Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Penerapan Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar yang dilengkapi dengan pembahasan soal latihan. Agar lebih mudah belajar penerapan integral tak tentu fungsi aljabar ini, ada baiknya kita sudah belajar tentang integral tak tentu fungsi aljabar.
Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk:
\begin{align} \int f(x)dx & = F(x)+c \end{align}
Pada catatan Aturan Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar kita sudah peroleh beberapa aturan dasar pada integral tak tentu, antara lain:
- $f(x)=\int f'(x)\ dx$
- $\int dx= x + c$
- $\int k\ dx= kx + c$
- $\int x^{n}\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$
- $\int kx^{n}\ dx= \frac{k}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
- $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
- $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
- $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
Integral tak tentu dapat diterapkan dalam memecahkan beberapa permasalahan, baik dibidang matematika, fisika, kimia, ekonomi ataupun pada permasalahan sehari-hari lainnya. Beberapa contoh penerapan tersebut, diantaranya adalah:
- Menentukan fungsi $f(x)$ jika $f'(x)$ dan $f(a)$ diketahui;
- Menentukan persamaan kurva jika diketahui gradien garis singgung dan titik singgungnya;
- Menentukan jarak, kecepatan dan percepatan gerak suatu benda. Dimana kita ketahui berlaku hubungan:
$s(t)=\int v(t)\ dt$ dan $v(t)=\int a(t)\ dt$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR
Soal-soal integral yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Integral Tak tentu Fungsi Aljabar.
Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Penerapan Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Jika diketahui $f'(x)=6x^{2}+2x$ dan $f(1)=-3$ maka $f(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f'(x)=6x^{2}+2x$ dan $f(1)=-3$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \int \left( 6x^{2}+2x \right)\ dx\\
&= \frac{6}{2+1}x^{2+1}+\frac{2}{1+1}x^{1+1} +c \\
f(x) &= 2x^{3}+ x^{2} +c \\
\hline
f(1) &= 2(1)^{3}+ (1)^{2} +c \\
-3 &= 2 + 1 +c \\
-3 &=3+ c \longrightarrow c=-6 \\
\hline
f(x) &= 2x^{3}+ x^{2} -6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x^{3}+x^{2}-6$
2. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Jika diketahui $y'=4x-3$ dan untuk $x=2$ diperoleh nilai $y=7$ maka fungsi $y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $y'=4x-3$ dan untuk $x=2$ diperoleh nilai $y=7$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \int \left( 4x-3 \right)\ dx\\
&= \frac{4}{1+1}x^{1+1}-3x +c \\
y &= 2x^{2}-3x +c \\
\hline
x=2 &\longrightarrow y=7 \\
\hline
7 &= 2(2)^{2}-3(2) +c \\
7 &= 8-6 +c \\
7 &= 2+c \longrightarrow c=5 \\
\hline
y &= 2x^{2} -3x +5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x^{2} -3x +5$
3. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Jika $f'(x)=3x^{2}-6x+k$ dan nilai $f(-1)=-6$ serta $f(2)=-6$ maka $f(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f'(x)=3x^{2}-6x+k$ dan nilai $f(-1)=-6$ serta $f(2)=6$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \int \left( 3x^{2}-6x+k \right)\ dx\\
&= \frac{3}{2+1}x^{2+1}-\frac{6}{1+1}x^{1+1} +kx+c \\
f(x) &= x^{3}- 3x^{2} +kx+c \\
\hline
f(-1) &= (-1)^{3}- 3(-1)^{2}+k(-1) +c \\
-6 &= -1 - 3 -k+c \\
k-2 &= c \\
\hline
f(2) &= (2)^{3}- 3(2)^{2}+k(2) +c \\
6 &= 8 - 12 +2k+c \\
10-2k &= c \\
10-2k &= k-2 \\
10+2 &= k+2k \\
12 &= 3k \longrightarrow k=4
\end{align}$
Untuk $k=4$ kita peroleh $c=k-2=2$ sehingga:
$\begin{align}
f(x) &= x^{3}- 3x^{2} +kx+c \\
f(x) &= x^{3}- 3x^{2} +4x+2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{3}- 3x^{2} +4x+2$
4. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Persamaan kurva $y =f(x)$ memenuhi syarat bahwa $\dfrac{dy}{dx}=2x-\dfrac{1}{x^{2}}$ dan kurva tersebut melalui titik $(1,4)$. Persamaan kurva itu adalah $f(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\dfrac{dy}{dx}=2x-\dfrac{1}{x^{2}}$ dan kurva tersebut melalui titik $(1,4)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \int \left( 2x-\dfrac{1}{x^{2}} \right)\ dx\\
&= \int \left( 2x- x^{-2} \right)\ dx\\
&= \frac{2}{1+1}x^{1+1}-\frac{1}{-2+1}x^{-2+1} +c \\
y &= x^{2}+x^{-1} +c \\
\hline
x=1 &\longrightarrow y=4 \\
4 &= (1)^{2}+(1)^{-1} +c \\
4 &= 1+1 +c \longrightarrow c=2 \\
\hline
y &= x^{2}+x^{-1} +c \\
y &= x^{2}+\dfrac{1}{x} +2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{2}+\dfrac{1}{x} +2$
5. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Persamaan kurva yang memepunyai gradien garis singgung $m =\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{x} \left(15x-3 \right)$ dan kurva tersebut melalui titik $(1,6)$. Persamaan kurva tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $m =\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{x} \left(15x-3 \right)$ dan kurva tersebut melalui titik $(1,6)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \int \sqrt{x} \left(15x-3 \right)\ dx\\
&= \int \left(15x^{\frac{3}{2}}-3x^{\frac{1}{2}} \right)\ dx\\
&= \frac{15}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}-\frac{3}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} +c \\
&= \frac{15}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}-\frac{3}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} +c \\
y &= 6x^{\frac{5}{2}}-2x^{\frac{3}{2}} +c \\
\hline
x=1 &\longrightarrow y=6 \\
6 &= 6(1)^{\frac{5}{2}}-2(1)^{\frac{3}{2}} +c \\
6 &= 6-2 +c \longrightarrow c=2 \\
\hline
y &= 6x^{\frac{5}{2}}-2x^{\frac{3}{2}} +c \\
y &= 6x^{2}\sqrt{x}-2x\sqrt{x}+2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6x^{2}\sqrt{x}-2x\sqrt{x}+2$
6. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Pada setiap titik $(x, y)$ dari sebuah kurva, gradien garis singgungnya ditentukan oleh rumus $\dfrac{dy}{dx}=2\left( 3-x \right)$. Jika nilai maksimum untuk $y$ adalah $5$, maka persamaan kurva tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\dfrac{dy}{dx}=2\left( 3-x \right)$ dan nilai maksimum untuk $y$ adalah $5$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \int 2\left( 3-x \right)\ dx\\
&= \int \left( 6-2x \right)\ dx\\
&= 6x-\frac{2}{1+1}x^{1+1} +c \\
y &= 6x- x^{2} +c
\end{align}$
Nilai maksimum untuk $y$ adalah $5$ dan nilai maksimum diperoleh saat $y'=0$, sehingga kita peroleh $6-2x=0 \longrightarrow x=3$.
$\begin{align}
y &= 6x- x^{2} +c \\
5 &= 6(3)- (3)^{2} +c \\
5 &= 18- 9 +c \\
5 &= 9 +c\ \longrightarrow c=-4 \\
\hline
y &= 6x- x^{2} -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=6x- x^{2} -4$
7. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Diketahui $f''(x) = 12x – 12$ adalah turunan kedua dari $f(x)$ dan untuk $x = 2$ fungsi $f'(x)$ bernilai $8$. Sedangkan untuk $x = 1$ fungsi $f (x)$ bernilai $1$. Maka fungsi $f(x) =\cdots$...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f''(x) = 12x – 12$ dan $f'(2)=8$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) &= \int \left( 12x – 12 \right)\ dx\\
&= 6x^{2}-12x + c \\
\hline
& f'(2)=8 \\
\hline
8 &= 6(2)^{2}-12(2) + c \\
8 &= 24-24 + c \longrightarrow c=8
\end{align}$
Kita peroleh $f'(x)= 6x^{2}-12x + 8$ dan $f(1)=1$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \int \left( 6x^{2}-12x + 8 \right)\ dx\\
&= 2x^{3}-6x^{2} + 8x + c \\
\hline
& f(1)=1 \\
\hline
1 &= 2(1)^{3}-6(1)^{2} + 8(1) + c \\
1 &= 2 -6 + 8 + c \\
1 &= 4 + c \longrightarrow c=-3 \\
\hline
f(x) &= 2x^{3}-6x^{2} + 8x -3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x^{3}-6x^{2} + 8x -3$
8. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Sebuah kurva memenuhi persyaratan bahwa $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}= 12x$ dan kurva tersebut melalui titik $\left( 2,7 \right)$ serta gradien garis singgungnya pada titik itu adalah $8$. Persamaan kurva tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}= 12x$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y' &= \int 12x\ dx\\
y' &= 6x^{2} + c
\end{align}$
Diketahui juga bahwa kurva di atas melalui titik $\left( 2,7 \right)$ serta gradien garis singgungnya pada titik itu adalah $8$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y' &= 6x^{2} + c \\
8 &= 6(2)^{2} + c \\
8 &= 24 + c \longrightarrow c=-16 \\
\hline
y' &= 6x^{2} -16 \\
\hline
y &= \int y'\ dx\\
y &= \int \left( 6x^{2} -16 \right)\ dx\\
y &= 2x^{3} - 16x + c \\
\hline
x=2 &\longrightarrow y=7 \\
\hline
7 &= 2(2)^{3} - 16(2) + c \\
7 &= 16 - 32 + c \\
7 &= -16 + c \longrightarrow c=-23 \\
\hline
y &= 2x^{3} - 16x + c \\
y &= 2x^{3} - 16x -23
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=2x^{3}-16x +23$
9. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Pada satu kurva diketahui $y''(x)=6 \left( x-2 \right)$. Jika kurva itu melalui titik $\left( 2,-16 \right)$ dan gradien garis singgung dari titik tersebut adalah $-12$, maka Persamaan kurva tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $y''(x)=6 \left( x-2 \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y'(x) &= \int 6 \left( x-2 \right)\ dx\\
y' &= 3x^{2}-12x + c
\end{align}$
Diketahui juga bahwa kurva di atas melalui titik $\left( 2,-16 \right)$ serta gradien garis singgungnya pada titik itu adalah $-12$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y' &= 3x^{2}-12x + c \\
-12 &= 3(2)^{2}-12(2) + c \\
-12 &= 12-24 + c \longrightarrow c=0 \\
\hline
y' &= 3x^{2}-12x +0 \\
\hline
y &= \int y'\ dx\\
y &= \int \left( 3x^{2}-12x \right)\ dx\\
y &= x^{3}-6x^{2} +c \\
\hline
x=2 &\longrightarrow y=-16 \\
\hline
-16 &= (2)^{3}-6(2)^{2} +c \\
-16 &= 8-24 +c\ \longrightarrow c=0 \\
\hline
y &= x^{3}-6x^{2} +c \\
y &= x^{3}-6x^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x^{3}-6x^{2}$
10. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Kecepatan $v$ dari sebuah benda ditentukan oleh persamaan $v=3t^{2}+2t$. Jarak yang ditempuh oleh benda itu selama $2$ detik adalah $12\ m$, maka jarak tempuhnya selama $5$ detik adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui $s(t)=\int v(t)\ dt$ dan $v(t)=\int a(t)\ dt$, sehingga untuk $v=3t^{2}+2t$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
s(t) &= \int v(t)\ dt\\
s(t) &= \int \left( 3t^{2}+2t \right)\ dt\\
s(t) &= t^{3}+ t^{2}+ c \\
\hline
&t=2 \longrightarrow s=12 \\
\hline
12 &= (2)^{3}+ (2)^{2}+ c \\
12 &= 8+ 4+ c\ \longrightarrow c=0 \\
\hline
s(t) &= t^{3}+ t^{2}+ c \\
s(5) &= (5)^{3}+ (5)^{2} \\
&= 150
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 150\ m$
11. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Sebuah benda bergerak dengan percepatan tetap $4\ \frac{m}{s^{2}}$. Jika pada saat $2$ detik kecepatannya $10\ \frac{m}{s}$ dan jaraknya $12\ m$, maka rumus jarak benda tersebut sebagai fungsi waktu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui $s(t)=\int v(t)\ dt$ dan $v(t)=\int a(t)\ dt$, sehingga untuk $a=4$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
v(t) &= \int a(t)\ dt\\
v(t) &= \int 4\ dt\\
v(t) &= 4t+ c \\
\hline
&t=2 \longrightarrow v=10 \\
\hline
10 &= 4(2) + c \\
10 &= 8 + c\ \longrightarrow c=2 \\
\hline
v(t) &= 4t+ c \\
v(t) &= 4t+ 2
\end{align}$
Kita sudah peroleh $v(t) = 4t+ 2$ dan kita ketahui saat $2$ detik jaraknya $12\ m$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
s(t) &= \int v(t)\ dt\\
s(t) &= \int \left(4t+ 2 \right)\ dt\\
s(t) &= 2t^{2}+2t+c \\
\hline
&t=2 \longrightarrow s=12 \\
\hline
12 &= 2(2)^{2}+2(2)+c \\
12 &= 8+4+c\ \longrightarrow c=0 \\
\hline
s(t) &= 2t^{2}+2t + c \\
s(t) &= 2t^{2}+2t
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2t^{2}+2t$
12. Soal Latihan Penerapan Integral Tak Tentu
Sebuah fungsi $f(x)$ diketahui $f''(x)=12x+6$. Jika $f(-2)=5$ dan $f(1)=8$ maka fungsi $f(x)$ tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f''(x)=12x+6$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) &= \int \left( 12x+6 \right) dx\\
f'(x) &= 6x^{2}+ 6x + c \\
f(x) &= \int \left( 6x^{2}+ 6x + c \right) dx \\
f(x) &= 2x^{3}+ 3x^{2} + cx + k
\end{align}$
Diketahui juga bahwa $f(-2)=5$ dan $f(1)=8$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= 2x^{3}+ 3x^{2} + cx + k \\
f(1) &= 2(1)^{3}+ 3(1)^{2} + c(1) + k \\
8 &= 2(1)^{3}+ 3(1)^{2} + c(1) + k \\
8 &= 2 + 3 + c + k \\
3 &= c + k \\
\hline
f(-2) &= 2(-2)^{3}+ 3(-2)^{2} + c(-2) + k \\
5 &= -16 + 12 + -2c + k \\
9 &= -2c + k
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
-2c + k &= 9 \\
c + k &= 3\ \ \ (-) \\
\hline
-3c &= 6 \\
c &= -2\ \longrightarrow k=5 \\
\hline
f(x) &= 2x^{3}+ 3x^{2} + cx + k \\
f(x) &= 2x^{3}+ 3x^{2} -2x + 5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ f(x)=2x^{3}+3x^{2}-2x+5$
Catatan Penerapan Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
