Calon Guru coba belajar matematika dasar dari Mengenal dan Menggunakan Pertidaksamaan HM-GM-AM-QM Menyelesaikan Soal Matematika. Pertidaksamaan HM - AM - GM - QM adalah pertidaksamaan yang membandingkan nilai antara keempat jenis rata-rata ini yaitu Harmonic Means (HM), Arithmetic Means (AM), Geometric Means (GM), Quadratic Means (QM).
Banyak buku yang mengatakan bahwa ini adalah "pertidaksamaan", tetapi mungkin lebih baik disebut dengan "ketidaksamaan" karena untuk data yang sama nilai keempat rata-rata ini selalu memenuhi $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq \max $.
Pemakaian kata 'pertidaksamaan' dan 'ketidaksamaan' ini memang sering tidak dibedakan, sedangkan artinya ada sedikit berbeda.
Dengan bahasa sederhananya bisa kita sampaikan pertidaksamaan berupa kalimat terbuka (kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya) sedangkan ketidaksamaan berupa kalimat tertutup (kalimat yang sudah diketahui nilai kebenarannya).
Sebelum kita diskusi tentang ketidaksamaan $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq \max $ ini, mungkin ada baiknya kita mengetahui Harmonic Means (HM), Arithmetic Means (AM), Geometric Means (GM), dan Quadratic Means (QM) dari suatu data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$.
ARITHMETIC MEANS(AM)
Arithmetic Means adalah rata-rata yang paling banyak dikenal oleh masyarakat karena rata-rata ini sudah diperkenalkan sejak sekolah dasar.
Arithmetic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$AM=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$
$AM={\dfrac {1}{n}}\,(\,x_{1}+x_{2}+\,\cdots \,+x_{n}\,) $
Untuk data $a$ dan $b$ maka
$AM=\dfrac{a+b}{2} $
Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$AM=\dfrac{a+b+c}{3} $
HARMONIC MEANS (HM)
Harmonic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$HM=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}$
$HM={\dfrac {1}{n}}\left ({\dfrac {1}{x_{1}}}+\dfrac {1}{x_{2}}+\,\cdots \,+{\dfrac {1}{x_{n}}} \right ) $
Untuk data $a$ dan $b$ maka
$HM=\dfrac{2ab}{a+b} $
Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$HM=\dfrac{3abc}{ab+ac+bc} $
GEOMETRIC MEANS (GM)
Geometric Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$GM={\sqrt[{n}]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}}}$
$GM={\sqrt[{n}]{\,x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}} $
Untuk data $a$ dan $b$ maka
$GM={\sqrt[{}]{ab}} $
Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$GM={\sqrt[{3}]{abc}} $
QUADRATIC MEANS (QM)
Quadratic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$QM={\sqrt {{\dfrac {1}{n}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}} $
$QM={\sqrt {{\dfrac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}} $
Untuk data $a$, dan $b$ maka
$QM={\sqrt {{\dfrac {1}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}} $
Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$QM={\sqrt {{\dfrac {1}{3}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}} $
Untuk data terurut dari terkecil ke terbesar $x_{min}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{max}$ nilai dari keempat rata-rata diatas memenuhi ketidaksamaan $x_{min} \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq x_{max} $.
Untuk data $a$ dan $b$ berlaku:
$\dfrac{2ab}{a+b} \leq {\sqrt[{}]{ab}} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq {\sqrt {{\dfrac {1}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}}$
Jika kita balik urutan dari ketidaksamaan di atas untuk data terurut dari terkecil ke terbesar $x_{min}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{max}$ nilai dari keempat rata-rata diatas memenuhi ketidaksamaan $x_{max} \geq QM \geq AM \geq GM \geq HM \geq x_{min} $.
Untuk data $a$ dan $b$ berlaku:
${\sqrt {{\dfrac {1}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}} \geq \dfrac{a+b}{2} \geq {\sqrt[{}]{ab}} \geq \dfrac{2ab}{a+b}$
Perkenalan tentang ketidaksamaan $QM \geq AM \geq GM \geq HM$ masih sangat sederhana, jadi untuk menggunakannya dalam menyelesaikan masalah perlu banyak berlatih.
Untuk menambah pemahaman kita tentang ketidaksamaan ini dan bagaimana menggunakan ketidaksamaan $QM \geq AM \geq GM \geq HM$ dalam menyelesaiakan beberapa soal, berikut contoh-contoh sederhananya;
1. Soal Latihan Olimpiade Matematika SMA |*Kumpulan Soal
Untuk bilangan real positif $x$ dan $y$ dengan $xy=\dfrac{1}{3}$, tentukan nilai minimum dari $\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}}$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggunakan $AM \geq GM$:
$ \begin{align}
\dfrac{a+b}{2} & \geq {\sqrt[{}]{ab}} \\
\dfrac{\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}}}{2} & \geq \sqrt{\dfrac{1}{9x^{6}} \cdot \dfrac{1}{4y^{6}}}\\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq 2 \cdot {\sqrt[{}]{\dfrac{1}{36 \left (xy \right )^{6}}}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq 2 \cdot \dfrac{1}{6 \left (xy \right )^{3}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq \dfrac{1}{3 \left (xy \right )^{3}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq \dfrac{1}{3 \left (\frac{1}{3}{} \right )^{3}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq \dfrac{1}{3 \left (\frac{1}{27} \right ) } \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq \dfrac{1}{ \frac{1}{9}} \\
\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} & \geq 9 \\
\end{align} $
Nilai minimum $\dfrac{1}{9x^{6}}+\dfrac{1}{4y^{6}} $ adalah $9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$
2. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2009 |*Kumpulan Soal
Bilangan rasional $a \lt b \lt c$ membentuk barisan hitung (aritmetika) dan
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$
Banyak bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggunakan $AM \geq GM$:
$ \begin{align}
\dfrac{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}}{3} & \geq \sqrt[3]{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}} \\
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} & \geq 3 \cdot \sqrt[3]{1} \\
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} & \geq 3
\end{align} $
Agar $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq 3$ dan $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$ bernilai benar, hanya pada saat $a=b=c$.
Banyak bilangan positif $a$ yang memenuhi $a=b=c$ dan $a \lt b \lt c$ adalah $0$.
3. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2011 |*Kumpulan Soal
Jika $a \geq b \gt 1$ maka nilai terbesar yang mungkin untuk ${}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right) + {}^b\!\log \left( \dfrac{b}{a} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan menggunakan $AM \geq GM$ dan beberapa sifat logaritma
$ \begin{align}
& {}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right) + {}^b\!\log \left( \dfrac{b}{a} \right) \\
&= {}^a\!\log\ a - {}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ b - {}^b\!\log\ a \\
&= 1 - {}^a\!\log\ b + 1 - {}^b\!\log\ a \\
&= 2 - \left( {}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a \right)
\end{align} $
Dari ketidaksamaan $AM \geq GM$, kita peroleh:
$ \begin{align}
\dfrac{{}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a}{2} & \geq \sqrt[2]{{}^a\!\log\ b \cdot {}^b\!\log\ a} \\
{}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a & \geq 2 \cdot \sqrt[2]{1} \\
{}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a & \geq 2
\end{align} $
Nilai minimum dari ${}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a$ adalah $2$, sehingga nilai maksimum dari $2 - \left( {}^a\!\log\ b + {}^b\!\log\ a \right)$ adalah $2-2=0$
4. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2003 |*Kumpulan Soal
Buktikan bahwa $999! \lt 500^{999}$.
dimana $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$
Alternatif Pembahasan:
Untuk membuktikan soal di atas, kita coba gunakan $GM \leq AM$ pada deret aritmatika $1+2+3+\cdots+999$.
${\sqrt[{}]{abcd}} \leq \dfrac{a+b+c+d}{4}$ tanda kesamaan berlaku hanya saat $a=b=c=d$, sehingga pada deret $1+2+3+\cdots+999$ berlaku:
$ \begin{align}
\sqrt[999]{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \cdot 998 \cdot 999} & \lt \dfrac{1+2+3+ \cdots +998+999}{999} \\
\sqrt[999]{999!} & \lt \dfrac{ \dfrac{1}{2} \left( 999 \right)\left( 1000 \right)}{999} \\
\sqrt[999]{999!} & \lt 500 \\
999! & \lt 500^{999} \\
\hline
& \text{terbukti}
\end{align} $
5. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2008 |*Kumpulan Soal
Diberikan $f(x)=x^{2}+4$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi $f \left( xy \right)+f\left( y-x \right)=f\left( y+x \right)$. Nilai minimum dari $x+y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi $f(x)=x^{2}+4$ dapat kita temukan beberapa fungsi yang lain, yaitu:
$ \begin{align}
f(x) &= x^{2}+4 \\
f(xy) &= \left( xy \right)^{2}+4 \\
&= x^{2}y^{2}+4 \\
f(y-x) &= \left( y-x \right)^{2}+4 \\
&= x^{2}+y^{2}-2xy+4 \\
f(y+x) &= \left( y+x \right)^{2}+4 \\
&= x^{2}+y^{2}+2xy+4 \\
\end{align} $
Dari beberapa fungsi yang kita peroleh di atas kita substituskan ke fungsi berikut:
$ \begin{align}
f \left( xy \right)+f \left( y-x \right) &=f\left( y+x \right) \\
x^{2}y^{2}+4 +x^{2}+y^{2}-2xy+4 &= x^{2}+y^{2}+2xy+4 \\
x^{2}y^{2}-4xy+4 &= 0 \\
\left(x y -2 \right)^{2} &= 0 \\
x y -2 &= 0 \\
x y &= 2
\end{align} $
Untuk nilai $xy=2$, kita coba terapkan pada $AM \geq GM$, sehingga kita peroleh:
$ \begin{align}
\dfrac{x+y}{2} & \geq \sqrt[2]{x \cdot y} \\
\dfrac{x+y}{2} & \geq \sqrt[2]{2} \\
x+y & \geq 2\sqrt[2]{2}
\end{align} $
Nilai minimum dari $x+y$ adalah $2\sqrt{2}$
6. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2009 |*Kumpulan Soal
Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita bereksplorasi dari ketidaksamaan $AM \geq GM$. Jika $x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009=0$, kita coba terapkan pada $AM \geq GM$, sehingga kita peroleh:
$ \begin{align}
\dfrac{x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009}{5} & \geq \sqrt[5]{ \left( x^{4}\right) \left(-2x^{3}\right) \left(5x^{2} \right) \left(-176x \right) \left(2009 \right)} \\
\dfrac{0}{5} & \geq \sqrt[5]{ \left( x^{10}\right) \left( 1760 \right) \left(2009 \right)} \\
0 & \geq \sqrt[5]{ \left( x^{10}\right) \left( 1760 \right) \left(2009 \right)} \\
0 & \geq x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009 \\
x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009 & \leq 0 \\
\end{align} $
Dari bentuk ketidaksamaan di atas, nilai $x$ bilangan real yang memmenuhi $x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009 \leq 0$ hanya pada saat $x=0$.
Jika kita substitusikan nilai $x=0$ ke $x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009$ hasilnya tidak sama dengan nol, sehingga tidak ada nilai $x$ bilangan real yang memenuhi persamaan $x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-176x+2009=0$.
Catatan Belajar Mengenal dan Menggunakan Pertidaksamaan HM-GM-AM-QM Menyelesaikan Soal Matematika di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
