Sebuah lingkaran melalui dua titik sudut persegi dan menyinggung salah satu sisi persegi (ilustrasi perhatikan gambar). Tentukan nilai perbandingan antara luas lingkaran dan luas persegi.
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan gambar diatas dapat kita peroleh bahwa panjang $ BF=AF=r $ sehingga segitiga $ ABF $ adalah segitiga samakaki.
Karena segitiga $ ABF $ adalah segitiga samakaki maka jika kita tarik garis tinggi dari $ F $ ke $ G $ pada $ AB $ maka panjang $ BG=AG=\frac{1}{2}x $. Perpanjangan garis $ FG $ memotong lingkaran di sebuah titik kita sebut dengan titik $ H $.
Dengan menggunakan data dari gambar diatas kita bisa memperoleh panjang $ FG $.
$ FG+GH=FH$
$ GH=FH-FG$
$ GH=r-FG$ (*)
berikutnya;
$ EG+GH=EH$
$ GH=EH-EG$
$ GH=2r-x$ (**)
Kita substitusi (*) dan (**) kita peroleh;
$ r-FG=2r-x$
$ FG=x-r$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $ BGF$ yaitu:
$ BG^{2}+FG^{2}=BF^{2} $
$ \left (\frac{1}{2}x \right )^{2}+\left (x-r \right )^{2}=r^{2} $
$ \frac{1}{4}x ^{2}+x^{2}-2xr+r^{2}=r^{2} $
$ \frac{5}{4}x ^{2}-2xr=0 $
$ \frac{5}{4}x-2r=0 $
$ x=\frac{8}{5}r $
Berikutnya data yang kita punya adalah Luas Lingkaran $ \left ( \pi r^{2} \right )$ dan Luas Persegi $ \left ( x^{2} \right )$.
Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi;
$ = \pi r^{2}:x^{2}$
$ = \pi r^{2}:\left (\frac{8}{5}r \right )^{2}$
$ = \pi r^{2}:\frac{64}{25}r^{2}$
$ = 25 \pi :64$
Hint
Untuk membantu kita menyelesaikan masalah diatas mungkin kita perlu memberi nama titik untuk titik-titik yang diperlukan misalnya titik sudut persegi dengan $ ABCD $, titik singgung lingkaran dan persegi dengan $ E $, dan titik pusat lingkaran dengan $ F $.
Selain pemberian nama titik, kita juga mungkin perlu pemisalan dari panjang jari-jari lingkaran kita misalkan dengan $ r $, dan panjang sisi persegi dengan $ x $.
Dengan bantuan nama-nama dari titik dan panjang sisi persegi begitu juga dengan panjang jari-jari lingkaran, gambar bisa kita sajikan dengan ilustrasi sebagai berikut;
Karena segitiga $ ABF $ adalah segitiga samakaki maka jika kita tarik garis tinggi dari $ F $ ke $ G $ pada $ AB $ maka panjang $ BG=AG=\frac{1}{2}x $. Perpanjangan garis $ FG $ memotong lingkaran di sebuah titik kita sebut dengan titik $ H $.
$ FG+GH=FH$
$ GH=FH-FG$
$ GH=r-FG$ (*)
berikutnya;
$ EG+GH=EH$
$ GH=EH-EG$
$ GH=2r-x$ (**)
Kita substitusi (*) dan (**) kita peroleh;
$ r-FG=2r-x$
$ FG=x-r$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $ BGF$ yaitu:
$ BG^{2}+FG^{2}=BF^{2} $
$ \left (\frac{1}{2}x \right )^{2}+\left (x-r \right )^{2}=r^{2} $
$ \frac{1}{4}x ^{2}+x^{2}-2xr+r^{2}=r^{2} $
$ \frac{5}{4}x ^{2}-2xr=0 $
$ \frac{5}{4}x-2r=0 $
$ x=\frac{8}{5}r $
Berikutnya data yang kita punya adalah Luas Lingkaran $ \left ( \pi r^{2} \right )$ dan Luas Persegi $ \left ( x^{2} \right )$.
Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi;
$ = \pi r^{2}:x^{2}$
$ = \pi r^{2}:\left (\frac{8}{5}r \right )^{2}$
$ = \pi r^{2}:\frac{64}{25}r^{2}$
$ = 25 \pi :64$
Jika ada kesalahan atau alternatif penyelesaian yang lain harap diberi masukan melalui kotak komentar.
Terima Kasih juga kepada Bapak Sabar Sitanggang untuk ide penyelesaiannya melalui buku: Matematika? Bismillah! (Meretas Jalan Menuju Olimpiade Matematika Nasional & Internasional).
Sering lihat video keren di facebook tapi kesulitan untuk mendowloadnya, coba ikuti langkah-langkahnya pada video berikut mungkin membantu;