Soal Matematika Dasar Kelompok IPA Simak UI Kode 504 (*Tidak Selesai Di Kelas)

Dari bentuk umum fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$

kita peoleh rumus untuk mencari titik puncak yaitu

$x_{p}=-\frac{b}{2a}$

$y_{p}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$

Pada soal diketahui,

$x_{p}=1 $

$-\frac{a}{2\left(a-1\right)}=1$

$-a=2a-2 $

$3a=2 $

$a=\frac{2}{3} $

Nilai $a=\frac{2}{3} $ kita substitusi ke $y=\left(a-1\right)x^{2}+ax+4 $

sehingga fungsi menjadi

$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x+4 $

Lalu kita cari titik potong terhadap sumbu $x $ maka $y=0 $

$0=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x+4 $

$x^{2}-2x-12=0 $

Dengan rumus abc kita dapatkan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ yaitu

$x_{1}= 1-\sqrt{13}$ dan $x_{2}= 1+\sqrt{13}$

maka jarak titik potong ini adalah

$d=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

$d=\sqrt{\left(1-\sqrt{13}-1-\sqrt{13}\right)^{2}+\left(0-0\right)^{2}}$

$d=\sqrt{\left(-2\sqrt{13}\right)^{2}}$

$d=2\sqrt{13}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{13} $
Sebenarnya untuk milih jawaban ini ada sedikit keraguan, karena kalimat pada soal "jarak antar titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu $x$"

Untuk mencoba menyelesaikan masalah nomor 6, kita harus mengingatkan kembali rumus tentang menentukan jumlah n suku pertama barisan aritmatika, yaitu;

$S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right) $

Untuk jumlah $p $ suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah $q $ dapat kita tuliskan menjadi,

$S_{p}=\frac{p}{2}\left(2a+\left(p-1\right)b\right ) $

$q=\frac{p}{2}\left(2a+\left(p-1\right)b\right) $

Sedangkan untuk jumlah $q $ suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah $p $ dapat kita tuliskan menjadi,

$S_{q}=\frac{q}{2}\left(2a+\left(q-1\right)b\right) $

$p=\frac{q}{2}\left(2a+\left(q-1\right)b\right) $

Berikutnya kita akan menghitung $S_{p+q}=\frac{\left (p+q \right )}{2}\left ( 2a+\left ( p+q-1 \right )b \right )$

Untuk menghitung $S_{p+q} $, secara alamiah kita akan mencoba $p+q $ dan hasil eksplorasi pada tahap ini tidak menemukan apa yang kita inginkan dan tahapan eksplorasi $p+q $ inilah yang kami cobakan di kelas dan sampai waktu pelajaran matematika selesai kami tidak menemukan hasilnya.

Sampai kantor guru saya coba coret-coret lagi dan belum ketemu juga idenya, sampai saya baca e-book nya Tutur Widodo dengan ide sederhana tapi briliant sekali, yaitu dengan menghitung $p-q $.

Mari kita coba menghitung.

$p-q= \left [\frac{q}{2}\left ( 2a+\left ( q-1 \right )b \right ) \right ] -\left [\frac{p}{2}\left ( 2a+\left ( p-1 \right )b \right ) \right ] $

$p-q= \left [aq+\frac{1}{2}bq^{2}-\frac{1}{2}bq \right ]-\left [ap+\frac{1}{2}bp^{2}-\frac{1}{2}bp \right ] $

$p-q= aq-ap+\frac{1}{2}bq^{2}-\frac{1}{2}bp^{2}-\frac{1}{2}bq+\frac{1}{2}bp $

$p-q= a\left ( q-p \right )+\frac{1}{2}b\left (q^{2}-p^{2} \right )-\frac{1}{2}b\left ( q-p \right ) $

$p-q= a\left ( q-p \right )+\frac{1}{2}b\left (q-p \right )\left (q+p \right )-\frac{1}{2}b\left ( q-p \right ) $

Sampai pada tahap ini kedua ruas kita bagikan dengan $\left ( q-p \right ) $

$-1=a+\frac{1}{2}b\left (q+p \right )-\frac{1}{2}b $

$-2=2a+b\left (q+p \right )-b $

$-2=2a+bq+bp-b $

$-2=2a+\left (q+p-1 \right )b $

dari persamaan yang kita peroleh diatas kita substitusikan ke $S_{p+q} $.

$S_{p+q}=\frac{\left (p+q \right )}{2}\left ( 2a+\left ( p+q-1 \right )b \right ) $

$S_{p+q}=\frac{\left (p+q \right )}{2}\left ( -2 \right ) $

$S_{p+q}=-\left (p+q \right ) $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\left(p+q\right)$