Pak, berapakah $\sin 18^{\circ} ?$. Pertanyaan ini yang menjadi dasar Calon Guru belajar matematika dasar kali ini. Pertanyaan ini mengingatkanku pada bapak Benny Yong beberapa tahun yang lalu, yang pertama kali memperkenalkan bagaimana salah satu alternatif dalam menghitung $\sin 18^{\circ}$.
Selain menghitung $\sin 18^{\circ}$, bapak Benny Yong juga memperkenalkan beberapa istilah dalam matematika, ada Eksplorasi, Telescoping, Harmonic Means (HM), Arithmetic Means (AM), Geometric Means (GM), Quadratic Means (QM), Pertidaksamaan Cauchy, Pertidaksamaan Renata dan lain sebagainya.
Sebelum kita coba menghitung nilai $\sin 18^{\circ} $, ada baiknya kita tuliskan nilai-nilai yang sudah kita ketahui sebelumnya antara lain:
- $0\ \lt \sin 18\ \lt 1 $
- $\sin a=\cos \left ( 90-a \right ) $
- $\sin \left ( a+b \right )=\sin a\ \cos b\ +\ \sin b\ \cos a $
- $\cos \left ( a+b \right )=\cos a\ \cos b\ -\ \sin a\ \sin b $
- $\sin^{2}a+\cos^{2}a=1 $
Sekarang kita coba mulai menghitungnilai $\sin 18^{\circ}$.
$\sin 18^{\circ}$ mempunyai hubungan (sudut berelasi) dengan $\sin 36^{\circ},\ \sin 54^{\circ},\ \cos 36^{\circ},\ dan\ \cos 54^{\circ}$.
Dari beberapa sudut berelasi di atas kita gunakan beberapa, yaitu $\cos 36,\ dan\ \sin 54$
$\cos 36=\cos \left (18+18 \right )$
$\cos 36=\cos^{2}18-\sin^{2}18 $
$\cos 36=\left (1-\sin^{2}18 \right )-\sin^{2}18 $
$\cos 36=1-2\sin^{2}18$
$\sin 54=\left ( 18+36 \right ) $
$\sin 54=\sin 18\ \cos 36\ +\ \sin 36\ \cos 18$
$\sin 54=\sin 18 \left(1-2 \sin^{2}18 \right)+\left(2 \sin18 \cos 18 \right) \cos 18$
$\sin 54=\sin 18\ -2 \sin^{3}18 +\ 2\sin 18\ \cos^{2} 18$
$\sin 54=\sin 18\ -2 \sin^{3}18 +\ 2\sin 18\ \left (1-\sin^{2}18 \right )$
$\sin 54=\sin 18\ -2 \sin^{3}18 +\ 2\sin 18\ -2\sin^{3}18$
$\sin 54=3\sin 18\ -4\sin^{3}18$
Berikut kita samakan;
$\cos 36=\sin 54$
$1-2\sin^{2}18=3\sin 18\ -4\sin^{3}18$
Untuk mempermudah penulisan, kita misalkan saja $\sin 18^{\circ} = p$
$1-2\sin^{2}18^{\circ}=3\sin 18\ -4\sin^{3}18^{\circ}$
$1-2p^{2}=3p -4p^{3}$
$4p^{3}-2p^{2}-3p+1=0$
$\left (4p^{2}+2p-1 \right )\left (p-1 \right )=0$
Untuk $\left (p-1 \right )=0$ Tidak Memenuhi (TM) karena dari persamaan ini kita peroleh nilai $p=1$, sehingga untuk $p=1$ kita peroleh $\sin 18^{\circ}=1$, seperti yang kita tahu bahwa ini tidak sesuai dengan kisaran nilai $\sin 18^{\circ}$.
Sekarang kita hanya konsentrasi kepada $\left (4p^{2}+2p-1 \right )=0$
Untuk mendapatkan nilai $p$, kita bisa dapat dengan melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.
$p_{12}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$p_{12}=\frac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4\cdot 4\cdot \left (-1 \right )}}{2\left (4 \right )}$
$p_{12}=\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{8}$
$p_{12}=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{8}$
$p_{12}=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{8}$
$p_{12}=-\frac{1}{4}\pm \frac{1}{4}\sqrt{5}$
Dari persamaan di atas kita peroleh dua nilai $p$
$p_{1}=-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{5}$
$p_{2}=-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{5}$
Dari dua nilai di atas, nilai $p_{1}=-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\sqrt{5}$ bernilai positif sedangkan $p_{2}=-\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}\sqrt{5}$ bernilai negatif, dan kita ketahui $\sin 18^{\circ} $ bernilai positif karena berada pada kuadran yang pertama. Kesimpulan yang dapat kita ambil nilai $\sin 18^{\circ}$ adalah $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{5}$.
Dengan mengetahui nilai $\sin 18^{\circ}=-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{5}$ maka dengan menggunakan aturan pada sudut yang berelasi kita juga sudah dapat menentukan nilai $\sin 36^{\circ}$ atau $\cos 54^{\circ}$.
Catatan Pak, Berapakah Sin 18 Derajat? di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
