com.png "defantri.com")
Catatan calon guru berikut, belajar matematika dasar SMA lewat cara membuktikan Rumus Trigonometri Hasil Jumlah, Hasil Selisih, dan Hasil Kali pada Sinus dan Cosinus yang dilengkapi dengan pembahasan soal latihan.
Pada catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri kita sudah dapat enam bentuk dasar rumus jumlah dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri. Rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri adalah:
- $ \sin \left ( A+B \right )=\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A $
- $ \sin \left ( A-B \right )=\sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A $
- $ \cos \left ( A+B \right )=\cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B $
- $ \cos\left ( A-B \right )=\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin A $
Untuk rumus trigonometri hasil jumlah, selisih dan hasil kali sinus dan cosinus juga pengembangan dari rumus di atas sama halnya dengan rumus trigonometri sudut ganda atau sudut pertengahan.
Hasil Perkalian $\sin A$ dan $\cos B$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan menjumlahkan rumus $\sin \left ( A+B \right )$ dan $\sin \left ( A-B \right ) $ sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A+B \right ) \\ \sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A-B \right )\ \ (+) \\ \hline 2 \sin A \cdot \cos B &= \sin \left ( A+B \right ) + \sin \left ( A-B \right ) \\ \sin A \cdot \cos B &= \frac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) + \frac{1}{2}\sin \left ( A-B \right ) \\ & \therefore\ \text{terbukti} \end{align}$
Hasil Perkalian $\cos A$ dan $\sin B$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan mengurangkan rumus $\sin \left ( A+B \right )$ dan $\sin \left ( A-B \right ) $ sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A+B \right ) \\ \sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A-B \right )\ \ (-) \\ \hline 2 \sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A+B \right ) - \sin \left ( A-B \right ) \\ \sin B \cdot \cos A &= \frac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) - \frac{1}{2}\sin \left ( A-B \right )\\ \cos A \cdot \sin B &= \frac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) - \frac{1}{2}\sin \left ( A-B \right )\\ & \therefore\ \text{terbukti} \end{align}$
Hasil Perkalian $\cos A$ dan $\cos B$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan menjumlahkan rumus $\cos \left ( A+B \right )$ dan $\cos \left ( A-B \right ) $ sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A+B \right ) \\ \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A-B \right )\ \ (+) \\ \hline 2 \cos A \cdot \cos B &= \cos \left ( A+B \right ) + \cos \left ( A-B \right ) \\ \cos A \cdot \cos B &= \frac{1}{2}\cos \left ( A+B \right ) + \frac{1}{2}\cos \left ( A-B \right ) \\ & \therefore\ \text{terbukti} \end{align}$
Hasil Perkalian $\sin A$ dan $\sin B$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan mengurangkan rumus $\cos \left ( A+B \right )$ dan $\cos \left ( A-B \right ) $ sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A+B \right ) \\ \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A-B \right )\ \ (-) \\ \hline -2 \sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A+B \right ) - \cos \left ( A-B \right ) \\ \sin A \cdot \sin B &= -\frac{1}{2}\cos \left ( A+B \right ) + \frac{1}{2}\cos \left ( A-B \right ) \\ & \therefore\ \text{terbukti} \end{align}$
Hasil Penjumalahan $\sin A$ dan $\sin B$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan menjumlahkan rumus $\sin \left ( A+B \right )$ dan $\sin \left ( A-B \right ) $ dan manipulasi aljabar sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \sin \left ( A+B \right ) &= \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A \\ \sin \left ( A-B \right ) &= \sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A\ \ (+) \\ \hline \sin \left ( A+B \right ) + \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \sin A \cdot \cos B \end{align}$
Dari bentuk di atas, jika kita misalkan $A+B=x$ dan $A-B=y$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
x &= A+B \\
y &= A-B\ \ (+)/(-) \\
\hline
x+y &= 2 A \longrightarrow A=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \\
x-y &= 2 B \longrightarrow B=\dfrac{1}{2}\left( x-y \right)
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left ( A+B \right ) + \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \sin A \cdot \cos B \\
\sin x + \sin y &= 2 \sin \frac{1}{2}\left( x+y \right) \cdot \cos \frac{1}{2}\left( x-y \right) \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
$x$ dan $y$ adalah variabel yang dapat diubah sesuai kebutuhan, misalnya menjadi $\alpha$ dan $\beta$ sehingga rumusnya menjadi $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$.
Hasil Pengurangan $\sin A$ dan $\sin B$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan mengurangakan rumus $\sin \left ( A+B \right )$ dan $\sin \left ( A-B \right ) $ dan manipulasi aljabar sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \sin \left ( A+B \right ) &= \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A \\ \sin \left ( A-B \right ) &= \sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A\ \ (-) \\ \hline \sin \left ( A+B \right ) - \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \sin B \cdot \cos A \\ \sin \left ( A+B \right ) - \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \cos A \cdot \sin B \end{align}$
Dari bentuk di atas, jika kita misalkan $A+B=x$ dan $A-B=y$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
x &= A+B \\
y &= A-B\ \ (+)/(-) \\
\hline
x+y &= 2 A \longrightarrow A=\frac{1}{2}\left( x+y \right) \\
x-y &= 2 B \longrightarrow B=\frac{1}{2}\left( x-y \right)
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left ( A+B \right ) - \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \cos A \cdot \sin A \\
\sin x + \sin y &= 2 \cos \frac{1}{2}\left( x+y \right) \cdot \sin \frac{1}{2}\left( x-y \right) \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
$x$ dan $y$ adalah variabel yang dapat diubah sesuai kebutuhan, misalnya menjadi $\alpha$ dan $\beta$ sehingga rumusnya menjadi $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$.
Hasil Penjumalahan $\cos A$ dan $\cos B$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan menjumlahkan rumus $\cos \left ( A+B \right )$ dan $\cos \left ( A-B \right ) $ dan manipulasi aljabar sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \cos \left ( A+B \right ) &= \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B \\ \cos \left ( A-B \right ) &= \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B \ \ (+) \\ \hline \cos \left ( A+B \right ) + \cos \left ( A-B \right ) &= 2 \cos A \cdot \cos B \end{align}$
Dari bentuk di atas, jika kita misalkan $A+B=x$ dan $A-B=y$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
x &= A+B \\
y &= A-B\ \ (+)/(-) \\
\hline
x+y &= 2 A \longrightarrow A=\frac{1}{2}\left( x+y \right) \\
x-y &= 2 B \longrightarrow B=\frac{1}{2}\left( x-y \right)
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\cos \left ( A+B \right ) + \cos \left ( A-B \right ) &= 2 \cos A \cdot \cos B \\
\cos x + \cos y &= 2 \cos \frac{1}{2}\left( x+y \right) \cdot \cos \frac{1}{2}\left( x-y \right) \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
$x$ dan $y$ adalah variabel yang dapat diubah sesuai kebutuhan, misalnya menjadi $\alpha$ dan $\beta$ sehingga rumusnya menjadi $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$.
Hasil Pengurangan $\cos A$ dan $\cos B$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan mengurangkan rumus $\cos \left ( A+B \right )$ dan $\cos \left ( A-B \right ) $ dan manipulasi aljabar sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \cos \left ( A+B \right ) &= \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B \\ \cos \left ( A-B \right ) &= \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B \ \ (-) \\ \hline \cos \left ( A+B \right ) - \cos \left ( A-B \right ) &= -2 \sin A \cdot \sin B \end{align}$
Dari bentuk di atas, jika kita misalkan $A+B=x$ dan $A-B=y$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
x &= A+B \\
y &= A-B\ \ (+)/(-) \\
\hline
x+y &= 2 A \longrightarrow A=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \\
x-y &= 2 B \longrightarrow B=\dfrac{1}{2}\left( x-y \right)
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\cos \left ( A+B \right ) - \cos \left ( A-B \right ) &= -2 \sin A \cdot \sin B \\
\cos x - \cos y &= -2 \sin \dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( x-y \right) \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
$x$ dan $y$ adalah variabel yang dapat diubah sesuai kebutuhan, misalnya menjadi $\alpha$ dan $\beta$ sehingga rumusnya menjadi $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN HASIL JUMLAH, SELISIH dan KALI PADA SINUS-COSINUS
Soal trigonometri pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri sangat sering diujikan. Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Rumus Trigonometri Hasil Jumlah, Selisih dan Kali pada Sinus-Cosinus atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 19 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Trigonometri
Nilai dari $\sin 105^{\circ} - \sin 15^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \sin \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \sin 105^{\circ} - \sin 15^{\circ} \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 105^{\circ}+ 15^{\circ} \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( 105^{\circ} - 15^{\circ} \right) \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 120^{\circ} \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( 90^{\circ} \right) \\
&= 2 \cos 60^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ} \\
&= 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$
2. Soal Latihan Trigonometri
Nilai dari $\sin 195^{\circ} + \sin 75^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \sin 195^{\circ} + \sin 75^{\circ} \\
&= 2 \sin \dfrac{1}{2}\left( 195^{\circ}+ 75^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 195^{\circ} - 75^{\circ} \right) \\
&= 2 \sin \dfrac{1}{2}\left( 270^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 120^{\circ} \right) \\
&= 2 \sin 135^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} \\
&= 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{6}$
3. Soal Latihan Trigonometri
Nilai dari $\cos 75^{\circ} + \cos 15^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \cos 75^{\circ} + \cos 15^{\circ} \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 75^{\circ}+15^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 75^{\circ}-15^{\circ} \right) \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 90^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 60^{\circ} \right) \\
&= 2 \cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \\
&= 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{6}$
4. Soal Latihan Trigonometri
Nilai dari $\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 80^{\circ}+40^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 80^{\circ}-40^{\circ} \right) - \cos 20^{\circ} \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 120^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 40^{\circ} \right) - \cos 20^{\circ} \\
&= 2 \cos 60^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= \cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
5. Soal Latihan Trigonometri
Nilai dari $\cos 10^{\circ} + \cos 110^{\circ} + \cos 130^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \cos 10^{\circ} + \cos 110^{\circ} + \cos 130^{\circ} \\
&= \cos 10^{\circ} + 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 110^{\circ}+130^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 110^{\circ}-130^{\circ} \right) \\
&= \cos 10^{\circ} + 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 240^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( -20^{\circ} \right) \\
&= \cos 10^{\circ} + 2 \cos 120^{\circ} \cdot \cos -10^{\circ} \\
&= \cos 10^{\circ} + 2 \cdot -\dfrac{1}{2} \cdot \cos -10^{\circ} \\
&= \cos 10^{\circ} -1 \cdot \cos -10^{\circ} \\
&= \cos 10^{\circ} - \cos 10^{\circ} \\
&= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
6. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $\sin x - \sin 3x - \sin 5x + \sin 7x$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \sin x - \sin 3x - \sin 5x + \sin 7x \\
&= \sin x + \sin 7x - \sin 3x - \sin 5x \\
&= \sin x + \sin 7x - \left( \sin 3x + \sin 5x \right) \\
&= 2 \sin \left ( \frac{x+7x}{2} \right ) \cdot \cos \left ( \frac{x-7x}{2} \right ) - 2 \sin \left ( \frac{3x+5x}{2} \right ) \cdot \cos \left ( \frac{3x-5x}{2} \right ) \\
&= 2 \sin (4x) \cdot \cos (-3x) - 2 \sin ( 4x ) \cdot \cos ( -x ) \\
&= 2 \sin ( 4x ) \cdot \left( \cos ( -3x ) - \cos ( -x ) \right) \\
&= 2 \sin ( 4x ) \cdot \left( \cos ( 3x ) - \cos ( x ) \right) \\
&= 2 \sin ( 4x ) \cdot \left( -2 \sin \left ( \frac{3x+x}{2} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{3x-x}{2} \right ) \right ) \\
&= 2 \sin ( 4x ) \cdot \left( -2 \sin ( 2x ) \cdot \sin ( x ) \right ) \\
&= -4 \sin ( 4x ) \cdot \sin ( 2x ) \cdot \sin ( x )
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ –4 \sin x \sin 2x \sin 4x $
7. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $\dfrac{\sin A+\sin B}{\cos A + \cos B}$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan $ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \dfrac{\sin A+\sin B}{\cos A + \cos B} \\
&= \dfrac{2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )}{2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )} \\
&= \dfrac{\sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) }{\cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) } \\
&= \tan \frac{1}{2}\left ( A+B \right )
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \tan \frac{1}{2} \left( A+B\right) $
8. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $\dfrac{\sin 2x - \sin 4x + \sin 6x}{\cos2x - \cos4x + \cos6x}$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat
$ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan
$ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \dfrac{\sin 2x - \sin 4x + \sin 6x}{\cos 2x - \cos 4x + \cos 6x} \\
&= \dfrac{\sin 6x + \sin 2x - \sin 4x}{\cos 6x + \cos 2x - \cos 4x} \\
&= \dfrac{2 \sin \frac{1}{2}\left ( 6x+2x \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( 6x-2x \right ) - \sin 4x}{2 \cos \frac{1}{2}\left ( 6x+2x \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( 6x-2x \right ) - \cos 4x} \\
&= \dfrac{2 \sin 4x \cdot \cos 2x - \sin 4x}{2 \cos 4x \cdot \cos 2x - \cos 4x} \\
&= \dfrac{ \sin 4x \cdot \left(2\ \cos 2x - 1 \right)}{\cos 4x \cdot \left(2\ \cos 2x - 1 \right)} \\
&= \dfrac{ \sin 4x }{ \cos 4x } \\
&= \tan 4x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \tan 4x $
9. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x $ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan $ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x \\
&= \sin 7x + \sin x + \sin 5x + \sin 3x \\
&= 2 \sin \frac{1}{2} \left ( 7x+x \right ) \cdot \cos \frac{1}{2} \left ( 7x-x \right ) + 2 \sin \frac{1}{2} \left ( 5x+3x \right ) \cdot \cos \frac{1}{2} \left ( 5x-3x \right ) \\
&= 2 \sin 4x \cdot \cos 3x + 2 \sin 4x \cdot \cos x \\
&= 2 \sin 4x \cdot \left( \cos 3x + \cos x \right) \\
&= 2 \sin 4x \cdot \left( 2 \cos \frac{1}{2} \left ( 3x+x \right ) \cdot \cos \frac{1}{2} \left ( 3x-x \right ) \right ) \\
&= 2 \sin 4x \cdot \left( 2 \cos 2x \cdot \cos x \right ) \\
&= 4 \sin 4x \cdot \cos 2x \cdot \cos x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4 \cos x \cos 2x \sin 4x $
10. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $\dfrac{\cos 3x - \sin 6x - \cos 9x}{\sin 9x - \cos 6x - \sin 3x}$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat
$ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan
$ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \dfrac{\cos 3x - \sin 6x - \cos 9x}{\sin 9x - \cos 6x - \sin 3x} \\
&= \dfrac{\cos 3x - \cos 9x - \sin 6x}{\sin 9x - \sin 3x - \cos 6x} \\
&= \dfrac{-2 \sin \frac{1}{2}\left ( 3x+9x \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( 3x-9x \right ) - \sin 6x}{2 \cos \frac{1}{2}\left ( 9x+3x \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( 9x-3x \right ) - \cos 6x} \\
&= \dfrac{-2 \sin 6x \cdot \sin \left ( -3x \right ) - \sin 6x}{2 \cos 6x \cdot \sin 3x - \cos 6x} \\
&= \dfrac{ 2 \sin 6x \cdot \sin 3x - \sin 6x}{2 \cos 6x \cdot \sin 3x - \cos 6x} \\
&= \dfrac{ \sin 6x \cdot \left( 2 \sin 3x - 1 \right)}{ \cos 6x \cdot \left( 2 \sin 3x - 1 \right)} \\
&= \tan 6x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \tan 6x $
11. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $\dfrac{\sin 3x + \sin 5x + \sin 7x + \sin 9x}{\cos 3x + \cos 5x + \cos 7x + \cos 9x}$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat
$ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan
$ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \dfrac{\sin 3x + \sin 5x + \sin 7x + \sin 9x}{\cos 3x + \cos 5x + \cos 7x + \cos 9x} \\
&= \dfrac{\sin 9x + \sin 3x + \sin 7x + \sin 5x }{\cos 9x + \cos 3x + \cos 7x + \cos 5x } \\
&= \dfrac{2 \sin 6x \cdot \cos 3x + 2 \sin 6x \cdot \cos x }{2 \cos 6x \cdot \cos 3x + 2 \cos 6x \cdot \cos x } \\
&= \dfrac{\sin 6x \left( 2 \cos 3x + 2 \cos x \right) }{\cos 6x \left( 2 \cos 3x + 2 \cos x \right) } \\
&= \dfrac{\sin 6x }{\cos 6x }
&= \tan 6x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \tan 6x $
12. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $\sin 4x + \sin 2x – 2 \cos x \sin 5x$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat
$ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan
$ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \sin 4x + \sin 2x – 2 \cos x \sin 5x \\
&= \sin 4x + \sin 2x – 2 \cos x \sin 5x \\
&= 2 \sin \frac{1}{2}\left ( 4x+2x \right ) \cdot \cos \frac{1}{2} \left ( 4x-2x \right ) – 2 \cos x \sin 5x \\
&= 2 \sin 3x \cdot \cos x – 2 \cos x \sin 5x \\
&= 2 \cos x \left( \sin 3x – \sin 5x \right) \\
&= 2 \cos x \left( 2 \cos \frac{1}{2}\left ( 3x+5x \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( 3x-5x \right ) \right) \\
&= 2 \cos x \left( 2 \cos 4x \cdot \sin \left ( -x \right ) \right) \\
&= -2 \cos x \left( 2 \cos 4x \cdot \sin x \right) \\
&= -4 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 4x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ –4 \cos x \cos 4x \sin x $
13. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $\cos 6x – 4 \sin^{2}x \cdot \cos x – \cos 2x$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat
$ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan
$ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \cos 6x – 4 \sin^{2}x \cdot \cos x – \cos 2x \\
&= \cos 6x - \cos 2x – 4 \sin^{2}x \cdot \cos x \\
&= -2 \sin 4x \cdot \sin 2x – 4 \sin^{2}x \cdot \cos x \\
&= -2 \sin 4x \cdot \sin 2x – 2 \cdot 2 \sin x \cdot \sin x \cdot \cos x \\
&= -2 \sin 4x \cdot \sin 2x – 2 \cdot \sin 2x \cdot \sin x \\
&= -2 \sin 2x \left( \sin 4x + \sin x \right) \\
&= -2 \sin 2x \left( 2 \sin \frac{5}{2}x \cdot \cos \frac{3}{2}x \right) \\
&= -4 \sin 2x \cdot \sin \frac{5}{2}x \cdot \cos \frac{3}{2}x \\
&= -4 \cdot 2 \sin x \cos x \cdot \sin \frac{5}{2}x \cdot \cos \frac{3}{2}x \\
&= -8 \sin x \cos x \cdot \sin \frac{5}{2}x \cdot \cos \frac{3}{2}x \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ –8 \sin x \sin \frac{5}{2}x \cos x \cos \frac{3}{2}x $
14. Soal Latihan Trigonometri
Nilai dari $\cos 20^{\circ} + \cos 100^{\circ} + \cos 220^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \cos 20^{\circ} + \cos 100^{\circ} + \cos 220^{\circ} \\
&= \cos 20^{\circ} + 2 \cos \frac{1}{2}\left( 100^{\circ}+ 220^{\circ} \right) \cdot \cos \frac{1}{2}\left( 100^{\circ} - 220^{\circ} \right) \\
&= \cos 20^{\circ} + 2 \cos 160^{\circ} \cdot \cos \left( -60^{\circ} \right) \\
&= \cos 20^{\circ} + 2 \cos 160^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} \\
&= \cos 20^{\circ} + 2 \cos 160^{\circ} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \cos 20^{\circ} + 2 \cos 160^{\circ} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \cos 20^{\circ} + \cos 160^{\circ} \\
&= \cos 20^{\circ} + \cos \left(180^{\circ}-20^{\circ} \right) \\
&= \cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0 $
15. Soal Latihan Trigonometri
$2 \sin 37\frac{1}{2}^{\circ} \cdot \cos 7\frac{1}{2}^{\circ} + 2 \cos 262\frac{1}{2}^{\circ} \cdot \cos 37\frac{1}{2}^{\circ}$ nilainya sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) + \frac{1}{2}\sin \left ( A-B \right )$ dan $\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}\cos \left ( A+B \right ) + \frac{1}{2}\cos \left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ 2 \sin 37\frac{1}{2}^{\circ} \cdot \cos 7\frac{1}{2}^{\circ} + 2 \cos 262\frac{1}{2}^{\circ} \cdot \cos 37\frac{1}{2}^{\circ} \\
&= \sin \left (37\frac{1}{2}^{\circ}+7\frac{1}{2}^{\circ} \right ) + \sin \left (37\frac{1}{2}^{\circ}-7\frac{1}{2}^{\circ} \right ) + \\
& \ \ \ \ \ \cos \left ( 262\frac{1}{2}^{\circ} + 37\frac{1}{2}^{\circ} \right ) + \cos \left ( 262\frac{1}{2}^{\circ} - 37\frac{1}{2}^{\circ} \right ) \\
&= \sin \left (45^{\circ} \right ) + \sin \left (30^{\circ} \right ) + \cos \left ( 300^{\circ} \right ) + \cos \left ( 225^{\circ} \right ) \\
&= \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} \\
&= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1 $
16. Soal Latihan Trigonometri
Nilai dari $\dfrac{\cos 75^{\circ}+\cos 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \dfrac{\cos 75^{\circ}+\cos 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}} \\
& = \dfrac{2 \cos \frac{1}{2}\left ( 75^{\circ}+ 15^{\circ} \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( 75^{\circ} - 15^{\circ} \right )}{ 2 \cos \frac{1}{2} \left ( 75^{\circ}+ 15^{\circ} \right ) \cdot \sin \frac{1}{2}\left ( 75^{\circ}- 15^{\circ} \right ) } \\
&= \dfrac{2 \cos \left ( 45^{\circ} \right ) \cdot \cos \left ( 30^{\circ} \right )}{ 2 \cos \left ( 45^{\circ} \right ) \cdot \sin \left ( 30^{\circ} \right ) } \\
&= \dfrac{2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}} \\
&= \dfrac{\frac{1}{2}\sqrt{6}}{ \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\
&= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} }=\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{3} $
17. Soal Latihan Trigonometri
Jika $A=\sin 3x + \sin x$ dan $B=\cos 3x + \cos x$ maka $\dfrac{A}{B}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{A}{B} & = \dfrac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} \\
\dfrac{A}{B} & = \dfrac{2 \sin \frac{1}{2}\left ( 3x+x \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( 3x-x \right )}{2 \cos \frac{1}{2}\left ( 3x+x \right ) \cdot \cos \frac{1}{2}\left ( 3x-x \right )} \\
\dfrac{A}{B} & = \dfrac{2 \sin 2x \cdot \cos x}{2 \cos 2x \cdot \cos x} \\
\dfrac{A}{B} & = \dfrac{ \sin 2x }{ \cos 2x } \\
\dfrac{A}{B} & = \tan 2x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \tan 2x $
18. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $4 \cdot \sin 18^{\circ} \cdot \cos 36^{\circ} \cdot \sin 54^{\circ}$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat
$ \cos A \cdot \sin B = \frac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) - \frac{1}{2}\sin \left ( A-B \right )$
dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 4 \cdot \sin 18^{\circ} \cdot \cos 36^{\circ} \cdot \sin 54^{\circ} \\
& = 4 \cdot \sin 18^{\circ} \cdot \left( \frac{1}{2}\sin \left ( 36^{\circ}+54^{\circ} \right ) - \frac{1}{2}\sin \left ( 36^{\circ}-54^{\circ} \right ) \right) \\
& = 4 \cdot \sin 18^{\circ} \cdot \left( \frac{1}{2}\sin \left ( 90^{\circ} \right ) - \frac{1}{2}\sin \left ( -18^{\circ} \right ) \right) \\
& = 4 \cdot \sin 18^{\circ} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2}\sin 18^{\circ} \right) \\
& = 2 \cdot \sin 18^{\circ} + 2 \sin^{2} 18^{\circ} \\
& = 2 \cdot \sin 18^{\circ} + 1 - \cos 36^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1 + 2 \cdot \sin 18^{\circ} - \cos 36^{\circ} $
19. Soal Latihan Trigonometri
Bentuk $4 \cdot \sin 36^{\circ} \cdot \cos 72^{\circ} \cdot \sin 108^{\circ}$ sama nilainya dengan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat
$ \cos A \cdot \sin B = \frac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) - \frac{1}{2}\sin \left ( A-B \right )$
dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 4 \cdot \sin 36^{\circ} \cdot \cos 72^{\circ} \cdot \sin 108^{\circ} \\
& = 4 \cdot \sin 36^{\circ} \cdot \left( \frac{1}{2}\sin \left ( 72^{\circ}+108^{\circ} \right ) - \frac{1}{2}\sin \left ( 72^{\circ}-108^{\circ} \right ) \right) \\
& = 4 \cdot \sin 36^{\circ} \cdot \left( \frac{1}{2}\sin \left ( 180^{\circ} \right ) - \frac{1}{2}\sin \left ( -36^{\circ} \right ) \right) \\
& = 4 \cdot \sin 36^{\circ} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}\sin 36^{\circ} \right) \\
& = 2 \sin^{2} 36^{\circ} \\
& = 1- \cos^{2} 72^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1 - \cos 72^{\circ} $
Catatan Rumus Trigonometri Hasil Jumlah, Selisih dan Kali Pada Sinus-Cosinus Dilengkapi Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
