Fungsi Invers dan Pembahasan Soal Latihan

Catatan Calon Guru berikut ini, coba belajar matematika dasar dari Fungsi Invers yang dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasan soal-soal latihan.

Catatan ini untuk melengkapi cataan sebelumnya yang membahas Fungsi Komposisi dan Pembahasan Soal Latihan.

Identitas Fungsi Komposisi

Pada operasi penjumlahan bilangan, $0$ di sebut juga sebagai identitas penjumlahan karena untuk setiap bilangan jika dijumlahkan dengan $0$ atau sebaliknya maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. \begin{align} a + 0 &=a \\ 0 + a &=a \end{align}

Begitujuga pada operasi perkalian bilangan, $1$ di sebut juga sebagai identitas perkalian karena untuk setiap bilangan jika dikalikan dengan $1$ atau sebaliknya maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. \begin{align} a \times 1 &=a \\ 1 \times a &=a \end{align}

Fungsi komposisi juga mempunyai identitas, disebut dengan identitas fungsi komposisi (identitas fungsi) yang disimbolkan dengan $I(x)$, yaitu $I(x)=x$. Dikatakan sebagai identitas fungsi komposisi karena jika sebuah fungsi dikomposisikan dengan sebuah fungsi atau sebaliknya maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. \begin{align} \left( f \circ I \right) (x) &= f(x) \\ \left( I \circ f \right) (x) &= f(x) \\ \end{align}

Invers Fungsi

Pada operasi penjumlahan bilangan, kita juga diperkenalkan dengan invers penjumlahan. Jika sebuah bilangan $\left( a \right)$ dijumlahkan dengan invers penjumlahan bilangan $\left( -a \right)$, maka hasilnya adalah identitas penjumlahan. \begin{align} a + (-a) &= 0 \\ (-a) + a &= 0 \end{align}

Begitu juga pada operasi perkalian bilangan, kita juga diperkenalkan dengan invers perkalian. Jika sebuah bilangan $\left( a \right)$ dikalikan dengan invers perkalian bilangan $\left( \frac{1}{a} \right)$, maka hasilnya adalah identitas perkalian. \begin{align} a \times \frac{1}{a} &= 1 \\ \frac{1}{a} \times a &= 1 \end{align}

Fungsi juga mempunyai invers, disebut dengan invers fungsi. Invers fungsi $f(x)$ disimbolkan dengan $f^{-1}(x)$, tetapi tidak semua fungsi mempunyai invers, ada syarat yang harus dipenuhi yaitu $f(x)$ merupakan fungsi bijektif (fungsi satu-satu).

Invers fungsi juga mempunyai sifat seperti invers penjumlahan dan invers perkalian yaitu jika sebuah fungsi $f(x)$ dikomposisi dengan invers fungsi $f^{-1}(x)$ maka hasilnya adalah identitas fungsi. \begin{align} \left( f \circ f^{-1} \right)(x) &= x \\ \left( f^{-1}(x) \circ f \right) (x) &= x \end{align}

Cara Menentukan Invers Fungsi

Untuk menentukan invers fungsi kita ambil fungsi $f(x)=2x+4$ sebagai contoh.
Dari fungsi $f(x)=2x+4$, kita ketahui nilai fungsi untuk $x=3$, kita tuliskan \begin{align} f(x) &= 2x+4 \\ f(3) &= \cdots \\ \hline f(3) &= 2(3)+4 \\ f(3) &= 10 \end{align}

Invers fungsi diperlukan saat masalah dibalik, sehingga sering juga disebut invers fungsi adalah kebalikan fungsi. Dengan kata lain invers suatu fungsi $f(x)$ adalah proses membalik fungsi tersebut, sehingga daerah asalnya menjadi daerah hasil dan daerah hasilnya menjadi daerah asal.

Untuk sebuah fungsi $f(x)=2x+4$, berapakah nilai $x$ yang mengakibatkan $f(x)=10$, kita tuliskan \begin{align} f(x) &= 2x+4 \\ f(\cdots) &= 10 \end{align}

Kata kunci untuk menentukan invers fungsi adalah merubah daerah asalnya (domain) menjadi daerah hasil (range) atau sebaliknya. Secara matematik dapat kita tuliskan invers fungsi $f(x)=y$ adalah $f^{-1}(y)=x$.

Pada fungsi $f(x)=y$, pada fungsi ini yang menjadi domain adalah $x$ dan range adalah $y$, sehingga untuk $f(x)= 2x+4$ kita peroleh $y=2x+4$.

Dari $y=2x+4$, dengan menggunakan sifat-sifat aljabar kita bisa peroleh $x$ dalam variable $y$, \begin{align} y &= 2x+4 \\ y-4 &= 2x \\ \frac{y-4}{2} &= x \\ \frac{y}{2}-\frac{4}{2} &= x \\ \frac{y}{2}- 2 &= x \end{align}

Invers fungsi $f(x)=y$ adalah $f^{-1}(y)=x$, sehingga kita peroleh: \begin{align} f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= \frac{y}{2}-2 \end{align}

Dari hasil di atas $f^{-1}(y)= \frac{y}{2}-2$ dapat kita peroleh $f^{-1}(x)= \frac{x}{2}-2$.

Untuk fungsi $f(x)=2x+4$ kita peroleh $f^{-1}(x)= \frac{x}{2}-2$. Sehingga pertanyaan di awal, untuk sebuah fungsi $f(x)=2x+4$, berapakah nilai $x$ yang mengakibatkan $f(x)=10$, dapat kita jawab yaitu: \begin{align} f^{-1}(x) &= \frac{x}{2}-2 \\ f^{-1}(10) &= \frac{10}{2}-2 \\ f^{-1}(10) &= 5-2 \\ f^{-1}(10) &= 3 \end{align}
Nilai $x$ yang mengakibatkan $f(x)=10$ adalah $x=3$.

Invers Fungsi Linear
Jika fungsi $f(x)$ adalah fungsi linear $f(x)=ax+b$ maka invers fungsi adalah $f^{-1}(x)= \dfrac{x-b}{a}$

Langkah-langkah di atas berlaku untuk setiap fungsi yang mempunyai invers, contoh kedua kita coba menentukan invers fungsi $f(x)=\dfrac{2x+3}{4x+5}$

Dari $f(x)=\dfrac{2x+3}{4x+5}$ kita peroleh: \begin{align} y &= \dfrac{2x+3}{4x+5} \\ y \left( 4x+5 \right) &= 2x+3 \\ 4xy +5y &= 2x+3 \\ 4xy -2x &= 3-5y \\ x \left( 4y-2 \right) &= 3-5y \\ x &= \dfrac{3-5y}{4y-2} \\ \hline f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= \dfrac{-5y+3}{4y-2} \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{-5x+3}{4x-2} \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{ 5x-3}{-4x+2} \end{align}

Invers Fungsi Pecahan
Jika fungsi $f(x)$ adalah fungsi pecahan $f(x)= \dfrac{\color{blue}{a}x+\color{red}{b}}{\color{red}{c}x+\color{blue}{d}}$ maka invers fungsi adalah $f^{-1}(x)= \dfrac{\color{blue}{d}x\color{red}{-b}}{\color{red}{-c}x+\color{blue}{a}}$

Contoh ketiga kita coba menentukan invers fungsi kuadrat $f(x)=2x^{2}+4x+10$

Dari $f(x)=2x^{2}+4x+10$ kita peroleh: \begin{align} f(x) &= 2x^{2}+4x+10 \\ \hline f(x)= y & \rightarrow f^{-1}(y)= x \\ \hline y &= 2x^{2}+4x+10 \\ y-10 &= 2x^{2}+4x \\ \dfrac{y-10}{2} &= x^{2}+2x \\ \dfrac{y}{2}-\dfrac{10}{2} &= \left( x + 1 \right)^{2} \color{red}{-1} \\ \dfrac{y}{2}-5 +1 &= \left( x + 1 \right)^{2} \\ \pm \sqrt{\dfrac{y}{2}-4} &= x + 1 \\ -1 \pm \sqrt{\dfrac{y}{2}-4} &= x \\ \hline f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= -1 \pm \sqrt{\dfrac{y}{2}-4} \\ f^{-1}(x) &= -1 \pm \sqrt{\dfrac{x}{2}-4} \end{align}

Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Jika diketahui fungsi $f\left ( x \right )$ invers adalah $f^{-1}\left ( x \right )$, fungsi $g \left ( x \right )$ invers adalah $g^{-1}\left ( x \right )$, dan Fungsi Identitas $I \left ( x \right )=x$, maka dengan mengembangkan fungsi komposisi dan fungsi invers, dapat kita peroleh beberapa sifat fungsi komposisi fungsi invers yang berlaku secara umum, antara lain;

Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( \color{red}{\square} \right )=a \cdot \color{red}{\square} +b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
$\left ( fog \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
$\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1}of^{-1} \right )\left ( x \right )$
$\left ( f^{-1}of \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$
$\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$
Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$

Soal Latihan dan Pembahasan Fungsi Invers

Untuk menambah pemahaman kita terkait Fungsi Invers di atas mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada modul belajar matematika SMA. Sedangkan untuk soal fungsi invers yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan FKFI.

Soal latihan fungsi invers berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :	11 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Latihan Fungsi Invers

Invers dari fungsi $f(x) = 2x-3$ adalah $f^{-1}(x)=\cdots$
$(A)\ \dfrac{x+2}{3}$
$(B)\ \dfrac{x-3}{2}$
$(C)\ \dfrac{x+3}{2}$
$(D)\ \dfrac{x-2}{3}$
$(E)\ 3x+2$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x) = 2x-3$ yang diketahui, dapat kita peroleh invers fungsinya $f^{-1}(x)=\cdots$.
$\begin{align}
f(x) &= 2x-3 \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline 2x+3 &= y \\ 2x &= y+3 \\ x &= \dfrac{y+3}{2} \\ \hline f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= \dfrac{y+3}{2} \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{x+3}{2} \end{align}$

$\bullet$ Cara Alternatif pakai rumus: $f(x)=ax+b$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{x-b}{a}$
$\bullet $ $f(x) = 2x-3$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{x+3}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{x+3}{2}$

2. Soal Latihan Fungsi Invers

Invers dari fungsi $y = \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}$ adalah $y^{-1}(x)=\cdots$
$(A)\ \dfrac{6x+2}{3}$
$(B)\ \dfrac{6x-3}{2}$
$(C)\ \dfrac{3x+2}{6}$
$(D)\ \dfrac{3x+6}{3}$
$(E)\ 3x+2$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $y = \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}$ yang diketahui, dapat kita peroleh invers fungsinya $y^{-1}(x)=\cdots$.
$\begin{align}
f(x) &= \frac{1}{2}x-\frac{1}{3} \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline \frac{1}{2}x-\frac{1}{3} &= y \\ \frac{1}{2}x &= y+\frac{1}{3} \\ x &= 2y+\frac{2}{3} \\ \hline f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= 2y+\frac{2}{3} \\ f^{-1}(x) &= 2x+\frac{2}{3} \\ f^{-1}(x) &= \frac{6x+2}{3} \end{align}$

$\bullet$ Cara Alternatif pakai rumus: $f(x)=ax+b$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{x-b}{a}$
$\bullet $ $y = \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}$ $\longrightarrow$ $y^{-1}(x)= \dfrac{6x+2}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{6x+2}{3}$

3. Soal Latihan Fungsi Invers

Invers dari fungsi $f(x) = \dfrac{2x+4}{3x-5}$ adalah $f^{-1}(x)=\cdots$
$(A)\ \dfrac{3x-4}{5x+2}$
$(B)\ \dfrac{2x+4}{5-3x}$
$(C)\ \dfrac{5x+4}{3x-2}$
$(D)\ \dfrac{5x-4}{3x+2}$
$(E)\ \dfrac{3x+5}{2x+4}$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x) = \dfrac{2x+4}{3x-5}$ yang diketahui, dapat kita peroleh invers fungsinya $f^{-1}(x)=\cdots$.
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{2x+4}{3x-5} \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline y &= \dfrac{2x+4}{3x-5} \\ y \left( 3x-5 \right) &= 2x+4 \\ 3xy -5y &= 2x+4 \\ 3xy -2x &= 5y+4 \\ x \left( 3y-2 \right) &= 5y+4 \\ x &= \dfrac{5y+4}{3y-2} \\ \hline f^{-1}(y) &= \dfrac{5x+4}{3y-2} \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{5x+4}{3x-2} \end{align}$

$\bullet$ Cara Alternatif pakai rumus: $f(x)= \dfrac{\color{blue}{a}x+\color{red}{b}}{\color{red}{c}x+\color{blue}{d}}$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{\color{blue}{d}x\color{red}{-b}}{\color{red}{-c}x+\color{blue}{a}}$
$\bullet $ $f(x)= \dfrac{2x+4}{3x-5}$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{-5x-4}{-3x+2}= \dfrac{5x+4}{3x-2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5x+4}{3x-2}$

4. Soal Latihan Fungsi Invers

Invers dari fungsi $f(x) = \dfrac{5-3x}{6x-2}$ adalah $f^{-1}(x)=\cdots$
$(A)\ \dfrac{6x+3}{2x+5}$
$(B)\ \dfrac{2x+5}{6x+3}$
$(C)\ \dfrac{2x+6}{5x+3}$
$(D)\ \dfrac{2x+3}{6x+5}$
$(E)\ \dfrac{2x-3}{5x-6}$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x) = \dfrac{5-3x}{6x-2}$ yang diketahui, dapat kita peroleh invers fungsinya $f^{-1}(x)=\cdots$.
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{5-3x}{6x-2} \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline y &= \dfrac{5-3x}{6x-2} \\ y \left( 6x-2 \right) &= 5-3x \\ 6xy -2y &= -3x+5 \\ 6xy +3x &= 2y+5 \\ x \left( 6y +3 \right) &= 2y+5 \\ x &= \dfrac{2y+5}{6y+3} \\ \hline f^{-1}(y) &= \dfrac{2y+5}{6y+3} \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{2x+5}{6x+3} \end{align}$

$\bullet$ Cara Alternatif pakai rumus: $f(x)= \dfrac{\color{blue}{a}x+\color{red}{b}}{\color{red}{c}x+\color{blue}{d}}$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{\color{blue}{d}x\color{red}{-b}}{\color{red}{-c}x+\color{blue}{a}}$
$\bullet $ $f(x)= \dfrac{-3x+5}{6x-2}$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{-2x-5}{-6x-3}= \dfrac{2x+5}{6x+3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{2x+5}{6x+3}$

5. Soal Latihan Fungsi Invers

Invers dari fungsi $f(x) = x^{2}+8x-2$ adalah $f^{-1}(x)=\cdots$
$(A)\ -4 \pm \sqrt{x+18}$
$(B)\ 4 \pm \sqrt{x-12}$
$(C)\ 2 \pm \sqrt{x-8}$
$(D)\ -2 \pm \sqrt{x+8}$
$(E)\ 3 \pm \sqrt{x+5}$

Alternatif Pembahasan:

Dari $f(x)=x^{2}+8x-2$ kita peroleh:
$ \begin{align} f(x) &= x^{2}+8x-2 \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline x^{2}+8x-2 &= y \\ x^{2}+8x &= y+2 \\ \left( x + 4 \right)^{2}-16 &= y+2 \\ \left( x + 4 \right)^{2} &= y+2+16 \\ \left( x + 4 \right)^{2} &= y+18 \\ x + 4 &= \pm \sqrt{y+18}\\ x &= -4 \pm \sqrt{y+18} \\ \hline f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= -4 \pm \sqrt{y+18} \\ f^{-1}(x) &= -4 \pm \sqrt{x+18} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4 \pm \sqrt{x+18}$

6. Soal Latihan Fungsi Invers

Invers dari fungsi $f(x) = 2x^{2}-12x+10$ adalah $f^{-1}(x)=\cdots$
$(A)\ 3 \pm \sqrt{\frac{x+8}{2}}$
$(B)\ -3 \pm \sqrt{\frac{x-2}{6}}$
$(C)\ 2 \pm \sqrt{\frac{x+6}{2}}$
$(D)\ -2 \pm \sqrt{\frac{x-5}{2}}$
$(E)\ 3 \pm \sqrt{\frac{x-5}{6}}$

Alternatif Pembahasan:

Dari $f(x)=2x^{2}-12x+10$ kita peroleh:
$ \begin{align} f(x) &= 2x^{2}-12x+10 \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline 2x^{2}-12x+10 &= y \\ 2x^{2}-12x &= y-10 \\ x^{2}-6x &= \dfrac{y-10}{2} \\ \left( x -3 \right)^{2}-9 &= \dfrac{y-10}{2} \\ \left( x -3 \right)^{2} &= \dfrac{y-10}{2}+9 \\ \left( x -3 \right)^{2} &= \dfrac{y-10}{2}+\dfrac{18}{2} \\ x - 3 &= \pm \sqrt{\dfrac{y+8}{2}} \\ x &= 3 \pm \sqrt{\dfrac{y+8}{2}} \\ \hline f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= 3 \pm \sqrt{\dfrac{y+8}{2}} \\ f^{-1}(x) &= 3 \pm \sqrt{\dfrac{x+8}{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 \pm \sqrt{\dfrac{x+8}{2}}$

7. Soal Latihan Fungsi Invers

Jika $f(x) = \sqrt[5]{(1-x)^{3}}+5$ maka $f^{-1}(4)=\cdots$
$(A)\ -3$
$(B)\ -2$
$(C)\ 1$
$(D)\ 2$
$(E)\ 3$

Alternatif Pembahasan:

Dari $f(x) = \sqrt[5]{(1-x)^{3}}+5$ yang diketahui kita peroleh:
$ \begin{align} f(x) &= \sqrt[5]{(1-x)^{3}}+5 \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline \sqrt[5]{(1-x)^{3}}+5 &= y\\ \sqrt[5]{(1-x)^{3}} &= y-5 \\ \left( \sqrt[5]{(1-x)^{3}} \right)^{5} &= \left( y-5 \right)^{5} \\ (1-x)^{3} &= \left( y-5 \right)^{5} \\ \sqrt[3]{ (1-x)^{3} } &= \sqrt[3]{ \left( y-5 \right)^{5} } \\ 1-x &= \sqrt[3]{ \left( y-5 \right)^{5} } \\ -x &= \sqrt[3]{ \left( y-5 \right)^{5} } -1 \\ x &= 1-\sqrt[3]{ \left( y-5 \right)^{5} } \\ \hline f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= 1-\sqrt[3]{ \left( y-5 \right)^{5} } \\ f^{-1}(4) &= 1-\sqrt[3]{ \left( 4-5 \right)^{5} } \\ f^{-1}(4) &= 1-\sqrt[3]{ \left( -1 \right)^{5} } \\ f^{-1}(4) &= 1-\sqrt[3]{ \left( -1 \right) } \\ f^{-1}(4) &= 1-\left( -1 \right) \\ f^{-1}(4) &= 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

8. Soal Latihan Fungsi Invers

Diketahui $f(x) = \dfrac{2x-3}{4x+1}$, nilai $f^{-1}(-2)$ adalah...
$(A)\ \dfrac{2}{3}$
$(B)\ -\dfrac{3}{4}$
$(C)\ -\dfrac{1}{2}$
$(D)\ \dfrac{2}{5}$
$(E)\ \dfrac{1}{10}$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x) = \dfrac{2x-3}{4x+1}$ yang diketahui, dapat kita peroleh nilai $f^{-1}(-2)=\cdots$.
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{2x-3}{4x+1} \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline y &= \dfrac{2x-3}{4x+1} \\ y \left( 4x+1 \right) &= 2x-3 \\ 4xy +y &= 2x-3 \\ 4xy -2x &= -y-3 \\ x \left( 4y -2 \right) &= -y-3 \\ x &= \dfrac{-y-3}{4y-2} \\ \hline f^{-1}(y) &= \dfrac{-y-3}{4y-2} \\ f^{-1}(-2) &= \dfrac{-(-2)-3}{4(-2)-2} \\ f^{-1}(-2) &=\dfrac{-1}{-10}=\dfrac{1}{10} \end{align}$

$\bullet$ Cara Alternatif pakai rumus: $f(x)= \dfrac{\color{blue}{a}x+\color{red}{b}}{\color{red}{c}x+\color{blue}{d}}$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{\color{blue}{d}x\color{red}{-b}}{\color{red}{-c}x+\color{blue}{a}}$
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{2x-3}{4x+1} \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{-x-3}{4x-2} \\ f^{-1}(-2) &= \dfrac{-(-2)-3}{4(-2)-2}=\dfrac{1}{10} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{10}$

9. Soal Latihan Fungsi Invers

Diketahui $f(x) = x^{2}-6x+10$. Nilai dari $f^{-1}(2)$ adalah...
$(A)\ -4$
$(B)\ -2$
$(C)\ 2$
$(D)\ 3$
$(E)\ 5$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x) = x^{2}-6x+10$ yang diketahui, dapat kita peroleh nilai $f^{-1}(2)=\cdots$.
$\begin{align}
f(x) &= x^{2}-6x+10 \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline x^{2}-6x+10 &= y \\ x^{2}-6x &= y-10 \\ \left( x -3 \right)^{2}-9 &= y-10 \\ \left( x -3 \right)^{2} &= y-10+9 \\ \left( x -3 \right)^{2} &= y-1 \\ x -3 &= \pm \sqrt{y-1}\\ x &= 3 \pm \sqrt{y-1} \\ \hline f^{-1}(y) &= x \\ f^{-1}(y) &= 3 \pm \sqrt{y-1} \\ f^{-1}(2) &= 3 \pm \sqrt{2-1} \\ f^{-1}(2) &= 3 \pm 1 \\ f^{-1}(2) &= 2\ \text{atau}\ 4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

10. Soal Latihan Fungsi Invers

Diketahui $f(x) = \dfrac{3x+2}{x-4}$, $x \neq 4$. Jika nilai $f^{-1}(a)=10$ maka $a=\cdots$
$(A)\ 5$
$(B)\ \dfrac{16}{3}$
$(C)\ \dfrac{9}{2}$
$(D)\ 6$
$(E)\ \dfrac{5}{2}$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x) = \dfrac{3x+2}{x-4}$ yang diketahui, dapat kita ketahui $f^{-1}(a)$.
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{3x+2}{x-4} \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline y &= \dfrac{3x+2}{x-4} \\ y \left( x-4 \right) &= 3x+2 \\ xy -4y &= 3x+2 \\ xy -3x &= 4y+2 \\ x \left( y -3 \right) &= 4y+2 \\ x &= \dfrac{4y+2}{ y-3} \\ \hline f^{-1}(y) &= \dfrac{4y+2}{y-3} \\ f^{-1}(a) &= \dfrac{4a+2}{a-3} \\ 10 &= \dfrac{4a+2}{a-3} \\ 10a - 30 &= 4a+2 \\ 10a - 4a &= 30+2 \\ 6a &= 32\ \longrightarrow a=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \end{align}$

$\bullet$ Cara Alternatif pakai rumus: $f(x)= \dfrac{\color{blue}{a}x+\color{red}{b}}{\color{red}{c}x+\color{blue}{d}}$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{\color{blue}{d}x\color{red}{-b}}{\color{red}{-c}x+\color{blue}{a}}$
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{3x+2}{x-4} \\ f^{-1}(a) &= \dfrac{4a+2}{a-3} \\ 10 &= \dfrac{4a+2}{a-3} \\ 10a - 30 &= 4a+2 \\ 10a - 4a &= 30+2 \\ 6a &= 32\ \longrightarrow a=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \end{align}$

$\bullet$ Cara Alternatif pakai sifat: "Sebuah invers fungsi jika di-invers-kan lagi maka akan dihasilkan fungsi semula.
$\begin{align}
\hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \color{red}{f^{-1}(y)= x} & \rightarrow \color{blue}{\left( f^{-1} \right)^{-1}(x)= y \rightarrow f(x)= y} \\ \hline f^{-1}(a)= 10 & \rightarrow f(10)= a \\ f(x) &= \dfrac{3x+2}{x-4} \\ f(10) &= \dfrac{3(10)+2}{10-4} \\ a &= \dfrac{32}{6} =\dfrac{16}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{16}{3}$

11. Soal Latihan Fungsi Invers

$f(x) = \dfrac{x+2}{3x-5}$, $x \neq \frac{5}{3}$, $f^{-1}$ adalah invers fungsi dari $f(x)$, maka $f^{-1}(x)=\cdots$
$(A)\ \dfrac{2x-3}{5x+1},\ x \neq - \frac{1}{5}$
$(B)\ \dfrac{3x+1}{2x+5},\ x \neq - \frac{5}{2}$
$(C)\ \dfrac{5x-2}{ x+3},\ x \neq - 3$
$(D)\ \dfrac{5x+2}{3x-1},\ x \neq \frac{1}{3}$
$(E)\ \dfrac{2x-5}{ x+3},\ x \neq - 3$

Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi $f(x) = \dfrac{x+2}{3x-5}$ yang diketahui, dapat kita peroleh invers fungsinya $f^{-1}(x)=\cdots$.
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{x+2}{3x-5} \\ \hline \color{red}{f(x)= y} & \rightarrow \color{blue}{f^{-1}(y)= x} \\ \hline y &= \dfrac{x+2}{3x-5} \\ y \left( 3x-5 \right) &= x+2 \\ 3xy - 5y &= x+2 \\ 3xy -x &= 5y+2 \\ x \left( 3y -1 \right) &= 5y+2 \\ x &= \dfrac{5y+2}{3y-1} \\ \hline f^{-1}(y) &= \dfrac{5y+2}{3y-1} \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{5x+2}{3x-1} \end{align}$

$\bullet$ Cara Alternatif pakai rumus: $f(x)= \dfrac{\color{blue}{a}x+\color{red}{b}}{\color{red}{c}x+\color{blue}{d}}$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{\color{blue}{d}x\color{red}{-b}} {\color{red}{-c}x+\color{blue}{a}}$
$\bullet $ $f(x)= \dfrac{x+2}{3x-5}$ $\longrightarrow$ $f^{-1}(x)= \dfrac{-5x-2}{-3x+1}= \dfrac{5x+2}{3x-1}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{5x+2}{3x-1},\ x \neq \frac{1}{3}$

Catatan Fungsi Invers dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.