com.png "defantri.com")
Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan TKA Matematika IPA Ujian Mandiri UGM Tahun 2019 Kode 624. Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Saintek yang terdiri dari $15$ soal Matematika IPA.
Materi Ujian Masuk UGM-CBT
UM UGM - Computer Based Test (UM UGM CBT) merupakan jalur seleksi yang menggunakan kombinasi nilai/skor UM UGM CBT yang diselenggarakan oleh UGM dan nilai/skor UTBK. Jalur seleksi ini memberikan kesempatan kepada lulusan SMA/MA/SMK/sederajat atau lulusan Paket C untuk mengikuti seleksi dengan memilih 2 (dua) Program Studi pada Program Sarjana dan/atau Program Sarjana Terapan. Mata uji UM UGM CBT terdiri dari:
- Tes Kemampuan Dasar Umum: Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi; dan
- Tes Kemampuan Akademik (dua mata pelajaran pendukung sesuai program studi tujuan)
Mata uji untuk setiap Program Studi dapat dilihat 🔗 disini
Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624
Soal latihan yang kita diskusikan berikut ini adalah soal TKA Saintek Matematika. Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silakan 💡 Evaluasi Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta | : |
| Tanggal Tes | : - |
| Jumlah Soal | : 0 soal |
| Sisa Waktu | : --:-- |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang paling tepat di antara pilihan jawaban yang tersedia. Jawaban soal Benar skor $+4$, Salah skor $−1$, dan Kosong skor $0$.
1. Soal Matematika UM UGM 2019
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah....
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan tiga digit dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat tidak boleh digit sama.
- Digit ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah puluhan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu digit sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah satuan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua digit sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $ - Banyak bilangan tiga digit beda yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$
Untuk menyusun bilangan tiga digit dari $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat digit yang sama tidak boleh berdekatan, maka digit yang sama itu adalah ratusan dan satuan.
Misalnya kita pilih ratusan dan satuan $1$, maka banyak bilangan yang mungkin adalah $101$, $121$, $131$, $141$, $151$, $161$, $171$, $181$, $191$ ada sebanyak $9$. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, maka akan kita peroleh $9 \times 9 =81$ bilangan tiga digit dengan digit yang sama tidak boleh berdekatan.
Banyak bilangan tiga digit beda atau digit yang sama tidak boleh berdekatan adalah $648+81=729$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 729$
2. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 = 0$, dengan $ x \gt 0 $, maka $2^{x} + 2^{-x} = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 4^{x}+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}-2^{2} \cdot 2^{-x} +2^{2} \cdot 2^{x} -7 & = 0 \\ 2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \text{misal}\ 2^{x} - 2^{-x} & =m \\ \left( 2^{x} - 2^{-x} \right)^{2} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} - 2 & = m ^{2} \\ 2^{2x} + 2^{-2x} & = m ^{2}+2 \\ \end{align}$
$\begin{align}
\hline
2^{2x}+2^{-2x}+ 2^{2} \cdot \left( 2^{x} - 2^{-x} \right) -7 & = 0 \\
m^{2}+2+ 2^{2} \cdot m -7 & = 0 \\
m^{2}+ 4m - 5 & = 0 \\
\left( k-1 \right)\left( k+5 \right) & = 0 \\
m=1\ \text{atau}\ m=-5\ \text{(TM)} & \\
\end{align}$
Untuk $m=-5$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x} - 2^{-x}=m \gt 0$.
Untuk $m=1$, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
2^{x} - 2^{-x} & =m \\
2^{x} - 2^{-x} & =1 \\
\hline
\text{misal}\ 2^{x} & = n \\
2^{-x} & = \frac{1}{n} \\
\hline
2^{x} - 2^{-x} & =1 \\
n - \frac{1}{n} & =1 \\
n^{2} - 1 & = n \\
n^{2} - n -1 & = 0
\end{align}$
Dengan menggunakan rumus $abc$ kita peroleh nilai $n$ yaitu:
$\begin{align}
n_{12} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
& = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \\
& = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\
n_{1} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\ \text{atau}\ n_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\ \text{(TM)} \\
\end{align}$
Untuk $n=\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ tidak memenuhi, karena $x \gt 0$ sehingga $2^{x}=n \gt 0$.
Nilai $n$ yang kita gunakan adalah $n = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, sehingga $2^{x}=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2^{x}+2^{-x} & = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}\\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{1 -5} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}+\dfrac{2 \left( 1 - \sqrt{5} \right)}{-4} \\
& = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}-\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \\
& = \dfrac{\sqrt{5}+ \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{5}$
3. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $x \gt 0$ dan $y \gt 0$ memenuhi sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right )=-1 \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right )=13 \end{matrix}\right.$
Nilai $ x^{2}+ y$ adalah....
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} 3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1\ \left( \times 3 \right) \\ -2\left ( x-1 \right )+3\left (y+1 \right ) & = 13\ \left( \times 2 \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-6\left (y+1 \right ) & = -3 \\ -4\left ( x-1 \right )+6\left (y+1 \right ) & = 26\ \left( + \right) \\ \hline 9\left (x^{2}-1 \right )-4\left ( x-1 \right ) & = 23 \\ 9x^{2}-9-4x +4 -23 & = 0 \\ 9x^{2} -4x -28 & = 0 \\ \left ( x-2 \right )+ \left ( 9x+14 \right ) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-\frac{14}{9}\ &\text{(TM)} & \end{align}$
Untuk $x=2$, kita peroleh:
$\begin{align}
3\left (x^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\
3\left ( (2)^{2}-1 \right )-2\left (y+1 \right ) & = -1 \\
3\left ( 3 \right )-2y -2 & = -1 \\
9-2y -2 & = -1 \\
-2y & = -1-7 \\
-2y & = -8 \rightarrow y=4 \\
\hline
x^{2}+ y & = (2)^{2}+ 4 \\
& = 8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
4. Soal Matematika UM UGM 2019
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri antara lain $2\sin^{2}\ a=1-\cos 2a$ dan teorema limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax }{bx} = \dfrac{a}{b}$, kita coba selesaikan soal di atas seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos 4x^{2}}}{1-\cos 2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2\sin^{2}\ 2x^{2}}}{2\sin^{2}\ x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \cdot \dfrac{x^{2}}{x^{2}} \right)\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2} \cdot }{x^{2}} \cdot \dfrac{x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \right) \\ & = \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2}\ \sin 2x^{2} \cdot }{x^{2}} \right) \cdot \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{2\sin^{2}\ x} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \cdot x}{2\sin x \cdot \sin x} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} \right) \\ & = 2\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \sqrt{2}$
5. Soal Matematika UM UGM 2019
Diketahui $a,\ \dfrac{1}{a},\ \dfrac{1}{a^{2}+2a},\ a \neq 0$, berturut-turut merupakan suku ke-$3$, $4$ dan ke-$5$ barisan geometri dengan rasio $r \neq 1$. Hasil kali lima suku pertama barisan geometri tersebut adalah....
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, pada barisan geometri kita peroleh $u_{3}=ar^{2}=a$, $u_{4}=ar^{3}=\dfrac{1}{a}$, dan $u_{5}=ar^{4}=\dfrac{1}{a^{2}+2a}$.
Dari sifat barisan geometri kita peroleh:
$\begin{align}
u^{2}_{4} & = u_{3} \cdot u_{5} \\
\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \ & = \left( a \right) \left( \dfrac{1}{a^{2}+2a} \right) \\
\dfrac{1}{a^{2}} \ & = \dfrac{1}{a+2} \\
a+2 \ & = a^{2} \\
a^{2}-a-2 \ & = 0 \\
\left( a-2 \right)\left( a+1 \right) & = 0 \\
a=2\ \text{atau}\ & a=-1\ \text{(TM)}
\end{align}$
Untuk $a=2$, maka kita peroleh barisan geometrinya $u_{3}, u_{4}, u_{5}$ adalah $2,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{8}$ sehingga kita peroleh $r=\dfrac{1}{4}$. Perkalian lima suku pertamanya adalah $32 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8}$ adalah $32$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 32$
6. Soal Matematika UM UGM 2019
Diketahui vektor-vektor $\overline{u}= \left (a, a+1, 2 \right )$ dan $\overline{u}= \left ( 1,1,1 \right )$. Jika vektor proyeksi $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}= \left( 2,2,2 \right)$, maka panjang vektor $\overline{u}$ sama dengan....
Alternatif Pembahasan:
Proyeksi vektor $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\overline{w} &= \left( \dfrac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{ \left( \left|\overline{v} \right| \right)^{2}} \right) \overline{v} \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a, a+1, 2 \right ) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) }{ \left( \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a \right ) \left ( 1 \right )+\left (a+1 \right ) \left ( 1 \right )+\left ( 2 \right ) \left ( 1 \right ) }{ \left( \sqrt{3} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{a+a+1+2}{ 3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2 \right) \cdot \left( 1,1,1 \right) &= \left( \dfrac{2a+3}{3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right )
\end{align}$
Dari kesamaan vektor di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2a+3}{3} &= 2 \\
2a+3 &= 6 \rightarrow a=\frac{3}{2} \\
\hline
\overline{u} &= \left (a, a+1, 2 \right) \\
\overline{u} &= \left ( \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, 2 \right) \\
\left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \left (\frac{3}{2} \right )^{2} + \left (\frac{5}{2} \right )^{2} + \left (2\right)^{2} } \\
\left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4 } \\
&= \sqrt{ \frac{50}{4} } = \frac{5}{2}\sqrt{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{5}{2}\sqrt{2}$
7. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$, maka nilai minimum dari $\cot \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right)$ tercapai saat $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$.
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah:
$\begin{align}
y &= \cot\left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right) \\
&= \cot \left( x+ 60^{\circ} \right)-\tan \left( 120^{\circ}-x \right) \\
&= \tan \left( 90^{\circ} - \left( x+ 60^{\circ} \right) \right)-\tan \left( 90^{\circ}+30^{\circ}-x \right) \\
&= \tan \left( 30^{\circ} - x \right)+\cot \left( 30^{\circ} -x \right) \\
&= \dfrac{\sin \left( 30^{\circ} - x \right)}{\cos \left( 30^{\circ} - x \right)}+ \dfrac{\cos \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin \left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{\sin^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)+cos^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin \left( 30^{\circ} - x \right) \cdot \cos \left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{2}{\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)}
\end{align}$
Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 1 \\
\sin 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= \sin 90^{\circ} \\
\hline
2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 90^{\circ} \\
30^{\circ} - x &= 45^{\circ} \\
- x &= 45^{\circ}-30^{\circ} \\
x &= -15^{\circ}=-\dfrac{\pi}{12}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{\pi}{12}$
8. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan bilangan real $a \gt 0$ dan $a \neq 1$. Jika ${}^{a}\!\log y $, ${}^{a}\!\log \left(y+1 \right)$, ${}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)$ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika, maka kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah....
Alternatif Pembahasan:
${}^{a}\!\log y $, ${}^{a}\!\log \left(y+1 \right)$, ${}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)$ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmetika. Sehingga berdasarkan sifat barisan aritmetika dapat kit peroleh:
$\begin{align} u_{2}-u_{1} &= u_{3}-u_{2} \\ 2u_{2} &= u_{3}+u_{1} \\ 2 \cdot {}^{a}\!\log \left(y+1 \right) &= {}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)+ {}^{a}\!\log y \\ {}^{a}\!\log \left(y+1 \right)^{2} &= {}^{a}\!\log \left(3y+1 \right)\left( y \right) \\ \hline \left(y+1 \right)^{2} &= \left(3y+1 \right)\left( y \right) \\ y^{2}+2y+1 &= 3y^{2}+ y \\ 2y^{2}-y-1 &= 0 \\ \left( 2y+1 \right) \left( y-1 \right) &= 0 \\ y=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ y=1 & \end{align}$
Nilai $y=-\frac{1}{2}$ tidak memenuhi karena $y \gt 0$, sehingga nilai yang memenuhi $y=1$. Kuadrat nilai-nilai $y$ yang mungkin adalah $y^{2}=1^{2}=1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1$
9. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika ${}^{a^{2}} \log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^{3}\!\log \sqrt{a} = a - 2 $, maka ${}^{a}\!\log \left( \frac{1}{8} \right) = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat-sifat logaritma dan manipulasi aljabar, maka soal di atas dapat kita tuliskkan seperti berikut ini:
$\begin{align} {}^{a^{2}}\!\log \left(3^{a} - 8 \right)^{-4} \cdot {}^{3}\!\log \sqrt{a} &= a - 2 \\ \dfrac{-4}{2} \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^{3}\!\log a^{\frac{1}{2}} &= a - 2 \\ -2 \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^{3}\!\log a &= a - 2 \\ -1 \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) \cdot {}^{3}\!\log a &= a - 2 \\ {}^{3}\!\log a \cdot {}^{a}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ {}^{3}\!\log \left( 3^{a} - 8 \right) &= 2 - a \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2-a} \\ 3^{a} - 8 &= 3^{2} \cdot 3^{-a} \\ 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ \hline \text{misal}: m=3^{a} & \\ \hline 3^{a} \cdot 3^{a} - 8 \cdot 3^{a} &= 3^{2} \\ m \cdot m - 8m &= 9 \\ m^{2}-8m- 9 &= 0 \\ \left( m-9 \right)\left( m+1 \right) &= 0 \\ m=9\ \text{atau}\ m=-1 & \end{align}$
Untuk $m=-1$ tidak memenuhi karena $m=3^{a}$ akan selalu lebih dari nol, sehingga nilai $m=9$. Untuk $m=9$ maka $9=3^{a} \rightarrow a=2$.
Nilai ${}^{a}\!\log \left( \frac{1}{8} \right) = {}^{2}\!\log \left( 2^{-3} \right) = -3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -3$
10. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Jika $O$ titik tengah $DH$ dan $P$ adalah titik tengah $BF$, maka perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah....
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, titik $O,\ P$ serta $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ seperti berikut ini:
$\bigtriangleup HFC$ dengan sisi $HF$, $FC$, $CH$ yang merupakan diagonal sisi sehingga $\bigtriangleup HFC$ adalah segitiga sama sisi, luasnya adalah:
$\begin{align}
\left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^{\circ} \\
\left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\
&= 36 \sqrt{3}
\end{align}$
$\bigtriangleup AOP$ dengan sisi $AO$, $OP$, $AP$ dimana $OP$ diagonal sisi maka luasnya dapat kita hitung dengan menggunakan alas $OP$ dan tingginya adalah $\dfrac{1}{2}AG=6\sqrt{3}$, luasnya adalah:
$\begin{align}
\left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot OP \cdot t \\
\left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\
&= 36 \sqrt{6}
\end{align}$
Perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{3} = \sqrt{2} : 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2} : 1$
11. Soal Matematika UM UGM 2019
Misalkan $U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $U_{3}-U_{2}=6$ dan $U_{4}-U_{2}=18$, maka $U_{5}+U_{3}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$U_{n}$ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri sehingga kita peroleh $U_{2}=ar$, $U_{3}=ar^{2}$, dan $U_{4}=ar^{3}$.
Dari sifat yang disampaikan pada soal, kita peroleh:
$\begin{align}
U_{3}-U_{2} & =6 \\
ar^{2}-ar & =6 \\
ar \left( r-1 \right) & =6 \\
\hline
U_{4}-U_{2} & =18 \\
ar^{3}-ar & =18 \\
ar \left( r^{2}-1 \right) & =18 \\
ar \left( r -1 \right)\left( r +1 \right) & =18 \\
6\left( r +1 \right) & =18 \\
\left( r+1 \right) & =3 \\
r & = 2 \\
\hline
ar \left( r-1 \right) & =6 \\
a(2) \left( 2-1 \right) & =6 \\
2a & =6 \\
a & =3
\end{align}$
Untuk $a=3$ dan $r=2$, maka:
$\begin{align}
U_{5}+U_{3} & = ar^{4}+ar^{2} \\
& = (3)(2)^{4}+(3)(2)^{2} \\
& = 48+12 =60
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 60$
12. Soal Matematika UM UGM 2019
Suku banyak $p(x)$ bersisa $2$ jika dibagi $x-1$ dan tak bersisa jika dibagi $x+1$. Suku banyak $q(x)$ bersisa $2x$ jika dibagi $x^{2}-1$. Jika suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, maka sisanya adalah....
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.
$q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\
q(1) & = 2(1)=2 \\
q(-1) & = 2(-1)=-2
\end{align}$
Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
$\begin{align}
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\
\hline
p(1)+q(1) & = m (1)+n \\
4 & = m+n \\
\hline
p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\
-2 & = -m+n \\
\end{align}$
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 4 & \\
-m+n = -2 & \\
\hline
2n = 2 & \\
n = 1 & \\
m = 3 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x+1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$
13. Soal Matematika UM UGM 2019
Bilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari-jari $A+1$ adalah....
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ jari-jarinya adalah $A+1$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\
\left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\
A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\
0 &= 3A^{2}-2A-40 \\
0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\
& A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
14. Soal Matematika UM UGM 2019
Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $ \left|x^{2}-4 \right|=x+ \left| x-2 \right|$ adalah....
Alternatif Pembahasan:
\begin{align}
\left|x^{2}-4 \right|=x+ \left| x-2 \right|
\end{align}
definisi nilai mutlak
$\left| x^{2}-4 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x^{2}-4,\ \text{untuk}\ x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 2 \\
-\left( x^{2}-4 \right),\ \text{untuk}\ -2 \lt x \lt 2
\end{array} \right.$
$\left| x-2 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x-2,\ \text{untuk}\ x \geq 2 \\
-\left( x-2 \right),\ \text{untuk}\ x \lt 2
\end{array} \right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh tiga batasan nilai $x$ yang kita analisa yaitu $x \leq -2$ atau $-2 \lt x \lt 2$ atau $x \geq 2$.
- Untuk $x \leq -2$
$\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ x^{2}-4 &= x -\left( x-2 \right) \\ x^{2}-4 &= 2 \\ x^{2}-6 &= 0\\ \left( x - \sqrt{6} \right)\left( x + \sqrt{6} \right) &= 0\\ x = \sqrt{6}\ \text{atau}\ & x =-\sqrt{6} \\ \hline x \leq -2 & \rightarrow x = \sqrt{6}\ \text{(TM)} \\ x \leq -2 & \rightarrow x = -\sqrt{6}\ \text{(M)} \\ \end{align}$ - Untuk $-2 \lt x \lt 2$
$\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ -\left(x^{2}-4 \right) &= x -\left( x-2 \right) \\ -x^{2}+4 &= x -x+2 \\ x^{2}-2 &= 0 \\ \left( x - \sqrt{2} \right)\left( x + \sqrt{2} \right) &= 0\\ x = \sqrt{2}\ \text{atau}\ & x =-\sqrt{2} \\ \hline -2 \lt x \lt 2 & \rightarrow x = \sqrt{2}\ \text{(M)} \\ -2 \lt x \lt 2 & \rightarrow x = -\sqrt{2}\ \text{(M)} \\ \end{align}$ - Untuk $x \geq 2$
$\begin{align} \left|x^{2}-4 \right| &= x+ \left| x-2 \right| \\ x^{2}-4 &= x + x-2 \\ x^{2}-2x-2 &= 0 \\ x_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ &= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{3} \\ \hline x \geq 2 & \rightarrow x = 1 + \sqrt{3}\ \text{(M)} \\ x \geq 2 & \rightarrow x = 1 - \sqrt{3}\ \text{(TM)} \end{align}$
Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan ada $4$ yaitu $-\sqrt{6}$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, dan $1 + \sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
15. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika garis singgung kurva $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ di titik $ \left(a,b \right) $ mempunyai gradien $15$, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah....
Alternatif Pembahasan:
Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
15 & = 3x^{2}-6x-9 \\
15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\
0 & = 3a^{2}-6a-24 \\
0 & = a^{2}-2a-8 \\
0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\
& a=4\ \text{atau}\ a=-2
\end{align}$
Untuk $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM UGM Tahun 2019 Kode 624 ini sifatnya dokumen hidup yang senantiasa diperbarui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Setiap catatan tambahan yang Anda berikan akan sangat membantu meningkatkan kualitas catatan ini. 🙏CMIIW
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kita tidak bisa menghubungkan titik-titik (connect the dots) ke depan; kita hanya bisa menghubungkannya ke belakang. Suatu hari nanti, saat kamu sudah sukses, kamu akan menoleh ke belakang dan menyadari bahwa kegagalan hari ini adalah "titik" krusial yang membawamu ke jalur yang lebih tepat bagi jiwamu.