The good student, bersama calon guru kita belajar matematika SMA tentang Cara Perkalian Dua Matriks dan Pembahasan Soal Latihan. Matriks pertama kali diperkenalkan sekitar tahun 1859 oleh Arthur Cayley (16 Agustus 1821 - 26 Januari 1895) seorang pengacara berkebangsaan Inggris yang juga merupakan seorang ahli matematika.
Matriks sering dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalahan dalam matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear atau transformasi geometri. Salah satu fungsi matriks di tingkat yang lebih tinggi digunakan pada teknik sipil, matriks dapat membantu menemukan gaya yang bekerja pada struktur bangunan (untuk mengetahui kekuatan struktur bangunan, cukup kuat atau tidak menahan beban yang akan di bangun).
Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi (objek) berbentuk persegipanjang yang diatur menurut aturan baris dan kolom. Susunan bilangan (objek) itu diletakkan di dalam kurung biasa "$(\ \ )$" atau kurung siku "$[\ \ ]$".
Masing-masing bilangan (objek) dalam matriks disebut entri atau elemen. Secara umum penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya.
Cara perkalian matriks berbeda dengan penjumlahan atau pengurangan matriks, karena pada perkalian matriks ada syarat khusus sehingga dua buah matriks dapat dikalikan. Seperti apa dua buah matriks yang dapat dikalikan mari kita simak dari ilustrasi berikut ini.
PERKALIAN DUA MATRIKS
Hasil pertandingan $5$ tim liga Inggris pada tahun $2000$ ditunjukkan pada tabel berikut ini:
| Tim | Menang | Seri | Kalah |
|---|---|---|---|
| Man United | $28$ | $7$ | $3$ |
| Arsenal | $22$ | $7$ | $9$ |
| Leeds United | $21$ | $6$ | $11$ |
| Liverpool | $19$ | $10$ | $9$ |
| Chelsea | $18$ | $11$ | $9$ |
Untuk setiap hasil pertandingan diberi nilai seperti berikut ini:
| Hasil | Nilai |
|---|---|
| Menang | $3$ |
| Seri | $1$ |
| Kalah | $0$ |
Dari kedua tabel di atas, nilai total setiap tim adalah:
| Tim | Perhitungan | Nilai Akhir |
|---|---|---|
| Man United | $28 \times 3 + 7 \times 1 + 3 \times 0$ | $91$ |
| Arsenal | $22 \times 3+ 7 \times 1 + 9 \times 0$ | $73$ |
| Leeds United | $21 \times 3+ 6 \times 1+ 11 \times 0$ | $69$ |
| Liverpool | $19 \times 3+ 10 \times 1+9 \times 0$ | $67$ |
| Chelsea | $18 \times 3+11\times 1+ 9 \times 0$ | $65$ |
Cara perhitungan pada tabel di atas yang digunakan pada perkalian dua matriks. Jika perhitungan di atas ditulis dengan menggunakan matriks bentuknya adalah seperti berikut ini:
Jika kita perhatikan perkalian dua matriks di atas, matriks di sebelah kiri $\begin{pmatrix}
28 & 7 & 3 \\
22 & 7 & 9 \\
21 & 6 & 11 \\
19 & 10 & 9 \\
18 & 11 & 9
\end{pmatrix}$ adalah matriks $5 \times 3$ dan
matriks di sebelah kanan $\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}$ adalah matriks $3 \times 1$, apabila kita tuliskan perkalian matriks hanya ordo saja dapat kita tuliskan $\text{M}_{5 \times 3} \times \text{M}_{3 \times 1}=\text{M}_{5 \times 1}$.
Bila kita tuliskan secara umum perkalian $\text{M}_{5 \times 3} \times \text{M}_{3 \times 1}=\text{M}_{5 \times 1}$ menjadi $\text{M}_{m \times n} \times \text{M}_{n \times p}=\text{M}_{m \times p}$.
Dari perkalian $\text{M}_{m \times n} \times \text{M}_{n \times p}=\text{M}_{m \times p}$ kita peroleh syarat sebuah matriks dapat dikalikan yaitu kolom pada matriks sebelah kiri $\text{M}_{m \times n}$ yaitu $n$ harus sama dengan baris pada matriks sebelah kanan $\text{M}_{n \times p}$.
Jika $M$ adalah sebuah matriks, saat $\text{M}_{m \times n}$ dan $\text{M}_{n \times p}$ maka hasil perkalian kedua matriks adalah: \begin{align} \text{M}_{m \times n} \times \text{M}_{n \times p}=\text{M}_{m \times p} \end{align} Jika syarat $\left( n=n \right)$ seperti di atas tidak dipenuhi maka perkalian matriks tidak dapat dilakukan.
Misal untuk matriks $A_{2 \times 3}$, $B_{3 \times 3}$, $C_{2 \times 2}$, $D_{3 \times 4}$, dan $M_{m \times n}$, operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan dan yang tidak dapat dilakukan:
- $A_{2 \times 3} \times B_{3 \times 3}=M_{2 \times 3}$
- $B_{3 \times 3} \times A_{2 \times 3}$ (perkalian matriks tidak dapat lakukan)
- $A_{2 \times 3} \times C_{2 \times 2}$ (perkalian matriks tidak dapat lakukan)
- $B_{3 \times 3} \times D_{3 \times 4}=M_{3 \times 4}$
Misal $A=\begin{pmatrix}
-3 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
5 & 0
\end{pmatrix}$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
AB & = \begin{pmatrix}
-3 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
2 & 1\\
5 & 0
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(-3)(2)+(1)(5) & (-3)(1)+(1)(0) \\
(4)(2)+(2)(5) & (4)(1)+(2)(0) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
-6+5 & -3+0 \\
8+10 & 4+0 \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
-1 & -3 \\
18 & 4 \\
\end{pmatrix}
\end{align}$
SIFAT PERKALIAN MATRIKS
Misalkan matriks $A$, $B$, dan $C$ adalah suatu matriks yang dapat dijumlahkan atau dikalikan, serta $k$ adalah bilangan real maka dapat kita tuliskan:
- Sifat Komutatif tidak berlaku secara umum
$A \times B \neq B \times A$ - Sifat Asosiatif
$\left( A \times B \right) \times C =A \times \left( B \times C \right)$ - Sifat Distribusi kiri
$A \times \left( B + C \right) = \left( A \times B \right) + \left( A \times C \right)$ - Sifat Distribusi kanan
$\left( B + C \right) \times A = \left( B \times A \right) + \left( C \times A \right)$ - Identitas Perkalian
$I \times A = A \times I = A$
dimana $A$ dan $I$ berordo sama - Perpangkatan
$A^{2} = A \times A$
$A^{3} = A \times A \times A$ - Jika $A^{t}$ adalah transpose matriks $A$, maka berlaku:
- $\left( A^{t} \right)^{t} = A$
- $\left(A \times B \right)^{t} = B^{t} \times A^{t}$
- $\left( k \cdot A\right)^{t}=k \cdot A^{t}$
- $\left(A + B \right)^{t} = A^{t} + B^{t}$
- $\left(A - B \right)^{t} = A^{t} - B^{t}$
- Perkalian bilangan $k$ dengan sebuah matriks, misal:
$\begin{align}
kA & = k \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a k & b k \\ c k & d k
\end{pmatrix} \end{align}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN PERKALIAN MATRIKS
Soal-soal matriks yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks.
Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Cara Perkalian Dua Matriks atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Perkalian Matriks
Hasil dari $\begin{pmatrix}
2 & -1\\ 3 & 0
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0
\end{pmatrix}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
6 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-7 & -1 & 4 \\ -6 & 0 & 6
\end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \\ 5 & -7 & 4
\end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
2 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 3
\end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \begin{pmatrix}
2 & -1\\
3 & 0
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 2 \\
3 & 1 & 0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(2)(-2)+(-1)(3) & (2)(0)+(-1)(1) & (2)(2)+(-1)(0) \\
(3)(-2)+(0)(3) & (3)(0)+(0)(1) & (3)(2)+(0)(0)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-4-3 & 0-1 & 4+0 \\
-6+0 & 0+0 & 6+0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-7 & -1 & 4 \\
-6 & 0 & 6
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix}
-7 & -1 & 4 \\
-6 & 0 & 6
\end{pmatrix}$
2. Soal Latihan Perkalian Matriks
Jika $A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
4 & 2 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ maka $A \times B =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
7 & -2 \\ 1 & -7 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
2 & 5 \\ -1 & 4 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
6 & 2 \\ -1 &3 \\ \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
5 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
A \times B &= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-2 & 0 & 3
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
1 & 0 \\
3 & -1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(0)(4)+(1)(1)+(2)(3) & (0)(2)+(1)(0)+(2)(-1) \\
(-2)(4)+(0)(1)+(3)(3) & (-2)(2)+(0)(0)+(3)(-1)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0+1+6 & 0+0-2 \\
-8+0+9 & -4+0-3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
7 & -2 \\
1 & -7
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
7 & -2 \\
1 & -7
\end{pmatrix}$
3. Soal Latihan Perkalian Matriks
Jika $P=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ maka matriks hasil dari $P^{2}-PQ-QP+Q^{2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
2 & 10 \\ 9 & -8 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
9 & -16 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
-3 & -5 \\ 6 & 9 \\ \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
3 & 9 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
10 & -9 \\ -9 & 37 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& P^{2}-PQ-QP+Q^{2} \\
& = \left( P-Q \right)\left( P-Q \right) \\
& = \left( P-Q \right)^{2} \\
& = \left( \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \right)^{2} \\
& = \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-1 & 6
\end{pmatrix}^{2} \\
& = \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-1 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-1 & 6
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(3)(3)+(-1)(-1) & (3)(-1)+(-1)(6) \\
(-1)(3)+(6)(-1) & (-1)(-1)+(6)(6) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
10 & -9 \\
-9 & 37
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\begin{align}
P^{2} & = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(2)(2)+(0)(1) & (2)(0)+(0)(3) \\
(1)(2)+(3)(1) & (1)(0)+(3)(3) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
5 & 9
\end{pmatrix} \\
\hline
PQ & = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(2)(-1)+(0)(2) & (2)(1)+(0)(3) \\
(1)(-1)+(3)(2) & (1)(1)+(3)(-3) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
5 & -8
\end{pmatrix} \\
\hline
QP & = \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(-1)(2)+(1)(1) & (-1)(0)+(1)(3) \\
(2)(2)+(-3)(1) & (2)(0)+(-3)(3) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
-1 & 3 \\
1 & -9
\end{pmatrix} \\
\hline
Q^{2} & = \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(-1)(-1)+(1)(2) & (-1)(1)+(1)(-3) \\
(2)(-1)+(-3)(2) & (2)(1)+(-3)(-3) \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
3 & -4 \\
-8 & 11
\end{pmatrix} \\
\hline
& P^{2}-PQ-QP+Q^{2} \\
& = \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
5 & 9
\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
5 & -8
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
-1 & 3 \\
1 & -9
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3 & -4 \\
-8 & 11
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
4+2+1+3 & 0-2-3-4 \\
5-5-1-8 & 9+8+9+11
\end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}
10 & -9 \\
-9 & 37
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix}
10 & -9 \\
-9 & 37
\end{pmatrix}$
4. Soal Latihan Perkalian Matriks
Hasil dari $\begin{pmatrix}
12 & 24 \\ 48 & 36 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
16 & 32 \\ -24 & -16 \end{pmatrix} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
54 & 108 \\ 72 & 320 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix}
-384 & 0 \\ -96 & 960 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix}
320 & 96 \\ 960 & 12 \\ \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix}
96 & 960 \\ 540 & 320 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix}
960 & 320 \\ 720 & 54 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
&\begin{pmatrix}
12 & 24 \\
48 & 36
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
16 & 32 \\
-24 & -16
\end{pmatrix} \\
&= 12 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & 3
\end{pmatrix} \times 8 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 4 \\
-3 & -2
\end{pmatrix} \\
&= 12 \cdot 8 \cdot \begin{pmatrix}
(1)(2)+(2)(-3) & (1)(4)+(2)(-2) \\
(4)(2)+(3)(-3) & (4)(4)+(3)(-2) \\
\end{pmatrix} \\
&= 96 \cdot \begin{pmatrix}
-4 & 0 \\
-1 & 10
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-384 & 0 \\
-96 & 960 \\
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
-384 & 0 \\
-96 & 960 \\
\end{pmatrix}$
5. Soal Latihan Perkalian Matriks
Diketahui $A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ maka $\left(A \times B \right)^{t} =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 5 & 2 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 12 & 4 \\ 1 & 7 \\ \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 12 & 4 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A \times B & = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (3)(4)+(-2)(0) & (3)(1)+(-2)(-2) \\ (1)(4)+(0)(0) & (1)(1)+(0)(-2) \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 12 & 7 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \\ \hline \left(A \times B \right)^{t} &= \begin{pmatrix} 12 & 4 \\ 7 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{pmatrix}
12 & 4 \\
7 & 1 \\
\end{pmatrix}$
6. Soal Latihan Perkalian Matriks
Diketahui $A=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ maka $\left(A^{2} \right)^{t} =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -5 & 9 \\ -9 & -8 \\ \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -9 & 7 \\ \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} -5 & -9 \\ 8 & -7 \\ \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 8 & -7 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A^{2} & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (2)(2)+(-3)(3) & (2)(-3)+(-3)(1) \\ (3)(2)+(1)(3) & (3)(-3)+(1)(1) \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 & -9 \\ 9 & -8 \end{pmatrix} \\ \hline \left(A^{2} \right)^{t} &= \begin{pmatrix} -5 & 9 \\ -9 & -8 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
-5 & 9 \\
-9 & -8
\end{pmatrix}$
7. Soal Latihan Perkalian Matriks
Diketahui $\begin{pmatrix} x & -2 \\ 3 & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 5 & y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 & 14 \\ 17 & 2x \end{pmatrix}$ maka nilai $x+y =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x & -2 \\ 3 & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 5 & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -11 & 14 \\ 17 & 2x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (x)(-1)+(-2)(5) & (x)(6)+(-2)(-y) \\ (3)(-1)+(y)(5) & (3)(6)+(y)(-y) \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -11 & 14 \\ 17 & 2x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -x-10 & 6x+2y \\ -3+5y & 18-y^{2} \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -11 & 14 \\ 17 & 2x \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-x-10=-11$ sehingga $x=1$, dan $-3+5y=17$ sehingga $y=4$.
Nilai $x+y=1+4=5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
8. Soal Latihan Perkalian Matriks
Manakah dari pernyataan berikut ini bernilai salah:
$\begin{align} (A)\ & \left(P+Q \right)^{t}=P^{t}+Q^{t} \\ (B)\ & \left(P \times Q \right)^{t} \neq P^{t} \times Q^{t} \\ (C)\ & \left(2P\right)^{t}=2P^{t} \\ (D)\ & \left(P^{2} \right)^{t} = \left(P^{t} \right)^{2} \\ (E)\ & \left(P \times Q \right)^{2}=P^{2} \times Q^{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sifat-sifat transpose matriks kita peroleh:
- $ \left(P+Q \right)^{t}=P^{t}+Q^{t}$ (BENAR)
Sesuai dengan sifat $\left(A + B \right)^{t} = A^{t} + B^{t}$. - $ \left(P \times Q \right)^{t} \neq P^{t} \times Q^{t}$ (BENAR)
Sesuai dengan sifat $\left(A \times B \right)^{t} = B^{t} \times A^{t}$. - $ \left(2P\right)^{t}=2P^{t}$ (BENAR)
Sesuai dengan sifat $\left( k \cdot A\right)^{t}=k \cdot A^{t}$. - $\left(P^{2} \right)^{t} = \left(P^{t} \right)^{2}$ (BENAR)
$P=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \longrightarrow P^{2}=\begin{pmatrix} a^{2}+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^{2} \end{pmatrix} $
$\left(P^{2} \right)^{t}=\begin{pmatrix} a^{2}+bc & ac+cd \\ ab+bd & bc+d^{2} \end{pmatrix} $
$P^{t}=\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix} \longrightarrow \left( P^{t} \right)^{2}=\begin{pmatrix} a^{2}+bc & ac+cd \\ ab+bd & bc+d^{2} \end{pmatrix} $ - $\left(P \times Q \right)^{2}=P^{2} \times Q^{2}$ (SALAH)
Jika matriks $P \times Q$ dapat dikalikan maka belum tentu matriks $P^{2}$ atau $Q^{2}$ dapat kalikan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left(P \times Q \right)^{2}=P^{2} \times Q^{2}$
9. Soal Latihan Perkalian Matriks
Manakah dari pernyataan berikut ini bernilai salah:
$\begin{align} (A)\ & \left(A \times B \right) \times C= A \times \left( B \times C \right) \\ (B)\ & 2A \times 3B = 6AB \\ (C)\ & A \left( B + C \right) = AB + AC \\ (D)\ & \left( A+B \right)^{2} = A^{2}+2AB+B^{2} \\ (E)\ & \left( A-B \right)^{2}= \left( A-B \right)\left( A-B \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari sifat-sifat perkalian matriks kita peroleh:
- $\left(A \times B \right) \times C= A \times \left( B \times C \right)$ (BENAR)
Sesuai dengan Sifat Asosiatif $\left( A \times B \right) \times C =A \times \left( B \times C \right)$. - $2A \times 3B = 6AB$ (BENAR)
Sesuai dengan sifat $mA \times nB = mn \times AB$. - $A \left( B + C \right) = AB + AC$ (BENAR)
Sesuai dengan Sifat Distribusi kiri $A \times \left( B + C \right) = \left( A \times B \right) + \left( A \times C \right)$. - $\left( A+B \right)^{2} = A^{2}+2AB+B^{2}$ (SALAH)
Karena matriks $A \times B \neq B \times A$ tidak berlaku secara umum, bentuk seharusnya adalah $\left( A+B \right)^{2} = A^{2}+AB+BA+B^{2}$. - $\left( A-B \right)^{2}= \left( A-B \right)\left( A-B \right)$ (BENAR)
Sesuai dengan sifat $A^{2}=A \times A$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( A+B \right)^{2} = A^{2}+2AB+B^{2}$
10. Soal Latihan Perkalian Matriks
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan matriks $\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 13 \end{pmatrix}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 & 13 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (2)(x)+(-3)(y) \\ (1)(x)+(4)(y) \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 & 13 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x-3y \\ x+4y \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 & 13 \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
2x-3y & = 4\ \times 4 \\
x+4y & = 13\ \times 3 \\
\hline
8x-12y & = 16 \\
3x+12y & = 39\ \ (+) \\
\hline
11x & = 55\ \longrightarrow x=5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$
11. Soal Latihan Perkalian Matriks
Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ maka hasil dari $\left( A-B \right)\left( A+B \right)-\left( A+B \right)\left( A-B \right)$...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A+B &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1+0 & 1+1 \\ -1+1 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \hline A-B &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-0 & 1-1 \\ -1-1 & 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$
$\begin{align} & \left( A-B \right)\left( A+B \right)-\left( A+B \right)\left( A-B \right) \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (1)(1)+(0)(0) & (1)(2)+(0)(1) \\ (-2)(1)+(1)(0) & (-2)(2)+(1)(1) \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} (1)(1)+(2)(-2) & (1)(0)+(2)(1) \\ (0)(1)+(1)(-2) & (0)(0)+(1)(1) \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -3 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \\ \end{pmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$
Alternatif pembahasan:
$\begin{align}
AB &= \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(1)(0)+(1)(1) & (1)(1)+(1)(0) \\
(-1)(0)+(1)(1) & (-1)(1)+(1)(0) \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \\
\hline
BA &= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
(0)(1)+(1)(-1) & (0)(1)+(1)(1) \\
(1)(1)+(0)(-1) & (1)(1)+(0)(1) \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\begin{align} & \left( A-B \right)\left( A+B \right)-\left( A+B \right)\left( A-B \right) \\ & =\left( A^{2}+AB-BA-B^{2} \right)- \left( A^{2}-AB+BA-B^{2} \right) \\ & = A^{2}+AB-BA-B^{2}-A^{2}+AB-BA+B^{2} \\ & = 2AB -2BA \\ & = 2 \left(AB - BA \right) \\ & = 2 \left( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right) \\ & = 2 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \\ \end{pmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$
12. Soal Latihan Perkalian Matriks
$\begin{pmatrix} 2x & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & 10x \\ -7 & 1 \end{pmatrix}=2 \begin{pmatrix} 3 & x \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan di atas adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 2x & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & 10x \\ -7 & 1 \end{pmatrix} &=2 \begin{pmatrix} 3 & x \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x-6 & 10x+4 \\ -6 & 2 \end{pmatrix} &=2 \begin{pmatrix} 3-2x & 3x+3x \\ -1-2 & 3-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x-6 & 10x+4 \\ -6 & 2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 6-4x & 12x \\ -6 & 6-2x \end{pmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $6-2x=2$ sehingga $x=2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
13. Soal Latihan Perkalian Matriks
Diketahui $f(x)=x^{2}-3x$. Jika $A=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ maka $f \left( A \right)=\cdots$.
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $f(x)=x^{2}-3x$ dan $A=\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) & =x^{2}-3x \\
f(A) & =A^{2}-3A \\
& =A^{2}-3A \\
& = \begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix}-3 \begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
(-1)(-1)+(2)(2) & (-1)(2)+(2)(3) \\
(2)(-1)+(3)(2) & (2)(2)+(3)(3) \\
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
-3 & 6 \\
6 & 9
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
5 & 4 \\
4 & 13 \\
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
-3 & 6 \\
6 & 9
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
8 & -2 \\
-2 & 4 \\
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ -2 & 4 \\ \end{pmatrix}$
14. Soal Latihan Perkalian Matriks
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $C= \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, maka $A \times B \times C=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 27 & 9 \\ 15 & 0 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & -9 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 0 & 20 \\ 0 & -15 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 16 & 10 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 0 & 20 \\ 15 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A \times B\ &=\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (1)(3)+(-4)(-1) & (1)(2)+(-4)(1) \\ (2)(3)+(3)(-1) & (2)(2)+(3)(1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\ \hline A \times B \times C\ &=\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (7)(0)+(-2)(0) & (7)(2)+(-2)(-3) \\ (3)(0)+(7)(0) & (3)(2)+(7)(-3) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 20 \\ 0 & -15 \end{pmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix} 0 & 20 \\ 0 & -15 \end{pmatrix}$
15. Soal Latihan Perkalian Matriks
$\begin{pmatrix} -1 & d \\ 5 & a \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ -3 & a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c-3 & 1 \\ b & 2b \end{pmatrix}$. Nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & d \\ 5 & a \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ -3 & a \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c-3 & 1 \\ b & 2b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -1-3 & d-5 \\ 5-3 & a+a \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} (2)(c-3)+(-1)(b) & (2)(1)+(-1)(2b) \\ (4)(c-3)+(3)(b) & (4)(1)+(3)(2b) \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -4 & d-5 \\ 2 & 2a \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2c-6-b & 2-2b \\ 4c-12+3b & 4+6b \\ \end{pmatrix} \end{align}$
- Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh
- $-4=2c-6-b$ sehingga $2c=b+2$
- $2=4c-12+3b$
$\begin{align} 2 &=2(2c)-12+3b \\ 2 &=2(b+2)-12+3b \\ 2 &=2b+4-12+3b \\ 10 &=5b \longrightarrow b=2 \end{align}$ - $2a=4+6b$
$\begin{align} 2a &= 4+6(2) \\ 2a &= 16 \longrightarrow a=8 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 8$
16. Soal Latihan Perkalian Matriks
Dari persamaan matriks $\begin{pmatrix} p+1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & p+r \\ q & 3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} q & -4 \\ p+q & q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$. Nilai $p+2q+2r=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 11 \\ (E)\ & 23 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \begin{pmatrix} p+1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & p+r \\ q & 3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} q & -4 \\ p+q & q \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (p+1)(3)+(-2)(q) & (p+1)(p+r)+(-2)(3) \\ (1)(3)+(-1)(q) & (1)(p+r)+(-1)(3) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} q & -4 \\ p+q & q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3p+3-2q & (p+1)(p+r)-6 \\ 3-q & p+r-3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 10-q & 14 \\ 6-p-q & 4-q \end{pmatrix} \\ \end{align}$
- Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $3-q=6-p-q$ sehingga $p=3$
- $(p+1)(p+r)-6 =14$
$\begin{align} (3+1)(3+r)-6 &= 14 \\ (4)(3+r) &= 20 \\ 3+r &= 5 \longrightarrow r=2 \end{align}$ - $p+r-3=4-q$
$\begin{align} 3+2-3 &= 4-q \\ 2 &= 4-q \longrightarrow q=2 \end{align}$ - Nilai $p+2q+2r=\cdots$
$\begin{align} p+2q+2r &= 3+2(2)+2(2) \\ &= 3+4+4=11 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11$
17. Soal Latihan Perkalian Matriks
Jika $A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} x & -1 \\ y & 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ 16 & 3 \end{pmatrix}$ serta berlaku $A^{t} \cdot B=C$ maka $2x+y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 7 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 11 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A^{t} \cdot B &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & -1 \\ y & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ 16 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (3)(x)+(0)(y) & (3)(-1)+(0)(1) \\ (2)(x)+(5)(y) & (2)(-1)+(5)(1) \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ 16 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3x & -3 \\ 2x+5y & 3 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ 16 & 3 \end{pmatrix} \end{align}$
- Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $3x=9$ sehingga $x=3$
- $2x+5y=16$
$\begin{align} 2(3)+5y &= 16 \\ 5y &=16-6 \\ 5y &= 10 \longrightarrow y=2 \end{align}$ - Nilai $2x+y=2(3)+2=8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8$
18. Soal Latihan Perkalian Matriks
Jika $\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 \\ 0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix} \cdot B = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 2\sqrt{2} \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ maka matriks $B$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & -2 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 2 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ \sqrt{2} & 3 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan matriks $B$, umumnya dapat kita tentukan setelah kita belajar invers matriks. Tetapi sampai pada tahapan perkalian matriks ini kita belum mengenal invers matriks, maka kita coba selesaikan soal ini dengan memisalkan matriks $B$ dengan sebuah matriks $2 \times 2$ yaitu $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.
$\begin{align} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 \\ 0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix} \cdot B = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 2\sqrt{2} \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 \\ 0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 2\sqrt{2} \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a\sqrt{2}+2c & b\sqrt{2}+2d \\ 2c\sqrt{2} & 2d\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 2\sqrt{2} \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
- Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $2d\sqrt{2}=0 $ sehingga $d=0$
- $2c\sqrt{2}=4 $ sehingga $c=\sqrt{2}$
- $b\sqrt{2}+2d=2\sqrt{2}$
$\begin{align} b\sqrt{2}+2(0) &= 2\sqrt{2} \\ b\sqrt{2} &=2\sqrt{2} \longrightarrow b=2 \end{align}$ - $a\sqrt{2}+2c=-\sqrt{2}$
$\begin{align} a\sqrt{2}+2(\sqrt{2}) &= -\sqrt{2} \\ a\sqrt{2} &=-3\sqrt{2} \longrightarrow a=-3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}$
19. Soal Latihan Perkalian Matriks
Diketahui $\begin{pmatrix} 4 & a-2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -11 & -6 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ maka nilai $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 13 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 25 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan nilai $a$ dapat kita tentukan dengan melakukan operasi aljabar pada matriks yang diketahui:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 4 & a-2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -11 & -6 \end{pmatrix} =& 2 \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4-6 & a-2+8 \\ 3-11 & 2-6 \end{pmatrix} =& 2 \begin{pmatrix} (3)(0)+(1)(-1) & (3)(3)+(1)(1) \\ (-2)(0)+(4)(-1) & (-2)(3)+(4)(1) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -2 & a+6 \\ -8 & -4 \end{pmatrix} =& 2 \begin{pmatrix} -1 & 10 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -2 & a+6 \\ -8 & -4 \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} -2 & 20 \\ -8 & -4 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $a+6=20$ sehingga $a=14$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$
20. Soal Latihan Perkalian Matriks
Diketahui dua matriks $A=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & x \\ -2 & y \end{pmatrix}$. Jika $AB=BA$, maka matriks $4x-3y=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -26 \\ (B)\ & -23 \\ (C)\ & -7 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 26 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan nilai $4x-3y$ dapat kita tentukan dengan melakukan operasi aljabar pada matriks yang diketahui:
$\begin{align} AB & = BA \\ \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x \\ -2 & y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 & x \\ -2 & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (5)(1)+(2)(-2) & (5)(x)+(2)(y) \\ (2)(1)+(1)(-2) & (2)(x)+(1)(y) \\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} (1)(5)+(x)(2) & (1)(2)+(x)(1) \\ (-2)(5)+(y)(2) & (-2)(2)+(y)(1) \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 5x+2y \\ 0 & 2x+y \\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5+2x & 2+x \\ -10+2y & -4+y \\ \end{pmatrix} \end{align}$
- Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:
- $5+2x=1 $ sehingga $x=-2$
- $-10+2y=0 $ sehingga $y=5$
- Nilai $4x-3y=4(-2)-3(5)=-23$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -23$
21. Soal Latihan Perkalian Matriks
Jika diketahui dua matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka yang benar diantara hubungan berikut adalah...
$\begin{align} (A)\ & BA=3B \\ (B)\ & BA=3A \\ (C)\ & AB=3B \\ (D)\ & AB=3A \\ (E)\ & 3AB=B \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan hubungan yang benar dapat kita tentukan dengan melakukan operasi aljabar pada matriks yang diketahui:
$\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (1)(3)+(3)(2) \\ (4)(3)+(-3)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} \\ \hline 3B & = 3 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} (3)(3) \\ (3)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ AB=3B$
22. Soal Latihan Perkalian Matriks
Jika $I$ matriks satuan dan $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}=pA+qI$ maka $p+q=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 15 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan nilai $p+q$ dapat kita tentukan dengan melakukan operasi aljabar pada matriks yang diketahui:
$\begin{align} A^{2} & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (2)(2)+(1)(-4) & (2)(1)+(1)(3)\\ (-4)(2)+(3)(-4) & (-4)(1)+(3)(3) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4-4 & 2+3\\ -8-12 & -4+9 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 5\\ -20 & 5 \end{pmatrix} \end{align}$
$\begin{align} A^{2} & = pA+qI \\ \begin{pmatrix} 0 & 5\\ -20 & 5 \end{pmatrix} & = p \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 0 & 5\\ -20 & 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 5\\ -20 & 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2p+q & p \\ -4p & 3p+q \end{pmatrix} \end{align}$
- Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
- $p=5$
- $2p+q=0$ sehingga $q=-10$
- $p+q=-5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -5$
Catatan Cara Perkalian Dua Matriks dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
