Cara Menentukan Invers Matriks 3x3 dan Pembahasan Contoh Soal

Calon Guru belajar matematika dasar Cara Menentukan Invers Matriks 3x3 dengan menggunakan Adjoin Matriks dan beberapa pembahasan contoh soal. Matriks pertama kali diperkenalkan sekitar tahun 1859 oleh Arthur Cayley (16 Agustus 1821 - 26 Januari 1895) seorang pengacara berkebangsaan Inggris yang juga merupakan seorang ahli matematika.

Matriks sering dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalahan dalam matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear atau transformasi geometri. Salah satu fungsi matriks di tingkat yang lebih tinggi digunakan pada teknik sipil, matriks dapat membantu menemukan gaya yang bekerja pada struktur bangunan (untuk mengetahui kekuatan struktur bangunan, cukup kuat atau tidak menahan beban yang akan di bangun).

Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi (objek) berbentuk persegipanjang yang diatur menurut aturan baris dan kolom. Susunan bilangan (objek) itu diletakkan di dalam kurung biasa "$(\ \ )$" atau kurung siku "$[\ \ ]$".

Masing-masing bilangan (objek) dalam matriks disebut entri atau elemen. Secara umum penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya.

Invers Matriks $3 \times 3$ dengan Menggunakan Adjoin Matriks

Salah satu cara menentukan invers matriks adalah dengan adjoin matriks $A$, yang dituliskan dengan bentuk:
\begin{align} A^{-1}=\dfrac{1}{det \left( A \right)} \times Adj \left( A \right) \end{align}

$Adj \left( A \right)$ adalah adjoin matriks $A$ yang didefinisikan $Adj \left( A \right) =C^{t}$.
dimana $C^{t}$ adalah transpose kofaktor matriks.

MENENTUKAN MATRIKS KOFAKTOR

Kofaktor matriks $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$ adalah $C=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \\ \end{pmatrix}$
dimana $C_{ij}=\left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} $, dan $ M_{ij} $ adalah Minor Matriks.

MENENTUKAN MINOR MATRIKS

Minor sebuah matriks ditulis $M_{ij}$, yaitu determinan matriks $A$ dengan menghapus elemen matriks baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ matriks $A$.

Minor sebuah matriks ditulis $M_{ij}$ dengan $i$ adalah baris dan $j$ adalah kolom. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$ berdasarkan definisi $M_{ij}$ disebut Minor-$ij$ yaitu determinan matriks $A$ dengan menghapus elemen matriks baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ matriks $A$.kita peroleh:

$M_{11}$ diperoleh dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh:
$M_{11}=\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$
$M_{11}= \left( a_{22} \right) \cdot\left( a_{33} \right) - \left( a_{23} \right) \cdot \left( a_{32} \right) $
$M_{12}$ diperoleh dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh
$M_{12}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$
$M_{11}= \left( a_{21} \right) \cdot\left( a_{33} \right) - \left( a_{23} \right) \cdot \left( a_{31} \right) $
$M_{13}$ diperoleh dengan menghapus elemen matriks pada baris $1$ dan kolom $3$ sehingga kita peroleh $M_{13}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$
$M_{13}= \left( a_{21} \right) \cdot \left( a_{32} \right) - \left( a_{22} \right) \cdot \left( a_{31} \right) $

Contoh Soal Invers Matriks $3 \times 3$ dengan Menggunakan Adjoin Matriks

Dari apa yang disampaikan di atas, jika kita urutkan unsur-unsur yang kita butuhkan untuk menentukan invers matriks dengan menggunakan adjoin matriks adalah:

Menentukan determinan matriks.
Menentukan minor matriks dan determinan minor matriks.
Menentukan matriks kofaktor.
Menentukan adjoin matriks (transpose matriks kofaktor).
Menentukan invers matriks.

Misal kita akan menentukan invers matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{pmatrix}$

Pertama kita hitung determinan matriks, karena jika determinan matriks adalah nol, maka matriks tidak mempunyai invers yang disebut dengan matriks singular.

Dengan menggunakan cara sarrus determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{pmatrix}$ adalah $det \left( A \right)=47$:
Determinan Matriks 3 X 3 Dengan Cara Sarrus

$M_{11}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $1$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{11}$
  $M_{11}=\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -3 & 2 \\ \end{vmatrix}$
  $ M_{11} =(2)(1)-(-3)(5)=17$
- Elemen matriks $C_{11}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{11} &= \left( -1 \right)^{1+1} \cdot M_{11} \\ C_{11} &= \left( -1 \right)^{2} \cdot (17) = 17 \end{align}$
$M_{12}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $1$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{12}$
  $M_{12}=\begin{vmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$
  $ M_{12} =(2)(-2)-(-1)(5)=1$
- Elemen matriks $C_{12}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{12} &= \left( -1 \right)^{1+2} \cdot M_{12} \\ C_{12} &= \left( -1 \right)^{3} \cdot (1) = -1 \end{align}$
$M_{13}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $1$ dan kolom $3$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{13}$
  $M_{13}=\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -3 \end{vmatrix}$
  $ M_{13} =(-3)(-2)-(-1)(1)=7$
- Elemen matriks $C_{13}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{13} &= \left( -1 \right)^{1+3} \cdot M_{13} \\ C_{13} &= \left( -1 \right)^{4} \cdot (7) = 7 \end{align}$
$M_{21}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $2$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{21}$
  $M_{21}=\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}$
  $ M_{21} =(4)(2)-(-3)(0)=8$
- Elemen matriks $C_{21}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{21} &= \left( -1 \right)^{2+1} \cdot M_{21} \\ C_{21} &= \left( -1 \right)^{3} \cdot (8) = -8 \end{align}$
$M_{22}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $2$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{22}$
  $M_{22}=\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$
  $ M_{22} =(2)(3)-(-1)(0)=6$
- Elemen matriks $C_{22}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{22} &= \left( -1 \right)^{2+2} \cdot M_{22} \\ C_{22} &= \left( -1 \right)^{4} \cdot (6) = 6 \end{align}$
$M_{23}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $2$ dan kolom $3$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{23}$
  $M_{23}=\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -3 \end{vmatrix}$
  $ M_{23} =(-3)(3)-(-1)(4)=-5$
- Elemen matriks $C_{23}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{23} &= \left( -1 \right)^{2+3} \cdot M_{23} \\ C_{23} &= \left( -1 \right)^{5} \cdot (-5) = 5 \end{align}$
$M_{31}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $3$ dan kolom $1$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{31}$
  $M_{31}=\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$
  $ M_{31} =(4)(5)-(0)(1)=20$
- Elemen matriks $C_{31}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{31} &= \left( -1 \right)^{3+1} \cdot M_{31} \\ C_{31} &= \left( -1 \right)^{4} \cdot (20) = 20 \end{align}$
$M_{32}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $3$ dan kolom $2$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{32}$
  $M_{32}=\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}$
  $ M_{32} =(3)(5)-(-2)(0)=15$
- Elemen matriks $C_{32}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{32} &= \left( -1 \right)^{3+2} \cdot M_{32} \\ C_{32} &= \left( -1 \right)^{5} \cdot (15) = -15 \end{align}$
$M_{33}$ dengan menghapus elemen matriks $A$ pada baris $3$ dan kolom $3$ sehingga kita peroleh:
- Minor Matriks $M_{33}$
  $M_{33}=\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}$
  $ M_{33} =(1)(3)-(-2)(4)=11$
- Elemen matriks $C_{33}$
  $\begin{align} C_{ij} &= \left( -1 \right)^{i+j} \cdot M_{ij} \\ C_{33} &= \left( -1 \right)^{3+3} \cdot M_{33} \\ C_{33} &= \left( -1 \right)^{6} \cdot (11) = 11 \end{align}$

Dari hasil di atas kita peroleh matriks kofaktor dari matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{pmatrix}$ adalah $C=\begin{pmatrix} 17 & -1 & 7 \\ -8 & 6 & 5 \\ 20 & -15 & 11 \\ \end{pmatrix}$

Adjoin matriks $A$ adalah:
$\begin{align} Adj \left( A \right) &= C^{t} \\ Adj \left( A \right) &= \begin{pmatrix} 17 & -8 & 20 \\ -1 & 6 & -15 \\ 7 & 5 & 11 \\ \end{pmatrix} \end{align}$

Dari data-data yang kita peroleh di atas, maka dapat kita menentukan invers matriks $A$:
$\begin{align} A^{-1} & =\dfrac{1}{det \left( A \right)} \times Adj \left( A \right) \\ A^{-1} & =\dfrac{1}{47} \times \begin{pmatrix} 17 & -8 & 20 \\ -1 & 6 & -15 \\ 7 & 5 & 11 \\ \end{pmatrix} \end{align}$

Untuk membuktikan hasil invers suatu matriks benar atau salah, dapat kita gunakan sifat perkalian matriks dan invers matriks hasilnya adalah identitas matriks, $A^{-1} \times A=I$.

Akan ditunjukkan bahwa $A^{-1} \times A=I$:
$\begin{align} & A^{-1} \times A \\ &= \dfrac{1}{47} \times \begin{pmatrix} 17 & -8 & 20 \\ -1 & 6 & -15 \\ 7 & 5 & 11 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{47} \times \begin{pmatrix} 51+16-20 & 68-8-60 & 0-40+40 \\ -3-12+15 & -4+6+45 & 0+30-30 \\ 21-10-11 & 28+5-33 & 0+25+22 \\ \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{47} \times \begin{pmatrix} 47 & 0 & 0 \\ 0 & 47 & 0 \\ 0 & 0 & 47 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh bahwa benar $A^{-1} \times A=I$.

Sebagai bahan latihan silahkan dicoba beberapa soal berikut:

Tentukan invers matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 1 & -3 & -2 \\ \end{pmatrix}$

Cek Jawaban:

Dengan mengikuti langkah-langkah menentukan invers matriks di atas, kita akan peroleh invers matriks $A$ yaitu:
\begin{align}
A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 8 & -5 & 2 \\ -11 & 7 & -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}
Tentukan invers matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -3 \\ 3 & 6 & -5 \\ \end{pmatrix}$

Cek Jawaban:

Dengan mengikuti langkah-langkah menentukan invers matriks di atas, kita akan peroleh invers matriks $B$ yaitu:
\begin{align}
B^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -17 & 11 \\ -1 & 11 & -7 \\ 0 & 3 & -2 \\ \end{pmatrix} \end{align}
Tentukan invers matriks $C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Cek Jawaban:

Dengan mengikuti langkah-langkah menentukan invers matriks di atas, kita akan peroleh invers matriks $C$ yaitu:
\begin{align}
C^{-1}=\begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}
Tentukan invers matriks $D=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Cek Jawaban:

Dengan mengikuti langkah-langkah menentukan invers matriks di atas, kita akan peroleh invers matriks $D$ yaitu:
\begin{align}
D^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}
Tentukan invers matriks $E=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$

Cek Jawaban:

Nilai determinan matriks $E$ adalah nol, sehingga invers matriks $C$ tidak ada. Matriks $E$ dapat juga disebut dengan matriks singular.
Tentukan invers matriks $F=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \\ \end{pmatrix}$

Cek Jawaban:

Dengan mengikuti langkah-langkah menentukan invers matriks di atas, kita akan peroleh invers matriks $F$ yaitu:
\begin{align}
F^{-1}=\begin{pmatrix} -40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{align}
Tentukan invers matriks $G=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}$

Cek Jawaban:

Dengan mengikuti langkah-langkah menentukan invers matriks di atas, kita akan peroleh invers matriks $G$ yaitu:
\begin{align}
G^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 3 & -\frac{3}{2} \\ -1 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \end{align}

Catatan Cara Menentukan Invers Matriks 3x3 dan Pembahasan Contoh Soal di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.