Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi

Sebuah lingkaran melalui dua titik sudut persegi dan menyinggung salah satu sisi persegi (ilustrasi perhatikan gambar).

Tentukan nilai perbandingan antara luas lingkaran dan luas persegi.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk membantu kita menyelesaikan masalah diatas mungkin kita perlu memberi nama titik untuk titik-titik yang diperlukan misalnya titik sudut persegi dengan $ ABCD $, titik singgung lingkaran dan persegi dengan $ E $, dan titik pusat lingkaran dengan $ F $.

Selain pemberian nama titik, kita juga mungkin perlu pemisalan dari panjang jari-jari lingkaran kita misalkan dengan $ r $, dan panjang sisi persegi dengan $ x $.

Dengan bantuan nama-nama dari titik dan panjang sisi persegi begitu juga dengan panjang jari-jari lingkaran, gambar bisa kita sajikan dengan ilustrasi sebagai berikut;


Dengan memperhatikan gambar diatas dapat kita peroleh bahwa panjang $ BF=AF=r $ sehingga segitiga $ ABF $ adalah segitiga samakaki.

Karena segitiga $ ABF $ adalah segitiga samakaki maka jika kita tarik garis tinggi dari $ F $ ke $ G $ pada $ AB $ maka panjang $ BG=AG=\frac{1}{2}x $. Perpanjangan garis $ FG $ memotong lingkaran di sebuah titik kita sebut dengan titik $ H $.

Dengan menggunakan data dari gambar diatas kita bisa memperoleh panjang $ FG $.
$ FG+GH=FH$
$ GH=FH-FG$
$ GH=r-FG$ (*)
berikutnya;
$ EG+GH=EH$
$ GH=EH-EG$
$ GH=2r-x$ (**)
Kita substitusi (*) dan (**) kita peroleh;
$ r-FG=2r-x$
$ FG=x-r$

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $ BGF$ yaitu:
$ BG^{2}+FG^{2}=BF^{2} $
$ \left (\frac{1}{2}x \right )^{2}+\left (x-r \right )^{2}=r^{2} $
$ \frac{1}{4}x ^{2}+x^{2}-2xr+r^{2}=r^{2} $
$ \frac{5}{4}x ^{2}-2xr=0 $
$ \frac{5}{4}x-2r=0 $
$ x=\frac{8}{5}r $

Berikutnya data yang kita punya adalah Luas Lingkaran $ \left ( \pi r^{2} \right )$ dan Luas Persegi $ \left ( x^{2} \right )$.

Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi;
$ = \pi r^{2}:x^{2}$
$ = \pi r^{2}:\left (\frac{8}{5}r \right )^{2}$
$ = \pi r^{2}:\frac{64}{25}r^{2}$
$ = 25 \pi :64$



Jika ada kesalahan atau alternatif penyelesaian yang lain harap diberi masukan melalui kotak komentar.

Terima Kasih juga kepada Bapak Sabar Sitanggang untuk ide penyelesaiannya melalui buku: Matematika? Bismillah! (Meretas Jalan Menuju Olimpiade Matematika Nasional & Internasional).

Sering lihat video keren di facebook tapi kesulitan untuk mendowloadnya, coba ikuti langkah-langkahnya pada video berikut mungkin membantu;

You Might Also Like: