Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Cara Menghitung Integral Fungsi Nilai Mutlak. Ada dua hal yang harus kita pahami untuk menyelesaikan masalah terkait menghitung nilai integral fungsi nilai mutlak yaitu integral fungsi dan nilai mutlak.
INTEGRAL TENTU
Pada buku-buku kalkulus disampaikan Teorema Dasar Kalkulus (integral tentu) secara sederhana dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Jika fungsi $f$ kontinu (fungsi kontinu secara sederhana dapat dikatakan fungsi yang tidak terputus atau terpotong) pada interval $\left[a,b\right]$ dan fungsi $F$ anti turunan (anti diferensial) dari $f$, maka:
\begin{align}
\int \limits_{a}^{b} f(x) dx= F \left( b \right)-F \left( a \right)
\end{align}
NILAI MUTLAK
Nilai mutlak atau sering juga disebut dengan harga mutlak di definisikan:
$ |x| = \left\{\begin{array}{cc} a & ,\text{untuk}\ a \geq 0 \\ -a & ,\text{untuk}\ a \lt 0 \end{array} \right. $
MENENTUKAN INTEGRAL FUNGSI NILAI MUTLAK
Untuk menentukan integral nilai mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka dapat kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:
$ |f(x)| = \left\{\begin{array}{cc} f(x) & ,\text{untuk}\ x \geq b \\ -f(x) & ,\text{untuk}\ x \lt b \end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
Sebagai contoh kita pilih salah satu soal dari Soal Ujian Masuk STIS tahun 2011
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & \dfrac{68}{3} \\ (D)\ & \dfrac{64}{3} \\ (E)\ & 9 \end{align}$
Seperti apa yang disampaikan di atas bahwa Jika $ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\
-f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
maka integralnya adalah $ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari definisi nilai mutlak di atas yang kita pakai hanya bagian $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\
& = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\
& = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\
& = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\
& = 18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$
Bentuk soal di atas sedikit unik, tetapi karena kita bahas sesuai soal asli jadinya seperti itu. Jika kita prediksi terdapat kesalahan dalam pengetikan naskah soal dan kita anggap soalnya adalah seperti berikut:
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x^{2}-2x-3 \right| dx=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & \dfrac{68}{3} \\ (D)\ & \dfrac{64}{3} \\ (E)\ & 9 \end{align}$
Pertama kita gunakan definisi nilai mutlak yaitu:
$ \left| x^{2}-2x-3 \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
x^{2}-2x-3 & ,\text{untuk}\ x^{2}-2x-3 \geq 0 \\
-\left( x^{2}-2x-3 \right) & ,\text{untuk}\ x^{2}-2x-3 \lt 0
\end{array} \right. $
Dari definisi nilai mutlak di atas kita perlu batasan nilai $x$ yaitu:
- Nilai $x$ untuk $x^{2}-2x-3 \geq 0$
$\begin{align}
x^{2}-2x-3 & \geq 0 \\ \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) & \geq 0 \\ \hline x=-1\ \text{atau}\ x= 3 & \\ \hline x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\ \end{align}$ - Nilai $x$ untuk $x^{2}-2x-3 \lt 0$
$\begin{align}
x^{2}-2x-3 & \lt 0 \\ \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) & \lt 0 \\ \hline x=-1\ \text{atau}\ x= 3 & \\ \hline -1 \lt x \lt 3 & \\ \end{align}$
Dari batasan nilai $x$ di atas kita dapat tuliskan:
$\begin{align}
& \int \limits_{-3}^{3} \left| x^{2}-2x-3 \right| dx \\
& = \int \limits_{-3}^{-1} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx +\int \limits_{-1}^{3} -\left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\
& = \dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3} \\
& = \dfrac{64}{3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{64}{3}$
Perhitungan integral!
$\begin{align}
& \int \limits_{-3}^{-1} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\
& = \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}- x^{2}-3x \right]_{-3}^{-1} \\
& = \left[ \dfrac{1}{3}(-1)^{3}- (-1)^{2}-3(-1) \right]-\left[ \dfrac{1}{3}(-3)^{3}- (-3)^{2}-3(-3) \right] \\
& = \left[ -\dfrac{1}{3} -1+3 \right]-\left[ -9 - 9 +9 \right] \\
& = \left[ \dfrac{5}{3} \right]-\left[ -9 \right]= \dfrac{32}{3} \\
\end{align}$
Perhitungan integral!
$\begin{align}
& \int \limits_{-1}^{3} -\left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\
& = \int \limits_{-1}^{3} \left( x^{2}-2x-3 \right) dx \\
& = (-1) \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}- x^{2}-3x \right]_{-1}^{3} \\
& = (-1) \left( \left[ \dfrac{1}{3}(3)^{3}- (3)^{2}-3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{3}(-1)^{3}- (-1)^{2}-3(-1) \right] \right) \\
& = (-1) \left( \left[ 9 -9-9 \right]-\left[ -\dfrac{1}{3} -1+3 \right] \right) \\
& = (-1) \left( \left[ -9 \right]-\left[ \dfrac{5}{3} \right] \right)= \dfrac{32}{3} \\
\end{align}$
Sebagai latihan tambahan, silahkan dicoba beberapa soal berikut ini:
1. Soal SNMPTN 2010 Kode 538 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\left| x-1 \right|$ Nilai dari $\int \limits_{0}^{1} f\left( x \right)\ dx=\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x-1$, yaitu:
$\left | x-1 \right |=\left\{\begin{matrix} x-1, \text{untuk}\ x-1 \geq 0\ \text{atau}\ x \geq 1 \\ -\left( x-1 \right), \text{untuk}\ x-1 \lt 0\ \text{atau}\ x \lt 1 \\ \end{matrix}\right.$
Dari batasan nilai $x$ di atas kita dapat tuliskan:
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} f\left( x \right)\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{1} \left| x-1 \right|\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{1} -\left( x-1 \right)\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{1} \left( -x+1 \right)\ dx \\
&= \left[ -\dfrac{1}{2}x^{2}+x \right]_{0}^{1} \\
&= \left[ -\dfrac{1}{2}(1)^{2}+1 \right] - \left[ -\dfrac{1}{2}(0)^{2}+0 \right] \\
&= -\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
2. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -3,5 \\ (B)\ & -1,5 \\ (C)\ & -0,5 \\ (D)\ & 1,5 \\ (E)\ & 3,5
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x$, yaitu:
$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix}
x, \text{untuk}\ x \geq 0 \\
-x, \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left( -x \right) \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left( x \right) \right)\ dx \\
&= \int \limits_{-1}^{0} \left(3x \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(-x \right)\ dx \\
&= \left[\dfrac{3}{2} x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ -\dfrac{1}{2} x^{2} \right]_{0}^{2} \\
&= \left[0-\dfrac{3}{2} (-1)^{2} \right] + \left[ -\dfrac{1}{2} (2)^{2}-0 \right] \\
&= \left[ -\dfrac{3}{2} \right] + \left[ -2 \right] \\
&= -\dfrac{7}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3,5$
3. Soal UMB 2008 Kode 380 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\int \limits_{-2}^{2} \left| x^{2}-4 \right|\ dx=\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{64}{3} \\ (B)\ & \dfrac{32}{3} \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 0 \end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x^{2}-4$, yaitu:
$\left | x^{2}-4 \right |=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4, \text{untuk}\ x^{2}-4 \geq 0 \\ -\left( x^{2}-4 \right), \text{untuk}\ x^{2}-4 \lt 0 \end{matrix}\right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita perlu batasan nilai $x$ yaitu:
- Nilai $x$ untuk $x^{2}-4 \geq 0$
$\begin{align} x^{2}-4 & \geq 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) & \geq 0 \\ \hline x= 2\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 2 & \\ \end{align}$ - Nilai $x$ untuk $x^{2}-4 \lt 0$
$\begin{align} x^{2}- 4 & \lt 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) & \lt 0 \\ \hline x=2\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline -2 \lt x \lt 2 & \\ \end{align}$
$ \begin{align}
& \int \limits_{-2}^{2} \left| x^{2}-4 \right|\ dx \\ &= \int \limits_{-2}^{2} -\left( x^{2}-4 \right)\ dx \\ &= -\left[ \dfrac{1}{3}x^{3}-4x \right]_{-2}^{2} \\ &= -\left[ \dfrac{1}{3}( 2)^{3}-4( 2) \right] + \left[ \dfrac{1}{3}(-2)^{3}-4(-2) \right] \\ &= -\left[ \dfrac{8}{3} - 8 \right] + \left[ \dfrac{-8}{3} +8 \right] \\ &= -\dfrac{8}{3}+8 -\dfrac{8}{3}+8 \\ &= -\dfrac{16}{3} + 16 \\ &= -\dfrac{16}{3}+\dfrac{48}{3}=\dfrac{32}{3} \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{32}{3}$
4. Soal Integral Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap
Suatu daerah dibatasi kurva $f(x)=\left| x^{2}-x-6 \right|$ dan sumbu $x$. Jika $0 \leq x \leq 4$, maka luas daerah tersebut adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \int \limits_{ }^{4} \left| x^{2}-x-6 \right|\ dx \\ (B)\ & \int \limits_{0}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \\ (C)\ & \int \limits_{-2}^{3} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx - \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \\ (D)\ & \int \limits_{0}^{3} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx - \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \\ (E)\ & \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx - \int \limits_{0}^{3} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x^{2}-x-6$, yaitu:
$\left | x^{2}-x-6 \right |=\left\{\begin{matrix} x^{2}-x-6, \text{untuk}\ x^{2}-x-6 \geq 0 \\ -\left( x^{2}-x-6 \right), \text{untuk}\ x^{2}-x-6 \lt 0 \end{matrix}\right.$
Dari definisi nilai mutlak di atas kita perlu batasan nilai $x$ yaitu:
- Nilai $x$ untuk $x^{2}-x-6 \geq 0$
$\begin{align} x^{2}-x-6 & \geq 0 \\ \left( x-3 \right)\left( x+2 \right) & \geq 0 \\ \hline x= 3\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\ \end{align}$ - Nilai $x$ untuk $x^{2}-x-6 \lt 0$
$\begin{align} x^{2}-x-6 & \lt 0 \\ \left( x-3 \right)\left( x+2 \right) & \lt 0 \\ \hline x=3\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline -2 \lt x \lt 3 & \\ \end{align}$
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{4} \left| x^{2}-x-6 \right|\ dx \\
&= \int \limits_{0}^{3} -\left( x^{2}-x-6 \right)\ dx + \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx \\
&= -\int \limits_{0}^{3}\left( x^{2}-x-6 \right)\ dx + \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \int \limits_{3}^{4} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx - \int \limits_{0}^{3} \left( x^{2}-x-6 \right)\ dx$
Catatan tentang Cara Menghitung Nilai Integral Fungsi Nilai Mutlak di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.