Mengenal Fungsi Floor dan Fungsi Ceiling (Fungsi Tangga) Dalam Matematika

Calon Guru belajar matematika SMA lewat Mengenal Fungsi Floor dan Fungsi Ceiling (Fungsi Tangga) Dalam Matematika. Pada matematika tingkat SMP atau SMA fungsi floor atau fungsi ceiling (fungsi tangga) dipelajari hanya pada kelas khusus yaitu kelas persiapan menghadapi olimpiade matematika tingkat SMP atau olimpiade matematika tingkat SMA.

Untuk kelas matematika umum, biasanya materi ini hanya diperkenalkan nama dan gambarnya saja, yang memberi tahu bahwa ada fungsi yang gambarnya seperti tangga, sehingga nama fungsi ini sering juga disebut dengan fungsi tangga. Catatan tentang fungsi tangga sudah pernah dibahas sedikit pada Contoh Soal Tahap Identifikasian Potensi Siswa Dalam Bermatematika.

FUNGSI FLOOR dan FUNGSI CEILING

Fungsi floor dan fungsi ceiling adalah salah satu fungsi dasar di dalam matematika. Untuk bilangan real $x$, fungsi floor $x$ dan fungsi ceiling $x$ dinotasikan dan definisikan sebagai berikut:

Fungsi Floor $x$,
$\left \lfloor x \right \rfloor =$ bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$.
Fungsi Ceiling $x$,
$\left \lceil x \right \rceil =$ bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan $x$.

Pada buku Concrete Mathematics 2nd - Ronald L. Graham disampaikan bahwa notasi "floor" dan "ceiling" ini diperkenalkan oleh Kenneth E.Iverson pada awal tahun 1960-an.

FUNGSI FLOOR (FLOOR FUNCTION)

Untuk sebuah fungsi floor $x$ dinotasikan dengan $\left \lfloor x \right \rfloor$ dan didefinisikan $\left \lfloor x \right \rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$.
Dalam bahasa matematika definisi ini dapat dinotasikan sebagai berikut:
\begin{align} \left \lfloor x \right \rfloor= \text{maks}\left \{ a \in \mathbb{Z}\: |\: a \leq x \right \} \end{align}

Floor dalam bahasa Indonesia artinya lantai, atau dasar, sehingga dalam bahasa sederhana dapat kita katakan fungsi floor disebut juga fungsi pembulatan ke bawah dan nilai yang dipilih adalah bilangan bulat.

GAMBAR GRAFIK FUNGSI FLOOR $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$

Jika kita gambarkan dalam grafik koordinat kartesius, gambar fungsi floor $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$ adalah seperti tangga, inilah salah satu alasan kenapa fungsi ini sering juga disebut dengan fungsi tangga.

$dalam grafik koordinat kartesius, gambar fungsi floor $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$$

Dari definisi dan gambar grafik di atas, dapat kita tuliskan beberapa contoh:
$\begin{align}
& \bullet\ \left \lfloor 2 \right \rfloor = 2 \\ & \bullet\ \left \lfloor -2 \right \rfloor = -2 \\ & \bullet\ \left \lfloor 0,5 \right \rfloor =0 \\ & \bullet\ \left \lfloor -0,5 \right \rfloor = -1 \\ & \bullet\ \left \lfloor 2,7 \right \rfloor =2 \\ & \bullet\ \left \lfloor -2,7 \right \rfloor = -3 \end{align}$

SIFAT FUNGSI FLOOR $\left \lfloor x \right \rfloor$

Dari definisi fungsi floor $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$ dapat kita tuliskan beberapa sifat-sifatnya, antara lain:

$\left \lfloor x \right \rfloor=x,$ untuk $x$ bilangan bulat.
$x-1 \lt \left \lfloor x \right \rfloor \leq x,$ untuk $x$ bilangan real.
$\left \lfloor x \right \rfloor=n$ $\longleftrightarrow$ $x-1 \lt n \leq x,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$\left \lfloor x \right \rfloor=n$ $\longleftrightarrow$ $n \leq x \lt n+1,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$\left \lfloor x \right \rfloor \lt n$ $\longleftrightarrow$ $x \lt n,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$n \leq \left \lfloor x \right \rfloor $ $\longleftrightarrow$ $n \leq x,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$\left \lfloor x+n \right \rfloor=\left \lfloor x \right \rfloor + n,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor \leq \left \lfloor x+y \right \rfloor,$
untuk $x,y$ bilangan real.
$\left \lfloor x \cdot y \right \rfloor \leq \left \lfloor x \right \rfloor \cdot \left \lfloor y \right \rfloor,$
untuk $x,y$ bilangan real.

FUNGSI CEILING (CEILING FUNCTION)

Untuk sebuah fungsi ceiling $x$ dinotasikan dengan $\left \lceil x \right \rceil$ dan didefinisikan $\left \lceil x \right \rceil$ adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan $x$.
Dalam bahasa matematika definisi ini dapat dinotasikan sebagai berikut:
\begin{align} \left \lceil x \right \rceil= \text{min}\left \{ a \in \mathbb{Z}\: |\: a \leq x \right \} \end{align}

Ceiling dalam bahasa Indonesia artinya langit-langit, sehingga dalam bahasa sederhana dapat kita katakan fungsi ceiling disebut juga fungsi pembulatan ke atas dan nilai yang dipilih adalah bilangan bulat.

GAMBAR GRAFIK FUNGSI CEILING $f(x)=\left \lceil x \right \rceil$

Jika kita gambarkan dalam grafik koordinat kartesius, gambar fungsi ceiling $f(x)=\left \lceil x \right \rceil$ adalah seperti tangga, inilah salah satu alasan kenapa fungsi ini sering juga disebut dengan fungsi tangga.

$dalam grafik koordinat kartesius, gambar fungsi ceiling $f(x)=\left \lceil x \right \rceil$$

Dari definisi dan gambar grafik di atas, dapat kita tuliskan beberapa contoh:
$\begin{align}
& \bullet\ \left \lceil 2 \right \rceil = 2 \\ & \bullet\ \left \lceil -2 \right \rceil = -2 \\ & \bullet\ \left \lceil 0,5 \right \rceil =1 \\ & \bullet\ \left \lceil -0,5 \right \rceil = 0 \\ & \bullet\ \left \lceil 2,7 \right \rceil =3 \\ & \bullet\ \left \lceil -2,7 \right \rceil = -2 \end{align}$

SIFAT FUNGSI CEILING $\left \lceil x \right \rceil$

Dari definisi fungsi ceiling $f(x)=\left \lceil x \right \rceil$ dapat kita tuliskan beberapa sifat-sifatnya, antara lain:

$\left \lceil x \right \rceil=x,$ untuk $x$ bilangan bulat.
$x \leq \left \lceil x \right \rceil \lt x+1,$ untuk $x$ bilangan real.
$\left \lceil x \right \rceil=n$ $\longleftrightarrow$ $x \leq n \lt x+1,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$\left \lceil x \right \rceil=n$ $\longleftrightarrow$ $n-1 \lt x \leq n,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$n \lt \left \lceil x \right \rceil $ $\longleftrightarrow$ $n \lt x,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$\left \lceil x \right \rceil \leq n$ $\longleftrightarrow$ $x \leq n,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$\left \lceil x+n \right \rceil=\left \lceil x \right \rceil + n,$
untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.
$\left \lceil x+y \right \rceil \geq \left \lceil x \right \rceil + \left \lceil y \right \rceil,$
untuk $x,y$ bilangan real.
$\left \lceil x \cdot y \right \rceil \geq \left \lceil x \right \rceil \cdot \left \lceil y \right \rceil,$
untuk $x,y$ bilangan real.

HUBUNGAN FUNGSI FLOOR dan CEILING

Dari definisi atau sifat-sifat fungsi floor dan fungsi ceiling, ada beberapa hubungan yang bisa kita ambil, antara lain:

$x-1 \lt \left \lfloor x \right \rfloor \leq \left \lceil x \right \rceil \lt x+1$
untuk $x$ bilangan real.
$-\left \lfloor x \right \rfloor = \left \lceil -x \right \rceil ,$
untuk $x$ bilangan real.
$\left \lfloor -x \right \rfloor = -\left \lceil x \right \rceil ,$
untuk $x$ bilangan real.
$\left \lceil x \right \rceil - \left \lfloor x \right \rfloor =0,$
untuk $x$ bilangan bulat.
$\left \lceil x \right \rceil - \left \lfloor x \right \rfloor =1,$
untuk $x$ bukan bilangan bulat.

SOAL dan PEMBAHASAN FUNGSI FLOOR dan CEILING

Beberapa soal yang dapat kita selesaikan dengan menggunakan definisi dan sifat-sifat fungsi floor atau fungsi ceiling.

1. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Lambang $\left \lfloor a \right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan bilangan real $a$. Bilangan real $s$ merupakan suatu solusi $0 \lt 3 \left \lfloor 3x+3 \right \rfloor \lt 7$.

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?

$P$ $Q$

$s$

$-1$

$(A)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$
$(B)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$
$(C)$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$
$(D)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$
$(E)$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$

$P$	$Q$
$s$	$-1$

Alternatif Pembahasan:

Dari ketidaksamaan $0 \lt 3 \left \lfloor 3x+3 \right \rfloor \lt 7$ kita ketahui bahwa $\left \lfloor 3x+3 \right \rfloor$ adalah bilangan bulat, sehingga agar ketidaksamaan bernilai benar maka nilai $\left \lfloor 3x+3 \right \rfloor$ yang mungkin adalah $1$ atau $2$.

Kemungkinan pertama, untuk $\left \lfloor 3x+3 \right \rfloor=1$, kita peroleh:
$\begin{align} \left \lfloor 3x+3 \right \rfloor &=1 \\ \left \lfloor 3x \right \rfloor + 3 &=1 \\ \left \lfloor 3x \right \rfloor &=1-3 \\ \left \lfloor 3x \right \rfloor &= -2 \\ \hline \left \lfloor y \right \rfloor = n\ & \leftrightarrow\ n \leq y \lt n+1 \\ \hline -2 \leq 3x \lt & -2+1 \\ -2 \leq 3x \lt & -1 \\ -\dfrac{2}{3} \leq x \lt & -\dfrac{1}{3} \end{align}$

Kemungkinan kedua, untuk $\left \lfloor 3x+3 \right \rfloor=2$, kita peroleh:
$\begin{align} \left \lfloor 3x+3 \right \rfloor &=2 \\ \left \lfloor 3x \right \rfloor + 3 &=2 \\ \left \lfloor 3x \right \rfloor &=2-3 \\ \left \lfloor 3x \right \rfloor &= -1 \\ \hline \left \lfloor y \right \rfloor = n\ & \leftrightarrow\ n \leq y \lt n+1 \\ \hline -1 \leq 3x \lt & -1+1 \\ -1 \leq 3x \lt & 0 \\ -\dfrac{1}{3} \leq x \lt & 0 \end{align}$

Untuk nilai $-\dfrac{2}{3} \leq x \lt -\dfrac{1}{3}$ atau $-\dfrac{1}{3} \leq x \lt 0$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $-\dfrac{2}{3} \leq x \lt 0$.

Dari hasil di atas kita peroleh nilai $P=s$ adalah salah satu yang memenuhi pada $-\dfrac{2}{3} \leq x \lt 0$, sehingga untuk nilai $Q=-1$ kita peroleh "Kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$".

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$

2. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Lambang $\left \lceil y \right \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan bilangan real $y$. Bilangan real $a$ merupakan suatu solusi dari $1 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}x-1 \right \rceil \lt 3$.

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?

$P$ $Q$

$a$

$7$

$(A)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$
$(B)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$
$(C)$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$
$(D)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$
$(E)$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$

$P$	$Q$
$a$	$7$

Alternatif Pembahasan:

Dari pertidaksamaan $1 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}x-1 \right \rceil \lt 3$ dan sifat fungsi ceiling $\left \lceil y \right \rceil$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} 1 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}x-1 \right \rceil & \lt 3 \\ 1 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil -1 & \lt 3 \\ 2 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil & \lt 4 \end{align}$

Dari ketidaksamaan di atas kita ketahui bahwa $\left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil$ adalah bilangan bulat, sehingga agar ketidaksamaan bernilai benar maka nilai $\left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil$ yang mungkin adalah $3$.
$\begin{align} \left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil & = 3 \\ \hline \left \lceil x \right \rceil=n\ & \leftrightarrow\ n-1 \lt x \leq n \\ \hline 3-1 \lt \dfrac{1}{2}x & \leq 3 \\ 2 \lt \dfrac{1}{2}x & \leq 3 \\ 4 \lt x & \leq 6 \\ \end{align}$

Dari hasil di atas kita peroleh nilai $P=a$ yang merupakan suatu solusi dari $4 \lt x \leq 6$, sehingga untuk nilai $Q=7$ kita peroleh "Kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$".

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$

3. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Lambang $\left \lfloor a \right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan bilangan real $a$. Bilangan real $s$ merupakan suatu solusi $0 \lt 3 \left \lfloor 5-3x \right \rfloor \lt 11$.

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?

$P$ $Q$

$\dfrac{s}{2}$

$0$

$(A)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$
$(B)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$
$(C)$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$
$(D)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$
$(E)$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$

$P$	$Q$
$\dfrac{s}{2}$	$0$

Alternatif Pembahasan:

Dari ketidaksamaan $0 \lt 3 \left \lfloor 5-3x \right \rfloor \lt 11$ kita ketahui bahwa $\left \lfloor 5-3x \right \rfloor$ adalah bilangan bulat, sehingga agar ketidaksamaan bernilai benar maka nilai $\left \lfloor 5-3x \right \rfloor$ yang mungkin adalah $1,2$ atau $3$.

Kemungkinan pertama, untuk $\left \lfloor 5-3x \right \rfloor=1$, kita peroleh:
$\begin{align} \left \lfloor 5-3x \right \rfloor &=1 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor + 5 &=1 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor &=1-5 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor &= -4 \\ \hline \left \lfloor y \right \rfloor = n\ & \leftrightarrow\ n \leq y \lt n+1 \\ \hline -4 \leq -3x \lt & -4+1 \\ -4 \leq -3x \lt & -3 \\ 1 \lt x \leq & \dfrac{4}{3} \end{align}$

Kemungkinan kedua, untuk $\left \lfloor 5-3x \right \rfloor=2$, kita peroleh:
$\begin{align} \left \lfloor 5-3x \right \rfloor &=2 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor + 5 &=2 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor &=2-5 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor &= -3 \\ \hline \left \lfloor y \right \rfloor = n\ & \leftrightarrow\ n \leq y \lt n+1 \\ \hline -3 \leq -3x \lt & -3+1 \\ -3 \leq -3x \lt & -2 \\ \dfrac{2}{3} \lt x \leq & 1 \end{align}$

Kemungkinan ketiga, untuk $\left \lfloor 5-3x \right \rfloor=3$, kita peroleh:
$\begin{align} \left \lfloor 5-3x \right \rfloor &=3 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor + 5 &=3 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor &=3-5 \\ \left \lfloor -3x \right \rfloor &= -2 \\ \hline \left \lfloor y \right \rfloor = n\ & \leftrightarrow\ n \leq y \lt n+1 \\ \hline -2 \leq -3x \lt & -2+1 \\ -2 \leq -3x \lt & -1 \\ \dfrac{1}{3} \lt x \leq & \dfrac{2}{3} \end{align}$

Untuk nilai $\dfrac{1}{3} \lt x \leq \dfrac{2}{3}$ atau $\dfrac{2}{3} \lt x \leq 1$ atau $1 \lt x \leq \dfrac{4}{3}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $\dfrac{1}{3} \lt x \leq \dfrac{4}{3}$.

Dari hasil di atas kita peroleh nilai $P=s$ adalah salah satu yang memenuhi pada $\dfrac{1}{3} \lt x \leq \dfrac{4}{3}$, sehingga untuk nilai $Q=0$ kita peroleh "Kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$".

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$

4. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Lambang $\left \lceil a \right \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan bilangan real $a$. Bilangan real $u$ merupakan suatu solusi dari $0 \lt \left \lceil x-1 \right \rceil \lt 2$ dan $1 \lt \left \lceil x+1 \right \rceil \lt 4$.

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?

$P$ $Q$

$u$

$1$

$(A)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$
$(B)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$
$(C)$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$
$(D)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$
$(E)$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$

$P$	$Q$
$u$	$1$

Alternatif Pembahasan:

Dari ketidaksamaan $0 \lt \left \lceil x-1 \right \rceil \lt 2$ kita ketahui bahwa $\left \lceil x-1 \right \rceil$ adalah bilangan bulat, sehingga agar ketidaksamaan bernilai benar maka nilai $\left \lceil x-1 \right \rceil$ yang mungkin adalah $1$.
$\begin{align} \left \lceil x-1 \right \rceil & = 1 \\ \hline \left \lceil x \right \rceil=n\ & \leftrightarrow\ n-1 \lt x \leq n \\ \hline 1-1 \lt x-1 & \leq 1 \\ 0 \lt x-1 & \leq 1 \\ 1 \lt x & \leq 2 \end{align}$

Dari ketidaksamaan $1 \lt \left \lceil x+1 \right \rceil \lt 4$ kita ketahui bahwa $\left \lceil x+1 \right \rceil$ adalah bilangan bulat, sehingga agar ketidaksamaan bernilai benar maka nilai $\left \lceil x+1 \right \rceil$ yang mungkin adalah $2$ atau $3$.
$\begin{align} \left \lceil x+1 \right \rceil & = 2 \\ \hline \left \lceil x \right \rceil=n\ & \leftrightarrow\ n-1 \lt x \leq n \\ \hline 2-1 \lt x+1 & \leq 2 \\ 1 \lt x+1 & \leq 2 \\ 0 \lt x & \leq 1 \\ \hline \left \lceil x+1 \right \rceil & = 3 \\ 3-1 \lt x+1 & \leq 3 \\ 2 \lt x+1 & \leq 3 \\ 1 \lt x & \leq 2 \\ \hline \hline 0 \lt x & \leq 2 \end{align}$

Himpunan bilangan real $x$ yang memenuhi untuk $1 \lt x \leq 2$ dan $0 \lt x \leq 2$ adalah $1 \lt x \leq 2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)$ kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$

Catatan Mengenal Fungsi Floor dan Fungsi Ceiling (Fungsi Tangga) Dalam Matematika di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda yang dialamatkan kepada admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.