com.png "defantri.com")
Catatan Calon Guru berikut tentang Binomial Newton serta pembahasan soal matematika yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial newton.
Untuk menggunakan Teorema Binomial Newton ini menyelesaikan masalah yang kita hadapi, setidaknya kita sudah bisa menggunakan Faktorial $(!)$ dan Aturan Kombinasi yaitu $\begin{align} C \left( n,r \right) = & \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \end{align}$
- Kombinasi $2$ dari $4$
$\begin{align} \binom{4}{2} = & \dfrac{4!}{2!(4-2)!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{4 \cdot 3}{2!} =6 \end{align}$ - Kombinasi $1$ dari $5$
$\begin{align} \binom{5}{1} = &\dfrac{5!}{1!(5-1)!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4!}{1! \cdot 4!} \\ & = \dfrac{5 }{1} = 5 \end{align}$ - Kombinasi $3$ dari $6$
$\begin{align} \binom{6}{3} = & \dfrac{6!}{3!(6-3)!} \\ & = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20 \end{align}$
TEOREMA BINOMIAL NEWTON
Sewaktu SMP kita sudah pernah mendengar dan memakai segitiga pascal. Konfigurasi segitiga pascal kita gunakan untuk mencari banyak anggota himpunan bagian dari suatu himpunan. Bentuk segitiga pascal yang sudah kita kenal seperti berikuti ini:
Selain menentukan banyak anggota himpunan bagian dari suatu himpunan, kita dapat gunakan pada bentuk eksponen binomial. Bentuk eksponen binomial adalah bentuk eksponen dengan dua variabel, yakni $\left(a+b \right)^{n}$. Bentuk ini dapat diuraikan dengan konfigurasi segitiga pascal, yaitu:
Misalnya:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{0} & = \color{red}{1} \\
\hline
\left(a+b \right)^{1} & = \color{red}{1} \cdot a^{1} \cdot b^{0} + \color{red}{1} \cdot a^{1-1} \cdot b^{1} \\
& = a + b \\
\hline
\left(a+b \right)^{2} & = \color{red}{1} \cdot a^{2} \cdot b^{1} + \color{red}{2} \cdot a^{2-1} \cdot b^{1} + \color{red}{1} \cdot a^{2-2} \cdot b^{2} \\
& = a^{2} + \color{red}{2}ab + b^{2} \\
\hline
\left(a+b \right)^{3} & = \color{red}{1} \cdot a^{3} \cdot b^{0} + \color{red}{3} \cdot a^{3-1} \cdot b^{1} + \color{red}{3} \cdot a^{3-2} \cdot b^{2} + \color{red}{1} \cdot a^{3-3} \cdot b^{3} \\
& = a^{3} + \color{red}{3} a^{2} b + \color{red}{3} a b^{2} + b^{3} \\
\hline
\left(a+b \right)^{4} & = \color{red}{1} \cdot a^{4} \cdot b^{0} + \color{red}{4} \cdot a^{4-1} \cdot b^{1} + \color{red}{6} \cdot a^{4-2} \cdot b^{2} + \color{red}{4} \cdot a^{4-3} \cdot b^{3} + \color{red}{1} \cdot a^{4-4} \cdot b^{4} \\
& = a^{4} + \color{red}{4} a^{3} b + \color{red}{6} a^{2} b^{2} + \color{red}{4} a b^{3} + b^{4}
\end{align}$
Koefisien setiap suku $\color{red}{1}\ \color{red}{3}\ \color{red}{3}\ \color{red}{1}$ pada penjabaran $\left(a+b \right)^{3}$ dan koefisien setiap suku $\color{red}{1}\ \color{red}{4}\ \color{red}{6}\ \color{red}{4}\ \color{red}{1}$ pada penjabaran $\left(a+b \right)^{4}$ dapat diperoleh dari segitiga pascal.
Penyajian perhitungan pada segitiga pascal dapat juga kita sajikan dalam bentuk yang berbeda, bentuknya seperti berikut ini:
Dari segitiga pascal di atas, apabila $\left(a+b \right)^{3}$ dan $\left(a+b \right)^{4}$ kita jabarkan dapat seperti berikut:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{3} & = \binom{3}{0} \cdot a^{3} \cdot b^{0} + \color{red}{\binom{3}{1}} \cdot a^{3-1} \cdot b^{1} + \color{green}{\binom{3}{2}} \cdot a^{3-2} \cdot b^{2} + \color{blue}{\binom{3}{3}} \cdot a^{3-3} \cdot b^{3} \\
& = 1 \cdot a^{3} \cdot b^{0} + \color{red}{3} \cdot a^{3-1} \cdot b^{1} + \color{green}{3} \cdot a^{3-2} \cdot b^{2} + \color{blue}{1} \cdot a^{3-3} \cdot b^{3} \\
& = a^{3} + \color{red}{3} a^{2} b + \color{green}{3} a b^{2} + b^{3} \\
\hline
\left(a+b \right)^{4} & = \binom{4}{0} \cdot a^{4} \cdot b^{0} + \color{red}{\binom{4}{1}} \cdot a^{4-1} \cdot b^{1} + \color{green}{\binom{4}{2}} \cdot a^{4-2} \cdot b^{2} + \color{blue}{\binom{4}{3}} \cdot a^{4-3} \cdot b^{3} + \binom{4}{4} \cdot a^{4-4} \cdot b^{4} \\
& = 1 \cdot a^{4} \cdot b^{0} + \color{red}{4} \cdot a^{4-1} \cdot b^{1} + \color{green}{6} \cdot a^{4-2} \cdot b^{2} + \color{blue}{4} \cdot a^{4-3} \cdot b^{3} + 1 \cdot a^{4-4} \cdot b^{4} \\
& = a^{4} + \color{red}{4} a^{3} b + \color{green}{6} a^{2} b^{2} + \color{blue}{4} a b^{3} + b^{4}
\end{align}$
Jadi selanjutnya untuk menjabarkan polinom bentuk $\left(a+b \right)^{n}$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kombinasi yaitu dengan rumus Binomial Newton: \begin{align} \left(a+b \right)^{n} & = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\ \left(a+b \right)^{n} & = a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n} \end{align}
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN BINOMIAL NEWTON
Jika tertarik untuk membahas soal-soal yang menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan soal dan sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA, soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional, atau mandiri silahkan disimak pada catatan soal dan pembahasan kaidah pencacahan.
Untuk menambah pengetahuan kita terkait kombinasi mari kita lihat beberapa soal latihan berikut. Soal latihan ini kita pilih dari Modul Matematika SMA Kaidah Pencacahan tentang Kombinasi atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 8 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Binomial Newton
Uraian dari bentuk $\left(a+b \right)^{5}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal dengan aturan $\left(a+b \right)^{n}=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \ \ \ \ \left(a+b \right)^{5} \\ &= a^{5}+\binom{5}{1}a^{5-1}b+\binom{5}{2}a^{5-2}b^{2}+\binom{5}{3}a^{5-3}b^{3}+\binom{5}{4}a^{5-4}b^{4}+ b^{5} \\ &= a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+ b^{5} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$
2. Soal Binomial Newton
Uraian dari bentuk $\left( 2x- y \right)^{4}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal dengan aturan $\left(a+b \right)^{n}=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} &\ \ \ \ \ \left( 2x - y \right)^{4} \\ &= (2x)^{4}+\binom{4}{1}(2x)^{4-1}(-y)+\binom{4}{2}(2x)^{4-2}(-y)^{2}+\binom{4}{3}(2x)^{4-3}(-y)^{3}+ (-y)^{4} \\ &= 16x^{4}+4(2x)^{3}(-y)+6(2x)^{2}y^{2}+4(2x)(-y)^{3}+ y^{4} \\ &= 16x^{4}-4 \cdot 8x^{3}y+6 \cdot 4x^{2}y^{2}-8xy^{3}+ y^{4} \\ &= 16x^{4}-32x^{3}y+24x^{2}y^{2}-8xy^{3}+ y^{4} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 16x^{4}-32x^{3}y+24x^{2}y^{2}-8xy^{3}+ y^{4}$
3. Soal Binomial Newton
Suku keenam dari uraian bentuk $\left( a+b \right)^{10}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh suku keenam dari uraian bentuk $\left( a+b \right)^{10}$ dengan dua kemungkinan.
Suku keenam dari uraian $\left( a+b \right)^{10}$ terbentuk saat $b^{5}$ atau $a^{10-5}b^{5}$ sehingga dapat kita peroleh suku keenam adalah:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\
\hline
\binom{10}{5}a^{10-5}b^{5}
&= 252 a^{5}b^{5}
\end{align}$
Suku keenam dari uraian $\left( b+a \right)^{10}$ terbentuk saat $a^{5}$ atau $b^{10-5}a^{5}$ sehingga dapat kita peroleh suku keenam adalah:
$\begin{align}
\left(b+a \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}b^{n-r}a^{r} \\
\hline
\binom{10}{5}b^{10-5}a^{5}
&= 252 b^{5}a^{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 252 \cdot a^{5}b^{5}$
4. Soal Binomial Newton
Suku ketiga dari uraian bentuk $\left( x+3y \right)^{7}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh suku ketiga dari uraian bentuk $\left( x+3y \right)^{7}$ pada dua kemungkinan.
Suku ketiga dari uraian $\left( x+3y \right)^{7}$ terbentuk saat $(3y)^{2}$ atau $x^{7-2}(3y)^{2}$ sehingga dapat kita peroleh suku ketiga adalah:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\
\hline
\binom{7}{2}(x)^{7-2}(3y)^{2}
&= 21 x^{5} \cdot 9 y^{2} \\
&= 189 x^{5} y^{2}
\end{align}$
Suku ketiga dari uraian $\left( 3y+x \right)^{7}$ terbentuk saat $(x)^{2}$ atau $(3y)^{7-2}(x)^{2}$ sehingga dapat kita peroleh suku ketiga adalah:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\
\hline
\binom{7}{2}(3y)^{7-2}(x)^{2}
&= 21 (3y)^{5} \cdot x^{2} \\
&= 21 \cdot 243 x^{5} y^{2} \\
&= 5.103 x^{5} y^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 189 x^{5} y^{2}$
5. Soal Binomial Newton
Jika koefisien suku ketiga dari uraian bentuk $\left( x+ay \right)^{3}$ adalah $12$, maka nilai $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh suku ketiga dari uraian bentuk $\left( x+3y \right)^{7}$ pada dua kemungkinan.
Suku ketiga dari uraian $\left( x+ay \right)^{3}$ adalah $12$ terbentuk saat $(ay)^{2}$ atau $x^{3-2}(ay)^{2}$ sehingga dapat kita peroleh suku ketiga adalah:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\
\hline
\binom{3}{2}(x)^{3-2}(ay)^{2}
&= 3 x \cdot a^{2} y^{2} \\
&= 3a^{2} x y^{2} \\
\hline
3a^{2} &= 12 \\
a^{2} &= 4 \\
a &= \pm 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2$
6. Soal Binomial Newton
Koefisien suku yang memuat $x^{6}$ dari penjabaran $\left( 2+x \right)^{8}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh koefisien $x^{6}$ dari uraian bentuk $\left( 2+x \right)^{8}$.
Suku $x^{6}$ dari uraian $\left( 2+x \right)^{8}$ terbentuk saat $(x)^{6}$ atau $(2)^{8-6}(x)^{6}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\
\hline
\binom{8}{6}(2)^{8-6}(x)^{6} &= 28 \cdot 2^{2} \cdot x^{6} \\
&= 112 x^{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 112$
7. Soal Binomial Newton
Salah satu suku dari penjabaran $\left( 2x+y \right)^{7}$ adalah $mx^{4}y^{3}$. Nilai $m=\cdots$...
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh koefisien $mx^{4}y^{3}$ dari uraian bentuk $\left( 2x+y \right)^{7}$.
Suku $mx^{4}y^{3}$ dari uraian $\left( 2x+y \right)^{7}$ terbentuk saat $(2x)^{4}y^{3}$ atau $(2x)^{7-3}(y)^{3}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\
\hline
\binom{7}{3}(2x)^{7-3}(y)^{3}
&= 35 \cdot (2x)^{4} \cdot y^{3} \\
&= 35 \cdot 2^{4} \cdot x^{4} \cdot y^{3} \\
&= 560x^{4} y^{3} \\
\hline
mx^{4}y^{3} &= 560x^{4} y^{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 560$
8. Soal Binomial Newton
Koefisien $x^{5}y^{3}$ dari penjabaran binom $\left( x-2y \right)^{8}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan bantuan aturan $\left(a+b \right)^{n} = \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ dapat kita peroleh koefisien $x^{5}y^{3}$ dari uraian bentuk $\left( x-2y \right)^{8}$.
Suku $x^{5}y^{3}$ dari uraian $\left( x-2y \right)^{8}$ terbentuk saat $(x)^{5}(-2)^{3}$ atau $(x)^{8-3}(-2y)^{3}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left(a+b \right)^{n} &= \sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} \\
\hline
\binom{8}{3}(x)^{8-3}(-2y)^{3}
&= 56 \cdot (x)^{5} \cdot (-2)^{3} \cdot y^{3} \\
&= 56 \cdot (x)^{5} \cdot (-8) \cdot y^{3} \\
&= -448x^{5} y^{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -448$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Menggunakan Kombinasi dan Binomial Newton Dalam Menyelesaikan Soal Matematika di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Teorema Binomial Newton dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
