Skip to main content

Menghitung Nilai Integral Fungsi Nilai Mutlak

Calon Guru belajar Cara Menghitung Nilai Integral Fungsi Nilai Mutlak. Ada dua hal yang harus kita pahami untuk menyelesaikan masalah terkait menghitung nilai integral fungsi nilai mutlak yaitu integral fungsi dan nilai mutlak

INTEGRAL TENTU


Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

NILAI MUTLAK


Nilai mutlak atau sering juga disebut dengan harga mutlak di definisikan:
$ |x| =
\left\{\begin{array}{cc}
a & ,\text{untuk}\ a \geq 0 \\
-a & ,\text{untuk}\ a \lt 0
\end{array} \right. $


MENENTUKAN INTEGRAL FUNGSI NILAI MUTLAK


Untuk menentukan integral nilai mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka dapat kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:
$ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & ,\text{untuk}\ x \geq b \\
-f(x) & ,\text{untuk}\ x \lt b
\end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.

Sebagai contoh kita pilih salah satu soal dari Soal Ujian Masuk STIS tahun 2011
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 18 \\
(C)\ & \dfrac{68}{3} \\
(D)\ & \dfrac{64}{3} \\
(E)\ & 9
\end{align}$

Seperti apa yang disampaikan di atas bahwa Jika $ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\
-f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
maka integralnya adalah $ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.

$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari defenisi nilai mutlak di atas yang kita pakai hanya bagian $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\
& = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\
& = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\
& = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\
& = 18
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$

Bentuk soal di atas sedikit unik, tetapi karena kita bahas sesua soal asli jadinya seperti itu.
Jika kita prediksi terdapat kesalahan dalam pengetikan naskah soal dan kita anggap soalnya adalah $\int \limits_{-3}^{3} \left| x^{2}-2x-3 \right| dx=\cdots$, maka pembahasannya adalah...
Pertama kita gunakan defenisi nilai mutlak yaitu: $ \left| x^{2}-2x-3 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x^{2}-2x-3 & ,\text{untuk}\ x^{2}-2x-3 \geq 0 \\
-\left( x^{2}-2x-3 \right) & ,\text{untuk}\ x^{2}-2x-3 \lt 0
\end{array} \right. $

Dari defenisi nilai mutlak di atas kita perlu batasan nilai $x$ yaitu:
  • Nilai $x$ untuk $x^{2}-2x-3 \geq 0$
    $\begin{align}
    x^{2}-2x-3 & \geq 0 \\
    \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) & \geq 0 \\
    \hline x=-1\ \text{atau}\ x= 3 & \\
    \hline x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\
    \end{align}$
  • Nilai $x$ untuk $x^{2}-2x-3 \lt 0$
    $\begin{align}
    x^{2}-2x-3 & \lt 0 \\
    \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) & \lt 0 \\
    \hline x=-1\ \text{atau}\ x= 3 & \\
    \hline -1 \lt x \lt 3 & \\
    \end{align}$
Dari batasan nilai $x$ di atas kita dapat tuliskan:
$\begin{align}
& \int \limits_{-3}^{3} \left| x^{2}-2x-3 \right| dx \\
& = \int \limits_{-3}^{-1} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx +\int \limits_{-1}^{3} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\
& = \dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3} \\
& = \dfrac{64}{3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{64}{3}$
$\begin{align}
& \int \limits_{-3}^{-1} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\
& = \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}- x^{2}-3x \right]_{-3}^{-1} \\
& = \left[ \dfrac{1}{3}(-1)^{3}- (-1)^{2}-3(-1) \right]-\left[ \dfrac{1}{3}(-3)^{3}- (-3)^{2}-3(-3) \right] \\
& = \left[ -\dfrac{1}{3} -1+3 \right]-\left[ -9 - 9 +9 \right] \\
& = \left[ \dfrac{5}{3} \right]-\left[ -9 \right]= \dfrac{32}{3} \\
\end{align}$

$\begin{align}
& \int \limits_{-1}^{3} -\left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\
& = \int \limits_{-1}^{3} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\
& = (-1) \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}- x^{2}-3x \right]_{-1}^{3} \\
& = (-1) \left( \left[ \dfrac{1}{3}(3)^{3}- (3)^{2}-3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{3}(-1)^{3}- (-1)^{2}-3(-1) \right] \right) \\
& = (-1) \left( \left[ 9 -9-9 \right]-\left[ -\dfrac{1}{3} -1+3 \right] \right) \\
& = (-1) \left( \left[ -9 \right]-\left[ \dfrac{5}{3} \right] \right)= \dfrac{32}{3} \\
\end{align}$

Jika sudah paham silahkan dicoba satu soal yang kita pilih dari Soal Seleksi Masuk UI tahun 2012 kode 524
Nilai dari $\int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -3,5 \\
(B)\ & -1,5 \\
(C)\ & -0,5 \\
(D)\ & 1,5 \\
(E)\ & 3,5
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x$, yaitu:
$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix}
x, \text{untuk}\ x \geq 0 \\
-x, \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left( -x \right) \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left( x \right) \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(3x \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(-x \right)\ dx \\
&= \left[\dfrac{3}{2} x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ -\dfrac{1}{2} x^{2} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[0-\dfrac{3}{2} (-1)^{2} \right] + \left[ -\dfrac{1}{2} (2)^{2}-0 \right] \\
&= \left[ -\dfrac{3}{2} \right] + \left[ -2 \right] \\
&= -\dfrac{7}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3,5$



Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Menghitung Nilai Integral Fungsi Nilai Mutlak silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Cara Alternatif dalam Perkalian Dua Angka, sangat kreatif;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Menghitung Nilai Integral Fungsi Nilai Mutlak" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar