)\ \frac{1}{4} \left( \vec{r}-3\vec{p} \right) $

$(C)\ \frac{1}{4} \left( 3 \vec{p} + \vec{r} \right) $

$(D)\ \frac{1}{3} \left( 2 \vec{p}+3\vec{r} \right) $

$(E)\ \frac{1}{4} \left( 2 \vec{p}+ \vec{r} \right) $

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar segitiga $OPR$ di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{OS} &=\dfrac{3 \cdot \vec{OP} + 1 \cdot \vec{OR}}{3+1} \\ \vec{s} &=\dfrac{3 \cdot \vec{p} + \vec{r}}{4} \\ \vec{s} &=\frac{3}{4}\vec{p} + \frac{1}{4}\vec{r} \end{align}$

Dengan cara yang sama seperti di atas kita gunakan pada $\vec{SQ}$, kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{SQ} &=\dfrac{1 \cdot \vec{SO} + 1 \cdot \vec{SR}}{1+1} \\ &=\dfrac{-\vec{s} + \vec{r}-\vec{s}}{2} \\ &=\dfrac{-2\vec{s} + \vec{r} }{2} \\ &=-\vec{s} + \frac{1}{2}\vec{r} \\ &=- \left( \frac{3}{4}\vec{p} + \frac{1}{4}\vec{r} \right) + \frac{1}{2}\vec{r} \\ &=-\frac{3}{4}\vec{p} - \frac{1}{4}\vec{r} + \frac{1}{2}\vec{r} \\ &=-\frac{3}{4}\vec{p} + \frac{1}{4}\vec{r} \\ &=\frac{1}{4} \left( -3\vec{p} + \vec{r} \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{4} \left( \vec{r}-3\vec{p} \right)$

11. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Pada persegi panjang $PQRS$ seperti gambar, diketahui $\vec{SA} = \vec{AP}$ maka $\vec{AR} = \cdots$

$(A)\-\vec{r} + \vec{s}-\vec{q} $

$(B)\ -\vec{r}- \vec{s}-\frac{1}{2} \vec{q} $

$(C)\ \vec{r} - 2 \vec{s} - \vec{q} $

$(D)\ -\vec{r}+2\vec{s}+\frac{1}{2} \vec{q} $

$(E)\ \frac{3}{2}\vec{r}- \vec{s}-\frac{1}{2}\vec{q} $

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar persegi panjang $PQRS$ di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AR} &= \frac{\vec{AS} + \vec{SR}}{2} \\ \vec{AR} &= \frac{1}{2} \left( \vec{AS} + \vec{SR} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \vec{PQ}+\vec{QR} + \vec{SR} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \vec{q}-\vec{p}+\vec{r} - \vec{q}+\vec{r}-\vec{s} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( -\vec{p}+2\vec{r} - \vec{s} \right) \\ &= -\frac{1}{2}\vec{p}+ \vec{r} -\frac{1}{2} \vec{s} \end{align}$

Bentuk di atas, tidak ada pada pilihan. Kita coba ubah dengan bentuk lain.
$\begin{align}
\vec{AR} &= \vec{AP} + \vec{PR} \\ &= \frac{1}{2} \vec{SP}+\vec{PS} + \vec{SR} \\ &= \frac{1}{2} \vec{RQ}+\vec{QR}+\vec{SR} \\ &= \frac{1}{2} \left( \vec{q}-\vec{r} \right) + \vec{r}-\vec{q}+\vec{r}-\vec{s} \\ &= \frac{1}{2} \vec{q}-\frac{1}{2}\vec{r} + 2\vec{r}-\vec{q} -\vec{s} \\ &= \frac{3}{2} \vec{r}-\frac{1}{2}\vec{q} -\vec{s} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{3}{2}\vec{r}- \vec{s}-\frac{1}{2}\vec{q}$

12. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Pada persegi panjang $PQRS$ seperti gambar, persamaan vektor $\vec{r}$ dalam $\vec{p}$, $\vec{q}$ dan $\vec{r}$ adalah...

$(A)\ \vec{p} + \vec{s}-\vec{q} $

$(B)\ \vec{s}- \vec{q}- \vec{p} $

$(C)\ \vec{q} + \vec{s} - \vec{p} $

$(D)\ \vec{p}-\vec{s}+ \vec{q} $

$(E)\ \vec{p}- \vec{q}- \vec{s} $

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar persegi panjang $PQRS$ di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{OR} &= \vec{OQ} + \vec{QR} \\ &= \vec{OQ}+ \vec{PS} \\ &= \vec{q}+ \vec{s} - \vec{p} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \vec{q} + \vec{s} - \vec{p}$

13. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Pada segitiga $ABC$, titik $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah titik tengah $AB$ dan $BC$. Pernyataan yang benar adalah...

$(A)\ \vec{PQ}=\frac{1}{2} \vec{AC} $

$(B)\ \vec{PQ}=\frac{2}{3} \vec{AC} $

$(C)\ \vec{AP}= \vec{BQ} $

$(D)\ \vec{AP}=2 \vec{BQ} $

$(E)\ \vec{PC}=2 \vec{AQ} $

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar segitiga $ABC$ di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{PQ} &=\dfrac{1 \cdot \vec{PC} + 1 \cdot \vec{PB}}{1+1} \\ &=\frac{1}{2} \vec{PC}+\frac{1}{2} \vec{PB} \\ &=\frac{1}{2} \left( \vec{PB}+\vec{BC} \right) +\frac{1}{2} \vec{PB} \\ &=\frac{1}{2} \vec{PB}+ \frac{1}{2}\vec{BC} +\frac{1}{2} \vec{PB} \\ &= \vec{PB}+ \frac{1}{2}\vec{BC} \\ &= \frac{1}{2}\vec{AB}+ \frac{1}{2}\vec{BC} \\ &= \frac{1}{2} \left( \vec{AB}+ \vec{BC} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( AC \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \vec{PQ}=\frac{1}{2} \vec{AC}$

14. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui titik $P \left( 2,-5,-1\right)$ dan $Q \left( 6,-1,7\right)$. Jika $A$ titik tengah $\vec{PQ}$ maka vektor posisi $\vec{a}=\cdots$

$(A)\ 4\vec{i}-3\vec{j}+3\vec{k} $

$(B)\ 2\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k} $

$(C)\ 3\vec{i}-6\vec{j}+2\vec{k} $

$(D)\ 8\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k} $

$(E)\ 2\vec{i}-5\vec{j}-3\vec{k} $

Alternatif Pembahasan:

Titik $A$ adalah titik tengah $\vec{PQ}$ sehingga $\vec{PA}:\vec{AQ}=1:1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{OA} &=\dfrac{1 \cdot \vec{OP} + 1 \cdot \vec{OQ}}{1+1} \\ \vec{a} &=\dfrac{\vec{OP} + \vec{OQ}}{2} \\ &=\frac{1}{2} \left( \vec{OP}+ \vec{OQ} \right) \\ &=\frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 \\ -1 \\ 7 \end{bmatrix} \right) \\ &=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2+6 \\ -5-1 \\ -1+7 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8 \\ -6 \\ 6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix}= 4\vec{i}-3\vec{j}+3\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\vec{i}-3\vec{j}+3\vec{k}$

15. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Pada kubus $ABCD.EFGH$ diketahui titik $A(1, 3, -2)$, $B(7, 3, -2)$, $D(1, 9, -2)$ dan $E(1, 3, 4)$. Persamaan vektor yang bertitik tangkap di $B$ dan berujung di pertengahan $DH$ adalah...

$(A)\ -6\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k} $

$(B)\ 6\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k} $

$(C)\ -6\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k} $

$(D)\ 3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k} $

$(E)\ 8\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k} $

Alternatif Pembahasan:

Titil awal vektor adalah $B(7, 3, -2)$ dan titik ujung vektor adalah pertengahan $DH$, jika kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar kubus $ABCD.EFGH$ di atas kita peroleh titik $D(1,9,-2)$ $H(1,9,4)$, maka dapat kita peorleh:
$\begin{align}
\text{titik tengah}\ \vec{DH} &= \left( \frac{1}{2} (1+1), \frac{1}{2} (9+9), \frac{1}{2} (-2+4) \right)\\ &= \left( 1, 9, 1 \right) \\ \hline \vec{x} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ 1 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 7 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \\ \vec{x} &= \begin{bmatrix} 1-7 \\ 9-3 \\ 1-(-2) \end{bmatrix} \\ \vec{x} &= \begin{bmatrix} -6 \\ 6 \\ 3 \end{bmatrix}= -6\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -6\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}$

16. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui $\vec{AB}=\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ dan $\vec{BC}=\begin{bmatrix} -2 \\ 10 \\ 18 \end{bmatrix}$. Jika titik $P$ titik tengah $\vec{BC}$ maka persamaan vektor $\vec{AP}$ adalah...

$(A)\ -3\vec{i}+9\vec{j}+14\vec{k} $

$(B)\ -3\vec{i}-6\vec{j}+2\vec{k} $

$(C)\ 2\vec{i}+9\vec{j}-2\vec{k} $

$(D)\ 4\vec{i}+6\vec{j}+2\vec{k} $

$(E)\ \vec{i}-3\vec{j}+7\vec{k} $

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan keadaan titik $A$, $B$ dan $C$ di atas adalah seperti berikut ini:

Titik $A$ adalah titik tengah $\vec{PQ}$ sehingga $\vec{PA}:\vec{AQ}=1:1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AP} &=\dfrac{1 \cdot \vec{AB} + 1 \cdot \vec{AC}}{1+1} \\ \vec{AP} &=\dfrac{1 +}{2} \left( \vec{AB}+ \vec{AC} \right) \\ &=\frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} + \vec{AB}+\vec{AC} \right) \\ &=\frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2 \\ 10 \\ 18 \end{bmatrix} \right) \\ &=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2-2-2 \\ 4+4+10 \\ 5+5+18 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -6 \\ 18 \\ 28 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3 \\ 9 \\ 14 \end{bmatrix}= -3\vec{i}+9\vec{j}+14\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3\vec{i}+9\vec{j}+14\vec{k}$

17. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Jika diketahui $A(-6, 14, 10)$, $B(2, 6, 6)$, dan $C(6, 2, 4)$, maka perbandingan $\vec{AB}:\vec{BC}=\cdots$

$(A)\ -2 : 3 $

$(B)\ 2 : 1 $

$(C)\ 3 : 2 $

$(D)\ -2 : 1 $

$(E)\ 1 : 2 $

Alternatif Pembahasan:

Dari koordinat yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AB}:\vec{BC} &= \begin{bmatrix} 2-(-6) \\ 6-14 \\ 6-10 \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 6-2 \\ 2-6 \\ 4-6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 8 \\ -8 \\ -4 \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= 2 \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix} : 1 \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= 2 : 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2:1$

18. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Jika diketahui $A(-6, 14, 10)$, $B(2, 6, 6)$, dan $C(6, 2, 4)$, maka perbandingan $\vec{AC}:\vec{CB}=\cdots$

$(A)\ -1 : 3 $

$(B)\ 2 : -3 $

$(C)\ -3 : 1 $

$(D)\ 3 : 2 $

$(E)\ 1 : 3 $

Alternatif Pembahasan:

Dari koordinat yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AC}:\vec{CB} &= \begin{bmatrix} 6-(-6) \\ 2-14 \\ 4-10 \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 2-6 \\ 6-2 \\ 6-4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 12 \\ -12 \\ -6 \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \\ &= -3 \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} : 1 \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= -3 : 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3:1$

19. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Agar vektor $\vec{a}=\begin{bmatrix} x-1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ dan $\vec{b}=\begin{bmatrix} 6 \\ y \\ 9 \end{bmatrix}$ terletak pada satu garis lurus, maka nilai $x+y=\cdots$

$(A)\ 8 $

$(B)\ 10 $

$(C)\ 14 $

$(D)\ 15 $

$(E)\ 18 $

Alternatif Pembahasan:

Agar kedua vektor segaris maka berlaku:
$\begin{align}
\vec{a} &= k \cdot \vec{b} \\ \begin{bmatrix} x-1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} &= k \cdot \begin{bmatrix} 6 \\ y \\ 9 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x-1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 6k \\ yk \\ 9k \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh:

• $9k=3 \rightarrow k=\frac{1}{3}$,
• $x-1=6k \rightarrow x=3$,
• $4=yk \rightarrow y=12$, dan
• nilai $x+y=15$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 15$

20. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui $P\left( 7,2,-1 \right)$, $Q\left( 5,-2,1 \right)$ dan $R\left( 4,a,b \right)$. Jika $P,\ Q,$ dan $R$ tiga titik yang segaris maka nilai $a+b=\cdots$

$(A)\ -5 $

$(B)\ -2 $

$(C)\ 3 $

$(D)\ 6 $

$(E)\ 8 $

Alternatif Pembahasan:

Syarat tiga titik $P,\ Q,$ dan $R$ segaris berlaku $ \vec{PQ}=k \cdot \vec{PR}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{bmatrix} 5-7 \\ -2-2 \\ 1-(-1) \end{bmatrix} & =k \cdot \begin{bmatrix} 4-7 \\ a-2 \\ b-(-1) \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} & = k \cdot \begin{bmatrix} -3 \\ a-2 \\ b+1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -3k \\ k \left(a-2 \right) \\ k \left( b+1 \right) \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh:

• $-2=-3k \rightarrow k=\frac{2}{3}$,
• $-4=k \left(a-2 \right) \rightarrow a=-4$,
• $2=k \left( b+1 \right) \rightarrow b=2$, dan
• nilai $a+b=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$

21. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui $\vec{PQ}=\left( 2\ 0\ 4 \right)$ dan $\vec{PR}=\left( 1\ 1\ 2 \right)$. Jika $\vec{PS}=\frac{1}{2}\vec{PQ}$ maka vektor $\vec{RS}=\cdots$

$(A)\ \left( 0\ -1\ 0 \right) $

$(B)\ \left( -2\ 0\ 3 \right) $

$(C)\ \left( 3\ 2\ 1 \right) $

$(D)\ \left( 0\ 0\ 4 \right) $

$(E)\ \left( 5\ -1\ 3 \right) $

Alternatif Pembahasan:

Dari $\vec{PS}=\frac{1}{2}\vec{PQ}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{PS} & =\frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} \\ PS & = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \\ \hline \vec{RS} & = \vec{RP}+\vec{PS} \\ & = -\vec{PR}+\vec{PS} \\ & = -\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+1 \\ -1+0 \\ -2+2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( 0\ -1\ 0 \right)$

22. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Diketahui $A(1, 2, 3)$, $B(3, 3, 1)$, dan $C(7, 5, -3)$. Jika $A,\ B,\ C$ segaris (kolinear), maka perbandingan $\vec{AB}:\vec{BC}=\cdots$

$(A)\ 1 : 2 $

$(B)\ 2 : 1 $

$(C)\ 2 : 5 $

$(D)\ 5 : 7 $

$(E)\ 7 : 5 $

Alternatif Pembahasan:

Dari koordinat yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AB}:\vec{BC} &= \begin{bmatrix} 3-1 \\ 3-2 \\ 1-3 \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 7-3 \\ 5-3 \\ -3-1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{bmatrix} \\ &= 1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} : 2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= 1 : 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1:2$

23. Soal Latihan Perbandingan Vektor

Vektor posisi dari masing-masing titik $P$ dan $Q$ terhadap titik pusat $O$ adalah $\vec{a}-3\vec{b}$ dan $2\vec{b}- \vec{a}$. Tentukanlah vektor posisi dari titik $R$ dalam bentuk $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sedemikian sehingga $\vec{PR}=3\vec{QR}$!

$(A)\ \dfrac{9}{2}\vec{a}+2\vec{b} $

$(B)\ \dfrac{9}{2}\vec{a}-2\vec{b} $

$(C)\ \dfrac{9}{2}\vec{b}+2\vec{a} $

$(D)\ \dfrac{9}{2}\vec{b}- \vec{a} $

$(E)\ \dfrac{9}{2}\vec{b}-2\vec{a} $

Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{PR} &= 3 \vec{QR} \\ \vec{r}-\vec{p} &= 3 \left( \vec{r}-\vec{q} \right) \\ \vec{r}-\vec{p} &= 3 \vec{r}- 3 \vec{q} \\ \vec{r}-3 \vec{r} &= \vec{p} - 3 \vec{q} \\ -2\vec{r} &= \vec{p}- 3\vec{q} \\ \vec{r} &= -\dfrac{1}{2}\vec{p}+ \dfrac{3}{2}\vec{q} \\ \vec{r} &= -\dfrac{1}{2} \left( \vec{a}-3\vec{b} \right) + \dfrac{3}{2} \left( 2\vec{b}-\vec{a} \right) \\ \vec{r} &= -\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{3}{2}\vec{b} + 3\vec{b}-\dfrac{3}{2}\vec{a} \\ \vec{r} &= \dfrac{9}{2}\vec{b}-2\vec{a} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{9}{2}\vec{b}-2\vec{a}$

Latihan soal merupakan salah satu cara terbaik untuk memperkuat pemahaman konsep. Melalui soal latihan dan pembahasan Perbandingan Vektor ini, diharapkan siswa dapat lebih percaya diri dan terarah dalam belajar.

Catatan Perbandingan Vektor di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.

Albert Einstein