Calon guru belajar matematika dasar SMA dari soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu untuk Fungsi Aljabar. Agar lebih mudah belajar integral fungsi ini ada baiknya kita sudah belajar tentang matematika dasar turunan fungsi.
Integral fungsi dan turunan fungsi itu ibarat penjumlahan dan pengurangan, jadi jika kita mau belajar integral fungsi maka setidaknya kita harus belajar turunan fungsi terlebih dahulu.
DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU
Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk:
\begin{align} \int f(x)dx & = F(x)+c \end{align}
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ terhadap $x$ sama dengan $F(x)$ ditambah $c$" atau sering juga dibaca cepat "integral $f\ x\ d\ x=f\ x\ +\ c$
$\begin{align} \int f(x) & : \text{notasi integral tak tentu} \\ F(x)+c & : \text{fungsi antiturunan} \\ f(x) & : \text{fungsi yang diintegralkan (integran)} \\ c & : \text{konstanta} \\ d(x) & : \text{diferensial (turunan) dari}\ x \end{align}$
ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU
- $\int dx= x + c$
- $\int k\ dx= kx + c$
- $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
- $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
- $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
- $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
- $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
- $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
- $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
- $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
- $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
- $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
INTEGRAL PARSIAL
$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$INTEGRAL TENTU
Pada buku-buku kalkulus disampaikan Teorema Dasar Kalkulus (integral tentu) secara sederhana dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Jika fungsi $f$ kontinu (fungsi kontinu secara sederhana dapat dikatakan fungsi yang tidak terputus atau terpotong) pada interval $\left[a,b\right]$ dan fungsi $F$ anti turunan (anti diferensial) dari $f$, maka:
\begin{align}
\int \limits_{a}^{b} f(x) dx= F \left( b \right)-F \left( a \right)
\end{align}
SIFAT INTEGRAL TENTU
- $\int \limits_{a}^{a}f(x)dx=0$
- $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{b}f(t)dt$
- $ \int \limits_{a}^{b} k f(x) dx = k \int \limits_{a}^{b} f(x) dx $
- $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
- $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx - \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
- $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits_{b}^{a}f(x)dx$
- $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{p}f(x)dx+\int \limits_{p}^{b}f(x)dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx$
- $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
- Jika $f(x)$ fungsi genap $f(-x)=f(x)$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
- Jika $f(x)$ fungsi ganjil $f(-x)=-f(x)$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =0$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
"Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$"
SOAL dan PEMBAHASAN INTEGRAL TAK TENTU dan TENTU FUNGSI ALJABAR
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta😊.
1. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
$\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\
& = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\
& = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x^{3}-2x^{2}+x + C$
2. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits \left ( 3x^{2}-5x+4 \right )\ dx =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
&\int \limits \left ( 3x^{2}-5x+4 \right )\ dx \\
& = \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}+4x+C \\
& = x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x+C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x + C $
3. Soal UNBK SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right )\ dx =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
& \int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right ) \\
& = \dfrac{2}{3+1}x^{3+1}-\dfrac{9}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}-5x+C \\
& = \dfrac{2}{4}x^{4}-\dfrac{9}{3}x^{3}+\dfrac{4}{2}x^{2}-5x+C \\
& = \dfrac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C$
4. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-4x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\
\dfrac{1}{2}\ du & = (x-2)\ dx
\end{align}$
Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
&\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx \\
& = \int u^{5} \left ( x-2 \right )\ dx \\
& = \int u^{5} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} \cdot \dfrac{1}{2}+C \\
& = \dfrac{1}{12} u^{6} +C \\
& = \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} +C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C$
5. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-1 \\
du & = (2x-1)\ dx
\end{align}$
Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
&\int \limits \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx \\
& = \int \limits \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ \left ( 2x-1 \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( u \right )^{3}\ du \\
& = \dfrac{1}{3+1}u^{3+1} + C\\
& = \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C$
6. Soal UM STIS 2013 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
u &= 4x+1 \rightarrow x= \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \\
du &= 4 dx \\
\dfrac{1}{4} du &= dx
\end{align}$
Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx &= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \sqrt{u}\ dx \\
&= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \cdot u^{\frac{1}{2}}\ \dfrac{1}{4} du \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \int \limits \left( u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}} \right)\ du \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right] + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \left( \dfrac{1}{10} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}u^{\frac{3}{2}} \left( 6 u^{1}-10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6 \left( 4x+1 \right)-10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x+6 -10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x-4 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6x-1 \right) + C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{60} \left( 6x-1 \right) \left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} + C $
7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C$
8. Soal UMPTN 1995 Rayon C |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\int x^{2}\ dx$. Jika $f(2)=-\dfrac{19}{3}$, maka kurva itu memotong sumbu $x$ pada...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
f \left( x \right) &= \int x^{2}\ dx \\
&= \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}+c \\
&= \dfrac{1}{3}x^{3}+c \\
\hline
f \left( 2 \right) &= \dfrac{1}{3}(2)^{3}+c \\
-\dfrac{19}{3} &= \dfrac{8}{3}+c \\
-\dfrac{19}{3} -\dfrac{8}{3}&= c \\
-\dfrac{27}{3} &= c \\
-9 &= c \\
\hline
f \left( x \right) &= \dfrac{1}{3}x^{3}+c \\
&= \dfrac{1}{3}x^{3} -9
\end{align} $
$f \left( x \right) = \dfrac{1}{3}x^{3}-9$ memotong sumbu $x$ saat $\dfrac{1}{3}x^{3}-9=0$ sehingga $x^{3}-27=0$ atau $x=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 3,0 \right)$
9. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap
Diketahui $\int f\left( x \right)\ dx=\dfrac{1}{4}ax^{2}+bx+c$ dan $a \neq 0$. Jika $f(a)=\dfrac{a+2b}{2}$ dan $f(b)=6$, maka fungsi $ f\left( x \right) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
Untuk $\int f\left( x \right)\ dx=\dfrac{1}{4}ax^{2}+bx+c$ dapat kita tentukan $ f\left( x \right) =\dfrac{1}{2}ax +b$
Untuk $f(a)=\dfrac{a+2b}{2}$ maka berlaku:
$ \begin{align}
f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}ax +b \\
f\left( a \right) &= \dfrac{1}{2}a(a) +b \\
\dfrac{a+2b}{2} &= \dfrac{1}{2}a^{2}+b \\
a+2b &= a^{2}+2b \\
0 &= a^{2}-a \\
0 &= a \left( a-1 \right) \\
&a=0\ \text{atau}\ a=1
\end{align} $
Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=1$, sehingga $ f\left( x \right) =\dfrac{1}{2}x +b$. Untuk $f(b)=6$, kita peroleh:
$ \begin{align}
f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}x +b \\
f\left( b \right) &= \dfrac{1}{2}b +b \\
6 &= \dfrac{3}{2}b \\
b &= 4 \\
\hline
f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}x +4
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}x +4$
10. Soal SNMPTN 2011 Kode 591 |*Soal Lengkap
Diberikan $ f\left( x \right) =a+bx$ dan $F(x)$ adalah anti turunan $f(x)$. Jika $F(1)-F(0)=3$ maka $2a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk $ f\left( x \right) =a+bx$ dan $F(x)$ adalah anti turunan $f(x)$ maka berlaku:
$ \begin{align} F\left( x \right) &= \int f\left( x \right)\ dx \\ F\left( x \right) &= \int \left( a+bx \right)\ dx \\ F\left( x \right) &= ax+\frac{1}{2}bx^{2}+c \\ \hline F\left( 1 \right) &= a(1) +\frac{1}{2}b(1)^{2}+c \\ F\left( 1 \right) &= a +\frac{1}{2}b +c \\ F\left( 0 \right) &= a(0) +\frac{1}{2}b(0)^{2}+c \\ F\left( 0 \right) &= c \\ \hline F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) &= a +\frac{1}{2}b +c-c \\ 3 &= a +\frac{1}{2}b \\ 6 &= 2a + b \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
11. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\
& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\
& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\
& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C $
12. Soal SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 226 |*Soal Lengkap
$\int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ dx \\
&= \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ \times \dfrac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}\ dx \\
&= \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)\left( 1 - \sqrt{x} \right)}{1 - x}\ dx \\
&= 3 \int \left( 1 - \sqrt{x} \right) dx \\
&= 3 \left( x - \frac{2}{3} x \sqrt{x} \right) + C\\
&= 3 x - 2x \sqrt{x} + C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3x-2x \sqrt{x}+C$
13. Soal SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 241 |*Soal Lengkap
$\int \dfrac{x^{2}-\sqrt{x}}{x}\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \dfrac{x^{2}-\sqrt{x}}{x}\ dx \\
&= \int \left( \dfrac{x^{2}}{x}-\dfrac{\sqrt{x}}{x} \right)\ dx \\
&= \int \left( x - x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx \\
&= \dfrac{1}{2}x^{2} -2x^{ \frac{1}{2}} +C \\
&= \dfrac{1}{2}x^{2} -2\sqrt{x} + C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}x^{2}- 2 \sqrt{x}+C$
14. Soal SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 229 |*Soal Lengkap
$\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{3}-1 \\
\dfrac{du}{dx} & = 3x^{2} \\
du & = 3x^{2}\ dx
\end{align}$
Soal di atas, kini dapat kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
&\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\
& = \int 3 \cdot 3x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\
& = \int 3 \cdot \sqrt{x^{3}-1}\ 3x^{2}\ dx \\
& = \int 3 \cdot \sqrt{u}\ du \\
& = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( u \right) \sqrt{u}\ +C \\
& = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C \\
& = 2 \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C$
15. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
$\int \limits \left ( \dfrac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2} dx=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( \dfrac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{ \left( x^{2}-1 \right)\left( x^{2}+1 \right)}{x \left( x^{2}+1 \right)} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{ \left( x^{2}-1 \right) }{x } \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{ x^{2} }{x }-\dfrac{ 1 }{x } \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( x-x^{-1} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( x^{2}-2+x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}-2x+ \dfrac{1}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{1}{3}x^{3}-2x- \dfrac{1}{x} + C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{x}-2x + C$
16. Soal UM UNDIP 2016 Kode 501/515 |*Soal Lengkap
$\int \limits x^{5}\left ( 2-x^{3} \right )^{\frac{1}{2}}\ dx=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = 2-x^{3} \rightarrow 2-u = x^{3}\\
\dfrac{du}{dx} & = -3x^{2} \\
du & = -3x^{2}\ dx \rightarrow -\dfrac{1}{3}du = x^{2}dx \\
\end{align}$
Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
& \int \limits x^{5}\left ( 2-x^{3} \right )^{\frac{1}{2}}\ dx \\
& = \int \limits x^{2} \cdot x^{3} \left ( u \right )^{\frac{1}{2}}\ dx \\
& = \int \limits x^{3} \cdot u^{\frac{1}{2}}\ x^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( 2-u \right ) u^{\frac{1}{2}}\ \left (-\dfrac{1}{3}du \right ) \\
& = -\dfrac{1}{3} \int \limits \left ( 2u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{3}{2}} \right ) \ du \\
& = -\dfrac{1}{3} \cdot \left ( \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right ) + C \\
& =-\dfrac{1}{3} \cdot \left ( \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right ) + C \\
& =-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{15}u^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 6u \right )+ C \\
& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 6\left (2-x^{3} \right ) \right )+ C \\
& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 12+6x^{3} \right )+ C \\
& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 8+6x^{3} \right )+ C \\
& =-\dfrac{2}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 4+3x^{3} \right )+ C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{-2}{45} \left(3x^{3}+4 \right)\left(-x^{3}+2 \right)^{\frac{3}{2}} + C$
17. Soal UM UNDIP 2016 Kode 501/515 |*Soal Lengkap
Jika $f'(x)=9x^{2}-12x+2$ dan $f(-1)=0$, maka $f(0)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & =9x^{2}-12x+2 \\
f(x ) &= \int \limits f'(x)\ dx \\
&= \int \limits 9x^{2}-12x+2 \ dx \\
&= \dfrac{9}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{12}{1+1}x^{1+1}+2x + C \\
& = 3x^{3}-6x^{2}+2x + C \\
\hline
f(-1) & = 3(-1)^{3}-6(-1)^{2}+2(-1) + C \\
0 & = -3-6 -2 + C \\
0 & = -11 + C \\
C & =11 \\
\hline
f(x) & = 3x^{3}-6x^{2}+2x + 11 \\
f(0) & = 3(0)^{3}-6(0)^{2}+2(0) + 11 \\
& = 11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11$
18. Soal UNBK SMA IPA 2018 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Hasil $\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$
Soal diatas, kini bisa kita tuliskan menjadi;
$ \begin{align}
& \int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx \\
&=\int \limits 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx \\
&=\int \limits 2 u^{5}\ 2x\ dx \\
&=\int \limits 2 u^{5}\ du \\
&=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C \\
&=\dfrac{2}{6} u^{6}+C
\end{align} $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$ \begin{align}
\dfrac{2}{6} u^{6}+C &=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
19. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $g$ dan $h$ didefinisikan sebagai berikut:
$g(x)=2-bx$ dan $h(x)=1-bx+x^{2}$.
Grafik fungsi $g$ memotong sumbu $x$ di titik $\left(1,0\right)$.
$\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-h(x) \right) dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Fungsi $g(x)=2-bx$ dan $h(x)=1-bx+x^{2}$ mempunyai konstanta $b$ yang sama.
Dengan menggunakan catatan integral tak tentu dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-h(x) \right) dx & = \int \limits_{ }^{ } \left( \left( 2-bx \right)-\left( 1-bx+x^{2} \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( 2-bx-1+bx-x^{2} \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( 1-x^{2} \right) dx \\
& = x-\dfrac{1}{3}x^{3} + C
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{3}x^{3}+x+C$
20. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=x^{2}+x-2$ dan $g(x)=x+2$.
$\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-f(x) \right) dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan catatan integral tak tentu dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-f(x) \right) dx & = \int \limits_{ }^{ } \left( \left( x+2 \right)-\left( x^{2}+x-2 \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( x+2 - x^{2}-x+2 \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( 4 - x^{2} \right) dx \\
& = 4x-\dfrac{1}{3}x^{3} + C
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{3}x^{3}+4x+C$
21. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=-2 \left( x-5 \right)$ dan $g(x)=\left( x-2 \right)^{2}-2$.
$\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-f(x) \right) dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan catatan integral tak tentu dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-f(x) \right) dx & = \int \limits_{ }^{ } \left( \left( x-2 \right)^{2}-2-\left( -2 \left( x-5 \right) \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( x^{2}-4x+4-2+2x-10 \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( x^{2}-2x-8 \right) dx \\
& = \dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}-8x+C
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}-8x+C$
22. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ dan $x \gt 0$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 2$ dan $\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx = -3$ maka $\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
- $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{1}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\ 2 &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{1}^{5} 3\ dx \\ 2 - \int \limits_{1}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx \\ 2 - \left | 3x \right | _{1}^{5} &= - \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\ 2 - (15 -3) &= - \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\ -10 &= \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\ \hline
\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{3}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\ -3 &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{3}^{5} 3\ dx \\ -3 - \int \limits_{3}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx \\ -3 - \left | 3x \right | _{3}^{5} &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\ -3 - (15 -9) &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\ -9 &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\ 9 &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx + \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\ &= 9 - 10 \\ &= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B) \ -1$
23. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x+3)=f(x)$ untuk tiap $x$. Jika $\int \limits_{-3}^{6} f(x)\ dx = -6$, maka $\int \limits_{3}^{9} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
$'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
$\begin{align}
\int \limits_{3}^{9} f(x) dx &= \int \limits_{0}^{6} f(x) \\ \hline
-6 &= \int \limits_{-3}^{6} f(x) dx \\ -6 &= \int \limits_{-3}^{0} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{3}^{6} f(x) dx \\ -6 &= \int \limits_{-3}^{0} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{3-3}^{6-3} f(x+3) dx \\ -6 &= \int \limits_{0}^{3} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\ -6 &= 3 \int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\ -2 &= \int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\ \hline
\int \limits_{3}^{9} f(x) dx & = \int \limits_{0}^{6} f(x) \\ & = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{3}^{6} f(x)\\ & = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{3-3}^{6-3} f(x+3)\\ & = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{0}^{3} f(x)\\ & = (-2) + (-2) \\ &= -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -4$
24. Soal SIMAK UI 2019 Kode 314/323 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx=10$ dan $f(a)=2+f(b)$, nilai $f(b)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=f(x)$, sehingga beberapa persamaan yang kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = f(x) \\
\dfrac{du}{dx} & = f'(x) \\
du & = f'(x)\ dx
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx &=10 \\
\int \limits_{a}^{b} f(x)\ f'(x) dx &=10 \\
\int \limits_{a}^{b} u\ du &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{2} \cdot u^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(x) \right)^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(b) \right)^{2} \right]- \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(a) \right)^{2} \right] &=10 \\
\left( f(b) \right)^{2} - \left( f(a) \right)^{2} &=20 \\
\left( f(b) - f(a) \right) \left( f(b) + f(a) \right) &=20 \\
\left( f(b) - 2 - f(b) \right) \left( f(b) + 2+f(b) \right) &=20 \\
\left( - 2 \right) \left( 2f(b) + 2 \right) &=20 \\
2f(b) + 2 &=-10 \\
2f(b) &=-12 \\
f(b) &=-6
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -6$
25. Soal SBMPTN 2018 Kode 403 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{2} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\
\left[ F \left( x \right) \right]_{1}^{2} &= \sqrt{2} \\
F \left( 2 \right)-F \left( 1 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $
Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=\sqrt{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = \sqrt{x} \\
\dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \\
du \cdot 2 \sqrt{x} & = dx \\
du \cdot 2 & = \dfrac{dx}{ \sqrt{x} }
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx &= \int \limits_{1}^{4} f \left( \sqrt{x} \right)\ \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\
\hline
x=4 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{4}=2 \\
x=1 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{1}=1 \\
\hline
&= \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ 2\ du \\
&= 2 \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ du \\
&= 2 \cdot \left[ F \left( u \right) \right]_{1}^{2} \\
&= 2 \cdot \left( F \left( 2 \right)-F \left( 1 \right) \right) \\
&= 2 \cdot \left( \sqrt{2} \right) \\
&= 2\sqrt{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{2}$
26. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{2}} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
\int \limits_{2}^{3} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\
\left[ F \left( x \right) \right]_{2}^{3} &= \sqrt{2} \\
F \left( 3 \right)-F \left( 2 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $
Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=1+\dfrac{2}{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = 1+\dfrac{2}{x} \\
\dfrac{du}{dx} & = -\dfrac{2}{x^{2}} \\
-\dfrac{du}{2} & = \dfrac{2}{x^{2}}
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{2}} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ dx &= \int \limits_{1}^{2} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ \dfrac{dx}{x^{2}} \\
\hline
x=2 \rightarrow u &= 1+\dfrac{2}{x}= 1+\dfrac{2}{2}=2 \\
x=1 \rightarrow u &= 1+\dfrac{2}{x}= 1+\dfrac{2}{1}=3 \\
\hline
&= \int \limits_{3}^{2} f \left( u \right)\ \cdot -\dfrac{du}{2} \\
&=-\dfrac{1}{2} \int \limits_{3}^{2} f \left( u \right)\ du \\
&=-\dfrac{1}{2} \left[F (u) \right]_{3}^{2} \\
&=-\dfrac{1}{2} \left( F \left( 2 \right)-F \left( 3 \right) \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \left( F \left( 3 \right)-F \left( 2 \right) \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right) \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
27. Soal SBMPTN 2018 Kode 418 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{0}^{2} x f \left( x^{2} \right)\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{4} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\
\left[ F \left( x \right) \right]_{0}^{4} &= \sqrt{2} \\
F \left( 4 \right)-F \left( 0 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $
Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x^{2} \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x \\
\dfrac{du}{2} & = x\ dx \\
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{2} x f \left( x^{2} \right)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f \left( x^{2} \right)\ x dx \\
\hline
x=2 \rightarrow u &= x^{2} = 2^{2} =4 \\
x=0 \rightarrow u &= x^{0} = 0^{2} =0 \\
\hline
&= \int \limits_{0}^{4} f \left( u \right)\ \dfrac{du}{2} \\
&=\dfrac{1}{2} \int \limits_{0}^{4} f \left( u \right)\ du \\
&=\dfrac{1}{2} \left[F (u) \right]_{0}^{4} \\
&= \dfrac{1}{2} \left( F \left( 4 \right)-F \left( 0 \right) \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right)
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
28. Soal SBMPTN 2018 Kode 420 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}+6x$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x^{2}+6x \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x+6 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2(x+3) \\
\dfrac{du}{2} & = (x+3)dx
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3\left( x+3 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{x^{2}+6x}\ \left( x+3 \right) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{u}\ \dfrac{du}{2} \\
&= \dfrac{3}{2} \int \limits_{0}^{2} \sqrt{u}\ du \\
&= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} u\sqrt{u} \right]_{0}^{2} \\
&= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} \left( x^{2}+6x \right) \sqrt{x^{2}+6x} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[ \left( (2)^{2}+6(2) \right) \sqrt{(2)^{2}+6(2)} \right]-\left[ 0 \right] \\
&= \left( 16 \right) \sqrt{16} \\
&= 64
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 64$
29. Soal SBMPTN 2018 Kode 421 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\sqrt{x} \left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}}\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=3 + \sqrt{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = 3 + \sqrt{x} \\
\dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
2\ du & = \dfrac{dx}{\sqrt{x}}
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\sqrt{x} \left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}}\ dx
&= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\
&= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{u^{\frac{3}{2}}}\ 2 du \\
&= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{6}{u^{\frac{3}{2}}}\ du \\
&= 6 \left[ \dfrac{-2}{u^{\frac{1}{2}}} \right]_{1}^{36} \\
&= -12 \left[ \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{x}}} \right]_{1}^{36} \\
&= -12 \left( \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{36}}} - \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{1}}} \right) \\
&= -12 \left( \dfrac{1}{\sqrt{9}} - \dfrac{1}{\sqrt{4}} \right) \\
&= -12 \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right) \\
&= -12 \left( \dfrac{2-3}{6} \right)=2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
30. Soal SBMPTN 2018 Kode 457 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{0}^{3} \dfrac{3x}{\sqrt{x+1}}\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x+1$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x+1 \rightarrow u-1=x\\
\dfrac{du}{dx} & = 1 \\
du & = dx
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \dfrac{3x}{\sqrt{x+1}}\ dx
&= \int \limits_{0}^{3} \dfrac{3 \left( u-1 \right)}{\sqrt{u}}\ du \\
&= 3 \int \limits_{0}^{3} \left( \dfrac{u}{\sqrt{u}} - \dfrac{1}{\sqrt{u}} \right)\ du \\
&= 3 \int \limits_{0}^{3} \left( u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}} \right)\ du \\
&= 3 \left[ \dfrac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot u^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{3} \\
&= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (x+1)^{\frac{3}{2}} - (x+1)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{3} \\
&= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (3+1)^{\frac{3}{2}} - (3+1)^{\frac{1}{2}} \right]- 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (0+1)^{\frac{3}{2}} - (0+1)^{\frac{1}{2}} \right] \\
&= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{1}{2}} \right]- 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot 1 - 1 \right] \\
&= 6 \left( \dfrac{8}{3}-2 \right)- 6 \left( \dfrac{1}{3}-1 \right) \\
&= 6 \left( \dfrac{7}{3}-1 \right)=14-6=8
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
31. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $f(x)=f(x+2)$ untuk setiap $x$. Jika $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx=B$, maka $\int \limits_{3}^{7} f(x+8)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa "Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$"
Dimana suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$.
Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
f(x) &= f(x+2) \\
f(x+2) &= f(x+4) \\
f(x+4) &= f(x+6) \\
f(x+6) &= f(x+8) \\
& \vdots
\end{align} $
Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
& \int \limits_{3}^{7} f(x+8)\ dx \\
&= \int \limits_{3}^{7} f(x)\ dx \\
&= \int \limits_{3}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx + \int \limits_{6}^{7} f(x)\ dx \\
&= \int \limits_{3-2}^{4-2} f(x+2)\ dx +\int \limits_{4-4}^{6-4} f(x+4)\ dx +\int \limits_{6-6}^{7-6} f(x+6)\ dx \\
&= \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx \\
&= \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx + B +\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx \\
&=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx + B \\
&= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + B \\
&= B + B = 2B
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2B$
32. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x)=f(x+a)$, $f(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ untuk $0 \lt x \leq a$, dan $g(x)=g(x+2a)$, $g(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ untuk $-a \lt x \leq a$ dan $\int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx =b$. Nilai dari $\int \limits_{0}^{3a} \left( f(x)+g(x) \right) dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita coba menghitung $\int \limits_{0}^{3a} \left( f(x)+g(x) \right) dx = \int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx$ dari beberapa eksplorasi berikut:
Untuk $0 \lt x \leq a$, fungsi $f(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ diketahui $\int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx =b$ dan $f(x)=f(x+a)$.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx
&= \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx + \int \limits_{a}^{3a} f(x)\ dx \\
&= b + \int \limits_{a-a}^{3a-a} f(x+a)\ dx \\
&= b + \int \limits_{0}^{2a} f(x)\ dx \\
&= b + \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx+ \int \limits_{a}^{2a} f(x)\ dx \\
&= b + b + \int \limits_{a-a}^{2a-a} f(x+a)\ dx \\
&= 2b + \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx \\
&= 2b + b =3b
\end{align} $
Untuk $0 \lt x \leq a$, fungsi $f(x)=g(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ sehingga dapat berlaku $\int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx =\int \limits_{0}^{a} g(x)\ dx=b$. Dengan $g(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ dapat kita tentukan $g(x)$ adalah fungsi ganjil karena $g(-x)=-g(x)$, sehingga berlaku $\int \limits_{-a}^{a} g(x)dx =0$.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx
&= \int \limits_{0}^{a} g(x)\ dx + \int \limits_{a}^{3a} g(x)\ dx \\
&= b + \int \limits_{a-2a}^{3a-2a} g(x+2a)\ dx \\
&= b + \int \limits_{-a}^{a} g(x)\ dx \\
&= b + 0 = b
\end{align} $
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} \left( f(x)+g(x) \right) dx & = \int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx \\
&= 3b + b \\
&= 4b
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4b$
33. Soal SBMPTN 2014 Kode 504 |*Soal Lengkap
Jika $C(t)=\dfrac{1}{t} \int \limits_{0}^{t} \left( f(s)+g(s) \right) ds $ dan $\lim\limits_{a \to 0} \dfrac{C \left( t_{0}+a \right)- C \left( t_{0} \right)}{a}=0$, maka $C \left( t_{0} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika $f(s)$ adalah turunan dari fungsi $F(s)$ atau $F'(s)=f(s)$ dan $g(s)$ adalah turunan fungsi $G(s)$ atau $G'(s)=g(s)$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
C(t) &= \dfrac{1}{t} \int \limits_{0}^{t} \left( f(s)+g(s) \right) ds \\
&= \dfrac{1}{t} \cdot \left[F(s)+G(s) \right]_{0}^{t} \\
&= \dfrac{1}{t} \cdot \left[F(t)+G(t) \right]-\dfrac{1}{t} \cdot \left[F(0)+G(0) \right] \\
C(t) &= \dfrac{F(t)+G(t) - F(0)-G(0)}{t}
\end{align} $
Karena $\lim\limits_{a \to 0} \dfrac{C \left( t_{0}+a \right)- C \left( t_{0} \right)}{a}=0$ maka berlaku:
$ \begin{align}
C'(t) &= 0 \\
\dfrac{\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]' \cdot t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]}{t^{2}} &= 0 \\
\dfrac{\left[ f(t)+g(t) - 0-0 \right] \cdot t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]}{t^{2}} &= 0 \\
\left[ f(t)+g(t) \right]\ t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right] &= 0 \\
F(t)+G(t) - F(0)-G(0) &= \left[ f(t)+g(t) \right]\ t
\end{align} $
$ \begin{align}
C(t) &= \dfrac{F(t)+G(t) - F(0)-G(0)}{t} \\
C(t) &= \dfrac{\left( f(t)+g(t) \right)\ t}{t} \\
C(t) &= f(t)+g(t) \\
C(t_{o}) &= f(t_{o})+g(t_{o})
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ f \left( t_{o} \right)+g\left( t_{o} \right)$
34. Soal SIMAK UI 2017 Kode 341 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x$ dengan $-1 \leq x \leq 2$ mempunyai titik maksimum di $(a,b)$, maka nilai $\int \limits_{b}^{a} f'(x)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita butuh sedikit pemahaman tentang turunan, untuk menentukan nilai maksimum, yaitu $f'(x)=0$
$ \begin{align}
f(x) &=\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \\
f'(x) &=x^{2}-4x^ +3 \\
0 &= (x-3)(x-1) \\
& x=3\ \text{atau}\ x=1 \\
\hline
f(1) &=\dfrac{1}{3}(1)^{3}-2(1)^{2}+3(1) \\
&=\dfrac{4}{3} \\
f(3) &=\dfrac{1}{3}(3)^{3}-2(3)^{2}+3(3) \\
&=0 \\
\end{align} $
Titik maksimum adalah $\left(1, \dfrac{4}{3} \right)$, sehingga:
$ \begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f'(x)\ dx &= \int \limits_{\frac{4}{3}}^{1} \left( x^{2}-4x^ +3 \right)\ dx\\
&= \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \right]_{\frac{4}{3}}^{1}\ dx\\
&= \left[ \dfrac{1}{3} \left( 1 \right)^{3}-2\left( 1 \right)^{2}+3\left( 1 \right) \right] - \left[ \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^{3}-2\left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}+3\left( \dfrac{4}{3} \right) \right] \\
&= \dfrac{4}{3}-\dfrac{64}{81}+\dfrac{32}{9}-4 \\
&= \dfrac{8}{81}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{8}{81}$
35. Soal SIMAK UI 2017 Kode 341 |*Soal Lengkap
Jika $3x^{5}-3=\int \limits_{c}^{x} g(t)\ dt$, maka $g \left( \dfrac{c}{2} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan $\int \limits g(x)\ dx = G(x)+c$ atau $g(x)=G'(x)$, sehingga dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\int \limits_{c}^{x} g(t)\ dt &= 3x^{5}-3 \\
\left[ G(t) \right]_{x}^{c} &= 3x^{5}-3 \\
G(x)-G(c) &= 3x^{5}-3 \\
G'(x)-G'(c) &= 5 \cdot 3x^{5-1}-0 \\
\hline
G'(c)=0 & \\
\hline
G'(x) &= 15x^{4} \\
g(x)=G'(x) &= 15x^{4} \\
g(t )=G'(t) &= 15t^{4}
\end{align} $
$ \begin{align}
\int \limits_{c}^{x} g(t)\ dt &= 3x^{5}-3 \\
\int \limits_{c}^{x} 15t^{4}\ dt &= 3x^{5}-3 \\
\left[ 3t^{5} \right]_{c}^{x} &= 3x^{5}-3 \\
\left[ 3x^{5} \right]-\left[ 3c^{5} \right]&= 3x^{5}-3 \\
\hline
c^{5}=1 \\
c=1 \\
\hline
g(x) &= 15x^{4} \\
g \left( \dfrac{c}{2} \right) &= 15\left( \dfrac{1}{2} \right)^{4} \\
&= 15 \left( \dfrac{1}{16} \right) \\
&= \dfrac{15}{16}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{15}{16}$
36. Soal SIMAK UI 2014 Kode 301 |*Soal Lengkap
Diberikan fungsi $f$ dan $g$ yang memenuhi sistem
$\left\{\begin{matrix}
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + \left ( \int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \right )^{2}=3 \\
f(x)=3x^{2}+4x+\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx
\end{matrix}\right.$,
maka $\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \neq 0$. Nilai $f(1)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita mulai dengan memisalkan $\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx =k$, hal ini dapat kita lakukan karena hasil integral sebuah fungsi pada selang tertentu adalah sebuah konstanta.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + \left ( \int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \right )^{2} &=3 \\
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + k^{2} &=3 \\
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx &=3-k^{2} \\
\int \limits_{0}^{1} \left( 3x^{2}+4x+k \right) \ dx &=3-k^{2} \\
\left[ x^{3}+2x^{2}+kx \right]_{0}^{1}\ &=3-k^{2} \\
\left[ (1)^{3}+2(1)^{2}+k(1) \right]- \left[0 \right]\ &=3-k^{2} \\
\left[ 3+k(1) \right]\ &=3-k^{2} \\
3+k- &=3-k^{2} \\
k^{2}+k &=0 \\
k(k+1) &=0 \\
k=0\ \text{atau}\ k=-1 & \\
\end{align} $
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx &= k \\
\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx &= -1 \\
\hline
f(x) &=3x^{2}+4x+\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \\
f(x) &=3x^{2}+4x-1 \\
f(1) &=3(1)^{2}+4(1)-1 \\
&=6
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
37. Soal SIMAK UI 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap
$\int \limits_{0}^{2} \dfrac{x^{2}+3x}{\sqrt{x+2}}\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita coba selesaikan dengan defenisi integral dan manipulasi aljabar seperti berikut ini;
Misal $u=x+2$, maka $du=dx$ dan $x=u-2$
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2} \dfrac{x^{2}+3x}{\sqrt{x+2}}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{\left(u-2 \right)^{2}+3\left(u-2 \right)}{\sqrt{u}}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{u^{2}-4u+4+3u-6}{\sqrt{u}}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{u^{2}-u-2}{u^{\frac{1}{2}}}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} \left (u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}-2u^{-\frac{1}{2}} \right )\ dx \\
&= \left [\dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4u^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{2}\ dx \\
&= \left [\dfrac{2}{5}\left( x+2 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left( x+2 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left( x+2 \right)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{2} \\
&= \left [\dfrac{2}{5}\left(4 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left(4 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left(4 \right)^{\frac{1}{2}} \right]-\left [\frac{2}{5}\left(2 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left(2 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left(2 \right)^{\frac{1}{2}} \right] \\
&= \left [\dfrac{2}{5}\left(32 \right) -\dfrac{2}{3}\left(8 \right)-8 \right]-\left [\frac{2}{5}\left(4\sqrt{2} \right) -\dfrac{2}{3}\left(2\sqrt{2} \right) -4\sqrt{2} \right] \\
&= \left [\dfrac{64}{5} -\dfrac{16}{3} -8 \right]-\left [\frac{8}{5} \sqrt{2} -\dfrac{4}{3} \sqrt{2} -4\sqrt{2} \right] \\
&= -\dfrac{8}{15} +\dfrac{56}{15}\sqrt{2} \\
&= \dfrac{8}{15} \left(7\sqrt{2} - 1 \right)
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{15} \left(7\sqrt{2} - 1 \right)$
38. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x$, yaitu:
$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix}
x, \text{untuk}\ x \geq 0 \\
-x, \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left( -x \right) \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left( x \right) \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(3x \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(-x \right)\ dx \\
&= \left[\dfrac{3}{2} x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ -\dfrac{1}{2} x^{2} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[0-\dfrac{3}{2} (-1)^{2} \right] + \left[ -\dfrac{1}{2} (2)^{2}-0 \right] \\
&= \left[ -\dfrac{3}{2} \right] + \left[ -2 \right] \\
&= -\dfrac{7}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3,5$
39. Soal SIMAK UI 2010 Kode 503 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{1}^{4} f \left(x \right)\ dx=6$ maka $\int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita coba dengan memisalkan $u=5-x$ sehingga $du=-dx$ dan $x=4 \rightarrow u=1$, $x=1 \rightarrow u=4$.
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx &= \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ \left( - du \right) \\
&= - \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ du \\
&= \int \limits_{1}^{4} f \left(u \right)\ du \\
\hline
\int \limits_{a}^{b} f \left( x \right)\ dx &= \int \limits_{a}^{b} f \left( t \right)\ dt \\
\hline
\int \limits_{a}^{b} f \left( u \right)\ du &= \int \limits_{1}^{4} f \left(x \right)\ dx = 6
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$
40. Soal UM STIS 2010 |*Soal Lengkap
Nilai $\int \limits_{0}^{2} \left ( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}+6x$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x^{2}+6x \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x+6 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2(x+3) \\
\dfrac{du}{2} & = (x+3)dx
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3\left( x+3 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{x^{2}+6x}\ \left( x+3 \right) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{u}\ \dfrac{du}{2} \\
&= \dfrac{3}{2} \int \limits_{0}^{2} \sqrt{u}\ du \\
&= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} u\sqrt{u} \right]_{0}^{2} \\
&= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} \left( x^{2}+6x \right) \sqrt{x^{2}+6x} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[ \left( (2)^{2}+6(2) \right) \sqrt{(2)^{2}+6(2)} \right]-\left[ 0 \right] \\
&= \left( 16 \right) \sqrt{16} \\
&= 64
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 64$
41. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
$ \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\
& = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$
42. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui $\int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\dfrac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\dfrac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\dfrac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \dfrac{4}{3}+3 +\dfrac{4}{3}+15 \\
& = \dfrac{8}{3}+18 \\
& = 20\dfrac{2}{3}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \dfrac{2}{3}$
43. Soal Simulasi UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Dalam penulisan integral gambar di atas kita terjemahkan kurang lebih seperti berikut ini;
$ \begin{align}
& \left | \int \limits_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right | \\
&=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right | \\
&=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right | \\
&=\left | \left [\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right | \\
&=\left | \left [\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right | \\
&=\left | \left [-\dfrac{2}{3}+4 \right ]-\left [\dfrac{-54}{3}+36 \right ] \right | \\
&=\left | \left [\dfrac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right | \\
&=\left | \dfrac{10}{3}-18 \right | \\
&=\left | \dfrac{10}{3}-\dfrac{54}{3} \right | \\
&=\left | -\dfrac{44}{3} \right | \\
&=\left | -14\dfrac{2}{3} \right | \\
&=14\dfrac{2}{3}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 14\dfrac{2}{3}$
44. Soal SIMAK UI 2014 Kode 302 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{x+1}{(x+2)^{4}}\ dx=\dfrac{10}{81}$ dan $a \gt -2$ maka $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan nilai $a$ dari persamaan $\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{x+1}{(x+2)^{4}}\ dx=\dfrac{10}{81}$ kita coba dengan memisalkan $u=x+2$ sehingga $du=dx$.
Dari pemisalan di atas, soal dapat kita tulis menjadi;
$ \begin{align}
\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{x+1}{(x+2)^{4}}\ dx &=\dfrac{10}{81} \\
\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{u-1}{u^{4}}\ du &=\dfrac{10}{81} \\
\int \limits_{-1}^{a} \left( u-1 \right) \cdot u^{-4}\ du &=\dfrac{10}{81} \\
\int \limits_{-1}^{a} \left( \cdot u^{-3}-\cdot u^{-4} \right)\ du &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{1}{2u^{2}}+\dfrac{1}{3u^{3}} \right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3u+2}{6u^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3(x+2)+2}{6(x+2)^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3 x -4}{6(x+2)^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}}\right]-\left[\dfrac{-3(-1) -4}{6(-1+2)^{3}}\right] &=\dfrac{10}{81} \\
\left[\dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}}\right]+ \dfrac{1}{6} &=\dfrac{10}{81} \\
\dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{10}{81}-\dfrac{1}{6} \\
\dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{60-81}{486} \\
\dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-21}{486} \\
\dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-7}{162} \\
\dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-7}{6 \cdot 3^{3}} \\
\end{align} $
Nilai $a$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $a=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
45. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{0}^{2} \left( ax-b \right)\ dx = 4$ dan $\int \limits_{1}^{3} \left( x^{2}+2b \right)\ dx =10$ maka nilai $3a+6b = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{3} \left( x^{2}+2b \right)\ dx &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{3}x^{3}+2bx \right ]_{1}^{3} &=10 \\
\left[ \dfrac{1}{3}(3)^{3}+2b(3) \right ]-\left[ \dfrac{1}{3}(1)^{3}+2b(1) \right ] &=10 \\
\left[ 9 + 6b \right ]-\left[ \dfrac{1}{3} + 2b \right ] &=10 \\
9 + 4b - \dfrac{1}{3} &=10 \\
4b - \dfrac{1}{3} &= 1 \\
4b &= 1 + \dfrac{1}{3} \\
4b &= \dfrac{4}{3} \\
b &= \dfrac{1}{3} \\
6b &= 2
\end{align}$
Untuk nilai $b=\dfrac{1}{3}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} \left( ax-b \right)\ dx & = 4 \\
\int \limits_{0}^{2} \left( ax-\dfrac{1}{3} \right)\ dx & = 4 \\
\left[ \dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{3}x \right]_{0}^{2} & = 4 \\
\left[ \dfrac{1}{2}a(2)^{2}-\dfrac{1}{3}(2) \right]-\left[ 0 \right] & = 4 \\
2a - \dfrac{2}{3} & = 4 \\
2a & = 4 + \dfrac{2}{3} \\
2a & = \dfrac{14}{3} \\
a & = \dfrac{7}{3} \\
3a & = 7 \\
\end{align}$
Nilai $3a+6b=7+2=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) \ 9$
46. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $4 + \int \limits_{0}^{2} \left( bx+x-2 \right)\ dx = \int \limits_{-1}^{b} \left( x+1 \right)\ dx$ dan $b \gt 0$ maka nilai $b = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
4 + \int \limits_{0}^{2} \left( bx+x-2 \right)\ dx &= \int \limits_{-1}^{b} \left( x+1 \right)\ dx \\
4 + \left[ \dfrac{1}{2}bx^{2}+\dfrac{1}{2}x^{2}-2x \right]_{0}^{2} &= \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+x \right]_{-1}^{b} \\
4 + \left[ \dfrac{1}{2}b(2)^{2}+\dfrac{1}{2}(2)^{2}-2(2) \right]- \left[ 0 \right] &= \left[ \dfrac{1}{2}b^{2}+b \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-1)^{2}+(-1) \right] \\
4 + 2b +2-4 &= \dfrac{1}{2}b^{2}+b + \dfrac{1}{2} \\
2b +2 &= \dfrac{1}{2}b^{2}+b + \dfrac{1}{2} \\
4b + 4 &= b^{2}+ 2b + 1 \\
b^{2} - 2b - 3 &= 0 \\
\left( b-3 \right)\left( b+1 \right)&= 0 \\
b=3\ \text{atau}\ b=-1 &
\end{align}$
Karena nilai $b \gt 0$ maka nilai $b=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \ 3$
47. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika nilai $\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5$ dan $\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0$, maka $\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -5 \\ \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx = 0 \\ \hline
\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx & = \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx +\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx \\ & = 0 + -5 \\ & = -5 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -5$
48. Soal Latihan UTBK SBMPTN 2021 |*Soal Request
Diketahui $\int \limits_{a}^{a+2} \left( 3x-2 \right)\ dx = 5$. Hasil dari $4a^{2}+1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{a+2} \left( 3x-2 \right)\ dx &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}x^{2}-2x \right]_{a}^{a+2} &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}\left( a+2 \right)^{2}-2\left( a+2 \right) \right]-\left[ \frac{3}{2}\left( a \right)^{2}-2\left( a \right) \right] &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}\left( a^{2}+4a+4 \right) -2 a-4 \right]-\left[ \frac{3}{2} a^{2}-2a \right] &= 5 \\
\frac{3}{2}a^{2}+6a+6 -2 a-4 - \frac{3}{2} a^{2}+2a &= 5 \\
6a+2 &= 5 \\
6a &= 3 \\
a &= \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \\
\hline
4a^{2}+1 &= 4\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}+1 \\
&= 4\left( \dfrac{1}{4} \right) +1 \\
&= 1 +1 =2 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) \ 2$
49. Soal UMB 2008 Kode 380 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\int \limits_{-2}^{2} \left| x^{2}-4 \right|\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x^{2}-4$, yaitu:
$\left | x^{2}-4 \right |=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4, \text{untuk}\ x^{2}-4 \geq 0 \\ -\left( x^{2}-4 \right), \text{untuk}\ x^{2}-4 \lt 0 \end{matrix}\right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita perlu batasan nilai $x$ yaitu:
- Nilai $x$ untuk $x^{2}-4 \geq 0$
$\begin{align} x^{2}-4 & \geq 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) & \geq 0 \\ \hline x= 2\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 2 & \\ \end{align}$ - Nilai $x$ untuk $x^{2}-4 \lt 0$
$\begin{align} x^{2}- 4 & \lt 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) & \lt 0 \\ \hline x=2\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline -2 \lt x \lt 2 & \\ \end{align}$
$ \begin{align}
& \int \limits_{-2}^{2} \left| x^{2}-4 \right|\ dx \\ &= \int \limits_{-2}^{2} -\left( x^{2}-4 \right)\ dx \\ &= -\left[ \dfrac{1}{3}x^{3}-4x \right]_{-2}^{2} \\ &= -\left[ \dfrac{1}{3}( 2)^{3}-4( 2) \right] + \left[ \dfrac{1}{3}(-2)^{3}-4(-2) \right] \\ &= -\left[ \dfrac{8}{3} - 8 \right] + \left[ \dfrac{-8}{3} +8 \right] \\ &= -\dfrac{8}{3}+8 -\dfrac{8}{3}+8 \\ &= -\dfrac{16}{3} + 16 \\ &= -\dfrac{16}{3}+\dfrac{48}{3}=\dfrac{32}{3} \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{32}{3}$
50. Soal SNMPTN 2010 Kode 538 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\left| x-1 \right|$ Nilai dari $\int \limits_{0}^{1} f\left( x \right)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x-1$, yaitu:
$\left | x-1 \right |=\left\{\begin{matrix} x-1, \text{untuk}\ x-1 \geq 0\ \text{atau}\ x \geq 1 \\ -\left( x-1 \right), \text{untuk}\ x-1 \lt 0\ \text{atau}\ x \lt 1 \\ \end{matrix}\right.$
Dari batasan nilai $x$ di atas kita dapat tuliskan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} f\left( x \right)\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{1} \left| x-1 \right|\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{1} -\left( x-1 \right)\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{1} \left( -x+1 \right)\ dx \\
&= \left[ -\dfrac{1}{2}x^{2}+x \right]_{0}^{1} \\
&= \left[ -\dfrac{1}{2}(1)^{2}+1 \right] - \left[ -\dfrac{1}{2}(0)^{2}+0 \right] \\
&= -\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
51. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx=30$ maka $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy$ kita coba sederhanakan fungsi dengan memisalkan $x=3y+3$, sehingga beberapa perubahan juga terjadi yaitu:
- karena $x=3y+3$, maka
$ \begin{align}
dx & = 3 dy \\ \dfrac{1}{3}dx & = dy
\end{align} $ - batas bawah yaitu $y=1$ mengakibatkan $x=3y+3=6$
- batas atas yaitu $y=9$ mengakibatkan $x=3y+3=30$
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy &= \int \limits_{6}^{30} f(x)\ \dfrac{1}{3} dx \\ &= \dfrac{1}{3} \int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx \\ &= \dfrac{1}{3} \times 30 \\ & = 10
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$
52. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ diputar mengelilingi sumbu $y$. Volume benda putar yang terbentuk adalah...satuan volume.
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu;
- Volume benda putar terhadap sumbu-$x$ yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( y_{2}-y_{1} \right)^{2}dx$
- Volume benda putar terhadap sumbu-$y$ yang dibatasi oleh $x_{2}$ dan $x_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy$
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan sumbu-$x$ atau $y=0$ adalah $(0,0)$
Volume benda putar yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ dan diputar mengelilingi sumbu-$y$;
$\begin{align}
V &= \pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy \\ &= \pi \int \limits_{0}^{1} \left ( \left ( 1 \right)^{2}-\left( y^{\frac{1}{3}} \right)^{2} \right)dy \\ &= \pi \int \limits_{0}^{1} \left( 1- y^{\dfrac{2}{3}} \right) dy \\ &= \pi \left[ y- \dfrac{3}{5} y^{\dfrac{5}{3}} \right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} (1)^{\dfrac{5}{3}} \right]-[0] \\ &= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} \right] \\ &= \dfrac{2}{5} \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{5} \pi$
53. Soal Latihan UTBK SBMPTN 2021 |*Soal Request
Misalkan $f$ fungsi yang memenuhi $f(x)=f(x+2)$. Untuk setiap $a$ tak nol, misalkan $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx=k$, untuk $a$ bilangan bulat positif, berapakah $\int \limits_{0}^{2020} f(x+2a)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa "Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$"
Dimana suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$.
Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
f(x) &= f(x+2) \\
f(x+2) &= f(x+4) \\
f(x+4) &= f(x+6) \\
& \vdots \\
f(x) &= f(x+2a) \\
\end{align} $
Karena $f(x)=f(x+2a)$, maka $\int \limits_{0}^{2020} f(x+2a) dx = \int \limits_{0}^{2020} f(x)\ dx$
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2020} f(x) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{2}^{4} f(x) dx + \cdots + \int \limits_{2018}^{2020} f(x) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{2-2}^{4-2} f(x+2) dx + \cdots + \int \limits_{2018-2018}^{2020-2018} f(x+2018) dx \\
&= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{0}^{2} f(x+2) dx + \cdots + \int \limits_{0}^{2} f(x+2018) dx \\
&= k + k + k + \cdots + k \\
&= 1010k
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1010k$
54. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Nilai $a$ yang memenuhi $\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx=14$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{4}+2x^{2}+1 \right) dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} \left ( 12x^{5}+24x^{3}+12x \right) dx &= 14 \\
\left[ 2x^{6}+6x^{4}+6x^{2} \right]_{a}^{1} &= 14 \\
\left[ 2(1)^{6}+6(1)^{4}+6(1)^{2} \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
\left[ 2+6+6 \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14-14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 0 \\
a^{2} \left( 2a^{4}+6a^{2}+6 \right) &= 0 \\
a=0\ \text{atau}\ 2a^{4}+6a^{2}+6 &= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
55. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak
Jika kita akan menentukan integral harga mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka dapat kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:$ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari defenisi harga mutlak di atas yang kita pakai hanya bagian $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\ & = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\ & = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\ & = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\ & = 18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$
56. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi Untuk menentukan Luas daerah yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dimana $y_{2}$ dan $y_{1}$ berpotongan pada $a$ dan $b$ maka $L=\left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right|$.
Titik potong kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah;
$\begin{align}
\sqrt{px} &= x \\
px &= x^{2} \\
x^{2} - px &= 0 \\
x(x - p) &= 0 \\
x=0\ &\ x=p
\end{align}$
Luas daerah yang dibatasi kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
L &= \left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \int \limits_{0}^{p} \left( \sqrt{px}-x \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (px)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (x)^{2} \right]_{0}^{p} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (p \cdot p)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (p)^{2} \right]-[0] \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} \cdot p^{3} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} p^{2} -\dfrac{1}{2} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{1}{6} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{6} p^{2} \\
4 &= p^{2} \\
\pm \sqrt{4} &= p \\
\pm 2 &= p
\end{align}$
Karena $p$ memenuhi persamaan $\sqrt{px} = x$ sehingga nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$
57. Soal UNBK SMA IPA 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui $\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\
\left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\
\left [15-6p \right ] & = 3 \\
15-3 & = 6p \\
12 & = 6p \\
2 & = p
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
58. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika nilai $\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5$ dan $\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0$, maka $\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
$\begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -5 \\ \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx = 0 \\ \hline
\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx & = \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx +\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx \\ & = 0 + -5 \\ & = -5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -5$
59. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)$ merupakan fungsi genap, Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16$, $\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11$ dan $\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6$, maka $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
- Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16\ & \Rightarrow\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 16 \\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8\ & \Rightarrow\ \left | F(x) \right | _{0}^{4} = 8 \\
F(4)-F(0) &= 8 \\
\hline
\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11\ & \Rightarrow\ \left( \dfrac{1}{2} \right) \cdot \left | F(2x-2) \right | _{3}^{4} = 11 \\
F(2(4)-2)-F(2(3)-2) &= 22 \\
F(6)-F(4) & = 22 \\
\hline
\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6\ & \Rightarrow\ \left( \dfrac{1}{-1} \right) \cdot \left | F(1-x) \right | _{-5}^{-1} = 6 \\
F(1-(-1))-F(1-(-5)) &= -6 \\
F(2)-F(6) & = -6
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
F(6)-F(4) & = 22 \\
F(2)-F(6) & = -6\ \ (+) \\
\hline
-F(4)+F(2) &= 16 \\
F(4)-F(0) &= 8\ \ (+) \\
\hline
F(2)-F(0) &= 24
\end{align}$
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= \left | F(x) \right | _{0}^{2} \\
&= F(2)-F(0) \\
&= 24
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \ 24$
60. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x)=f(-x)$. Jika nilai $\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6$, $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx = 1$, maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
- Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6\ &\Rightarrow \ 2 \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 6 \\
\int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3\ &\Rightarrow \ \left | F(x) \right | _{0}^{3} = 3 \\
F(3)-F(0) = 3 \ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3 \\
\hline
\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= 1
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 1 &= 3 \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 3-1 =2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B) \ 2$
61. Soal SNMPTN 2009 Kode 276 |*Soal Lengkap
Jika nilai $\int \limits_{1}^{2} f \left( x \right)\ dx = 6$ maka nilai $\int \limits_{0}^{1} x\ f \left( x^{2}+1 \right)\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{2} f \left( x \right)\ dx &= 6 \\
F(2)-F(1) &= 6
\end{align} $
Untuk bentuk $\int \limits_{0}^{1} x\ f \left( x^{2}+1 \right)\ dx$
kita misalkan $u=x^{2}+1$ sehingga $du=2x\ dx$ atau $\dfrac{1}{2}du= x\ dx$.
Untuk $x=1$ kita peroleh $u=(1)^{2}+1=2$ dan
untuk $x=0$ kita peroleh $u=(0)^{2}+1=1$.
Dengan menerapkan defenisi integral dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} x\ f \left( x^{2}+1 \right)\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{1} f \left( x^{2}+1 \right)\ xdx \\
&= \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ \dfrac{1}{2}du \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ du \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ F \left( 2 \right) - F \left( 1 \right) \right] \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \\
&= 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
62. Soal SPMB 2006 Kode 521 |*Soal Lengkap
Jika $\int \limits_{a}^{3a} f \left( x \right)\ dx = K$ maka $\int \limits_{a}^{2a} f \left( 5a-2x \right)\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{3a} f \left( x \right)\ dx &= K \\
F(3a)-F(a) &= K
\end{align} $
Untuk bentuk $\int \limits_{a}^{2a} f \left( 5a-2x \right)\ dx$
kita misalkan $u=5a-2x$ sehingga $du=-2\ dx$ atau $-\dfrac{1}{2}du= dx$.
Untuk $x=2a$ kita peroleh $u=5a-2(2a)=a$ dan
untuk $x=a$ kita peroleh $u=5a-2(a)=3a$.
Dengan menerapkan defenisi integral dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \int \limits_{a}^{2a} f \left( 5a-2x \right)\ dx \\
&= \int \limits_{3a}^{a} f \left( u \right)\ -\dfrac{1}{2}du \\
&= -\dfrac{1}{2} \cdot \int \limits_{3a}^{a} f \left( u \right)\ du \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \int \limits_{a}^{3a} f \left( u \right)\ du \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \left[ F \left( 3a \right) - F \left( a \right) \right] \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot K = \dfrac{1}{2}K
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}K$
63. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Misalkan fungsi $f$ memenuhi $f(x+5)=f(x)$ untuk setiap $x \in R$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 3$ dan $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx =-2$ maka nilai $\int \limits_{5}^{15} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
$'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
- $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = \int \limits_{6}^{10} f(x)\ dx = \int \limits_{11}^{15} f(x)\ dx = 3$
- $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx = \int \limits_{5}^{6} f(x)\ dx =\int \limits_{10}^{11} f(x)\ dx =-2$;
Dengan menggunakan catatan integral tentu, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{5}^{15} f(x) dx &= \int \limits_{5}^{6} f(x) dx+\int \limits_{6}^{10} f(x) dx+\int \limits_{10}^{11} f(x) dx+\int \limits_{11}^{15} f(x) dx \\
&= -2+3+(-2)+3 \\
&= 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \ 2$
64. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $g$ dan $h$ didefinisikan sebagai berikut:
$g(x)=2-bx$ dan $h(x)=1-bx+x^{2}$.
Grafik fungsi $g$ memotong sumbu $x$ di titik $\left(1,0\right)$.
Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi $g$ dan $h$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Fungsi $g(x)=2-bx$ dan $h(x)=1-bx+x^{2}$ mempunyai konstanta $b$ yang sama.
Karena fungsi $g(x)=2-bx$ memotong sumbu $x$ di titik $\left(1,0\right)$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
g(x) & = 2-bx \\
g(1) & = 2-b(1) \\
0 & = 2-b \\
b & = 2
\end{align}$
Untuk $b=2$ kita peroleh fungsi $g(x)=2-2x$ dan $h(x)=1-2x+x^{2}$.
Jika kita gambarkan fungsi $g(x)=2-2x$ dan $h(x)=1-2x+x^{2}$ ilustrasinya seperti berikut ini.
Titik potong kedua kurva adalah:
$\begin{align}
h(x) & = g(x) \\
1-2x+x^{2} & = 2-2x \\
x^{2}-2x+1+2x-2 & = 0 \\
x^{2}- 1 & = 0 \\
\left( x-1 \right)\left( x+1\right) & = 0 \\
x=1\ \text{atau}\ x=-1 & \\
\hline
x=-1\ \longrightarrow & y=4 \\
x=1\ \longrightarrow & y=0
\end{align}$
Luas daerah yang dibatas kedua kurva adalah yang diarsir pada gambar, yaitu:
$\begin{align}
L & = \int \limits_{-1 }^{1 } \left( \left( 2-2x \right)-\left( 1-2x+x^{2} \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{-1}^{1} \left( 2-2x-1+2x-x^{2} \right) dx \\
& = \int \limits_{-1}^{1} \left( 1-x^{2} \right) dx \\
& = \left[ x-\dfrac{1}{3}x^{3} \right]_{-1}^{1} \\
& = \left[ 1-\dfrac{1}{3}(1)^{3} \right] - \left[ -1-\dfrac{1}{3}(-1)^{3} \right] \\
& = \left[ 1-\dfrac{1}{3} \right] - \left[ -1+\dfrac{1}{3} \right] \\
& = 1-\dfrac{1}{3} + 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}
\end{align}$
Alternatif Solution!
Jika fungsi hasil pengurangan kedua kurva berupa fungsi kuadrat $\left( f=ax^{2}+bx+c \right)$ dan batas-batas merupakan titik potong kedua kurva maka luas daerah yang dibatasi kedua kurva dapat dihitung dengan $L = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$.
Pada soal di atas fungsi hasil pengurangan adalah $f=1-x^{2}$, sehingga luas daerahnya adalah:
$\begin{align}
L & = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \\
L & = \dfrac{(b^{2}-4ac) \sqrt{b^{2}-4ac}}{6a^{2}} \\
L & = \dfrac{(0-4(-1)(1)) \sqrt{(0-4(-1)(1))}}{6(-1)^{2}} \\
L & = \dfrac{(4) \sqrt{(4)}}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{4}{3}$
65. Soal UMPTN 1995 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=ax+b$, $\int \limits_{0}^{1} f \left( x \right)\ dx = 1$ dan $\int \limits_{1}^{5} f \left( x \right)\ dx = 5$ maka $a+b = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{1} f \left( x \right)\ dx &= 1 \\
\int \limits_{0}^{1} \left( ax+b \right)\ dx &= 1 \\
\left[ \dfrac{1}{2}ax^{2}+ bx \right ]_{0}^{1} &=1 \\
\left[ \dfrac{1}{2}a(1)+ b(1) \right] -\left[ 0 \right] &= 1 \\
\dfrac{1}{2}a + b &= 1 \\
\hline
\int \limits_{1}^{2} f \left( x \right)\ dx &= 5 \\
\int \limits_{1}^{2} \left( ax+b \right)\ dx &= 5 \\
\left[ \dfrac{1}{2} ax^{2}+ bx \right ]_{1}^{2} &=5 \\
\left[ \dfrac{1}{2}a(2)^{2}+b(2) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}a(1)+ b(1) \right] & = 5 \\
2a +2b - \dfrac{1}{2}a - b & = 5 \\
\dfrac{3}{2}a + b &= 5 \\
\dfrac{1}{2}a + b + a &= 5 \\
1 + a &= 5 \\
a=4 &\ \longrightarrow b=-1
\end{align}$
Untuk nilai $a=4$ dan $b=-1$ maka $a+b=4-1=3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ 3$
66. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $f(x)$ adalah fungsi genap, Jika nilai $\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx = 260$ dan $\int \limits_{2}^{4} f(x) dx = 2$ maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx+\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
- Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ adalah fungsi genap dan $3x^{2}$ adalah fungsi genap karena $f(-x)=f(x)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
2 \cdot \int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
\int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{5} 3x^{2}\ dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \left | x^{3} \right | _{0}^{5} &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx +125 &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x) &= 5
\end{align}$
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{2}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 2 +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5-2 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
3 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \ 3$
67. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=x^{2}+x-2$ dan $g(x)=x+2$.
Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi $f$ dan $g$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan fungsi $f(x)=x^{2}+x-2$ dan $g(x)=x+2$ ilustrasinya seperti berikut ini.
Titik potong kedua kurva adalah:
$\begin{align}
f(x) & = g(x) \\
x^{2}+x-2 & = x+2 \\
x^{2}+x-2-x-2 & = 0 \\
x^{2}- 4 & = 0 \\
\left( x-2 \right)\left( x+2\right) & = 0 \\
x=2\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=-2\ \longrightarrow & y=0 \\
x=2\ \longrightarrow & y=4
\end{align}$
Luas daerah yang dibatas kedua kurva adalah yang diarsir pada gambar, yaitu:
$\begin{align}
L & = = \int \limits_{-2 }^{2 } \left( \left( x+2 \right)-\left( x^{2}+x-2 \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{-2}^{2} \left( x+2-x^{2}-x+2 \right) dx \\
& = \int \limits_{-2}^{2} \left( 4-x^{2} \right) dx \\
& = \left[ 4x-\dfrac{1}{3}x^{3} \right]_{-2}^{2} \\
& = \left[ 4(2)-\dfrac{1}{3}(2)^{3} \right] - \left[ 4(-2)-\dfrac{1}{3}(-2)^{3} \right] \\
& = \left[ 8-\dfrac{8}{3} \right] - \left[ -8+\dfrac{8}{3} \right] \\
& = 8-\dfrac{8}{3} + 8-\dfrac{8}{3} \\
& = 16-\dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3}
\end{align}$
Alternatif Solution!
Jika fungsi hasil pengurangan kedua kurva berupa fungsi kuadrat $\left( f=ax^{2}+bx+c \right)$ dan batas-batas merupakan titik potong kedua kurva maka luas daerah yang dibatasi kedua kurva dapat dihitung dengan $L = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$.
Pada soal di atas fungsi hasil pengurangan adalah $f=4-x^{2}$, sehingga luas daerahnya adalah:
$\begin{align}
L & = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \\
L & = \dfrac{(b^{2}-4ac) \sqrt{b^{2}-4ac}}{6a^{2}} \\
L & = \dfrac{(0-4(-1)(4)) \sqrt{(0-4(-1)(4))}}{6(-1)^{2}} \\
L & = \dfrac{(16) \sqrt{(16)}}{6} = \dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{32}{3}$
68. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=-2 \left( x-5 \right)$ dan $g(x)=\left( x-2 \right)^{2}-2$.
Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi $f$ dan $g$, serta berada disebelah kanan sumbu-$y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan fungsi $f(x)=-2 \left( x-5 \right)$ dan $g(x)=\left( x-2 \right)^{2}-2$ ilustrasinya seperti berikut ini.
Titik potong kedua kurva adalah:
$\begin{align}
f(x) & = g(x) \\
-2 \left( x-5 \right) & = \left( x-2 \right)^{2}-2 \\
-2x+10 & = x^{2}-4x+2 \\
x^{2}-2x-8 & = 0 \\
\left( x-4 \right)\left( x+2\right) & = 0 \\
x=4\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=-2\ \longrightarrow & y=14 \\
x=4\ \longrightarrow & y=2
\end{align}$
Luas daerah yang dibatasi kedua kurva adalah yang diarsir pada gambar di atas dengan batasan $-2 \leq x \leq 4$. Tetapi karena yang dinginkan hanya disebelah kanan sumbu-$y$ batasan menjadi $0 \leq x \leq 4$, luas daerahnya adalah:
$\begin{align}
L & = \int \limits_{0 }^{4 } \left( \left( -2x+10 \right)-\left( x^{2}-4x+2 \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{4} \left( -2x+10-x^{2}+4x-2 \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{4} \left( 8+2x-x^{2} \right) dx \\
& = \left[ 8x+x^{2}-\dfrac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{4} \\
& = \left[ 8(4)+(4)^{2}-\dfrac{1}{3}(4)^{3} \right] - \left[ 8(0)-(0)^{2}-\dfrac{1}{3}(0)^{3} \right] \\
& = \left[ 32+16-\dfrac{64}{3} \right] \\
& = \left[ 48-\dfrac{64}{3} \right] \\
& = \dfrac{144}{3}-\dfrac{64}{3} = \dfrac{80}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{80}{3}$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Fungsi Aljabar di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Turunan Fungsi Trigonometri dan Pembahasan Soal Latihan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan