Skip to main content

Mengenal dan Menggunakan Pertidaksamaan HM-GM-AM-QM Menyelesaikan Soal Matematika

Pertidaksamaan HM-GM-AM-QMPertidaksamaan HM - AM - GM - QM adalah pertidaksamaan yang membandingkan nilai antara keempat jenis rata-rata ini yaitu Harmonic Means (HM), Arithmetic Means (AM), Geometric Means (GM), Quadratic Means (QM).

Banyak buku yang mengatakan bahwa ini adalah "pertidaksamaan", tetapi mungkin lebih baik disebut dengan "ketidaksamaan" karena untuk data yang sama nilai keempat rata-rata ini selalu memenuhi $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq \max $.

Pemakaian kata 'pertidaksamaan' dan 'ketidaksamaan' ini memang sering tidak dibedakan, sedangkan artinya ada sedikit berbeda.

Dengan bahasa sederhananya bisa kita sampaikan pertidaksamaan berupa kalimat terbuka (kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya) sedangkan ketidaksamaan berupa kalimat tertutup (kalimat yang sudah diketahui nilai kebenarannya).

Sebelum kita diskusi tentang ketidaksamaan $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq \max $ ini, mungkin ada baiknya kita mengetahui Harmonic Means (HM), Arithmetic Means (AM), Geometric Means (GM), dan Quadratic Means (QM) dari suatu data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$.

Arithmetic Means (AM)


Arithmetic Means adalah rata-rata yang paling banyak dikenal oleh masyarakat karena rata-rata ini sudah diperkenalkan sejak sekolah dasar.

Arithmetic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$AM=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$
$AM={\dfrac {1}{n}}\,(\,x_{1}+x_{2}+\,\cdots \,+x_{n}\,) $

Untuk data $a$ dan $b$ maka
$AM=\dfrac{a+b}{2} $

Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$AM=\dfrac{a+b+c}{3} $

Harmonic Means (HM)


Harmonic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$HM=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}$
$HM={\dfrac {1}{n}}\left ({\dfrac {1}{x_{1}}}+\dfrac {1}{x_{2}}+\,\cdots \,+{\dfrac {1}{x_{n}}} \right ) $

Untuk data $a$ dan $b$ maka
$HM=\dfrac{2ab}{a+b} $

Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$HM=\dfrac{3abc}{ab+ac+bc} $

Geometric Means (GM)


Geometric Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$GM={\sqrt[{n}]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}}}$
$GM={\sqrt[{n}]{\,x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}} $

Untuk data $a$ dan $b$ maka
$GM={\sqrt[{}]{ab}} $

Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$GM={\sqrt[{3}]{abc}} $

Quadratic Means (QM)


Quadratic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$QM={\sqrt {{\dfrac {1}{n}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}} $
$QM={\sqrt {{\dfrac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}} $

Untuk data $a$, dan $b$ maka
$QM={\sqrt {{\dfrac {1}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}} $

Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$QM={\sqrt {{\dfrac {1}{3}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}} $

Untuk data terurut dari terkecil ke terbesar $x_{min}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{max}$ nilai dari keempat rata-rata diatas memenuhi ketidaksamaan $x_{min} \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq x_{max} $.

Untuk data $a$ dan $b$ berlaku:
$\dfrac{2ab}{a+b} \leq {\sqrt[{}]{ab}} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq {\sqrt {{\dfrac {1}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}}$

Jika kita balik urutan dari ketidaksamaan di atas untuk data terurut dari terkecil ke terbesar $x_{min}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{max}$ nilai dari keempat rata-rata diatas memenuhi ketidaksamaan $x_{max} \geq QM \geq AM \geq GM \geq HM \geq x_{min} $.

Untuk data $a$ dan $b$ berlaku:
${\sqrt {{\dfrac {1}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}} \geq \dfrac{a+b}{2} \geq {\sqrt[{}]{ab}} \geq \dfrac{2ab}{a+b}$

Perkenalan tentang ketidaksamaan $QM \geq AM \geq GM \geq HM$ masih sangat sederhana, jadi untuk menggunakannya dalam menyelesaikan masalah perlu banyak berlatih.

Untuk menambah pemahaman kita tentang ketidaksamaan ini dan bagaimana menggunakan ketidaksamaan $QM \geq AM \geq GM \geq HM$ dalam menyelesaiakan beberapa soal, berikut contoh-contoh sederhananya;

1. Soal Latihan Olimpiade Matematika SMA (*Kumpulan Soal)

Untuk bilangan real positif $x$ dan $y$ dengan $xy=\dfrac{1}{3}$, tentukan nilai minimum dari $\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}}$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggunakan $AM \geq GM$:
$ \begin{align}
\dfrac{a+b}{2} & \geq {\sqrt[{}]{ab}} \\
\dfrac{\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}}}{2} & \geq \sqrt{\dfrac{1}{9x^{6}} \cdot \dfrac{1}{4y^{6}}}\\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq 2 \cdot {\sqrt[{}]{\dfrac{1}{36 \left (xy \right )^{6}}}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq 2 \cdot \dfrac{1}{6 \left (xy \right )^{3}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq \dfrac{1}{3 \left (xy \right )^{3}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq \dfrac{1}{3 \left (\frac{1}{3}{} \right )^{3}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq \dfrac{1}{3 \left (\frac{1}{27} \right ) } \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq \dfrac{1}{ \frac{1}{9}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq 9 \\
\end{align} $
Nilai minimum $\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} $ adalah $9$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$

2. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2009 (*Kumpulan Soal)

Bilangan rasional $a \lt b \lt c$ membentuk barisan hitung (aritmetika) dan
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$
Banyak bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggunakan $AM \geq GM$:
$ \begin{align}
\dfrac{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}}{3} & \geq \sqrt[3]{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}} \\
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} & \geq 3 \cdot \sqrt[3]{1} \\
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} & \geq 3
\end{align} $
Agar $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq 3$ dan $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$ bernilai benar, hanya pada saat $a=b=c$.

Banyak bilangan positif $a$ yang memenuhi $a=b=c$ dan $a \lt b \lt c$ adalah $0$.

3. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2011 (*Kumpulan Soal)

Jika $a \geq b \gt 1$ maka nilai terbesar yang mungkin untuk ${}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right) + {}^b\!\log \left( \dfrac{b}{a} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggunakan $AM \geq GM$ dan beberapa sifat logaritma
$ \begin{align}
& {}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right) + {}^b\!\log \left( \dfrac{b}{a} \right) \\
&= {}^a\!\log\ a - {}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ b - {}^b\!\log\ a \\
&= 1 - {}^a\!\log\ b + 1 - {}^b\!\log\ a \\
&= 2 - \left( {}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a \right)
\end{align} $

Dari ketidaksamaan $AM \geq GM$, kita peroleh:
$ \begin{align}
\dfrac{{}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a}{2} & \geq \sqrt[2]{{}^a\!\log\ b \cdot {}^b\!\log\ a} \\
{}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a & \geq 2 \cdot \sqrt[2]{1} \\
{}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a & \geq 2
\end{align} $

Nilai minimum dari ${}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a$ adalah $2$, sehingga nilai maksimum dari $2 - \left( {}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a \right)$ adalah $2-2=0$

4. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2003 (*Kumpulan Soal)

Buktikan bahwa $999! \lt 500^{999}$.
dimana $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$
Alternatif Pembahasan:

Untuk membuktikan soal di atas, kita coba gunakan $GM \leq AM$ pada deret aritmatika $1+2+3+\cdots+999$.

${\sqrt[{}]{abcd}} \leq \dfrac{a+b+c+d}{4}$ tanda kesamaan berlaku hanya saat $a=b=c=d$, sehingga pada deret $1+2+3+\cdots+999$ berlaku:
$ \begin{align}
\sqrt[999]{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \cdot 998 \cdot 999} & \lt \dfrac{1+2+3+ \cdots +998+999}{999} \\
\sqrt[999]{999!} & \lt \dfrac{ \dfrac{1}{2} \left( 999 \right)\left( 1000 \right)}{999} \\
\sqrt[999]{999!} & \lt 500 \\
999! & \lt 500^{999} \\
\hline
& \text{terbukti}
\end{align} $

5. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2008 (*Kumpulan Soal)

Diberikan $f(x)=x^{2}+4$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi $f \left( xy \right)+f\left( y-x \right)=f\left( y+x \right)$. Nilai minimum dari $x+y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x)=x^{2}+4$ dapat kita temukan beberapa fungsi yang lain, yaitu:
$ \begin{align}
f(x) &= x^{2}+4 \\
f(xy) &= \left( xy \right)^{2}+4 \\
&= x^{2}y^{2}+4 \\
f(y-x) &= \left( y-x \right)^{2}+4 \\
&= x^{2}+y^{2}-2xy+4 \\
f(y+x) &= \left( y+x \right)^{2}+4 \\
&= x^{2}+y^{2}+2xy+4 \\
\end{align} $
Dari beberapa fungsi yang kita peroleh di atas kita substituskan ke fungsi berikut:

$ \begin{align}
f \left( xy \right)+f \left( y-x \right) &=f\left( y+x \right) \\
x^{2}y^{2}+4 +x^{2}+y^{2}-2xy+4 &= x^{2}+y^{2}+2xy+4 \\
x^{2}y^{2}-4xy+4 &= 0 \\
\left(x y -2 \right)^{2} &= 0 \\
x y -2 &= 0 \\
x y &= 2
\end{align} $

Untuk nilai $xy=2$, kita coba terapkan pada $AM \geq GM$, sehingga kita peroleh:
$ \begin{align}
\dfrac{x+y}{2} & \geq \sqrt[2]{x \cdot y} \\
\dfrac{x+y}{2} & \geq \sqrt[2]{2} \\
x+y & \geq 2\sqrt[2]{2}
\end{align} $

Nilai minimum dari $x+y$ adalah $2\sqrt{2}$

6. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2009 (*Kumpulan Soal)

Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita bereksplorasi dari ketidaksamaan $AM \geq GM$. Jika $x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009=0$, kita coba terapkan pada $AM \geq GM$, sehingga kita peroleh:
$ \begin{align}
\dfrac{x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009}{5} & \geq \sqrt[5]{ \left( x^{4}\right) \left(-2x^{3}\right) \left(5x^{2} \right) \left(-176x \right) \left(2009 \right)} \\
\dfrac{0}{5} & \geq \sqrt[5]{ \left( x^{10}\right) \left( 1760 \right) \left(2009 \right)} \\
0 & \geq \sqrt[5]{ \left( x^{10}\right) \left( 1760 \right) \left(2009 \right)} \\
0 & \geq x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009 \\
x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009 & \leq 0 \\
\end{align} $
Dari bentuk ketidaksamaan di atas, nilai $x$ bilangan real yang memmenuhi $x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009 \leq 0$ hanya pada saat $x=0$.

Jika kita substitusikan nilai $x=0$ ke $x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009$ hasilnya tidak sama dengan nol, sehingga tidak ada nilai $x$ bilangan real yang memenuhi persamaan $x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009=0$.

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras


Untuk saran yang sifatnya membangun terkait Mengenal dan Menggunakan Pertidaksamaan HM-GM-AM-QM Menyelesaikan Soal Matematika silahkan disampaikan😊CMIIW.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Coba belajar pertidaksamaan Bentuk akar dengan video berikut mungkin bisa menambah pemahaman kita dalam bermatematik;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Mengenal dan Menggunakan Pertidaksamaan HM-GM-AM-QM Menyelesaikan Soal Matematika" sangat diharapkan 😊 and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar