Calon Guru belajar matematika SMA tentang Distribusi Peluang Binomial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika. Distribusi Peluang Binomial sering juga disebut dengan Distribusi Probabilitas Binomial atau hanya dengan sebutan Distribusi Binomial.
Untuk lebih mudah memahami Distribusi Peluang Binomial ini, ada baiknya kita sudah mengenal peluang untuk kejadian majemuk, silahkan disimak pada catatan Teori Peluang Kejadian Majemuk dan Cara Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika.
Pada SMA materi ini mulai diperkenalkan di kelas XII saat kurikulum 2013 mulai digunakan dan pada kurikulum merdeka dipelajari pada elemen Analisa Data dan Peluang tahap akhir fase F+
Capaian pembelajaran yang diharapkan adalah peserta didik memahami variabel diskrit acak dan fungsi peluang, dan menggunakannya dalam memodelkan data. Diharapkan peserta didik dapat menginterpretasi parameter distribusi data secara statistik (seragam, binomial dan normal), menghitung nilai harapan distribusi binomial dan normal, dan menggunakannya dalam penyelesaian masalah.
HUBUNGAN STATISTIKA DENGAN PELUANG
Dalam bahasa sederhana kita dapat menyebutkan statistika adalah ilmu pengetahuan tentang data. Apabila dijabarkan, dapat kita tuliskan statistika adalah ilmu yang mempelajari semua hal tentang data, mulai pengumpulan, penyajian, analisis, sampai terbentuk suatu kesimpulan (pengambilan keputusan).
Statistika juga masih dibagi kedalam dua kelompok yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia.
- statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian sekumpulan data sehingga memberikan informasi yang berguna.
Statistika inilah yang kita pelajari sewaktu belajar tentang rata-rata, standar deviasi, atau penyajian data dalam bentuk tabel/diagram. - statistika inferensia mencakup semua metode yang berhubungan dengan pengolahan data untuk kemudian sampai pada penarikan kesimpulan dan peramalan mengenai sekumpulan data.
Statistik inferensia dapat berupa estimasi, uji hipotesis, prediksi dan tingkat hubungan antara variabel. Stastistik inferensia ini terbagi lagi menjadi dua bagian.- statistik parametik yaitu statistik yang dalam pengolahan data menggunakan parameter yang spesifik seperti rata-rata populasi ($\mu$) atau varians ($\sigma ^{2}$).
- statistik nonparametik yaitu statistik yang dalam pengolahan data tidak menggunakan parameter untuk tujuan penarikan kesimpulan.
Pada matematika statistik disampaikan bahwa dalam alam semesta pada dasarnya terdapat $2$ aktivitas (percobaan).
- Percobaan deterministik: adalah percobaan yang sudah pasti terjadi.
- Percobaan Stokastik/ Acak/ Random/ Statistik/ Probabilistik: adalah segala sesuatu yang kejadiannya belum dapat dipastikan,
percobaan ini mempunyai sifat :- Semua hasil yang terjadi dapat diketahui
- Hasil yang terjadi tidak dapat diketahui sebelum percobaan tersebut dilakukan.
Stokastik sangat mempengaruhi deterministik. Oleh karena itu, sangatlah penting untuk dapat memprediksi suatu kejadian yang belum pasti dalam kehidupan sehari-hari. Atas dasar inilah konsep probabilitas atau teori peluang sangat dibutuhkan oleh dunia kerja atau dunia bisnis atau dunia rumah tangga sekalipun ruang lingkup yang diprediksi lebih sederhana.
DISTRIBUSI PELUANG BINOMIAL
Sebelum kita mengenal tentang distribusi peluang binomial, ada beberapa istilah yang harus kita ketahui yaitu variabel acak.
Variabel adalah suatu yang dapat mengubah nilai atau suatu besaran yang hanya bisa mengambil nilai-nilai berbeda.
Variabel acak (random variable) adalah diskripsi numerik dari hasil percobaan yang terjadi pada percobaan yang bersifat acaka. Variabel acak ada $2$, yaitu:
- Variabel Random Diskrit/Cacah adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu saja.
- Variabel Random Kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval (pada garis bilangan).
Pada percobaan pelemparan mata uang. Misal banyaknya muncul gambar dinyatakan $x$, maka $x = \text{variabel acak}$
Contoh berikutnya dari pelantunan tiga buah uang logam.
Dari pelantunan tiga buah uang logam, dimana setiap uang logam berkemungkinan muncul angka $\text{(A)}$ atau gambar $\text{(G)}$.
Kegiatan ini memiliki ruang sampel $S= \left\{ GGG, \right.$ $GGA,$ $GAG,$ $AGG,$ $GAA,$ $AGA,$ $AAG,$ $\left. AAA \right \}$, sehingga $n(S) = 8$.
Misalkan $X$ adalah variabel yang menunjukkan banyaknya muncul angka, dapat kita peroleh:
- Jika $X = 0\ :\ \left \{GGG \right \}$ maka $n\left(X = 0 \right) = 1$ sehingga $P \left(X = 0 \right) = \dfrac{1}{8}$
- Jika $X = 1\ :\ \left \{AGG, GAG, GGA \right \}$ maka $n\left(X = 1 \right) = 3$ sehingga $P \left(X = 1 \right) = \dfrac{3}{8}$
- Jika $X = 2\ :\ \left \{ GAA, AGA, AAG \right \}$ maka $n\left(X = 2 \right) = 3$ sehingga $P \left(X = 2 \right) = \dfrac{3}{8}$
- Jika $X = 3\ :\ \left \{ AAA \right \}$ maka $n\left(X = 3 \right) = 1$ sehingga $P \left(X = 3 \right) = \dfrac{1}{8}$
Dari data di atas, data dapat juga sajikan dalam bentuk tabel distribusi peluang
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\text{Lainnya}$ | $\text{Total}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $\dfrac{1}{8}$ | $\dfrac{3}{8}$ | $\dfrac{3}{8}$ | $\dfrac{1}{8}$ | $0$ | $1$ |
Tabel distribusi peluang haruslah mempunyai nilai total $1$. Artinya jumlah distribusi peluang munculnya angka pada pelantunan tiga buah uang logam haruslah $1$.
Dari tabel distribusi peluang di atas dapat dibuat fungsi distribusi peluang, yaitu:
$F(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{8}, & \text{ jika }\ x= 0,3 \\
\dfrac{3}{8}, & \text{ jika }\ x= 1,2 \\
0, & \text{ jika } x= \text{ lainnya }
\end{cases}$
Penjabaran di atas adalah salah satu contoh dari fungsi $F(X)$ yang dikatakan fungsi distribusi peluang.
Sebuah Fungsi dikatakan fungsi distribusi peluang, apabila fungsi tersebut harus memenuhi syarat sebagai berikut:
- $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots$ dan $X_{n}$ adalah kejadian yang saling lepas.
- $P \left( X_{1} \right) + P \left( X_{2} \right) + P \left( X_{3} \right) + \cdots + P \left( X_{n} \right)=1$
Contoh 2.
Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya genap.
Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$.
Misalkan $X$ adalah variabel yang menunjukkan jumlah dua mata dadu genap, dapat kita peroleh:
- Jika $X = 2\ :\ \left \{ (1,1) \right \}$ maka $n\left(X = 2 \right) = 1$ sehingga $P \left(X = 2 \right) = \dfrac{1}{36}$
- Jika $X = 4\ :\ \left \{(1,3), (2,2), (3,1) \right \}$ maka $n\left(X = 4 \right) = 3$ sehingga $P \left(X = 4 \right) = \dfrac{3}{36}$
- Jika $X = 6\ :\ \left \{ (1,5), \cdots , (5,1) \right \}$ maka $n\left(X = 6 \right) = 5$ sehingga $P \left(X = 6 \right) = \dfrac{5}{36}$
- Jika $X = 8\ :\ \left \{ (2,6), \cdots , (6,2) \right \}$ maka $n\left(X = 8 \right) = 5$ sehingga $P \left(X = 6 \right) = \dfrac{5}{36}$
- Jika $X = 10\ :\ \left \{(6,4), (5,5), (6,4) \right \}$ maka $n\left(X = 10 \right) = 3$ sehingga $P \left(X = 10 \right) = \dfrac{3}{36}$
- Jika $X = 12\ :\ \left \{ (6,6) \right \}$ maka $n\left(X = 12 \right) = 1$ sehingga $P \left(X = 12 \right) = \dfrac{1}{36}$
Data di atas dapat juga sajikan dalam bentuk tabel distribusi peluang
| $X$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ | $12$ | $\text{Lainnya}$ | $\text{Total}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $\dfrac{1}{36}$ | $\dfrac{3}{36}$ | $\dfrac{5}{36}$ | $\dfrac{5}{36}$ | $\dfrac{3}{36}$ | $\dfrac{1}{36}$ | $\dfrac{18}{36}$ | $1$ |
Dari tabel distribusi peluang di atas dapat dibuat fungsi distribusi peluang, yaitu:
$F(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{36}, & \text{ jika }\ x= 2,12 \\
\dfrac{3}{36}, & \text{ jika }\ x= 4,10 \\
\dfrac{5}{36}, & \text{ jika }\ x= 6,8 \\
\dfrac{18}{36}, & \text{ jika }\ x= \text{ lainnya }
\end{cases}$
Contoh 3.
Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya lebih dari $8$.
Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$.
Misalkan $X$ adalah variabel yang menunjukkan dua mata mata dadu yang jumlahnya lebih dari $8$, dapat kita peroleh:
- Jika $X = 9\ :\ \left \{ (3,6), (4,5), (5,4),(6,3) \right \}$ maka $n\left(X = 9 \right) = 4$ sehingga $P \left(X = 9 \right) = \dfrac{4}{36}$
- Jika $X = 10\ :\ \left \{(4,6), (5,5), (6,4) \right \}$ maka $n\left(X = 10 \right) = 3$ sehingga $P \left(X = 10 \right) = \dfrac{3}{36}$
- Jika $X = 11\ :\ \left \{ (5,6), (6,5) \right \}$ maka $n\left(X = 11 \right) = 2$ sehingga $P \left(X = 11 \right) = \dfrac{2}{36}$
- Jika $X = 12\ :\ \left \{ (6,6) \right \}$ maka $n\left(X = 12 \right) = 1$ sehingga $P \left(X = 12 \right) = \dfrac{1}{36}$
Data di atas dapat juga sajikan dalam bentuk tabel distribusi peluang
| $X$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ | $\text{Lainnya}$ | $\text{Total}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $\dfrac{4}{36}$ | $\dfrac{3}{36}$ | $\dfrac{2}{36}$ | $\dfrac{1}{36}$ | $\dfrac{26}{36}$ | $1$ |
Dari tabel distribusi peluang di atas dapat dibuat fungsi distribusi peluang, yaitu:
$F(x)=\begin{cases}
\dfrac{4}{36}, & \text{ jika }\ x= 9 \\
\dfrac{3}{36}, & \text{ jika }\ x= 10 \\
\dfrac{2}{36}, & \text{ jika }\ x= 11 \\
\dfrac{1}{36}, & \text{ jika }\ x= 12 \\
\dfrac{26}{36}, & \text{ jika }\ x= \text{ lainnya }
\end{cases}$
Fungsi di atas dapat juga dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana, yakni:
$F(x)=\begin{cases}
\dfrac{13-x}{36}, & \text{ jika }\ 9 \leq x \leq 12 \\
\dfrac{26}{36}, & \text{ jika }\ x= \text{ lainnya }
\end{cases}$
Contoh 4.
Sebuah kotak berisi $4$ bola kuning, $2$ bola merah dan $4$ bola putih. Jika diambil tiga bola sekaligus dari dalam kotak tersebut, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang terambilnya bola putih..
Banyak anggota ruang sampel pada pengambilan $3$ bola dari $10$ bola adalah.
$\begin{align}
n \left( S \right) & = C \left( 10,3 \right) \\
& = \dfrac{10!}{3! \left( 10-3 \right)!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \left( 7 \right)!} \\
& = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120
\end{align}$
Misalkan $X$ adalah variabel yang menunjukkan banyaknya terambil bola putih, dapat kita peroleh:
- Jika $X = 0$ maka $n\left(X = 0 \right) = C(4,0) \cdot C(6,3)=1 \cdot 20=20$ sehingga $P \left(X = 0 \right) = \dfrac{20}{120}= \dfrac{1}{6}$
- Jika $X = 1$ maka $n\left(X = 1 \right) = C(4,1) \cdot C(6,2)=4 \cdot 15=60$ sehingga $P \left(X = 1 \right) = \dfrac{60}{120}= \dfrac{1}{2}$
- Jika $X = 2$ maka $n\left(X = 2 \right) = C(4,2) \cdot C(6,1)=6 \cdot 6=36$ sehingga $P \left(X = 2 \right) = \dfrac{36}{120}= \dfrac{3}{10}$
- Jika $X = 3$ maka $n\left(X = 3 \right) = C(4,3) \cdot C(6,0)=4 \cdot 1=4$ sehingga $P \left(X = 3 \right) = \dfrac{4}{120}= \dfrac{1}{30}$
Data di atas dapat juga sajikan dalam bentuk tabel distribusi peluang
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\text{Lainnya}$ | $\text{Total}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{3}{10}$ | $\dfrac{1}{30}$ | $0$ | $1$ |
Dari tabel distribusi peluang di atas dapat dibuat fungsi distribusi peluang, yaitu:
$F(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{6}, & \text{ jika }\ x= 0 \\
\dfrac{1}{2}, & \text{ jika }\ x= 1 \\
\dfrac{3}{10}, & \text{ jika }\ x= 2 \\
\dfrac{1}{30}, & \text{ jika }\ x= 3 \\
0, & \text{ jika }\ x= \text{ lainnya }
\end{cases}$
Fungsi di atas dapat juga dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana, yakni:
$F(x)=\begin{cases}
\dfrac{13-x}{36}, & \text{ jika }\ 9 \leq x \leq 12 \\
\dfrac{26}{36}, & \text{ jika }\ x= \text{ lainnya }
\end{cases}$
DISTRIBUSI BINOMIAL (DISTRIBUSI BERNOULLI)
Distribusi Binomial atau Distribusi Bernoulli (ditemukan oleh Jacob Bernoulli) adalah suatu distribusi yang terdiri atas dua hasil yang mungkin (dua kejadian saling berkomplemen), seperti "sukses dan gagal", "sakit dan sehat", "benar dan salah" dan sebagainya.
Variabel acak $X$ adalah jumlah hasil sukses untuk $n$ kali percobaan dalam eksperimen binomial
Jika $p$ adalah peluang sukses dan $q$ adalah peluang gagal dalam setiap kali percobaan, maka berlaku: \begin{align} p + q = 1 \end{align}
Peluang suskes dalam percobaan binomial dapat dihitung dengan menggunakan rumus peluang binomial yang sering juga disebut dengan Fungsi Distribusi Binomial.
Fungsi Distribusi Binomial
Dalam suatu percobaan, peluang untuk mendapatkan tepat $x$ sukses dalam $n$ percobaan adalah:
\begin{align}
P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x}
\end{align}
Dalam eksperimen binomial dengan $n$ kali percobaan dimungkinkan untuk mengetahui peluang sukses paling banyak $r$ kali atau paling sedikit $r$ kali, dimana $r \leq n$, dengan menggunakan rumus:
$\begin{align}
P \left( X \leq r \right) & = P \left( X=0 \right) + P \left( X=1 \right) + \cdots + P \left( X=r \right) \\
\hline
& \text{dan} \\
\hline
P \left( X \geq r \right) & = P \left( X=r \right) + P \left( X=r+1 \right) + \cdots + P \left( X=n \right) \\
\end{align}$
Contoh 5.
Pada eksperimen melantunkan Sebuah dadu $4$ kali, berapakah banyaknya kejadian $2$ kali sukses munculnya mata dadu prima?
Misalkan kejadian $\text{sukses} = S$ dan kejadian $\text{gagal} = G$, maka untuk $4$ kali percobaan diperoleh cacahan sebagai berikut: $\left\{ SSGG, \right.$ $SGSG,$ $SGGS,$ $GSGS,$ $GGSS,$ $\left. GSSG \right \}$ sehingga $X = 6\ \text{kejadian}$
Sebagai alternatif untuk mendapatkan banyak $X$ dapat kita hitung $2$ kali sukses dalam $4$ kali eksperimen
$\begin{align}
n \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \\
n \left( X=2 \right) & = \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{(4-2)! \cdot 2!} = 10
\end{align}$
Sebagai alternatif untuk mendapatkan banyak $X$ dapat kita hitung dengan permutasi ada unsur yang sama yaitu akan disusun $SS$ dan $GG$, maka banyak susunan yang terjadi adalah:
$\begin{align}
X & = P_{2,2}^{4} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6
\end{align}$
Contoh 6.
Pada eksperimen melantunkan sebuah dadu $5$ kali, $x$ adalah variabel yang menyatakan banyaknya kejadian sukses munculnya mata dadu $2$ atau mata dadu $6$.
Tentukanakah:
(a) Banyaknya kejadian $3$ kali sukses dalam eksperimen itu
(b) Peluang kejadian $3$ kali sukses dalam eksperimen itu
(c) Peluang kejadian $1$ kali sukses dalam eksperimen itu
(a) Banyaknya kejadian $3$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen
$\begin{align}
n \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \\
n \left( X=3 \right) & = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} = 10
\end{align}$
(b) Peluang kejadian $3$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen
Untuk sebuah dadu kita peroleh $S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ maka $n(S)=6$.
Misal $A=\left \{ 2,6 \right \}$ maka $n(A)=2$.
Dari hasil di atas kita peroleh $P \left( A \right) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, sehingga dapat kita misalkan peluang sukses adalah $p=\dfrac{1}{3}$ dan peluang gagal adalah $q=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
Jadi peluang sukses $3$ kali adalah:
$ \begin{align}
P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\
P \left( X=3 \right) & = \binom{5}{3} \cdot p^{3} \cdot q^{5-3} \\
P \left( X=3 \right) & = \dfrac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{3} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2} \\
& = 10 \cdot \left( \dfrac{1}{27} \right) \cdot \left( \dfrac{4}{9} \right) = \dfrac{40}{243}
\end{align}$
(c) Peluang kejadian $1$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen
Untuk sebuah dadu kita peroleh $S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ maka $n(S)=6$.
Misal $A=\left \{ 2,6 \right \}$ maka $n(A)=2$.
Dari hasil di atas kita peroleh $P \left( A \right) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, sehingga dapat kita misalkan $p=\dfrac{1}{3}$ dan $q=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
Jadi peluang $1$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen adalah:
$ \begin{align}
P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\
P \left( X=1 \right) & = \binom{5}{1} \cdot p^{1} \cdot q^{5-1} \\
P \left( X=1 \right) & = \dfrac{5!}{(5-1)! \cdot 1!} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{1} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{4} \\
& = 5 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right) \cdot \left( \dfrac{16}{81} \right) = \dfrac{80}{243}
\end{align}$
Contoh 7.
Sebuah eksperimen melantunkan dua dadu serentak $5$ kali. Jika $A$ adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga, maka tentukan peluang sukses $3$ kali percobaan dalam eksperimen itu.
Ruang sampel dari dua buah dadu dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Dari gambaran di atas ruang sampel dua dadu adalah $S=\{ (1,1), (1,2), \cdots (6,6) \}$ maka $n(S)=36$.
$A$ adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga
$A=\left \{ (1,2), (1,5), \cdots, (6,6) \right \}$ maka $n(A)=12$.
Dari hasil di atas kita peroleh $P \left( A \right) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$, sehingga dapat kita misalkan peluang sukses adalah $p=\dfrac{1}{3}$ dan peluang gagal adalah $q=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
Jadi peluang $3$ kali sukses dalam $5$ kali eksperimen adalah:
$ \begin{align}
P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\
P \left( X=3 \right) & = \binom{5}{3} \cdot p^{3} \cdot q^{5-3} \\
P \left( X=3 \right) & = \dfrac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{3} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2} \\
& = 10 \cdot \left( \dfrac{1}{27} \right) \cdot \left( \dfrac{4}{9} \right) = \dfrac{40}{243}
\end{align}$
Contoh 8.
Suatu percobaan melantunkan $4$ uang logam secara serentak. Jika percobaan itu diulangi sebanyak $5$ kali, maka berapa peluang sukses munculnya tiga "gambar" sebanyak dua kali dalam percobaan itu?
Ruang sampel dari $4$ uang logam dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
$S= \left\{ GGGG, \right.$ $GGGA,$ $GGAG,$ $GAGG,$ $AGGG,$ $GGAA,$ $GAGA,$ $AAGG,$ $AGAG,$ $AGGA,$ $GAAG,$ $GAAA,$ $AGAA,$ $AAGA,$ $AAAG,$ $\left. AAAA \right \}$ maka $n(S)=2^{4}=16$
$A$ adalah kejadian munculnya munculnya tiga "gambar"
$A= \left\{ GGGA, \right.$ $GGAG,$ $GAGG,$ $\left. AGGG \right \}$ maka $n(A)=4$
Dari hasil di atas kita peroleh $P \left( A \right) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$, sehingga dapat kita misalkan peluang sukses adalah $p=\dfrac{1}{4}$ dan peluang gagal adalah $q=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
Jadi peluang sukses $2$ kali dalam $5$ kali eksperimen adalah:
$ \begin{align}
P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\
P \left( X=2 \right) & = \binom{5}{2} \cdot p^{2} \cdot q^{5-2} \\
P \left( X=2 \right) & = \dfrac{5!}{(5-2)! \cdot 2!} \cdot \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} \cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^{3} \\
& = 10 \cdot \left( \dfrac{1}{16} \right) \cdot \left( \dfrac{27}{64} \right) = \dfrac{135}{512}
\end{align}$
Contoh 9.
Sebuah tes terdiri dari $10$ pertanyaan pilihan ganda dengan $4$ pilihan jawaban. Sebagai suatu eksperimen, anda memilih jawaban secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang anda menjawab dengan benar $6$ nomor?
Untuk setiap nomor ada empat pilihan jawaban sehingga peluang benar setaip nomor adalah $P \left( B \right) = \dfrac{1}{4}$, sehingga dapat kita misalkan peluang benar adalah $p=\dfrac{1}{4}$ dan peluang salah adalah $q=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
Jadi peluang benar $6$ nomor dari $10$ nomor adalah:
$ \begin{align}
P \left( X=x \right) & = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\
P \left( X=6 \right) & = \binom{10}{6} \cdot p^{6} \cdot q^{10-6} \\
P \left( X=6 \right) & = \dfrac{10!}{(10-6)! \cdot 6!} \cdot \left( \dfrac{1}{4} \right)^{6} \cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^{4} \\
& = 210 \cdot \left( \dfrac{1}{4^{6}} \right) \cdot \left( \dfrac{3^{4}}{4^{6}} \right) \\
& = \dfrac{210 \cdot 3^{4}}{4^{10}} = 0,0162...
\end{align}$
Catatan Mengenal Distribusi Peluang Binomial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
