The good student, bersama calon guru kita belajar matematika dasar SMA dari Persamaan Trigonometri yaitu persamaan sinus dan persamaan cosinus.
Dalam modul matematika SMA dikatakan Persamaan trigonometri adalah persamaan yang didalamnya memuat perbandingan trigonometri.
Persamaan trigonometri ini terbagi dua bentuk, yakni berbentuk kalimat terbuka dan berbentuk identitas. Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam bentuk kalimat terbuka, berarti menentukan nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar.
Ada tiga macam bentuk dasar persamaan trigonometri yang dapat dipakai dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, yaitu:
- $\sin x = \sin \alpha$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah
$x = \alpha + k \cdot 360^{\circ}$ atau $x = 180^{\circ}-\alpha + k \cdot 360^{\circ}$ - $\cos x = \cos \alpha$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah
$x = \alpha + k \cdot 360^{\circ}$ atau $x = -\alpha + k \cdot 360^{\circ}$ - $\tan x = \tan \alpha$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah
$x = \alpha + k \cdot 180^{\circ}$
dimana $k$ adalah bilangan bulat.
Untuk menambah pemahaman kita dalam menggunakan aturan-aturan dasar persamaan trigonometri di atas dalam menyelesaikan masalah, mari kita coba beberapa contoh soal beriktu ini:
Contoh soal pertama untuk $\sin x = \sin \alpha$,
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2 \cdot \sin 3x =- \sqrt{2}$ dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$
Dari persamaan pada soal $2 \cdot \sin 3x =- \sqrt{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \cdot \sin 3x &= - \sqrt{2} \\ \sin 3x &= -\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin 3x &= \sin 225^{\circ} \\ \hline 3x &= 225^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 225^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline &\text{atau} \\ \hline 3x &= 180^{\circ}-225^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 3x &= -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 75^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} - 120^{\circ} = -195^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 0 = 75^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 120^{\circ} = 195^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 240^{\circ} = 315^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (3) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 360^{\circ} = 435^{\circ} \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -15^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} - 120^{\circ} = -135^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 0 = -15^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 120^{\circ} = 105^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 240^{\circ} = 225^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (3) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 360^{\circ} = 345^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (4) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 480^{\circ} = 465^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{75^{\circ}, 105^{\circ},195^{\circ},225^{\circ},315^{\circ},345 \right \}$
Contoh soal kedua untuk $\cos x = \cos \alpha$,
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\cos\ 2x = \dfrac{1}{2}$ dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$
Dari persamaan pada soal $\cos\ 2x = \dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \cos\ 2x &= \dfrac{1}{2} \\ \cos\ 2x &= \cos\ 60^{\circ} \\ \hline 2x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline &\text{atau} \\ \hline 2x &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} - 180^{\circ} = -150^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 0 = 30^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 360^{\circ} = 390^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} - 180^{\circ} = -210^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 0 = -30^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 180^{\circ} = 150^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 360^{\circ} = 330^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (3) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 540^{\circ} = 510^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{30^{\circ}, 150^{\circ},210^{\circ},330^{\circ} \right \}$
Contoh soal ketiga untuk $\tan x = \tan \alpha$,
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{3} + 3 \cdot \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) = 0$ dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$
Dari persamaan pada soal $\sqrt{3} + 3 \cdot \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) = 0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \sqrt{3} + 3 \cdot \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) &= 0 \\ 3 \cdot \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) &= -\sqrt{3} \\ \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) &= -\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) &= \tan\ 30^{\circ} \\ \hline 2x-30^{\circ} &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ 2x &= 60^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ x &= 30^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 30^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 0 = 30^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (3) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 270^{\circ} = 300^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (4) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 360^{\circ} = 390^{\circ} \ {\color{Red} \times } \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{30^{\circ}, 120^{\circ},210^{\circ},300^{\circ} \right \}$
Tiga contoh soal di atas mudah-mudahan dapat menambah pemahaman kita dalam menggunakan persamaan trigonometri dalam menyelesaikan masalah matematika.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN PERSAMAAN TRGONOMETRI DASAR
Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Persamaan Trigonometri Dasar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Untuk membantu kita dalam memahami persamaan trigonometri ini akan lebih baik kita juga sudah bisa dengan baik mengetahui nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. Sebagai bahan latihan silahkan dicoba beberapa soal latihan berikut ini.
1. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian persamaan $\sin 2x =-\dfrac{1}{2}$, dimana $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 95^{\circ}, 135^{\circ},245^{\circ},335^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 105^{\circ}, 165^{\circ} , 205^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 95^{\circ}, 165^{\circ} , 285^{\circ}, 355^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 105^{\circ}, 165^{\circ}, 285^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 105^{\circ}, 165^{\circ} , 285^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\sin 2x =-\dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \sin 2x &= -\dfrac{1}{2} \\ \sin 2x &= \sin 210^{\circ} \\ \hline 2x &= 210^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 105^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x &= 180^{\circ}-210^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 105^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 105^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 105^{\circ} - 180^{\circ} = -75^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 105^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 105^{\circ} + 0 = 105^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 105^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 105^{\circ} + 180^{\circ} = 285^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 105^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 105^{\circ} + 360^{\circ} = 465^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} - 180^{\circ} = -215^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 0 = -15^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 180^{\circ} = 165^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 360^{\circ} = 345^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (3) \cdot 360^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 540^{\circ} = 525^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{105^{\circ}, 165^{\circ}, 285^{\circ},345^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ 105^{\circ}, 165^{\circ}, 285^{\circ}, 345^{\circ} \right \}$
2. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 3x =\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 260^{\circ}, 280^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 280^{\circ}, 310^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 110^{\circ}, 230^{\circ}, 260^{\circ}, 290^{\circ}, 310^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 290^{\circ}, 320^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\sin 2x =-\dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \cos 3x &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos 3x &= \cos 30 \\ \hline 3x &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x &= -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= -10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} - 120^{\circ} = -110^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + 0 = 10^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + 120^{\circ} = 130^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + 240^{\circ} = 250^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (3) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + 360^{\circ} = 370^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} - 120^{\circ} = -130^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 0 = -10^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 120^{\circ} = 110^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 240^{\circ} = 230^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (3) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 360^{\circ} = 350^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (4) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 480^{\circ} = 470^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ} \right \}$
3. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin \left( 2x-30^{\circ} \right) =-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 135^{\circ}, 165^{\circ}, 315^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 135^{\circ}, 195^{\circ} , 315^{\circ}, 335^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 165^{\circ}, 225^{\circ} , 315^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 165^{\circ}, 215^{\circ}, 335^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 225^{\circ}, 270^{\circ} , 315^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\sin \left( 2x-30^{\circ} \right) =-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \sin \left( 2x-30^{\circ} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin \left( 2x-30^{\circ} \right) &= \sin 240^{\circ} \\ \hline 2x-30^{\circ} &= 240^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 2x &= 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x-30^{\circ} &= 180^{\circ}-240^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x-30 &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 135^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} - 180^{\circ} = -45^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 135^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} + 0 = 135^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 135^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} + 180^{\circ} = 315^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 135^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} + 360^{\circ} = 495^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} - 180^{\circ} = -215^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 0 = -15^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 180^{\circ} = 165^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 360^{\circ} = 345^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (3) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 540^{\circ} = 525^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{135^{\circ}, 165^{\circ}, 315^{\circ},345^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 135^{\circ}, 165^{\circ}, 315^{\circ}, 345^{\circ} \right \}$
4. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos \left(2x+60^{\circ} \right) =-\dfrac{1}{2} $, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 30^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ}, 210^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 270^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 90^{\circ}, 120^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 60^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ}, 240^{\circ} \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\cos \left(2x+60^{\circ} \right) =-\dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \cos \left(2x+60^{\circ} \right) &= -\dfrac{1}{2} \\ \cos \left(2x+60^{\circ} \right) &= \cos 120^{\circ} \\ \hline 2x+60^{\circ} &= 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 2x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x+60^{\circ} &= -120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= -180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} - 180^{\circ} = -150^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 0 = 30^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 360^{\circ} = 390^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} - 180^{\circ} = -270^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + 0 = -90^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + 180^{\circ} = 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + 360^{\circ} = 270^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (3) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + 540^{\circ} = 450^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 270^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 270^{\circ} \right \}$
5. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan \left(2x-30^{\circ} \right) =-\sqrt{3}$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 75^{\circ}, 165^{\circ}, 255^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 105^{\circ}, 185^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 75^{\circ}, 105^{\circ}, 165^{\circ}, 205^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 75^{\circ}, 165^{\circ}, 225^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 75^{\circ}, 165^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\tan \left(2x-30^{\circ} \right) =-\sqrt{3}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \tan \left(2x-30^{\circ} \right) &= -\sqrt{3} \\ \tan \left(2x-30^{\circ} \right) &= \tan 120^{\circ} \\ \hline 2x-30^{\circ} &= 120^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ 2x &= 150^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ x &= 75^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 75^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} - 90^{\circ} = -15^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 0 = 75^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 90^{\circ} = 165^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 180^{\circ} = 255^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (3) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 270^{\circ} = 345^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (4) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 360^{\circ} = 435^{\circ} \ {\color{Red} \times } \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{75^{\circ}, 165^{\circ},255^{\circ},345^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 75^{\circ}, 165^{\circ}, 255^{\circ}, 345^{\circ} \right \}$
6. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian dari $\sqrt{3}+2 \cdot \sin 2x =0$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 120^{\circ}, 150^{\circ}, 240^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 60^{\circ}, 150^{\circ} , 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 60^{\circ} , 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 60^{\circ}, 150^{\circ}, 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 120^{\circ}, 150^{\circ} , 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\sqrt{3}+2 \cdot \sin 2x =0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \sqrt{3}+2 \cdot \sin 2x &= 0 \\ 2 \cdot \sin 2x &= -\sqrt{3} \\ \sin 2x &= -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2x &= \sin 240^{\circ} \\ \hline 2x &= 240^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 120^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x &= 180^{\circ}-240^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 120^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 120^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 120^{\circ} - 180^{\circ} = -60^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 120^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 120^{\circ} + 0 = 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 120^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 120^{\circ} + 180^{\circ} = 300^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 120^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 120^{\circ} + 360^{\circ} = 480^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} - 180^{\circ} = -210^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 0 = -30^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 180^{\circ} = 150^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 360^{\circ} = 330^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (3) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 540^{\circ} = 510^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{120^{\circ}, 150^{\circ}, 300^{\circ},330^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{120^{\circ}, 150^{\circ}, 300^{\circ},330^{\circ} \right \}$
7. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{6} \tan 2x - \sqrt{2}=0$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 15^{\circ}, 195^{\circ} , 225^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 15^{\circ}, 105^{\circ} , 195^{\circ}, 285^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 105^{\circ}, 195^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 105^{\circ}, 185^{\circ} , 255^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\sqrt{6} \tan 2x - \sqrt{2}=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \sqrt{6} \tan 2x - \sqrt{2} &= 0 \\ \sqrt{6} \tan 2x &= \sqrt{2} \\ \tan 2x &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} } \\ \tan 2x &= \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ \tan\ 2x &= \tan\ 30^{\circ} \\ \hline 2x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ x &= 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} - 90^{\circ} = -75^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 0 = 15^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 90^{\circ} = 105^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 180^{\circ} = 195^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (3) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 270^{\circ} = 285^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (4) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 360^{\circ} = 375^{\circ} \ {\color{Red} \times } \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}, 285^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}, 285^{\circ} \right \}$
8. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian persamaan $\sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) =-\dfrac{1}{2}$, untuk $0 \lt x \leq 2\pi$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{7}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ (B)\ & \left \{ \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{5}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ (C)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi, \frac{7}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ (D)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{6}\pi, \frac{7}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ (E)\ & \left \{ \frac{5}{6}\pi, \frac{5}{3}\pi, \frac{7}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) =-\dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) &= -\dfrac{1}{2} \\ \sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) &= \sin 210^{\circ} \\ \sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) &= \sin \frac{7}{6}\pi \\ \hline 2x - \frac{1}{6}\pi &= \frac{7}{6}\pi + k \cdot 2\pi \\ 2x &= \frac{7}{6}\pi+ \frac{1}{6}\pi + k \cdot 2\pi \\ 2x &= \frac{8}{6}\pi + k \cdot 2\pi \\ x &= \frac{4}{6}\pi + k \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi + k \cdot \pi \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x - \frac{1}{6} \pi &=\pi - \frac{7}{6}\pi + k \cdot 2\pi \\ 2x &=\pi - \frac{7}{6}\pi + \frac{1}{6} \pi + k \cdot 2\pi \\ 2x &= k \cdot 2\pi \\ x &= k \cdot \pi \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= \frac{2}{3}\pi + k \cdot \pi \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= \frac{2}{3}\pi + (-1) \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi - \pi = -\frac{1}{3}\pi\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= \frac{2}{3}\pi + (0) \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi + 0 = \frac{2}{3}\pi \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= \frac{2}{3}\pi + (1) \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi + \pi = \frac{5}{3}\pi \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= \frac{2}{3}\pi + (2) \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi + 2\pi = \frac{8}{3}\pi\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= k \cdot \pi \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= (-1) \cdot \pi \\ x &= - \pi\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= (0) \cdot \pi \\ x &= 0\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= (1) \cdot \pi \\ x &= \pi \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= (2) \cdot \pi \\ x &= 2 \pi \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{ \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{5}{3}\pi, 2\pi \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{5}{3}\pi, 2\pi \right \}$
9. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian dari $2 \cdot \sin^{2}x - \sin x -1 = 0$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 30^{\circ}, 150^{\circ}, 210^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 90^{\circ}, 270^{\circ} , 330^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 150^{\circ} , 270^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 150^{\circ}, 210^{\circ}, 270^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 210^{\circ}, 270^{\circ} , 330^{\circ} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $2 \cdot \sin^{2}x - \sin x -1 = 0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \cdot \sin^{2}x - \sin x -1 &= 0 \\ \left( 2\sin x + 1 \right)\left( \sin x - 1 \right) &= 0 \\ \hline 2\sin x + 1 &= 0 \\ 2\sin x &= -1 \\ \sin x &= -\dfrac{1}{2} \\ x &= 210^{\circ}, 330^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline \sin x - 1 &= 0 \\ \sin x &= 1 \\ x &= 90^{\circ},\cdots \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ 90^{\circ}, 270^{\circ} , 330^{\circ} \right \}$
10. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4 \cdot \cos^{2}x -1 = 0$, dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 60^{\circ}, 120^{\circ}, 150^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 60^{\circ}, 150^{\circ} , 240^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 60^{\circ} , 120^{\circ}, 240^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 60^{\circ}, 120^{\circ}, 240^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 120^{\circ}, 240^{\circ} , 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $4 \cdot \cos^{2}x -1 = 0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 4 \cdot \cos^{2}x -1 &= 0 \\ \left( 2\cos x + 1 \right)\left( 2\cos x - 1 \right) &= 0 \\ \hline 2\cos x + 1 &= 0 \\ 2\cos x &= -1 \\ \cos x &= -\dfrac{1}{2} \\ x &= 120^{\circ}, 240^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2 \cos x - 1 &= 0 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ 60^{\circ}, 120^{\circ}, 240^{\circ}, 300^{\circ} \right \}$
11. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2 \cdot \sin x \cdot \cos x - \sin x= 0$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ} , 330^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 180^{\circ} , 330^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 30^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 60^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $2 \cdot \sin x \cdot \cos x - \sin x= 0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \cdot \sin x \cdot \cos x - \sin x &= 0 \\ \sin x \left( 2 \cos x - 1 \right) &= 0 \\ \hline \sin x &= 0 \\ x &= 0^{\circ}, 180^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2 \cos x - 1 &= 0 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ}, 300^{\circ} \right \}$
12. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Jika $\cos x = \sqrt{a}-\sqrt{b}$ dan $\sin x = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\cos x = \sqrt{a}-\sqrt{b}$ dan $\sin x = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke bentuk ysng dinginkan.
$\begin{align} \left( \sin x \right)^{2} &= \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^{2} \\ \sin^{2} x &= a+b+2\sqrt{ab} \\ \left( \cos x \right)^{2} &= \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2} \\ \cos^{2} x &= a+b-2\sqrt{ab} \\ \hline \sin^{2} x + \cos^{2} x &= a+b+2\sqrt{ab}+a+b-2\sqrt{ab} \\ 1 &= 2a+2b \\ \dfrac{1}{2} &= a+ b \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
13. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x +3\ \cos - 1=0$ untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi \right \} \\ (B)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi \right \} \\ (C)\ & \left \{ \frac{1}{2}\pi, \frac{5}{3}\pi \right \} \\ (D)\ & \left \{ \frac{1}{2}\pi, \frac{1}{3}\pi \right \} \\ (E)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi \right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\cos 2x +3\ \cos - 1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \cos 2x +3\ \cos - 1 &= 0 \\ \cos^{2}x - \sin^{2}x +3\ \cos - 1 &= 0 \\ \cos^{2}x- \left( 1-\cos^{2}x \right) +3\ \cos - 1 &= 0 \\ \cos^{2}x - 1 + \cos^{2}x +3\ \cos - 1 &= 0 \\ 2\cos^{2}x +3\ \cos - 2 &= 0 \\ \left( 2\cos x-1 \right)\left( \cos x+2\right) &= 0 \\ \hline 2\cos x-1 &= 0 \\ 2\cos x &= 1 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline \cos x+2 &= 0 \\ \cos x &= -2\ \text{(TM)} \\ \end{align}$
Sebagai catatan, Tidak Memenuhi (TM) karena tidak ada nilai $x$ yang mengakibatkan $\cos x = -2$, atau karena nilai $-1 \leq \cos x \leq 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi \right \}$
14. Soal Latihan Persamaan Trigonometri
Dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq \pi$, maka harga $x$ yanga memenuhi persamaan $8 \sin x\ \cos^{3} x - 8 \sin^{3} x\ \cos x = \sqrt{3}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left \{ 10^{\circ}, 30^{\circ}, 105^{\circ}, 120^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 30^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 150^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 15^{\circ}, 45^{\circ} 135^{\circ}, 150^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 15^{\circ}, 30^{\circ}, 105^{\circ}, 120^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 20^{\circ}, 30^{\circ}, 120^{\circ}, 135^{\circ}\right \} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $8 \sin x\ \cos^{3} x - 8 \sin^{3} x\ \cos x = \sqrt{3}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
Beberapa identitas perbandingan trigonometri yang mungkin membantu;
- $\sin 2a=2 \sin a\ \cos a$
- $\sin 4a=2 \sin 2a\ \cos 2a$
- $\cos 2a=\cos^{2} a - \sin^{2} a$
- $\cos 2a=1-2\sin^{2} a$
- $\cos 2a=2\cos^{2} a - 1$
$\begin{align} 8 \sin x\ \cos^{3} x - 8 \sin^{3} x\ \cos x &= \sqrt{3} \\ 8 \sin x\ \cos x \left( \cos^{2} x - \sin^{2} x \right) &= \sqrt{3} \\ 4 \cdot 2 \sin x\ \cos x \left( \cos 2x \right) &= \sqrt{3} \\ 4 \cdot \sin 2x\ \cos 2x &= \sqrt{3} \\ 2 \cdot 2 \cdot \sin 2x\ \cos 2x &= \sqrt{3} \\ 2 \cdot \sin 4x &= \sqrt{3} \\ \sin 4x &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 4x &= \sin 60^{\circ} \\ \hline 4x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 4x &= 180^{\circ}-60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 4x &= 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} - 90^{\circ} = -75^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} - 0 = 15 \\ \text{saat}\ k= 1 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 90^{\circ} = 105^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 180^{\circ} = 195^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= 30^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 0 = 30^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq \pi$ adalah $\left \{ 15^{\circ}, 30^{\circ}, 105^{\circ}, 120^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ 15^{\circ}, 30^{\circ}, 105^{\circ}, 120^{\circ} \right \}$
Catatan tentang Persamaan Trigonometri Dasar di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.