Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian pada Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat. Sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat ini juga dapat kita kembangkan sampai daerah penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Kuadrat dan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Kuadrat.
Untuk lebih cepat dalam menentukan daerah penyelesaian pada sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat ini ada baiknya kita sudah bisa menentukan daerah penyelesaian pada sistem pertidaksamaan linear. Sistem pertidaksamaan linear banyak dipakai saat belajar program linear. Untuk mencoba silahkan disimak Cara Mudah Belajar Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Pada Program Linear.
Cara Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear
Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear adalah $ax+by \leq c$, $ax+by \lt c$, $ax+by \geq c$, atau $ax+by \gt c$.
Kita coba dengan satu contoh sederhana, tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $2x+3y \leq 12$
Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $2x+3y \leq 12$, kita coba gambar daerah penyelesaian $2x+3y=12$.
- Buat sumbu koordinat kartesius
- Tentukan titik potong pada sumbu $x$ dan $y$ dari semua persamaan-persamaan linearnya.
- Titik potong pada sumbu $x$ maka $y=0$
$\begin{align} 2x+3y & = 12 \\ 2x+3(0) & = 12 \\ 2x & = 12 \\ x & = 6 \end{align}$
Titik potong pada sumbu $x$ adalah $\left( 6,0 \right)$ - Titik potong pada sumbu $y$ maka $x=0$
$\begin{align} 2x+3y & = 12 \\ 2(0)+3y & = 12 \\ 3y & = 12 \\ y & = 4 \end{align}$
Titik potong pada sumbu $y$ adalah $\left( 0,4 \right)$
- Titik potong pada sumbu $x$ maka $y=0$
- Sketsa grafiknya dengan menghubungkan antara titik-titik potongnya.
Gambar daerah penyelesaian $2x+3y=12$ adalah sebagai berikut, gambar $2x+3y=12$ adalah berupa garis, yang artinya sepanjang garis tersebut nilai dari $2x+3y$ adalah $12$.
Garis $2x+3y=12$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, jika kita misalkan dalam warna dapat kita gambarkan menjadi daerah yang berwarna merah dan daerah berwarna hijau.
- Untuk menentukan sistem pertidaksamaan pada daerah penyelesaian dari hijau dan daerah merah dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.
- Pilih satu titik uji yang berada di luar garis $2x+3y=12$. Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(0,0 \right)$. Titik $\left(0,0 \right)$ kita uji ke $2x+3y \leq 12$ dan kita peroleh:
$\begin{align} 2x+3y & \leq 12 \\ 2(0)+3(0) & \leq 12 \\ 0 & \leq 12 \end{align}$
Dari hasil di atas, $0$ benar kurang dari $12$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(0,0 \right)$ berada pada daerah $2x+3y \leq 12$ yaitu daerah hijau.
Kita coba satu titik sebarang lagi, yaitu titik $\left(4,3 \right)$ kita uji ke $2x+3y \leq 12$ dan kita peroleh:
$\begin{align} 2x+3y & \leq 12 \\ 2(4)+3(3) & \leq 12 \\ 8+9 & \leq 12 \\ 17 & \leq 12 \\ \end{align}$
Dari hasil di atas, tidak benar $17$ kurang dari $12$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left( 4,3 \right)$ tidak berada pada daerah itik $\left(-2,1 \right)$ tetapi berada pada daerah $2x+3y \geq 12$ yaitu daerah merah.
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan jika tidak memakai tanda sama dengan maka garisnya menjadi putus-putus seperti berikut. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan $2x+3y \lt 12$, atau bisa kita sebutkan daerah himpunan penyelesaian $2x+3y$ yang kurang dari $12$.
Cara Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk umum sistem pertidaksamaan kuadrat adalah $ y \leq ax^{2}+bx+c$, $y \lt ax^{2}+bx+c$, $ y \geq ax^{2}+bx+c$, atau $y \gt ax^{2}+bx+c$.
Kita coba dengan satu contoh sederhana, tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $y \lt x^{2}+ x+3$
Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian sebuah pertidaksamaan adalah kita bisa menentukan daerah penyelesaian persamaan. Sebelum kita gambar daerah pertidaksamaan $y \lt x^{2}+ x+3$, kita coba gambar daerah penyelesaian $y = x^{2}+ x+3$. Sebelumnya kita keathui bahwa gambar grafik $y = ax^{2}+ bx+c$ berbentuk parabola (*Silahkan disimak penjelasan tambahan dalam menggambar $y = ax^{2}+ bx+c$)
- Buat sumbu koordinat kartesius.
- Tentukan titik potong pada sumbu $x$ dan $y$ dari $y = x^{2}+ x+3$.
- Titik potong pada sumbu $x$ maka $y=0$
$\begin{align} x^{2}+ x+3 & = y \\ x^{2}+ x+3 & = 0 \end{align}$
Diskriminan $x^{2}+ x+3 = 0$ adalah $D=-11$ atau $D \lt 0$ sehingga tidak memotong sumbu $x$. - Titik potong pada sumbu $y$ maka $x=0$
$\begin{align} x^{2}+ x+3 & = y \\ 0^{2}+ 0+3 & = y \\ 3 & = y \end{align}$
Titik potong pada sumbu $y$ adalah $\left( 0,3 \right)$
- Titik potong pada sumbu $x$ maka $y=0$
- Titik puncak (titik balik) $\left ( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right )$
$\begin{align} x_{p} & = -\dfrac{b}{2a} \\ x_{p} & = -\dfrac{1}{2(1)} = -\dfrac{1}{2} \end{align}$
$\begin{align} y_{p} & = -\dfrac{D}{4a} \\ y_{p} & = -\dfrac{-11}{4(1)} = \dfrac{11}{4} \end{align}$
Titik puncaknya adalah $\left ( -\dfrac{1}{2} , \dfrac{11}{4} \right )$ - Jika titik-titik yang diperoleh di atas masih kurang dalam menggambar grafik, dapat dibuat titik bantuan yang lain dengan memilih sebarang nilai $x$ lalu mensubstitusikan ke $y = x^{2}+ x+3$. Misal kita pilih $x=-1$ dan $x=1$, sehingga kita peroleh titik.
$\begin{align} x=-1 & \rightarrow y = x^{2}+ x+3 \\ & \rightarrow y = (-1)^{2}+ (-1)+3 \\ & \rightarrow y = 3\ \text{titik}\ (-1,3) \\ \hline x=1 & \rightarrow y = x^{2}+ x+3 \\ & \rightarrow y = (1)^{2}+ (1)+3 \\ & \rightarrow y = 5\ \text{titik}\ (1,5) \\ \end{align}$
- Sketsa grafiknya dengan menghubungkan titik-titik $A\left ( -\dfrac{1}{2} , \dfrac{11}{4} \right )$, $B\left ( 0 , 3 \right )$, $C(-1,3)$ dan $D(1,5)$
Gambar $y = x^{2}+ x+3$ adalah berupa parabola, yang artinya sepanjang parabola tersebut berlaku $y = x^{2}+ x+3$.
Parabola $y =x^{2}+ x+3$ membagi daerah menjadi dua bagian yang berbeda, jika kita misalkan dalam warna dapat kita gambarkan menjadi daerah yang berwarna merah dan daerah berwarna hijau.
- Untuk menentukan sistem pertidaksamaan pada daerah penyelesaian dari hijau dan daerah merah dapat kita lakukan dengan Uji Titik pada salah satu daerah.
- Pilih satu titik uji yang berada di luar Parabola $y =x^{2}+ x+3$. Misal kita pilih sebuah titik sembarang yaitu $\left(0,0 \right)$. Titik $\left(0,0 \right)$ kita uji ke pertidaksamaan $y \lt x^{2}+ x+3$ dan kita peroleh:
$\begin{align} y & \lt x^{2}+ x+3 \\ 0 & \lt 0^{2}+ 0+3 \\ 0 & \lt 3 \\ \end{align}$
Dari hasil di atas, benar bahwa $0$ kurang dari $3$ sehingga dapat kita ambil kesimpulan bahwa titik $\left(0,0 \right)$ berada pada daerah $y \lt x^{2}+ x+3$ yaitu daerah hijau.
Dari hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa daerah himpunan penyelesaian $y \lt x^{2}+ x+3$ adalah:
Catatan tentang Cara Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Pada Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.