com.png "defantri.com")
Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal Latihan dan Pembahasan Hubungan Dua Lingkaran. Catatan ini merupakan kelanjutan dari catatan sebelumnya Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran, Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran, dan Persamaan Garis Singgung Lingkaran.
HUBUNGAN DUA LINGKARAN
Untuk menentukan hubungan dua lingkaran atau kedudukan dua lingkaran dapat kita tentukan dengan melihat nilai diskriminan (D=b2−4ac) persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran dan nilai jari-jari kedua lingkaran.
Misal lingkaran L1 pusatnya adalah P1(x1,y1) dan jari-jarinya r1 sedangkan lingkaran L2 pusatnya adalah P2(x2,y2) dan jari-jarinya r2 akan memiliki beberapa hubungan, antara lain:
Dua Lingkaran Berpotongan di Dua Titik
Lingkaran akan berpotongan saat D>0 dan r1+r2>|P1P2|
Dua Lingkaran Bersinggungan di Dalam
Lingkaran akan bersinggungan di dalam saat D=0 dan Jika r1>r2 maka r1−r2=|P1P2|
Dua Lingkaran Bersinggungan di Luar
Lingkaran akan bersinggungan di luar saat D=0 dan r1+r2=|P1P2|
Dua Lingkaran Tidak Bersinggungan dan Tidak Berpotongan di Dalam
Lingkaran tidak bersinggungan dan tidak berpotongan di dalam saat D<0 dan r1+r2>|P1P2|
Dua Lingkaran Tidak Bersinggungan, Tidak Berpotongan di Dalam dan Sepusat
Lingkaran tidak bersinggungan, tidak berpotongan di dalam dan sepusat saat D<0 dan P1=P2
Dua Lingkaran Tidak Bersinggungan dan Tidak Berpotongan di Luar
Lingkaran tidak bersinggungan dan tidak berpotongan di luar saat D<0 dan r1+r2<|P1P2|
Soal Latihan dan Pembahasan Hubungan Dua Lingkaran
Soal latihan Lingkaran, khususnya Hubungan Dua Lingkaran kita pilih dari soal latihan pada Modul Lingkaran Matematika SMA, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Untuk soal Lingkaran yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | Senin, 28 Juli 2025 |
| Jumlah Soal : | 11 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Titik potong lingkaran x^{2}+y^{2}– 8x+6y+17 = 0 dan x^{2}+y^{2} + 2x + 6y – 3 = 0 adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan titik potong kedua lingkaran, pertama kita dapatkan persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran, yaitu:
\begin{align} x^{2}+y^{2}– 8x+6y+17 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} + 2x + 6y – 3 &= 0\ \ (-) \\ \hline -10x + 20 & =0 \\ x = 2 & \end{align}
Untuk x=2 kita peroleh:
\begin{align}
x^{2}+y^{2}– 8x+6y+17 &= 0 \\
(2)^{2}+y^{2}– 8( 2)+6y+17 &= 0 \\
4+y^{2}-16+6y+17 &= 0 \\
y^{2}+6y+5 &= 0 \\
\left(y+1 \right)\left(y+5 \right) &= 0 \\
y=-1\ \text{atau}\ y=-5 &
\end{align}
Titik potong kedua lingkaran adalah \left( 2,-1 \right) dan \left( 2,-5 \right).
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ \left( 2,-1 \right)
2. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Diketahui lingkaran x^{2}+y^{2}– 4x + 6y – 7 = 0 dan x^{2}+y^{2} – 10x – 6y + 29 = 0. Titik singgung kedua lingkaran itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan titik potong kedua lingkaran, pertama kita dapatkan persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran, yaitu:
\begin{align} x^{2}+y^{2}– 4x + 6y – 7 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} – 10x – 6y + 29 &= 0\ \ (-) \\ \hline 6x +12y -36 & =0 \\ x + 2y - 6 & =0 \\ x & = 6-2y \end{align}
Untuk x=6-2y kita peroleh:
\begin{align}
x^{2}+y^{2}– 4x + 6y – 7 &= 0 \\
(6-2y)^{2}+y^{2}– 4(6-2y) + 6y – 7 &= 0 \\
4y^{2}-24y+36+y^{2}– 24+8y+ 6y – 7 &= 0 \\
5y^{2}-10y+ 5 &= 0 \\
y^{2}-2y+ 1 &= 0 \\
\left(y-1 \right)\left(y-1 \right) &= 0 \\
y= 1\ \text{atau}\ y=1 &
\end{align}
Untuk y=1 maka x=6-2(1)=4, titik singgung kedua lingkaran adalah \left( 4,1 \right).
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E)\ \left( 4,1 \right)
3. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Titik potong lingkaran x^{2}+\left( y-2 \right)^{2} = 10 dan lingkaran \left( x-2 \right)^{2}+y^{2} = 10 adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan titik potong kedua lingkaran, pertama kita dapatkan persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran, yaitu:
\begin{align} x^{2}+\left( y-2 \right)^{2} &= 10 \\ \left( x-2 \right)^{2}+y^{2} &= 10 \\ \hline x^{2}+y^{2}-4y - 6 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} -4x -6 &= 0\ \ (-) \\ \hline -4y+4x & =0 \\ x = y & \end{align}
Untuk x=y kita peroleh:
\begin{align}
x^{2}+y^{2}-4y - 6 &= 10 \\
x^{2}+x^{2}-4x - 6 &= 0 \\
2x^{2}-4x-6 &= 0 \\
x^{2}-2x-3 &= 0 \\
\left( x-3 \right)\left( x+1 \right) &= 0 \\
x=3\ \text{atau}\ x=-1 &
\end{align}
Karena x=y maka titik potong kedua lingkaran adalah \left( 3,3 \right) dan \left( -1,-1 \right).
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ \left( 3,3 \right)\ \text{dan} \left( -1,-1 \right)
4. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Dua lingkaran x^{2}+y^{2} – 6x + 4y – 12=0 dan lingkaran x^{2}+y^{2}– 10x + 6y – 8 = 0 memiliki hubungan...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui hubungan atau kedudukan dua lingkaran kita coba lihat nilai \left( D=b^{2}-4ac \right) persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran.
\begin{align} x^{2}+y^{2} – 6x + 4y – 12 &= 0 \\ x^{2}+y^{2}– 10x + 6y – 8 &= 0\ \ (-) \\ \hline 4x - 2y -4 &= 0 \\ 2x - y -2 &= 0 \\ 2x -2 &= y \end{align}
Untuk y=2x -2 kita peroleh:
\begin{align}
x^{2}+y^{2} – 6x + 4y – 12 &= 0 \\
x^{2}+\left( 2x -2 \right)^{2} – 6x + 4\left( 2x -2 \right) – 12 &= 0 \\
x^{2}+4x^{2} – 8x + 4 -6x + 8x -8 – 12 &= 0 \\
5x^{2}-6x-16 &= 0 \\
\hline
\end{align}
\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= \left( -6 \right)^{2}-4(5)(-16) \\
&= 36+320 \\
&= 356 \gt 0
\end{align}
Karena D \gt 0 maka kedua lingkaran adalah Saling berpotongan di dua titik.
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ \text{Saling berpotongan di dua titik}
5. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Dua lingkaran x^{2}+y^{2} + 2x – 6y + 9=0 dan lingkaran x^{2}+y^{2}+ 8x – 6y + 9 = 0 memiliki hubungan...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengetahui hubungan atau kedudukan dua lingkaran kita coba lihat nilai \left( D=b^{2}-4ac \right) persamaan kuadrat persekutuan kedua lingkaran.
\begin{align} x^{2}+y^{2} + 2x – 6y + 9 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} + 8x – 6y + 9 &= 0\ \ (-) \\ \hline -6x &= 0 \\ x &= 0 \end{align}
Untuk x=0 kita peroleh:
\begin{align}
x^{2}+y^{2} + 2x – 6y + 9 &= 0 \\
0+y^{2} + 0 – 6y + 9 &= 0 \\
y^{2} – 6y + 9 &= 0 \\
\hline
\end{align}
\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= \left( -6 \right)^{2}-4(1)(9) \\
&= 36-36 \\
&= 0
\end{align}
Karena D = 0 maka kedua lingkaran adalah saling bersinggungan.
Untuk memeriksa apakah lingkaran bersinggungan dalam atau bersinggungan luar kita lihat dari r_{1}+r_{2} dan nilai \left|P_{1}P_{2} \right|.
Lingkaran x^{2}+y^{2} + 2x – 6y + 9=0 pusatnya adalah P_{1}=\left(-1,3 \right) dan r_{1}=1 sedangkan Lingkaran x^{2}+y^{2}+ 8x – 6y + 9 = 0 pusatnya adalah P_{2}=\left(-4,3 \right) dan r_{2}=4.
Nilai r_{1}+r_{2}=1+4=5 dan
\begin{align}
\left|P_{1}P_{2} \right| &= \sqrt{\left( x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left( y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( -4+1 \right)^{2}+\left( 3-3 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{9+0} =3
\end{align}
Kita peroleh r_{1}+r_{2} \gt \left|P_{1}P_{2}\right| atau r_{2}=r_{1} + \left|P_{1}P_{2}\right| sehingga kedua lingkaran adalah bersinggungan dalam.
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ \text{Saling bersinggungan di dalam}
6. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran x^{2}+y^{2}+ 2x – 8y – 32=0 dan lingkaran x^{2}+y^{2}– 10x – 24y + 168= 0 adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa kedua lingkaran mempunyai garis singgung persekutuan luar, dimana x^{2}+y^{2}+ 2x – 8y – 32=0 mempunyai pusat P_{1}\left( -1,4 \right) dan jari-jari r=7 sedangkan x^{2}+y^{2}– 10x – 24y + 168= 0 mempunyai pusat P_{2}\left( 5,12 \right) dan jari-jari r=1. Jika kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang garis singgung persekutuan luar adalah sama dengan AP_{2} yang dapat kita hitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras yaitu AP_{2}^{2}=P_{1}P_{2}^{2}-AP_{1}^{2}
\begin{align} P_{1}P_{2} &= \sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ &= \sqrt{\left(5+1 \right)^{2}+\left(12-4 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \\ \hline AP_{2}^{2} &= P_{1}P_{2}^{2}-AP_{1}^{2} \\ &= 10^{2}-6^{2} \\ &= 100-36 \\ AP_{2}&= \sqrt{64}=8 \end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 8
7. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran x^{2}+y^{2}– 6x + 4y – 3=0 dan lingkaran x^{2}+y^{2}– 4y + p= 0 sama dengan 4 cm. Nilai p sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa kedua lingkaran mempunyai garis singgung persekutuan luar, dimana x^{2}+y^{2}– 6x + 4y – 3=0 mempunyai pusat P_{1}\left( 3,-2 \right) dan jari-jari r=4 sedangkan x^{2}+y^{2} – 4y + p= 0 mempunyai pusat P_{2}\left( 0, 2 \right) dan jari-jari r. Jika kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang garis singgung persekutuan luar adalah sama dengan AP_{2}=4, dengan menggunakan Teorema Pythagoras yaitu AP_{2}^{2}=P_{1}P_{2}^{2}-AP_{1}^{2} kita dapat menghitung AP_{1}
\begin{align}
P_{1}P_{2} &= \sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 3-0 \right)^{2}+\left(-2-2 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \\
\hline
AP_{1}^{2} &= P_{1}P_{2}^{2}-AP_{2}^{2} \\
&= 5^{2}-4^{2} \\
&= 25-16 \\
AP_{1}&= \sqrt{9}=3
\end{align}
Dengan AP_{1}=3 kita peroleh 4-r=3 sehingga r=1.
Untuk r=1 pada lingkaran x^{2}+y^{2}– 4y + p= 0 maka:
\begin{align}
r &= \sqrt{\left( -\frac{1}{2}A \right)^{2}+\left( -\frac{1}{2}B \right)^{2}-C} \\
1 &= \sqrt{\left( 0 \right)^{2}+\left( 2 \right)^{2}-p} \\
1 &= \sqrt{4-p} \rightarrow p=3
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ 3
8. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Lingkaran L_{1} dan L_{2} masing-masing berjari-jari 8\ cm dan 2\ cm, serta jarak kedua pusat lingkaran itu sama dengan 12\ cm. Panjang sabuk lilitan luar minimal yang diperlukan untuk menghubungkan lingkaran L_{1} dan L_{2} adalah...
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran L_{1} dengan r=8 dan L_{2} dengan r=2, serta jarak kedua pusat lingkaran itu sama dengan 12 jika kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas panjang sabuk lilitan luar minimal adalah yang berwarna merah, dimana panjang minimalnya adalah DG+GF+FE+FD. Untuk menghitung panjang busur DG dan FE kita gunakan \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi r dimana \alpha adalah sudut pusat yang dibentuk panjang busur yang akan dihitung.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC kita peroleh:
\begin{align}
BC^{2} &= AB^{2}-AC^{2} \\
&= 12^{2}-6^{2} \\
&= 144-36 \\
BC &= \sqrt{108}=6\sqrt{3}
\end{align}
Dari segitiga siku-siku ABC juga kita dapatkan cos\ BAC=\frac{1}{2} sehingga \angle BAC=60^{\circ} dan \angle DAG=120^{\circ}. Untuk \angle DAG=120^{\circ}, maka kita peroleh:
\begin{align}
DG &= \frac{360^{\circ}-120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \\
&= \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 8 \\
&= \frac{4}{6} \cdot 16\pi = \frac{32}{3} \pi
\end{align}
Dari segitiga siku-siku ABC untuk \angle BAC=60^{\circ} maka \angle ABC=30^{\circ} dan \angle ABE=30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ}, maka kita peroleh:
\begin{align}
EF &= \frac{360^{\circ}-240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \\
&= \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 2 \\
&= \frac{1}{3} \cdot 4\pi = \frac{4}{3} \pi
\end{align}
Panjang sabuk lilitan luar minimal adalah:
\begin{align}
& DG+GF+FE+FD \\
& \frac{32}{3} \pi + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + \frac{4}{3} \pi \\
&= \frac{36}{3} \pi + 12\sqrt{3} \\
&= 12 \pi + 12\sqrt{3}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 12\sqrt{3}+12\pi
9. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Empat buah pipa masing-masing dengan garis tengah 6\ cm diikat erat seperti gambar berikut ini. Arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa. Panjang tali minimal yang mengikat pipa-pipa itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan lingkaran di atas dengan titik-titik tambahan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah (AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA),
Panjang AB=CD=EF=GH=d dan panjang busur BC=DE=FG=HA sehingga AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=4 \times (d+ BC)
Perhatikan persegi panjang ABPO, sehingga \measuredangle BPO=90^{\circ};
Panjang busur BC;
\begin{align}
BC & =\dfrac{90}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{4} \times \pi\ d
\end{align}
Panjang tali minimum adalah:
\begin{align}
4 \times (d+ BC) & =4 \times \left( d+\dfrac{1}{4} \times \pi\ d \right) \\
& =4d+ \pi\ d \\
& =(4+\pi) d \\
& =(4+\pi) \cdot 6 \\
& = 24+6\pi
\end{align}
Untuk menghitung panjang tali minimum pada lingkaran berimpit lainnya silahkan disimak Cara Menghitung Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran).
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E)\ 24+6\pi
10. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Persamaan garis tali busur persekutuan lingkaran \left(x-3 \right)^{2}+y^{2} =8 dan lingkaran x^{2}+\left(y-3 \right)^{2} =8 adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedua lingkaran di atas seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh tali busur persukutuan adalah yang melalui titik A dan titik B, kedua titik itu dapat kita peroleh dari:
\begin{align} \left(x-3 \right)^{2}+y^{2} &= 8 \\ x^{2}+\left(y-3 \right)^{2} &= 8 \\ \hline x^{2}+y^{2}-6x +1 &= 0 \\ x^{2}+y^{2} -6y +1 &= 0\ \ (-) \\ \hline -6x+6y & =0 \\ x = y & \end{align}
Untuk x=y maka kita peroleh pada titik A dan B nilai x=y sehingga persamaan garis tali busur persekutuan lingkaran adalah y=x.
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ y=x
11. Soal Latihan Hubungan Dua Lingkaran
Jika lingkaran x^{2}+y^{2} +6x+k=0 dan x^{2}+y^{2}+ 8y – 20 = 0 saling bersinggungan di dalam, maka nilai k adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui lingkaran bersinggungan dalam sehingga r_{1}+r_{2} \gt \left|P_{1}P_{2} \right| atau r_{1}=r_{2} + \left|P_{1}P_{2}\right| dengan r_{1} \gt r_{2}.
Lingkaran x^{2}+y^{2}+ 8y – 20 = 0 pusatnya adalah P_{1}=\left( 0,-4 \right) dan jari-jarinya r_{1}=6 sedangkan Lingkaran x^{2}+y^{2} +6x+k=0 pusatnya adalah P_{2}=\left(-3,0 \right) dan jari-jarinya r_{2}.
Jarak kedua titik pusat adalah:
\begin{align}
\left|P_{1}P_{2} \right| &= \sqrt{\left( x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left( y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 3-0 \right)^{2}+\left( 0+4 \right)^{2}} \\
&= \sqrt{9+16} = 5
\end{align}
Karena lingkaran bersinggungan dalam yang harus memenuhi r_{1}=r_{2} + \left|P_{1}P_{2}\right| dengan r_{1} \gt r_{2} maka 6=r_{2} + 5 atau r_{2}=1.
Untuk r_{2}=1 pada lingkaran x^{2}+y^{2} +6x+k=0 maka:
\begin{align}
r &= \sqrt{\left( -\frac{1}{2}A \right)^{2}+\left( -\frac{1}{2}B \right)^{2}-C} \\
1 &= \sqrt{\left( -3 \right)^{2}+\left( 0 \right)^{2}-k} \\
1 &= \sqrt{9-k} \rightarrow k=8
\end{align}
Jika kita gambarkan kedudukan kedua lingkaran seperti berikut ini:
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D)\ 8
Catatan Belajar Hubungan Dua Lingkaran Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
