com.png "defantri.com")
Calon Guru belajar matematika dasar dari Soal dan Pembahasan Pola Bilangan. Sujiwo Tejo pernah mengatakan: "Matematika adalah kemampuan menangkap pola dari sesuatu yang semula tidak terpola. Itulah kemampuan matematika yang harus ditanamkan.".
Jadi salah satu tujuan dari belajar matematika itu adalah menemukan pola. Itulah sebabnya di setiap Test Potensi Akademik (TPA), Tes Potensi Skolastik (TPS), atau tes IQ selalu memuat soal menemukan pola. Baik itu pola dalam bentuk barisan bilangan atau pola dalam bentuk gambar.
Pada matematika SMA kurikulum 2013, pola bilangan ini akan banyak kita dapat sewaktu belajar Induksi Matematika di kelas X SMA, dan belajar barisan dan deret bilangan di kelas XI SMA.
BILANGAN SEBAGAI BARISAN DAN DERET
Pola bilangan dapat dituliskan dalam dua bentuk, yaitu dalam barisan bilangan atau deret bilangan.
Jika $U_{n}$ adalah suku ke-$n$ dari suatu pola bilangan maka barisan bilangan $U_{n}$ dapat dituliskan dengan $U_{1},U_{2},U_{3},\cdots,U_{n}$.
Sedangkan deret bilangan dituliskan $U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n}$. Jika $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama deret bilangan maka $S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdots+U_{n}$.
BARISAN DAN DERET BILANGAN
Berikut kita tuliskan beberapa barisan dan deret bilangan. Untuk nama barisan bilangan ini mungkin berbeda pada beberapa buku, tetapi pola barisan bilangan dan bentuk umum yang dimaksud adalah sama.
- Barisan Bilangan Asli: $1,2,3,4,\cdots$
Pola: $1,2,3,4,\cdots$
Suku ke-$n$: $U_{n}=n$
Jumlah: $S_{n}= \dfrac{1}{2} \left( n \right)\left( n+1 \right)$ - Barisan Bilangan Persegi: $1, 4, 9, 16, 25,\cdots$
Pola: $1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},\cdots$
Suku ke-$n$: $U_{n}=n^{2}$
Jumlah: $S_{n}= \dfrac{1}{3} \left( n \right)\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$ - Barisan Bilangan Persegi panjang : $2, 6, 12, 20, 30,\cdots$
Pola: $1 \times 2, 2\times 3,3 \times 4,4 \times 5,\cdots$
Suku ke-$n$: $U_{n}=n \left( n+1 \right)$
Jumlah: $S_{n}= \dfrac{1}{3} \left( n \right)\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$ - Barisan Bilangan Segitiga: $1, 3, 6, 10, 15,\cdots$
Pola: $1, 1 + 2, 1+2+3,1+2+3+4,\cdots$
Suku ke-$n$: $U_{n}=\dfrac{1}{2} \left(n \right) \left( n+1 \right)$
Jumlah: $S_{n}= \dfrac{1}{6} \left( n \right)\left( n+1 \right) \left( n+2 \right)$ - Barisan Bilangan Kubik: $1, 8, 27, 64, 125,\cdots$
Pola: $1^{3},2^{3},3^{3},4^{3},\cdots$
Suku ke-$n$: $U_{n}=n^{3}$
Jumlah: $S_{n}= \left[\dfrac{1}{2} \left( n \right)\left( n+1 \right) \right]^{2}$ - Barisan Bilangan Balok: $6, 24, 60, 120 , 720,\cdots$
Pola: $1 \times 2 \times 3, 2 \times 3 \times 4, 3 \times 4 \times 5, 4 \times 5 \times 6,\cdots$
Suku ke-$n$: $U_{n}= \left(n \right) \left( n+1 \right) \left(n+2 \right)$
Jumlah: $S_{n}= \dfrac{1}{4} \left( n \right)\left( n+1 \right) \left( n+2 \right) \left( n+3 \right)$
Selain beberapa yang sudah kita tuliskan di atas, masih banyak lagi pola barisan bilangan yang tidak dapat kita tuliskan semuanya. Saat ini pola barisan bilangan yang sangat ajaib penerapannya yang sudah berhasil ditemukan salah satunya adalah Barisan Bilangan Fibonachi $1,1,2,3,5,8,13,\cdots$.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN POLA BILANGAN
Untuk menambah pemahaman kita terkait Pola Bilangan mari kita coba beberapa soal latihan berikut, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 38 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Pola Bilangan
Jika rumus suku ke-$n$ dari suatu barisan adalah $U_{n} = 5 – 2n^{2}$, maka selisih suku ketiga dan kelima adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_{n} = 5 – 2n^{2}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= 5 – 2n^{2} \\
U_{3} &= 5 – 2(3)^{2} \\
&= -13 \\
\hline
U_{5} &= 5 – 2(5)^{2} \\
&= -45 \\
\hline
U_{3}-U_{5} &= -13 – (-45) \\
&= 32
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 32$
2. Soal Latihan Pola Bilangan
Rumus suku ke-$n$ dari suatu barisan adalah $U_{n} = 4 + 2n – an^{2}$, Jika suku ke-$4$ adalah $–36$ maka nilai $a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_{n} = 4 + 2n – an^{2}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= 4 + 2n – an^{2} \\
U_{4} &= 4 + 2(4) – a(4)^{2} \\
-36 &= 12 – 16a \\
16a &= 12+36 \\
a &= \dfrac{48}{16} =3
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
3. Soal Latihan Pola Bilangan
Rumus suku ke-$n$ dari suatu barisan adalah $U_{n} = \dfrac{n^{2}-1}{n+3}$, Suku keberapakah $3$?
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_{n} = \dfrac{n^{2}-1}{n+3}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= \dfrac{n^{2}-1}{n+3} \\
3 &= \dfrac{n^{2}-1}{n+3} \\
3n+9 &= n^{2}-1 \\
n^{2}-3n-10 &= 0 \\
\left( n-5 \right) \left( n+2 \right) &= 0 \\
n=5\ \text{atau}\ & n=-2\ \text{(TM)} \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
4. Soal Latihan Pola Bilangan
Suatu barisan $1, 4, 7, 10, \cdots$ memenuhi pola $U_{n} = an + b$. Suku ke-$10$ dari barisan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_{n} = an + b$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= an + b \\
U_{1} &= a(1) + b \\
1 &= a + b \\
\hline
U_{2} &= a(2) + b \\
4 &= 2a + b
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a + b &= 1 \\
2a + b &= 4\ (-) \\
\hline
a &= 3 \rightarrow b=-2 \\
U_{n} &= an + b \\
U_{10} &= (3)(10) -2 \\
&= 28
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 28$
5. Soal Latihan Pola Bilangan
Suatu barisan $2, 5, 10, 17, \cdots$ memenuhi pola $U_{n} = an^{2} + bn + c$. Suku ke-$9$ dari barisan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_{n} = an^{2} + bn + c$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= an^{2} + bn + c \\
U_{1} &= a(1)^{2} + b(1) + c \\
2 &= a + b + c\ \cdots(pers.1) \\
\hline
U_{2} &= a(2)^{2} + b(2) + c \\
5 &= 4a + 2b + c\ \cdots(pers.2) \\
\hline
U_{3} &= a(3)^{2} + b(3) + c \\
10 &= 9a + 3b + c \ \cdots(pers.3) \\
\end{align}$
Dari ketiga persamaan di atas kita peroleh:
Dari $(pers.1)$ dan $(pers.2)$
$\begin{align} a + b + c &= 2 \\ 4a + 2b + c &= 5\ (-) \\ \hline 3a+b &= 3\ \cdots(pers.4) \end{align}$Dari $(pers.1)$ dan $(pers.3)$
$\begin{align} a + b + c &= 2 \\ 9a + 3b + c &= 10\ (-) \\ \hline 8a+2b &= 8 \\ 4a+ b &= 4\ \cdots(pers.5) \end{align}$Dari $(pers.4)$ dan $(pers.5)$
$\begin{align} 4a+ b &= 4 \\ 3a+b &= 3\ (-) \\ \hline a &= 1 \\ b &= 0 \\ c &= 1 \end{align}$Suku ke-$9$
$\begin{align} U_{n} &= n^{2} + bn + c \\ U_{n} &= n^{2}+ 1 \\ U_{9} &= 9^{2}+ 1 =82 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 82$
6. Soal Latihan Pola Bilangan
Barisan $2, 9, 18, 29, \cdots $ memenuhi pola $U_{n} = an^{2} + bn + c$. Suku ke berapakah $42$?
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_{n} = an^{2} + bn + c$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= an^{2} + bn + c \\
U_{1} &= a(1)^{2} + b(1) + c \\
2 &= a + b + c\ \cdots(pers.1) \\
\hline
U_{2} &= a(2)^{2} + b(2) + c \\
9 &= 4a + 2b + c\ \cdots(pers.2) \\
\hline
U_{3} &= a(3)^{2} + b(3) + c \\
18 &= 9a + 3b + c \ \cdots(pers.3) \\
\end{align}$
Dari ketiga persamaan di atas kita peroleh:
Dari $(pers.1)$ dan $(pers.2)$
$\begin{align} a + b + c &= 2 \\ 4a + 2b + c &= 9\ (-) \\ \hline 3a+b &= 7\ \cdots(pers.4) \end{align}$Dari $(pers.1)$ dan $(pers.3)$
$\begin{align} a + b + c &= 2 \\ 9a + 3b + c &= 18\ (-) \\ \hline 8a+2b &= 16 \\ 4a+ b &= 8\ \cdots(pers.5) \end{align}$Dari $(pers.4)$ dan $(pers.5)$
$\begin{align} 4a+ b &= 8 \\ 3a+b &= 7\ (-) \\ \hline a &= 1 \\ b &= 4 \\ c &= -3 \end{align}$Suku ke-$n$ adalah $42$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} U_{n} &= n^{2} + bn + c \\ U_{n} &= n^{2}+ 4n -3 \\ 0 &= n^{2}+ 4n -45 \\ 0 &= \left( n+9 \right)\left( n-5 \right) \\ & n=-9\ \text{(TM)}\ n=5 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
7. Soal Latihan Pola Bilangan
Suku ke-$20$ dari barisan $1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1,\cdots$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1,\cdots$ ada dua pola barisan yang dapat kita lihat yaitu $[1], (1), [1], (2), [1], (3), [1], (4), [1],\cdots$.
Suku-suku barisan bilangan kurung siku $ \left[ U_{n} \right]$ selalu pada suku bernomor ganjil ($n$ ganjil) dan nilainya tetap yaitu $1$.
Sedangkan suku-suku barisan bilangan kurung biasa $ \left( U_{n} \right)$ selalu pada suku bernomor genap ($n$ genap) dan polanya mengikuti pola bilangan asli yaitu $1,2,3,4,\cdots$.
Suku ke-$20$ dari barisan di atas adalah suku ke-$10$ pada barisan bilangan suku bernomor genap. Sehingga suku ke-$20$ adalah $10$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10$
8. Soal Latihan Pola Bilangan
Suku pertama suatu barisan adalah $4$, sedangkan suku umum ke-$n$ (untuk $n \gt 1$) ditentukan dengan rumus $U_{n} = 3 \cdot U_{n–1} – 5$. Suku ke tiga adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_{n} = 3 \cdot U_{n–1} – 5$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= 3 \cdot U_{n–1} – 5 \\
U_{2} &= 3 \cdot U_{1} – 5 \\
&= 3 \cdot 4 – 5 =7 \\
\hline
U_{3} &= 3 \cdot U_{2} – 5 \\
&= 3 \cdot 7 – 5 = 16
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 16$
9. Soal Latihan Pola Bilangan
Rumus umum suku ke-$n$ dari barisan $6, 10, 14, 18, 22, \cdots $ adalah $U_{n} = an + b$. Rumus suku ke-$n$ barisan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_{n} = an + b$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= an + b \\
U_{1} &= a(1) + b \\
6 &= a + b \\
\hline
U_{2} &= a(2) + b \\
10 &= 2a + b
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a + b &= 6 \\
2a + b &= 10\ (-) \\
\hline
a &= 4 \rightarrow b= 2 \\
U_{n} &= an + b \\
&= 4n +2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ U_{n} = 4n+2$
10. Soal Latihan Pola Bilangan
Pola bilangan untuk barisan $44, 41, 38, 35, 32, \cdots $ memenuhi rumus...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $44, 41, 38, 35, 32, \cdots $ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{1} = 44\ & \\
U_{2} = 41\ & \equiv U_{1}-3 \rightarrow 44-3 \\
U_{3} = 38\ & \equiv U_{1}-6 \rightarrow 44-3 \cdot 2 \\
U_{4} = 35\ & \equiv U_{1}-9 \rightarrow 44-3 \cdot 3 \\
U_{5} = 32\ & \equiv U_{1}-12 \rightarrow 44-3 \cdot 4 \\
\hline
U_{100} = \cdots\ & \equiv U_{100}=44-3 \cdot 99 \\
U_{n} = \cdots\ & \equiv U_{n}=44-3 \cdot \left( n-1 \right) \\
& \equiv U_{n}=44-3n +3 \\
& \equiv U_{n}=47-3n
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ U_{n} = 47-3n$
11. Soal Latihan Pola Bilangan
Pola bilangan barisan $6, 11, 18, 27, 38, 51, \cdots $ memenuhi rumus...
Alternatif Pembahasan:
Barisan $6, 11, 18, 27, 38, 51, \cdots $ disebut dengan barisan aritmetika tingkat dua, karena mempunyai beda yang sama pada barisan tingkat kedua.
Suku ke-$n$ barisan aritmetika tingkat dua adalah
$U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!} + \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}$
$U_n=a+ (n-1)b + \dfrac{1}{2} (n-1)(n-2)c $
Untuk barisan di atas $a=6$, $b=5$, dan $c=2$
$\begin{align}
U_{n} &= a+ (n-1)b + \dfrac{1}{2} (n-1)(n-2)c \\
U_{n} &= 6+ (n-1)(5) + \dfrac{1}{2} (n-1)(n-2)(2) \\
&= 6+ 5n-5 + n^{2}-3n+2 \\
&= n^{2}+2n+3
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ U_{n} = n^{2}+2n+3$
12. Soal Latihan Pola Bilangan
Pola bilangan barisan $2, 2, 4, 8, 14, 22, 32, \cdots $ memenuhi rumus...
Alternatif Pembahasan:
Barisan $2, 2, 4, 8, 14, 22, 32, \cdots $ disebut dengan barisan aritmetika tingkat dua, karena mempunyai beda yang sama pada barisan tingkat kedua.
Suku ke-$n$ barisan aritmetika tingkat dua adalah
$U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!} + \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}$
$U_n=a+ (n-1)b + \dfrac{1}{2} (n-1)(n-2)c $
Untuk barisan di atas $a=2$, $b=0$, dan $c=2$
$\begin{align}
U_{n} &= a+ (n-1)b + \dfrac{1}{2} (n-1)(n-2)c \\
U_{n} &= 2+ (n-1)(0) + \dfrac{1}{2} (n-1)(n-2)(2) \\
&= 2+ n^{2}-3n+2 \\
&= n^{2}-3n +4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ U_{n} = n^{2} -3n+4$
13. Soal Latihan Pola Bilangan
Pada barisan bilangan balok, jumlah deret $U_{3}+U_{4}+U_{5}+ \cdots +U_{9}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Barisan Bilangan Balok $1 \times 2 \times 3, 2 \times 3 \times 4, 3 \times 4 \times 5, 4 \times 5 \times 6,\cdots$
Suku ke-$n$: $U_{n}= \left(n \right) \left( n+1 \right) \left(n+2 \right)$
Jumlah: $S_{n}= \dfrac{1}{4} \left( n \right)\left( n+1 \right) \left( n+2 \right) \left( n+3 \right)$
Dari bentuk umum di atas kita peroleh:
$\begin{align}
S_{9} &= U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{9} \\
&= \dfrac{1}{4} \left( 9 \right)\left( 9+1 \right) \left( 9+2 \right) \left( 9+3 \right) \\
&= \dfrac{1}{4} \left( 9 \right)\left( 10 \right) \left( 11 \right) \left( 12 \right) \\
&= 2970 \\
\hline
S_{2} &= U_{1}+U_{2} \\
&= \dfrac{1}{4} \left( 2 \right)\left( 2+1 \right) \left( 2+2 \right) \left( 2+3 \right) \\
&= \dfrac{1}{4} \left( 2 \right)\left( 3 \right) \left( 4 \right) \left( 5 \right) \\
&= 30 \\
\hline
& U_{3}+U_{4}+U_{5}+ \cdots +U_{9} \\
& = S_{9}-S_{2} \\
& = 2970-30 \\
& = 2940
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2940$
14. Soal Latihan Pola Bilangan
Jumlah $n$ suku pertama barisan $3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots $ memenuhi pola $S_{n} = an^{2} + bn$. Jumlah $12$ suku pertama barisan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots $ dengan $S_{n} = an^{2} + bn$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{n} &= an^{2} + bn \\
S_{1} &= a(1)^{2} + b(1) \\
3 &= a + b\ \cdots(pers.1) \\
\hline
S_{2} &= a(2)^{2} + b(2) \\
3+5 &= 4a + 2b \\
4 &= 2a + b\ \cdots(pers.2) \\
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a + b &= 3 \\
2a + b &= 4\ (-) \\
\hline
a &= 1 \\
b &= 2
\end{align}$
Untuk $a=1$ dan $b=2$ kita peroleh:
$\begin{align}
S_{n} &= an^{2} + bn \\
S_{n} &= n^{2} + 2n \\
S_{12} &= (12)^{2} + 2(12) \\
&= 144 + 24 \\
&= 168
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 168$
15. Soal Latihan Pola Bilangan
Jika suatu barisan bilangan memenuhi rumus $U_{n} = 4n + 3$, maka rumus jumlah $n$ suku pertamanya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan Barisan Bilangan Asli: $1,2,3,4,\cdots, n$ jumlahnya adalah $S_{n}= \dfrac{1}{2} \left( n \right)\left( n+1 \right)$
Dari rumus $U_{n} = 4n + 3$ dapat kita peroleh sebuah barisan $7,11,15,19,\cdots$.
$\begin{align}
U_{n} &= 4n + 3 \\
U_{1} &= 4(1) + 3 \\
U_{2} &= 4(2) + 3 \\
U_{3} &= 4(3) + 3 \\
U_{4} &= 4(4) + 3 \\
& \vdots \\
U_{n} &= 4(n) + 3\ (+) \\
\hline
S_{n} &= 4 \left(1+2+3+ \cdots +n \right) +3 \cdot n \\
&= 4 \left( \frac{1}{2} \left( n \right)\left( n+1 \right) \right) +3n \\
&= \left( 2n \right) \left( n+1 \right) +3n \\
&= 2n^{2}+2n +3n \\
&= 2n^{2}+ 5n
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2n^{2}+ 5n$
16. Soal Latihan Pola Bilangan
Jika suatu barisan $2, 8, 32, 128, \cdots $ memenuhi rumus $U_{n} =2^{an+b}$ maka nilai $a \times b = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari rumus $U_{n} =2^{an+b}$ dan barisan $2, 8, 32, 128, \cdots $ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= 2^{an+b} \\
U_{1} &= 2^{a(1)+b} \\
2 &= 2^{a+b} \\
2^{1} &= 2^{a+b} \rightarrow a+b=1 \\
\hline
U_{2} &= 2^{a(2)+b} \\
8 &= 2^{2a+b} \\
2^{3} &= 2^{2a+b} \rightarrow a+b=3 \\
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a + b &= 1 \\
2a + b &= 3\ (-) \\
\hline
a &= 2 \rightarrow b=-1 \\
a \times b &= -2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$
17. Soal Latihan Pola Bilangan
$U_{n}$ adalah suku ke-$n$ suatu deret. Jika $U_{n+1}-U_{n}=-6$ untuk setiap $n$ dan suku pertama deret itu $100$, maka jumlah semua suku deret itu yang bernilai positif adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari rumus $U_{n+1}-U_{n}=-6$ dan $U_{1}=100$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n+1}-U_{n} &= -6 \\
U_{2}-U_{1} &= -6 \\
U_{2}-100 &= -6 \\
U_{2} &= 94 \\
\hline
U_{3}-U_{2} &= -6 \\
U_{3}-94 &= -6 \\
U_{3} &= 88 \\
\hline
U_{4}-U_{3} &= -6 \\
U_{4}-88 &= -6 \\
U_{4} &= 82
\end{align}$
Dari barisan $100,94,88,82,\cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{1} = 100\ & \\
U_{2} = 94\ & \equiv U_{1}-6 \rightarrow 100-6 \\
U_{3} = 88\ & \equiv U_{1}-12 \rightarrow 100-6 \cdot 2 \\
U_{4} = 82\ & \equiv U_{1}-18 \rightarrow 100-6 \cdot 3 \\
\hline
U_{100} = \cdots\ & \equiv U_{100}=100-6 \cdot 99 \\
U_{n} = \cdots\ & \equiv U_{n}=100-6 \cdot \left( n-1 \right) \\
& \equiv U_{n}=100-6n + 6 \\
& \equiv U_{n}=106-6n
\end{align}$
Agar $U_{n}=106-6n \gt 0$ maka $ 6n \lt 106$ atau $n \lt \frac{106}{6}=17 \frac{4}{6}$, sehingga untuk $n$ bilangan bulat terbesar yang memenuhi adalah $n=17$.
Jumlah semua suku deret yang bernilai positif adalah $S_{17}$
$\begin{align}
S_{17} &= 100+94+88+ \cdots + 4 \\
&= 100+100-6+100-12+\cdots+100-96 \\
&= 100 \times 17 - 6 \left( 1+2+3+ \cdots + 16 \right) \\
&= 1700 - 6 \left( \frac{1}{2} (16)(17) \right) \\
&= 1700 - 6 \left( 136 \right) \\
&= 1700 - 816 = 884
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 884$
18. Soal Latihan Pola Bilangan
Jumlah $10$ suku pertama deret ${}^{a}\!\log\ \frac{1}{x}+{}^{a}\!\log\ \frac{1}{x^{2}}+{}^{a}\!\log\ \frac{1}{x^{3}}+\cdots$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan meminjam beberapa sifat logaritma ${}^{a}\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$ dan ${}^{a}\!\log x^{n}=n \cdot {}^a\!\log\ x$ serta sifat eksponen $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$. Apabila kita terapkan pada deret di atas maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} S_{10 }&={}^{a}\!\log\ \frac{1}{x}+{}^{a}\!\log\ \frac{1}{x^{2}}+{}^{a}\!\log\ \frac{1}{x^{3}}+\cdots+{}^{a}\!\log\ \frac{1}{x^{10}} \\ &={}^{a}\!\log\ \dfrac{1}{x \cdot x^{2} \cdot x^{3} \cdots \cdot x^{10}} \\ &={}^{a}\!\log\ \dfrac{1}{x^{1+2+3+\cdots+10}} \\ &={}^{a}\!\log\ \dfrac{1}{x^{55}} \\ &={}^{a}\!\log\ x^{-55} \\ &=-55 \cdot {}^{a}\!\log\ x \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -55\ {}^{a}\!\log\ x$
19. Soal Latihan Pola Bilangan
Semua bilangan positip ganjil dikelompokkan sebagai berikut: $ \left( 1 \right)$, $\left( 3, 5, 7 \right)$, $\left( 9, 11, 13, 15, 17 \right)$, $\left( 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 \right)$,... Selisih bilangan terbesar dan terkecil dalam kelompok ke sepuluh adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika tanda kurung kita buka maka barisan di atas adalah barisan bilangan ganjil dengan suku ke-$n$ adalah $U_{n}=2n-1$ yaitu $1,3,5,7\cdots,$
Banyak suku dari kelompok satu sampai sepuluh juga membentuk barisan yaitu $\left[ 1\right]$, $\left[ 3\right]$, $\left[ 5\right]$, $\cdots$, $\left[ 17 \right]$, $\left[ 19 \right]$ yang jumlahnya adalah $1+3+5+\cdots+17+19=100$.
Banyak suku dari kelompok satu sampai sembilan juga membentuk barisan yaitu $\left[ 1\right]$, $\left[ 3\right]$, $\left[ 5\right]$, $\cdots$, $\left[ 17 \right]$ yang jumlahnya adalah $1+3+5+\cdots +17=83$.
Dari hasil di atas, kita dapat bahwa pada kelompok kesepuluh adalah suku ke-$84$ sampai suku ke-$100$. Selisihnya adalah:
$\begin{align}
U_{100}-U_{84} & = 2(100)-1 - \left( 2(84)-1 \right)\\
& = 200 -1 -168+1 \\
&= 32
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 32$
20. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
$x,\ 27,\ 9,\ 45,\ 27,\ 63,\ y $
Nilai yang tepat menggantikan $x$ dan $y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $x+36=27$ atau $x=-9$ dan $y=63-18$ atau $y=45$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -9\ \text{dan}\ 45 $
21. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
$1,\ 4,\ 5,\ 15,\ 17,\ 34,\ 37,\ x $
Nilai yang tepat menggantikan $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $x=37 \times 1$ atau $x=37$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 37 $
22. Soal TKPA SBMPTN 2018 Kode 526/527 |*Soal Lengkap
$1,\ 3,\ 2,\ 6,\ 5,\ 15,\ 14,\ \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $14 \times 3 =42$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 42 $
23. Soal TKPA SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
$2,\ 4,\ 3,\ 6,\ \cdots,\ 10,\ 9,\ 18 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $6-1 =5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 5 $
24. Soal TKPA SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
$2,\ 12,\ 9,\ 3,\ 18,\ 15,\ 5,\ \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $5 \times 6 =30$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 30 $
25. Soal TKPA SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
$1,\ 2,\ -1,\ -1,\ -2,\ \cdots,\ -5,\ -10,\ -13 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $-2 -3 =-5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -5 $
26. Soal TKPA SBMPTN 2018 Kode 526/527 |*Soal Lengkap
$2,\ 4,\ 1,\ \cdots,\ 15,\ 11,\ 16,\ \cdots,\ 59,\ 65 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $1+4 =5$ dan $16 \times 4 =64$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5,\ 64$
27. Soal TPS - SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
$100,\ 95,\ \cdots,\ 91,\ 92,\ 87,\ 88,\ 83 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $95+1 =96$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 96$
28. Soal TPS - SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
$1,\ 3,\ 5,\ 4,\ 12,\ 14,\ 13,\ 39,\ 41,\ \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $41-1 =40$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 40$
29. Soal TPS - SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
$1,\ 1,\ 4,\ 3,\ 3,\ 6,\ \cdots,\ 5,\ 8,\ 7,\ 7 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $6-1 =5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 5$
30. Soal Numerik - UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap
$3,\ 9,\ 27,\ 81,\ \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $81 \times 3 =243$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 243$
31. Soal Numerik - UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap
$99,\ 96,\ 91,\ 84,\ 75,\ \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $75-11 =64$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 64$
32. Soal TKPA - SBMPTN 2017 Kode 241 |*Soal Lengkap
$2,\ 3,\ 6,\ 15,\ 42,\ \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $42+3^{4} =42+81=123$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 123$
33. Soal TKPA - SBMPTN 2017 Kode 241 |*Soal Lengkap
$4,\ 7,\ 14,\ 17,\ \cdots,\ 37,\ 74 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $17 \times 2 = 34$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 34$
34. Soal TKPA - SBMPTN 2017 Kode 241 |*Soal Lengkap
$9,\ 6,\ 24,\ 16,\ 13,\ 52,\ 44, \ \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $44-3 = 41$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 41$
35. Soal TKPA - SBMPTN 2017 Kode 241 |*Soal Lengkap
$4,\ 2,\ 8,\ 32,\ \cdots,\ 22,\ 88,\ 44 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $32 : 2 = 16$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 16$
36. Soal TKPA - SBMPTN 2017 Kode 241 |*Soal Lengkap
$2,\ 3,\ 6,\ 3,\ \cdots,\ 15,\ 11,\ 14,\ 56,\ 51$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menemukan pola operasi aritmetik pada barisan bilangan, kita harus gunakan metode coba-coba (try and eror).
Dari pola di atas kita peroleh bilangan yang dicari adalah $3+2 = 5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 5$
37. Soal Tes Skolastik Penalaran Umum |*Soal Lengkap
Jumlah penjualan penggaris di sebuah toko selama lima hari berturut-turut adalah $10$, $12$, $15$, $19$, dan $24$. Sementara itu, jumlah penjualan penghapus untuk lima hari yang sama adalah $10$, $8$, $11$, $9$, dan $12$. Jika tren penjualan tersebut bersifat konstan, berapa jumlah penjualan penggaris dan penghapus pada hari keenam?
Alternatif Pembahasan:
Dari kedua data penjualan toko selama lima hari berturut-turut yang diberikan, banyak penjualan penggaris dan penghapus pada kedua kebun binatang seperti membentuk sebuah pola bilangan.
- Pengaris: $10$, $12$, $15$, $19$, $24$ polanya adalah $+2$, $+3$, $+4$, dan $+5$ sehingga hari ke-6 adalah $24+6=30.$
- Penghapus: $10$, $8$, $11$, $9$, $12$ polanya adalah $-2$ dan $+3$ sehingga hari ke-6 adalah $12-2=10$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30\ \text{penggaris}\ 10\ \text{penghapus}.$
38. Soal Tes Skolastik Penalaran Umum |*Soal Lengkap
Jumlah pengunjung kebun binatang $A$ selama lima hari berturut-turut adalah $40$, $43$, $42$, $45$, dan $44$ orang. Sementara itu, jumlah pengunjung kebun binatang $B$ dalam lima hari yang sama adalah $13$, $14$, $17$, $22$, dan $29$ orang. Jika tren jumlah pengunjung tersebut bersifat konstan, berapa orang pengunjung kebun binatang $A$ dan $B$ pada hari keenam?
Alternatif Pembahasan:
Dari kedua data pengunjung kebun binatang selama lima hari berturut-turut yang diberikan, banyak pengunjung pada kedua kebun binatang seperti membentuk sebuah pola bilangan.
- Zoo $A$: $40$, $43$, $42$, $45$, $44$ polanya adalah $+3$ dan $-1$ sehingga hari ke-6 adalah $44+3=47$.
- Zoo $B$: $13$, $14$, $17$, $22$, $29$ polanya adalah $+1$, $+3$, $+5$, $+7$ sehingga hari ke-6 adalah $29+9=38$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 47\ \text{dan}\ 38\ \text{orang}.$
Catatan Soal Latihan dan Pembahasan Matematika Dasar Pola Bilangan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Matematika adalah kemampuan menangkap pola dari sesuatu yang semula tidak terpola. Itulah kemampuan matematika yang harus ditanamkan.
