The good student, calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Rumus Trigonometri Hasil Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Sinus dan Cosinus.
Pada catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perbandingan Trigonometri kita sudah dapat enam bentuk dasar rumus jumlah dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri. Rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri adalah:
- $ \sin \left ( A+B \right )=\sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A $
- $ \sin \left ( A-B \right )=\sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A $
- $ \cos \left ( A+B \right )=\cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B $
- $ \cos\left ( A-B \right )=\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin A $
Untuk rumus trigonometri hasil jumlah, selisih dan hasil kali sinus dan cosinus juga pengembangan dari rumus di atas sama halnya dengan rumus trigonometri sudut ganda atau sudut pertengahan.
Hasil Perkalian Sin A dan Cos B
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan menjumlahkan rumus $\sin \left ( A+B \right )$ dan $\sin \left ( A-B \right ) $ sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A+B \right ) \\ \sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A-B \right )\ \ (+) \\ \hline 2 \sin A \cdot \cos B &= \sin \left ( A+B \right ) + \sin \left ( A-B \right ) \\ \sin A \cdot \cos B &= \dfrac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) + \dfrac{1}{2}\sin \left ( A-B \right ) \\ & \therefore\ \text{terbukti} \end{align}$
Hasil Perkalian Cos A dan Sin B
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan mengurangkan rumus $\sin \left ( A+B \right )$ dan $\sin \left ( A-B \right ) $ sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A+B \right ) \\ \sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A-B \right )\ \ (-) \\ \hline 2 \sin B \cdot \cos A &= \sin \left ( A+B \right ) - \sin \left ( A-B \right ) \\ \sin B \cdot \cos A &= \dfrac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) - \dfrac{1}{2}\sin \left ( A-B \right )\\ \cos A \cdot \sin B &= \dfrac{1}{2}\sin \left ( A+B \right ) - \dfrac{1}{2}\sin \left ( A-B \right )\\ & \therefore\ \text{terbukti} \end{align}$
Hasil Perkalian Cos A dan Cos B
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan menjumlahkan rumus $\cos \left ( A+B \right )$ dan $\cos \left ( A-B \right ) $ sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A+B \right ) \\ \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A-B \right )\ \ (+) \\ \hline 2 \cos A \cdot \cos B &= \cos \left ( A+B \right ) + \cos \left ( A-B \right ) \\ \cos A \cdot \cos B &= \dfrac{1}{2}\cos \left ( A+B \right ) - \dfrac{1}{2}\cos \left ( A-B \right ) \\ & \therefore\ \text{terbukti} \end{align}$
Hasil Perkalian Sin A dan Sin B
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan mengurangkan rumus $\cos \left ( A+B \right )$ dan $\cos \left ( A-B \right ) $ sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A+B \right ) \\ \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A-B \right )\ \ (-) \\ \hline -2 \sin A \cdot \sin B &= \cos \left ( A+B \right ) - \cos \left ( A-B \right ) \\ \sin A \cdot \sin B &= -\dfrac{1}{2}\cos \left ( A+B \right ) + \dfrac{1}{2}\cos \left ( A-B \right ) \\ & \therefore\ \text{terbukti} \end{align}$
Hasil Penjumalahan Sin A dan Sin B
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan menjumlahkan rumus $\sin \left ( A+B \right )$ dan $\sin \left ( A-B \right ) $ dan manipulasi aljabar sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \sin \left ( A+B \right ) &= \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A \\ \sin \left ( A-B \right ) &= \sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A\ \ (+) \\ \hline \sin \left ( A+B \right ) + \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \sin A \cdot \cos B \end{align}$
Dari bentuk di atas, jika kita misalkan $A+B=x$ dan $A-B=y$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
x &= A+B \\
y &= A-B\ \ (+)/(-) \\
\hline
x+y &= 2 A \longrightarrow A=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \\
x-y &= 2 B \longrightarrow B=\dfrac{1}{2}\left( x-y \right)
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left ( A+B \right ) + \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \sin A \cdot \cos B \\
\sin x + \sin y &= 2 \sin \dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( x-y \right) \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
$x$ dan $y$ adalah variabel yang dapat diubah sesuai kebutuhan, misalnya menjadi $\alpha$ dan $\beta$ sehingga rumusnya menjadi $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$.
Hasil Pengurangan Sin A dan Sin B
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan mengurangakan rumus $\sin \left ( A+B \right )$ dan $\sin \left ( A-B \right ) $ dan manipulasi aljabar sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \sin \left ( A+B \right ) &= \sin A \cdot \cos B+\sin B \cdot \cos A \\ \sin \left ( A-B \right ) &= \sin A \cdot \cos B-\sin B \cdot \cos A\ \ (-) \\ \hline \sin \left ( A+B \right ) - \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \sin B \cdot \cos A \\ \sin \left ( A+B \right ) - \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \cos A \cdot \sin B \end{align}$
Dari bentuk di atas, jika kita misalkan $A+B=x$ dan $A-B=y$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
x &= A+B \\
y &= A-B\ \ (+)/(-) \\
\hline
x+y &= 2 A \longrightarrow A=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \\
x-y &= 2 B \longrightarrow B=\dfrac{1}{2}\left( x-y \right)
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left ( A+B \right ) - \sin \left ( A-B \right ) &= 2 \cos A \cdot \sin A \\
\sin x + \sin y &= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( x-y \right) \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
$x$ dan $y$ adalah variabel yang dapat diubah sesuai kebutuhan, misalnya menjadi $\alpha$ dan $\beta$ sehingga rumusnya menjadi $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$.
Hasil Penjumalahan Cos A dan Cos B
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan menjumlahkan rumus $\cos \left ( A+B \right )$ dan $\cos \left ( A-B \right ) $ dan manipulasi aljabar sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \cos \left ( A+B \right ) &= \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B \\ \cos \left ( A-B \right ) &= \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B \ \ (+) \\ \hline \cos \left ( A+B \right ) + \cos \left ( A-B \right ) &= 2 \cos A \cdot \cos B \end{align}$
Dari bentuk di atas, jika kita misalkan $A+B=x$ dan $A-B=y$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
x &= A+B \\
y &= A-B\ \ (+)/(-) \\
\hline
x+y &= 2 A \longrightarrow A=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \\
x-y &= 2 B \longrightarrow B=\dfrac{1}{2}\left( x-y \right)
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\cos \left ( A+B \right ) + \cos \left ( A-B \right ) &= 2 \cos A \cdot \cos B \\
\cos x + \cos y &= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( x-y \right) \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
$x$ dan $y$ adalah variabel yang dapat diubah sesuai kebutuhan, misalnya menjadi $\alpha$ dan $\beta$ sehingga rumusnya menjadi $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$.
Hasil Pengurangan Cos A dan Cos B
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus di atas dapat kita temukan dengan mengurangkan rumus $\cos \left ( A+B \right )$ dan $\cos \left ( A-B \right ) $ dan manipulasi aljabar sehingga kita peroleh bentuk seperti berikut ini:
$\begin{align} \cos \left ( A+B \right ) &= \cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B \\ \cos \left ( A-B \right ) &= \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B \ \ (-) \\ \hline \cos \left ( A+B \right ) - \cos \left ( A-B \right ) &= -2 \sin A \cdot \sin B \end{align}$
Dari bentuk di atas, jika kita misalkan $A+B=x$ dan $A-B=y$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
x &= A+B \\
y &= A-B\ \ (+)/(-) \\
\hline
x+y &= 2 A \longrightarrow A=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \\
x-y &= 2 B \longrightarrow B=\dfrac{1}{2}\left( x-y \right)
\end{align}$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\cos \left ( A+B \right ) - \cos \left ( A-B \right ) &= -2 \sin A \cdot \sin B \\
\cos x - \cos y &= -2 \sin \dfrac{1}{2}\left( x+y \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( x-y \right) \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
$x$ dan $y$ adalah variabel yang dapat diubah sesuai kebutuhan, misalnya menjadi $\alpha$ dan $\beta$ sehingga rumusnya menjadi $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN HASIL JUMLAH, SELISIH dan KALI PADA SINUS-COSINUS
Soal trigonometri pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri sangat sering diujikan. Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Rumus Trigonometri Hasil Jumlah, Selisih dan Kali Pada Sinus-Cosinus atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Sola Latihan Hasil Jumlah, Selisih dan Kali Trigonometri
Nilai dari $\sin 105^{\circ} - \sin 15^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \sin 105^{\circ} - \sin 15^{\circ} \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 105^{\circ}+ 15^{\circ} \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( 105^{\circ} - 15^{\circ} \right) \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 120^{\circ} \right) \cdot \sin \dfrac{1}{2}\left( 90^{\circ} \right) \\
&= 2 \cos 60^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ} \\
&= 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
2. Sola Latihan Hasil Jumlah, Selisih dan Kali Trigonometri
Nilai dari $\sin 195^{\circ} + \sin 75^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \sin 195^{\circ} + \sin 75^{\circ} \\
&= 2 \sin \dfrac{1}{2}\left( 195^{\circ}+ 75^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 195^{\circ} - 75^{\circ} \right) \\
&= 2 \sin \dfrac{1}{2}\left( 270^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 120^{\circ} \right) \\
&= 2 \sin 135^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} \\
&= 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{6}$
3. Sola Latihan Hasil Jumlah, Selisih dan Kali Trigonometri
Nilai dari $\cos 75^{\circ} + \cos 15^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \cos 75^{\circ} + \cos 15^{\circ} \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 75^{\circ}+15^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 75^{\circ}-15^{\circ} \right) \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 90^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 60^{\circ} \right) \\
&= 2 \cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \\
&= 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{6}$
4. Sola Latihan Hasil Jumlah, Selisih dan Kali Trigonometri
Nilai dari $\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 80^{\circ}+40^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 80^{\circ}-40^{\circ} \right) - \cos 20^{\circ} \\
&= 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 120^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 40^{\circ} \right) - \cos 20^{\circ} \\
&= 2 \cos 60^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= \cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ} \\
&= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
5. Sola Latihan Hasil Jumlah, Selisih dan Kali Trigonometri
Nilai dari $\cos 10^{\circ} + \cos 110^{\circ} + \cos 130^{\circ} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha+ \beta \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&\ \cos 10^{\circ} + \cos 110^{\circ} + \cos 130^{\circ} \\
&= \cos 10^{\circ} + 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 110^{\circ}+130^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( 110^{\circ}-130^{\circ} \right) \\
&= \cos 10^{\circ} + 2 \cos \dfrac{1}{2}\left( 240^{\circ} \right) \cdot \cos \dfrac{1}{2}\left( -20^{\circ} \right) \\
&= \cos 10^{\circ} + 2 \cos 120^{\circ} \cdot \cos -10^{\circ} \\
&= \cos 10^{\circ} + 2 \cdot -\dfrac{1}{2} \cdot \cos -10^{\circ} \\
&= \cos 10^{\circ} -1 \cdot \cos -10^{\circ} \\
&= \cos 10^{\circ} - \cos 10^{\circ} \\
&= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
Catatan Rumus Trigonometri Hasil Jumlah, Selisih dan Kali Pada Sinus-Cosinus Dilengkapi Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
