Cara Menghitung Nilai Integral Fungsi Nilai Mutlak

INTEGRAL TENTU
Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
NILAI MUTLAK
Nilai mutlak atau sering juga disebut dengan harga mutlak di definisikan:
$ |x| = \left\{\begin{array}{cc} a & ,\text{untuk}\ a \geq 0 \\ -a & ,\text{untuk}\ a \lt 0 \end{array} \right. $
MENENTUKAN INTEGRAL FUNGSI NILAI MUTLAK
Untuk menentukan integral nilai mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka dapat kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:
$ |f(x)| = \left\{\begin{array}{cc} f(x) & ,\text{untuk}\ x \geq b \\ -f(x) & ,\text{untuk}\ x \lt b \end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
Sebagai contoh kita pilih salah satu soal dari Soal Ujian Masuk STIS tahun 2011
Seperti apa yang disampaikan di atas bahwa Jika $ |f(x)| =$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & \dfrac{68}{3} \\ (D)\ & \dfrac{64}{3} \\ (E)\ & 9 \end{align}$
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
maka integralnya adalah $ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari definisi nilai mutlak di atas yang kita pakai hanya bagian $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\ & = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\ & = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\ & = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\ & = 18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$
Bentuk soal di atas sedikit unik, tetapi karena kita bahas sesua soal asli jadinya seperti itu.
Jika kita prediksi terdapat kesalahan dalam pengetikan naskah soal dan kita anggap soalnya adalah $\int \limits_{-3}^{3} \left| x^{2}-2x-3 \right| dx=\cdots$, maka pembahasannya adalah...
Pertama kita gunakan definisi nilai mutlak yaitu: $ \left| x^{2}-2x-3 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x^{2}-2x-3 & ,\text{untuk}\ x^{2}-2x-3 \geq 0 \\ -\left( x^{2}-2x-3 \right) & ,\text{untuk}\ x^{2}-2x-3 \lt 0
\end{array} \right. $
Dari definisi nilai mutlak di atas kita perlu batasan nilai $x$ yaitu:
- Nilai $x$ untuk $x^{2}-2x-3 \geq 0$
$\begin{align}
x^{2}-2x-3 & \geq 0 \\ \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) & \geq 0 \\ \hline x=-1\ \text{atau}\ x= 3 & \\ \hline x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\ \end{align}$ - Nilai $x$ untuk $x^{2}-2x-3 \lt 0$
$\begin{align}
x^{2}-2x-3 & \lt 0 \\ \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) & \lt 0 \\ \hline x=-1\ \text{atau}\ x= 3 & \\ \hline -1 \lt x \lt 3 & \\ \end{align}$
$\begin{align}
& \int \limits_{-3}^{3} \left| x^{2}-2x-3 \right| dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-1} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx +\int \limits_{-1}^{3} -\left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\ & = \dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3} \\ & = \dfrac{64}{3} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{64}{3}$
$\begin{align}
& \int \limits_{-3}^{-1} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\ & = \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}- x^{2}-3x \right]_{-3}^{-1} \\ & = \left[ \dfrac{1}{3}(-1)^{3}- (-1)^{2}-3(-1) \right]-\left[ \dfrac{1}{3}(-3)^{3}- (-3)^{2}-3(-3) \right] \\ & = \left[ -\dfrac{1}{3} -1+3 \right]-\left[ -9 - 9 +9 \right] \\ & = \left[ \dfrac{5}{3} \right]-\left[ -9 \right]= \dfrac{32}{3} \\ \end{align}$
$\begin{align}
& \int \limits_{-1}^{3} -\left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\ & = \int \limits_{-1}^{3} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\ & = (-1) \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}- x^{2}-3x \right]_{-1}^{3} \\ & = (-1) \left( \left[ \dfrac{1}{3}(3)^{3}- (3)^{2}-3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{3}(-1)^{3}- (-1)^{2}-3(-1) \right] \right) \\ & = (-1) \left( \left[ 9 -9-9 \right]-\left[ -\dfrac{1}{3} -1+3 \right] \right) \\ & = (-1) \left( \left[ -9 \right]-\left[ \dfrac{5}{3} \right] \right)= \dfrac{32}{3} \\ \end{align}$
Sebagai latihan tambahan, silahkan dicoba beberapa soal berikut ini:
1. Soal SNMPTN 2010 Kode 538 (*Soal Lengkap)
Diketahui $f(x)=\left| x-1 \right|$ Nilai dari $\int \limits_{0}^{1} f\left( x \right)\ dx=\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
Show
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x-1$, yaitu:
$\left | x-1 \right |=\left\{\begin{matrix} x-1, \text{untuk}\ x-1 \geq 0\ \text{atau}\ x \geq 1 \\ -\left( x-1 \right), \text{untuk}\ x-1 \lt 0\ \text{atau}\ x \lt 1 \\ \end{matrix}\right.$
Dari batasan nilai $x$ di atas kita dapat tuliskan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} f\left( x \right)\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{1} \left| x-1 \right|\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{1} -\left( x-1 \right)\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{1} \left( -x+1 \right)\ dx \\ &= \left[ -\dfrac{1}{2}x^{2}+x \right]_{0}^{1} \\ &= \left[ -\dfrac{1}{2}(1)^{2}+1 \right] - \left[ -\dfrac{1}{2}(0)^{2}+0 \right] \\ &= -\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2} \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
2. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 (*Soal Lengkap)
Nilai dari $\int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -3,5 \\ (B)\ & -1,5 \\ (C)\ & -0,5 \\ (D)\ & 1,5 \\ (E)\ & 3,5
\end{align} $
Show
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x$, yaitu:
$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix}
x, \text{untuk}\ x \geq 0 \\
-x, \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left( -x \right) \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left( x \right) \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(3x \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(-x \right)\ dx \\
&= \left[\dfrac{3}{2} x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ -\dfrac{1}{2} x^{2} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[0-\dfrac{3}{2} (-1)^{2} \right] + \left[ -\dfrac{1}{2} (2)^{2}-0 \right] \\
&= \left[ -\dfrac{3}{2} \right] + \left[ -2 \right] \\
&= -\dfrac{7}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3,5$
3. Soal UMB 2008 Kode 380 (*Soal Lengkap)
Nilai dari $\int \limits_{-2}^{2} \left| x^{2}-4 \right|\ dx=\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{64}{3} \\ (B)\ & \dfrac{32}{3} \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 0 \end{align} $
Show
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x^{2}-4$, yaitu:
$\left | x^{2}-4 \right |=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4, \text{untuk}\ x^{2}-4 \geq 0 \\ -\left( x^{2}-4 \right), \text{untuk}\ x^{2}-4 \lt 0 \end{matrix}\right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita perlu batasan nilai $x$ yaitu:
- Nilai $x$ untuk $x^{2}-4 \geq 0$
$\begin{align} x^{2}-4 & \geq 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) & \geq 0 \\ \hline x= 2\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 2 & \\ \end{align}$ - Nilai $x$ untuk $x^{2}-4 \lt 0$
$\begin{align} x^{2}- 4 & \lt 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) & \lt 0 \\ \hline x=2\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline -2 \lt x \lt 2 & \\ \end{align}$
$ \begin{align}
& \int \limits_{-2}^{2} \left| x^{2}-4 \right|\ dx \\ &= \int \limits_{-2}^{2} -\left( x^{2}-4 \right)\ dx \\ &= -\left[ \dfrac{1}{3}x^{3}-4x \right]_{-2}^{2} \\ &= -\left[ \dfrac{1}{3}( 2)^{3}-4( 2) \right] + \left[ \dfrac{1}{3}(-2)^{3}-4(-2) \right] \\ &= -\left[ \dfrac{8}{3} - 8 \right] + \left[ \dfrac{-8}{3} +8 \right] \\ &= -\dfrac{8}{3}+8 -\dfrac{8}{3}+8 \\ &= -\dfrac{16}{3} + 16 \\ &= -\dfrac{16}{3}+\dfrac{48}{3}=\dfrac{32}{3} \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{32}{3}$
4. Soal Integral Latihan Matematika SMA (*Soal Lengkap)
Suatu daerah dibatasi kurva $f(x)=\left| x^{2}-x-6 \right|$ dan sumbu $x$. Jika $0 \leq x \leq 4$, maka luas daerah tersebut adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \int \limits_{ }^{4} \left| x^{2}-x-6 \right|\ dx \\ (B)\ & \int \limits_{0}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \\ (C)\ & \int \limits_{-2}^{3} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx - \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \\ (D)\ & \int \limits_{0}^{3} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx - \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \\ (E)\ & \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx - \int \limits_{0}^{3} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \end{align} $
Show
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x^{2}-x-6$, yaitu:
$\left | x^{2}-x-6 \right |=\left\{\begin{matrix} x^{2}-x-6, \text{untuk}\ x^{2}-x-6 \geq 0 \\ -\left( x^{2}-x-6 \right), \text{untuk}\ x^{2}-x-6 \lt 0 \end{matrix}\right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita perlu batasan nilai $x$ yaitu:
- Nilai $x$ untuk $x^{2}-x-6 \geq 0$
$\begin{align} x^{2}-x-6 & \geq 0 \\ \left( x-3 \right)\left( x+2 \right) & \geq 0 \\ \hline x= 3\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\ \end{align}$ - Nilai $x$ untuk $x^{2}-x-6 \lt 0$
$\begin{align} x^{2}-x-6 & \lt 0 \\ \left( x-3 \right)\left( x+2 \right) & \lt 0 \\ \hline x=3\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline -2 \lt x \lt 3 & \\ \end{align}$
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{4} \left| x^{2}-x-6 \right|\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{3} -\left( x^{2}-x-6 \right)\ dx + \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \\
&= -\int \limits_{0}^{3}\left( x^{2}-x-6 \right)\ dx + \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx - \int \limits_{0}^{3} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx$
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Cara Menghitung Nilai Integral Fungsi Nilai Mutlak silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Cara Alternatif dalam Perkalian Dua Angka, sangat kreatif;
