Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi
Diskusi Catatan Calon Guru coba berdiskusi satu topik tentang Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi.Sebuah lingkaran melalui dua titik sudut persegi dan menyinggung salah satu sisi persegi (ilustrasi perhatikan gambar). Tentukan nilai perbandingan antara luas lingkaran dan luas persegi?
Pembahasan yang kita coba tuliskan disini adalah ide pembahasan dari Josua Tampubolon, seperti apa pembasannya mari kita simak:
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar jika kita misalkan $BF=CE=x$, jari-jari lingkaran $r$, dan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $AFE$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
AE^{2} &= AF^{2}+ EF^{2} \\
\left( 2r \right)^{2} &= \left( 2r-2x \right)^{2}+ \left( 2r-x \right)^{2} \\
4r^{2} &= 4r^{2}-4rx+4x^{2}+4r^{2}-8rx+x^{2} \\
0 &= 4r^{2}-12rx+5x^{2} \\
x & = \left( 2r-5x \right) \left( 2r-x \right) \\
& r = \dfrac{5x}{2}\ \text{atau}\ r = \dfrac{x}{2} \\
\end{align}$
Untuk $r = \dfrac{x}{2}$, panjang sisi persegi adalah $FE = 2r-x=2 \left( \dfrac{x}{2} \right)-x=0$ (Tidak Memenuhi)
Untuk $r = \dfrac{5x}{2}$, panjang sisi persegi adalah $FE = 2r-x=2 \left( \dfrac{5x}{2} \right)-x=4x$ (Tidak Memenuhi)
Berikutnya kita menentukan Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi yaitu:
$\begin{align}
\left [ \bigcirc \right ] : \left [ \square \right ] &= \pi r^{2} : (4x)^{2} \\
&= \pi \left ( \frac{5x}{2} \right )^{2} : 16x^{2} \\
&= \pi \dfrac{25}{4} x^{2} : 16x^{2} \\
&= 25 \pi :64 \\
\end{align}$
Show
Gambar soal kita beri beberapa titik tambahan yaitu titik $A$, $B$, $C$, $D$, dan $E$ seperti pada gambar berikut ini:
Dari gambar jika kita misalkan $BF=CE=x$, jari-jari lingkaran $r$, dan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $AFE$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
AE^{2} &= AF^{2}+ EF^{2} \\
\left( 2r \right)^{2} &= \left( 2r-2x \right)^{2}+ \left( 2r-x \right)^{2} \\
4r^{2} &= 4r^{2}-4rx+4x^{2}+4r^{2}-8rx+x^{2} \\
0 &= 4r^{2}-12rx+5x^{2} \\
x & = \left( 2r-5x \right) \left( 2r-x \right) \\
& r = \dfrac{5x}{2}\ \text{atau}\ r = \dfrac{x}{2} \\
\end{align}$
Untuk $r = \dfrac{x}{2}$, panjang sisi persegi adalah $FE = 2r-x=2 \left( \dfrac{x}{2} \right)-x=0$ (Tidak Memenuhi)
Untuk $r = \dfrac{5x}{2}$, panjang sisi persegi adalah $FE = 2r-x=2 \left( \dfrac{5x}{2} \right)-x=4x$ (Tidak Memenuhi)
Berikutnya kita menentukan Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi yaitu:
$\begin{align}
\left [ \bigcirc \right ] : \left [ \square \right ] &= \pi r^{2} : (4x)^{2} \\
&= \pi \left ( \frac{5x}{2} \right )^{2} : 16x^{2} \\
&= \pi \dfrac{25}{4} x^{2} : 16x^{2} \\
&= 25 \pi :64 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6,25$
Sebagai tambahan untuk bahan referensi belajar matematika, buku Bapak Sabar Sitanggang dengan judul "Matematika? Bismillah! (Meretas Jalan Menuju Olimpiade Matematika Nasional dan Internasional)" sangat cocok dijadikan sumber belajar untuk berlatih soal-soal kompetisi matematika. Soal di atas juga dibahas pada buku tersebut, mari kita simak ide pembahasan yang bersumber dari buku tersebut berikut ini.
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan gambar diatas dapat kita peroleh bahwa panjang $ BF=AF=r $ sehingga segitiga $ ABF $ adalah segitiga samakaki.
Karena segitiga $ ABF $ adalah segitiga samakaki maka jika kita tarik garis tinggi dari $ F $ ke $ G $ pada $ AB $ maka panjang $ BG=AG=\frac{1}{2}x $. Perpanjangan garis $ FG $ memotong lingkaran di sebuah titik kita sebut dengan titik $ H $.
Dengan menggunakan data dari gambar diatas kita bisa memperoleh panjang $ FG $.
$\begin{align}
FG+GH &= FH \\
GH &= FH - FG \\
GH &= r - FG \\
\hline EG + GH &= EH \\
GH &= EH-EG \\
GH &= 2r-x \\
\hline r - FG &= 2r-x \\
x - r &= FG \\
\end{align}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $ BGF$ yaitu:
$\begin{align}
BG^{2}+FG^{2} &= BF^{2} \\
\left (\dfrac{1}{2}x \right )^{2}+\left (x-r \right )^{2} &= r^{2} \\
\dfrac{1}{4}x ^{2}+x^{2}-2xr+r^{2} &= r^{2} \\
\dfrac{5}{4}x ^{2}-2xr &= 0 \\
\dfrac{5}{4}x-2r &= 0 \\
x &= \frac{8}{5}r \\
\end{align}$
Berikutnya kita sudah dapat menentukan Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi yaitu:
$\begin{align}
\left [ \square \right ] : \left [ \bigcirc \right ] &= \pi r^{2}:x^{2} \\
&= \pi r^{2}:\left (\frac{8}{5}r \right )^{2} \\
&= \pi r^{2}:\frac{64}{25}r^{2} \\
&= 25 \pi :64 \\
\end{align}$
Show
Misal titik sudut persegi dengan $ ABCD $, titik singgung lingkaran dan persegi dengan $ E $, titik pusat lingkaran dengan $ F $, panjang jari-jari lingkaran dengan $ r $, dan panjang sisi persegi dengan $ x $.
gambar bisa kita sajikan dengan ilustrasi sebagai berikut;
Karena segitiga $ ABF $ adalah segitiga samakaki maka jika kita tarik garis tinggi dari $ F $ ke $ G $ pada $ AB $ maka panjang $ BG=AG=\frac{1}{2}x $. Perpanjangan garis $ FG $ memotong lingkaran di sebuah titik kita sebut dengan titik $ H $.
$\begin{align}
FG+GH &= FH \\
GH &= FH - FG \\
GH &= r - FG \\
\hline EG + GH &= EH \\
GH &= EH-EG \\
GH &= 2r-x \\
\hline r - FG &= 2r-x \\
x - r &= FG \\
\end{align}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $ BGF$ yaitu:
$\begin{align}
BG^{2}+FG^{2} &= BF^{2} \\
\left (\dfrac{1}{2}x \right )^{2}+\left (x-r \right )^{2} &= r^{2} \\
\dfrac{1}{4}x ^{2}+x^{2}-2xr+r^{2} &= r^{2} \\
\dfrac{5}{4}x ^{2}-2xr &= 0 \\
\dfrac{5}{4}x-2r &= 0 \\
x &= \frac{8}{5}r \\
\end{align}$
Berikutnya kita sudah dapat menentukan Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi yaitu:
$\begin{align}
\left [ \square \right ] : \left [ \bigcirc \right ] &= \pi r^{2}:x^{2} \\
&= \pi r^{2}:\left (\frac{8}{5}r \right )^{2} \\
&= \pi r^{2}:\frac{64}{25}r^{2} \\
&= 25 \pi :64 \\
\end{align}$
Soal yang mirip dengan soal di atas ada yang menanyakan pada salah satu grup belajar facebook, soalnya seperti berikut ini dan coba kita selesaikan disini.
$ABCD$ is square with side length $10$. A circle is drawn through $A$ and $D$ that is tangent to $BC$. What is radius of circle?
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 6,25 \\
(D)\ & 6,5 \\
(E)\ & 6,75 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas kita peroleh:
$\begin{align}
AE^{2} &= AF^{2}+ EF^{2} \\
\left( 10+x\right)^{2} &= \left( 10-x\right)^{2}+ 10^{2} \\
100 +20x+x^{2} &= 100-20x+x^{2}+ 100 \\
40x &= 100 \\
x & = \dfrac{100}{40}=2,25 \end{align}$
Diameter lingkaran $AE=10+x$ maka $r=\dfrac{12,5}{2}=6,25$
Saran, Kritik atau Masukan yang sifatnya membangun terkait Perbandingan Luas Lingkaran dan Luas Persegi di atas silahkan disampaikan😊CMIIW Show
Gambar soal coba kita beri titik tambahan yaitu titik $E$ dan titik $F$ seperti pada gambar berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh:
$\begin{align}
AE^{2} &= AF^{2}+ EF^{2} \\
\left( 10+x\right)^{2} &= \left( 10-x\right)^{2}+ 10^{2} \\
100 +20x+x^{2} &= 100-20x+x^{2}+ 100 \\
40x &= 100 \\
x & = \dfrac{100}{40}=2,25 \end{align}$
Diameter lingkaran $AE=10+x$ maka $r=\dfrac{12,5}{2}=6,25$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6,25$
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019;
