Skip to main content

Persamaan Trigonometri Dasar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

The good student, belajar matematika dasar SMA berikut ini coba membahasa tentang Persamaan Trigonometri.

Dalam modul matematika SMA dikatakan Persamaan trigonometri adalah persamaan yang didalamnya memuat perbandingan trigonometri.

Persamaan trigonometri ini terbagi dua bentuk, yakni berbentuk kalimat terbuka dan berbentuk identitas. Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam bentuk kalimat terbuka, berarti menentukan nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar.

Ada tiga macam bentuk dasar persamaan trigonometri yang dapat dipakai dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, yaitu:

  • $\sin x = \sin \alpha$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah
    $x = \alpha + k \cdot 360^{\circ}$ atau $x = 180^{\circ}-\alpha + k \cdot 360^{\circ}$
  • $\cos x = \cos \alpha$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah
    $x = \alpha + k \cdot 360^{\circ}$ atau $x = -\alpha + k \cdot 360^{\circ}$
  • $\tan x = \tan \alpha$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah
    $x = \alpha + k \cdot 180^{\circ}$
  • dimana $k$ adalah bilangan bulat.

Untuk menambah pemahaman kita dalam menggunakan aturan-aturan dasar persamaan trigonometri di atas dalam menyelesaikan masalah, mari kita coba beberapa contoh soal beriktu ini:

Contoh soal pertama untuk $\sin x = \sin \alpha$,
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2 \cdot \sin 3x =- \sqrt{2}$ dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$

Dari persamaan pada soal $2 \cdot \sin 3x =- \sqrt{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} 2 \cdot \sin 3x &= - \sqrt{2} \\ \sin 3x &= -\frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin 3x &= \sin 225^{\circ} \\ \hline 3x &= 225^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 225^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline &\text{atau} \\ \hline 3x &= 180^{\circ}-225^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 3x &= -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 75^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} - 120^{\circ} = -195^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 0 = 75^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 120^{\circ} = 195^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 240^{\circ} = 315^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (3) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 360^{\circ} = 435^{\circ} \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -15^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} - 120^{\circ} = -135^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 0 = -15^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 120^{\circ} = 105^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 240^{\circ} = 225^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (3) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 360^{\circ} = 345^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (4) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 480^{\circ} = 465^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{75^{\circ}, 105^{\circ},195^{\circ},225^{\circ},315^{\circ},345 \right \}$


Contoh soal kedua untuk $\cos x = \cos \alpha$,
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\cos\ 2x = \dfrac{1}{2}$ dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$

Dari persamaan pada soal $\cos\ 2x = \dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \cos\ 2x &= \dfrac{1}{2} \\ \cos\ 2x &= \cos\ 60^{\circ} \\ \hline 2x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline &\text{atau} \\ \hline 2x &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} - 180^{\circ} = -150^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 0 = 30^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 360^{\circ} = 390^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} - 180^{\circ} = -210^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 0 = -30^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 180^{\circ} = 150^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 360^{\circ} = 330^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (3) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 540^{\circ} = 510^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{30^{\circ}, 150^{\circ},210^{\circ},330^{\circ} \right \}$


Contoh soal ketiga untuk $\tan x = \tan \alpha$,
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{3} + 3 \cdot \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) = 0$ dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$

Dari persamaan pada soal $\sqrt{3} + 3 \cdot \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) = 0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \sqrt{3} + 3 \cdot \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) &= 0 \\ 3 \cdot \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) &= -\sqrt{3} \\ \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) &= -\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \tan\ \left(2x-30^{\circ} \right) &= \tan\ 30^{\circ} \\ \hline 2x-30^{\circ} &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ 2x &= 60^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ x &= 30^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 30^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 0 = 30^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (3) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 270^{\circ} = 300^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (4) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 360^{\circ} = 390^{\circ} \ {\color{Red} \times } \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{30^{\circ}, 120^{\circ},210^{\circ},300^{\circ} \right \}$

Tiga contoh soal di atas mudah-mudahan dapat menambah pemahaman kita dalam menggunakan persamaan trigonometri dalam menyelesaikan masalah matematika.

SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN PERSAMAAN TRGONOMETRI DASAR


Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Persamaan Trigonometri Dasar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Untuk membantu kita dalam memahami persamaan trigonometri ini akan lebih baik kita juga sudah bisa dengan baik mengetahui nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. Sebagai bahan latihan silahkan dicoba beberapa soal latihan berikut ini.

1. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian persamaan $\sin 2x =-\dfrac{1}{2}$, dimana $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 95^{\circ}, 135^{\circ},245^{\circ},335^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 105^{\circ}, 165^{\circ} , 205^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 95^{\circ}, 165^{\circ} , 285^{\circ}, 355^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 105^{\circ}, 165^{\circ}, 285^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 105^{\circ}, 165^{\circ} , 285^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\sin 2x =-\dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \sin 2x &= -\dfrac{1}{2} \\ \sin 2x &= \sin 210^{\circ} \\ \hline 2x &= 210^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 105^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x &= 180^{\circ}-210^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 105^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 105^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 105^{\circ} - 180^{\circ} = -75^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 105^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 105^{\circ} + 0 = 105^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 105^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 105^{\circ} + 180^{\circ} = 285^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 105^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 105^{\circ} + 360^{\circ} = 465^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} - 180^{\circ} = -215^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 0 = -15^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 180^{\circ} = 165^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 360^{\circ} = 345^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (3) \cdot 360^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 540^{\circ} = 525^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{105^{\circ}, 165^{\circ}, 285^{\circ},345^{\circ} \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ 105^{\circ}, 165^{\circ}, 285^{\circ}, 345^{\circ} \right \}$

2. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 3x =\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 260^{\circ}, 280^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 280^{\circ}, 310^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 110^{\circ}, 230^{\circ}, 260^{\circ}, 290^{\circ}, 310^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 290^{\circ}, 320^{\circ}, 350^{\circ} \right \} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\sin 2x =-\dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \cos 3x &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos 3x &= \cos 30 \\ \hline 3x &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x &= -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= -10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} - 120^{\circ} = -110^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + 0 = 10^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + 120^{\circ} = 130^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + 240^{\circ} = 250^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 10^{\circ} + (3) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + 360^{\circ} = 370^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} - 120^{\circ} = -130^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 0 = -10^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 120^{\circ} = 110^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 240^{\circ} = 230^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (3) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 360^{\circ} = 350^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= -10^{\circ} + (4) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + 480^{\circ} = 470^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ} \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ} \right \}$

3. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin \left( 2x-30^{\circ} \right) =-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 135^{\circ}, 165^{\circ}, 315^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 135^{\circ}, 195^{\circ} , 315^{\circ}, 335^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 165^{\circ}, 225^{\circ} , 315^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 165^{\circ}, 215^{\circ}, 335^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 225^{\circ}, 270^{\circ} , 315^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\sin \left( 2x-30^{\circ} \right) =-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \sin \left( 2x-30^{\circ} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin \left( 2x-30^{\circ} \right) &= \sin 240^{\circ} \\ \hline 2x-30^{\circ} &= 240^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 2x &= 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x-30^{\circ} &= 180^{\circ}-240^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x-30 &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 135^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} - 180^{\circ} = -45^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 135^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} + 0 = 135^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 135^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} + 180^{\circ} = 315^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 135^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 135^{\circ} + 360^{\circ} = 495^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} - 180^{\circ} = -215^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 0 = -15^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 180^{\circ} = 165^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 360^{\circ} = 345^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -15^{\circ} + (3) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -15^{\circ} + 540^{\circ} = 525^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{135^{\circ}, 165^{\circ}, 315^{\circ},345^{\circ} \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 135^{\circ}, 165^{\circ}, 315^{\circ}, 345^{\circ} \right \}$

4. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos \left(2x+60^{\circ} \right) =-\dfrac{1}{2} $, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 30^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ}, 210^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 270^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 90^{\circ}, 120^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 60^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ}, 240^{\circ} \right \} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\cos \left(2x+60^{\circ} \right) =-\dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \cos \left(2x+60^{\circ} \right) &= -\dfrac{1}{2} \\ \cos \left(2x+60^{\circ} \right) &= \cos 120^{\circ} \\ \hline 2x+60^{\circ} &= 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 2x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x+60^{\circ} &= -120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= -180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} - 180^{\circ} = -150^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 0 = 30^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 360^{\circ} = 390^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} - 180^{\circ} = -270^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + 0 = -90^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + 180^{\circ} = 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + 360^{\circ} = 270^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -90^{\circ} + (3) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + 540^{\circ} = 450^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 270^{\circ} \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 270^{\circ} \right \}$

5. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan \left(2x-30^{\circ} \right) =-\sqrt{3}$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 75^{\circ}, 165^{\circ}, 255^{\circ}, 345^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 105^{\circ}, 185^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 75^{\circ}, 105^{\circ}, 165^{\circ}, 205^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 75^{\circ}, 165^{\circ}, 225^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 75^{\circ}, 165^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\tan \left(2x-30^{\circ} \right) =-\sqrt{3}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \tan \left(2x-30^{\circ} \right) &= -\sqrt{3} \\ \tan \left(2x-30^{\circ} \right) &= \tan 120^{\circ} \\ \hline 2x-30^{\circ} &= 120^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ 2x &= 150^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ x &= 75^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 75^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} - 90^{\circ} = -15^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 0 = 75^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 90^{\circ} = 165^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 180^{\circ} = 255^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (3) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 270^{\circ} = 345^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= 75^{\circ} + (4) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + 360^{\circ} = 435^{\circ} \ {\color{Red} \times } \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{75^{\circ}, 165^{\circ},255^{\circ},345^{\circ} \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 75^{\circ}, 165^{\circ}, 255^{\circ}, 345^{\circ} \right \}$

6. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian dari $\sqrt{3}+2 \cdot \sin 2x =0$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 120^{\circ}, 150^{\circ}, 240^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 60^{\circ}, 150^{\circ} , 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 60^{\circ} , 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 60^{\circ}, 150^{\circ}, 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 120^{\circ}, 150^{\circ} , 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\sqrt{3}+2 \cdot \sin 2x =0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \sqrt{3}+2 \cdot \sin 2x &= 0 \\ 2 \cdot \sin 2x &= -\sqrt{3} \\ \sin 2x &= -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2x &= \sin 240^{\circ} \\ \hline 2x &= 240^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 120^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x &= 180^{\circ}-240^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 120^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 120^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 120^{\circ} - 180^{\circ} = -60^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 120^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 120^{\circ} + 0 = 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 120^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 120^{\circ} + 180^{\circ} = 300^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 120^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= 120^{\circ} + 360^{\circ} = 480^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (-1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} - 180^{\circ} = -210^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (0) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 0 = -30^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (1) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 180^{\circ} = 150^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (2) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 360^{\circ} = 330^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= -30^{\circ} + (3) \cdot 180^{\circ} \\ x &= -30^{\circ} + 540^{\circ} = 510^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{120^{\circ}, 150^{\circ}, 300^{\circ},330^{\circ} \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{120^{\circ}, 150^{\circ}, 300^{\circ},330^{\circ} \right \}$

7. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{6} \tan 2x - \sqrt{2}=0$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 15^{\circ}, 195^{\circ} , 225^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 15^{\circ}, 105^{\circ} , 195^{\circ}, 285^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 105^{\circ}, 195^{\circ}, 255^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 105^{\circ}, 185^{\circ} , 255^{\circ}, 315^{\circ} \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\sqrt{6} \tan 2x - \sqrt{2}=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \sqrt{6} \tan 2x - \sqrt{2} &= 0 \\ \sqrt{6} \tan 2x &= \sqrt{2} \\ \tan 2x &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} } \\ \tan 2x &= \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ \tan\ 2x &= \tan\ 30^{\circ} \\ \hline 2x &= 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}\\ x &= 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} - 90^{\circ} = -75^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 0 = 15^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 90^{\circ} = 105^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 180^{\circ} = 195^{\circ} \\ \text{saat}\ k=3 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (3) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 270^{\circ} = 285^{\circ} \\ \text{saat}\ k=4 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (4) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 360^{\circ} = 375^{\circ} \ {\color{Red} \times } \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}, 285^{\circ} \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}, 285^{\circ} \right \}$

8. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian persamaan $\sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) =-\dfrac{1}{2}$, untuk $0 \lt x \leq 2\pi$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{7}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ (B)\ & \left \{ \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{5}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ (C)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi, \frac{7}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ (D)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{6}\pi, \frac{7}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ (E)\ & \left \{ \frac{5}{6}\pi, \frac{5}{3}\pi, \frac{7}{3}\pi, 2\pi \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) =-\dfrac{1}{2}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) &= -\dfrac{1}{2} \\ \sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) &= \sin 210^{\circ} \\ \sin \left( 2x - \frac{1}{6}\pi \right) &= \sin \frac{7}{6}\pi \\ \hline 2x - \frac{1}{6}\pi &= \frac{7}{6}\pi + k \cdot 2\pi \\ 2x &= \frac{7}{6}\pi+ \frac{1}{6}\pi + k \cdot 2\pi \\ 2x &= \frac{8}{6}\pi + k \cdot 2\pi \\ x &= \frac{4}{6}\pi + k \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi + k \cdot \pi \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2x - \frac{1}{6} \pi &=\pi - \frac{7}{6}\pi + k \cdot 2\pi \\ 2x &=\pi - \frac{7}{6}\pi + \frac{1}{6} \pi + k \cdot 2\pi \\ 2x &= k \cdot 2\pi \\ x &= k \cdot \pi \\ \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= \frac{2}{3}\pi + k \cdot \pi \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= \frac{2}{3}\pi + (-1) \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi - \pi = -\frac{1}{3}\pi\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= \frac{2}{3}\pi + (0) \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi + 0 = \frac{2}{3}\pi \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= \frac{2}{3}\pi + (1) \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi + \pi = \frac{5}{3}\pi \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= \frac{2}{3}\pi + (2) \cdot \pi \\ x &= \frac{2}{3}\pi + 2\pi = \frac{8}{3}\pi\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= k \cdot \pi \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= (-1) \cdot \pi \\ x &= - \pi\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= (0) \cdot \pi \\ x &= 0\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= (1) \cdot \pi \\ x &= \pi \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= (2) \cdot \pi \\ x &= 2 \pi \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah $\left \{ \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{5}{3}\pi, 2\pi \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{5}{3}\pi, 2\pi \right \}$

9. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian dari $2 \cdot \sin^{2}x - \sin x -1 = 0$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 30^{\circ}, 150^{\circ}, 210^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 90^{\circ}, 270^{\circ} , 330^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 150^{\circ} , 270^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 150^{\circ}, 210^{\circ}, 270^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 210^{\circ}, 270^{\circ} , 330^{\circ} \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $2 \cdot \sin^{2}x - \sin x -1 = 0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} 2 \cdot \sin^{2}x - \sin x -1 &= 0 \\ \left( 2\sin x + 1 \right)\left( \sin x - 1 \right) &= 0 \\ \hline 2\sin x + 1 &= 0 \\ 2\sin x &= -1 \\ \sin x &= -\dfrac{1}{2} \\ x &= 210^{\circ}, 330^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline \sin x - 1 &= 0 \\ \sin x &= 1 \\ x &= 90^{\circ},\cdots \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ 90^{\circ}, 270^{\circ} , 330^{\circ} \right \}$

10. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4 \cdot \cos^{2}x -1 = 0$, dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 60^{\circ}, 120^{\circ}, 150^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 60^{\circ}, 150^{\circ} , 240^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 60^{\circ} , 120^{\circ}, 240^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 60^{\circ}, 120^{\circ}, 240^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 120^{\circ}, 240^{\circ} , 300^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $4 \cdot \cos^{2}x -1 = 0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} 4 \cdot \cos^{2}x -1 &= 0 \\ \left( 2\cos x + 1 \right)\left( 2\cos x - 1 \right) &= 0 \\ \hline 2\cos x + 1 &= 0 \\ 2\cos x &= -1 \\ \cos x &= -\dfrac{1}{2} \\ x &= 120^{\circ}, 240^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2 \cos x - 1 &= 0 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ 60^{\circ}, 120^{\circ}, 240^{\circ}, 300^{\circ} \right \}$

11. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2 \cdot \sin x \cdot \cos x - \sin x= 0$, untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ} , 330^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 30^{\circ}, 180^{\circ} , 330^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 30^{\circ}, 330^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 60^{\circ}, 300^{\circ} \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $2 \cdot \sin x \cdot \cos x - \sin x= 0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} 2 \cdot \sin x \cdot \cos x - \sin x &= 0 \\ \sin x \left( 2 \cos x - 1 \right) &= 0 \\ \hline \sin x &= 0 \\ x &= 0^{\circ}, 180^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 2 \cos x - 1 &= 0 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ}, 300^{\circ} \right \}$

12. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Jika $\cos x = \sqrt{a}-\sqrt{b}$ dan $\sin x = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ maka nilai $a+b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\cos x = \sqrt{a}-\sqrt{b}$ dan $\sin x = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke bentuk ysng dinginkan.

$\begin{align} \left( \sin x \right)^{2} &= \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^{2} \\ \sin^{2} x &= a+b+2\sqrt{ab} \\ \left( \cos x \right)^{2} &= \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2} \\ \cos^{2} x &= a+b-2\sqrt{ab} \\ \hline \sin^{2} x + \cos^{2} x &= a+b+2\sqrt{ab}+a+b-2\sqrt{ab} \\ 1 &= 2a+2b \\ \dfrac{1}{2} &= a+ b \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$

13. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x +3\ \cos - 1=0$ untuk $0^{\circ} \lt x \leq 360^{\circ}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi \right \} \\ (B)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi \right \} \\ (C)\ & \left \{ \frac{1}{2}\pi, \frac{5}{3}\pi \right \} \\ (D)\ & \left \{ \frac{1}{2}\pi, \frac{1}{3}\pi \right \} \\ (E)\ & \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi \right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $\cos 2x +3\ \cos - 1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

$\begin{align} \cos 2x +3\ \cos - 1 &= 0 \\ \cos^{2}x - \sin^{2}x +3\ \cos - 1 &= 0 \\ \cos^{2}x- \left( 1-\cos^{2}x \right) +3\ \cos - 1 &= 0 \\ \cos^{2}x - 1 + \cos^{2}x +3\ \cos - 1 &= 0 \\ 2\cos^{2}x +3\ \cos - 2 &= 0 \\ \left( 2\cos x-1 \right)\left( \cos x+2\right) &= 0 \\ \hline 2\cos x-1 &= 0 \\ 2\cos x &= 1 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline \cos x+2 &= 0 \\ \cos x &= -2\ \text{(TM)} \\ \end{align}$

Sebagai catatan, Tidak Memenuhi (TM) karena tidak ada nilai $x$ yang mengakibatkan $\cos x = -2$, atau karena nilai $-1 \leq \cos x \leq 1$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ \frac{1}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi \right \}$

14. Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Dalam interval $0^{\circ} \lt x \leq \pi$, maka harga $x$ yanga memenuhi persamaan $8 \sin x\ \cos^{3} x - 8 \sin^{3} x\ \cos x = \sqrt{3}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{ 10^{\circ}, 30^{\circ}, 105^{\circ}, 120^{\circ} \right \} \\ (B)\ & \left \{ 30^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 150^{\circ} \right \} \\ (C)\ & \left \{ 15^{\circ}, 45^{\circ} 135^{\circ}, 150^{\circ} \right \} \\ (D)\ & \left \{ 15^{\circ}, 30^{\circ}, 105^{\circ}, 120^{\circ} \right \} \\ (E)\ & \left \{ 20^{\circ}, 30^{\circ}, 120^{\circ}, 135^{\circ}\right \} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan pada soal $8 \sin x\ \cos^{3} x - 8 \sin^{3} x\ \cos x = \sqrt{3}$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.

Beberapa identitas perbandingan trigonometri yang mungkin membantu;

  • $\sin 2a=2 \sin a\ \cos a$
  • $\sin 4a=2 \sin 2a\ \cos 2a$
  • $\cos 2a=\cos^{2} a - \sin^{2} a$
  • $\cos 2a=1-2\sin^{2} a$
  • $\cos 2a=2\cos^{2} a - 1$

$\begin{align} 8 \sin x\ \cos^{3} x - 8 \sin^{3} x\ \cos x &= \sqrt{3} \\ 8 \sin x\ \cos x \left( \cos^{2} x - \sin^{2} x \right) &= \sqrt{3} \\ 4 \cdot 2 \sin x\ \cos x \left( \cos 2x \right) &= \sqrt{3} \\ 4 \cdot \sin 2x\ \cos 2x &= \sqrt{3} \\ 2 \cdot 2 \cdot \sin 2x\ \cos 2x &= \sqrt{3} \\ 2 \cdot \sin 4x &= \sqrt{3} \\ \sin 4x &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 4x &= \sin 60^{\circ} \\ \hline 4x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 4x &= 180^{\circ}-60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 4x &= 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{align}$

Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.

$\begin{align} x &= 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} - 90^{\circ} = -75^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} - 0 = 15 \\ \text{saat}\ k= 1 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 90^{\circ} = 105^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 15^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 15^{\circ} + 180^{\circ} = 195^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= 30^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (-1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (0) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 0 = 30^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (1) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 30^{\circ} + (2) \cdot 90^{\circ} \\ x &= 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$

Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0^{\circ} \lt x \leq \pi$ adalah $\left \{ 15^{\circ}, 30^{\circ}, 105^{\circ}, 120^{\circ} \right \}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ 15^{\circ}, 30^{\circ}, 105^{\circ}, 120^{\circ} \right \}$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Persamaan Trigonometri Dasar di atas silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.


Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Persamaan Trigonometri Dasar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar