Calon guru belajar matematika SMA dari Penerapan Integral Tentu Fungsi Aljabar Dalam Menghitung Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa fungsi. Agar lebih mudah belajar penerapan integral tentu ini, ada baiknya kita sudah belajar tentang integral tentu fungsi aljabar.
Teorema dasar kalkulus yang sudah kita ketahui sebelumnya pada catatan belajar integral tentu fungsi aljabar dan sifat-sifat integral tentu akan banyak kita gunakan pada penerapan integral tentu ini.
MERUMUSKAN dan MENGHITUNG LUAS SUATU DAERAH
Untuk luas suatu daerah berbentuk segitiga, segiempat, lingkaran atau perpaduannya sudah dapat kita hitung sewaktu kita duduk di Sekolah Dasar (SD) atau Sekolah Menengah Pertama (SMP). Misalnya, luas daerah pada grafik cartesius yang dibatasi oleh garis $y = 2x – 1$, garis $x = 2$ dan $x = 4$ serta sumbu-$x$ adalah...(satuan luas)
Daerah yang diinginkan jika kita gambarkan maka luas daerah adalah yang diarsir seperti pada gambar berikut ini:
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan menggunakan rumus segiempat dan segitiga dapat kita hitung, yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}}& = 3 \times 2 + \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \\
L_{\text{[A]}}& = 6 + 4 = 10\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Jika luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas kita gunakan integral untuk menghitung luasnya, maka perhitungan memperhatikan $y_{atas} =2x-1$, $y_{bawah} =0$, batas atas yaitu $x=4$, dan batas bawah yaitu $x=2$. Dalam perhitungan integral menjadi seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}}& = \int \limits_{x=2}^{x=4} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{2}^{4} \left[ \left(2x-1 \right)-\left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{2}^{4} \left[ 2x-1 \right] dx \\
& = \left [ x^{2}-x \right ]_{2}^{4} \\
& = \left [ (4)^{2}-(4) \right ] - \left [ (2)^{2}-(2) \right ] \\
& = 12 - 2 = 10\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Contoh soal lain coba kita hitung luas daerah pada grafik cartesius yang dibatasi oleh garis $y = 3x+6$, garis $x = 1$ dan $x = 3$ serta sumbu-$x$ adalah...(satuan luas)
Daerah yang diinginkan jika kita gambarkan maka luas daerah adalah yang diarsir seperti pada gambar berikut ini:
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan menggunakan rumus segiempat dan segitiga dapat kita hitung, yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}}& = 9 \times 2 + \frac{1}{2} \times 6 \times 2 \\
L_{\text{[A]}}& = 18 + 6 = 24\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Jika luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas kita gunakan integral untuk menghitung luasnya, maka perhitungan memperhatikan $y_{atas}$ yaitu $y=3x+6$, $y_{bawah}$ yaitu $y=0$, batas atas yaitu $x=3$, dan batas bawah yaitu $x=1$. Dalam perhitungan integral menjadi seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}}& = \int \limits_{x=1}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ \left( 3x+6 \right)-\left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ 3x+6 \right] dx \\
& = \left [ \frac{3}{2}x^{2}+6x \right ]_{1}^{3} \\
& = \left [ \frac{3}{2}(3)^{2}+6(3) \right ] - \left [ \frac{3}{2}(1)^{2}+6(1) \right ] \\
& = \frac{27}{2} +18 - \frac{3}{2} -6 \\
& = 24\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Contoh soal di atas adalah bukti sederhana bahwa integral tentu dapat digunakan menghitung luas daerah. Perhitungan luas dengan integral tentu sekilas tampak lebih rumit, tetapi untuk bentuk daerah yang melengkung maka cara yang paling akurat dalam menghitung luas daerahnya adalah dengan menggunakan integral tentu.
Misalnya luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^{2}-9$ dan sumbu-$x$ adalah...(satuan luas).
Daerah yang diinginkan jika kita gambarkan maka luas daerah adalah yang diarsir seperti pada gambar berikut ini:
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas agar hasil lebih akurat, tidak memungkinkan lagi menggunakan rumus segiempat atau rumus lingkaran, sehingga cara alternatif yang dapat kita gunakan adalah dengan integral tentu.
Jika luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas kita gunakan integral untuk menghitung luasnya, maka perhitungan memperhatikan $y_{atas}$ yaitu $y=0$, $y_{bawah}$ yaitu $y=x^{2}-9$, batas atas yaitu $x=3$, dan batas bawah yaitu $x=3$.
Batas atas dan batas bawah pada gambar di atas adalah titik potong $y_{atas}=0$ dan $y_{bawah}=x^{2}-9$,
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
0 & = x^{2}-9 \\
0 & = \left ( x-3\right ) \left ( x+3\right ) \\
& x-3=0\ \longrightarrow\ x=3\ \text{atau}\\
& x+3=0\ \longrightarrow\ x=-3
\end{align} $
Perhitungan luas daerah dengan integral tentu seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}}& = \int \limits_{x=-3}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{-3}^{3} \left[ \left( 0 \right)-\left( x^{2}-9 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{-3}^{3} \left[ -x^{2}+9 \right] dx \\
& = \left [ -\frac{1}{3}x^{3}+9x \right ]_{-3}^{3} \\
& = \left [ -\frac{1}{3}(3)^{3}+9(3) \right ] - \left [ -\frac{1}{3}(-3)^{3}+9(-3) \right ] \\
& = \left [ -9+27 \right ] - \left [ 9-27 \right ] \\
& = 18+18 = 36\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Jika fungsi hasil pengurangan kedua kurva berupa fungsi kuadrat $\left( f=ax^{2}+bx+c \right)$ dan batas-batas merupakan titik potong kedua kurva maka luas daerah yang dibatasi kedua kurva dapat dihitung dengan $L = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$.
Pada soal di atas fungsi hasil pengurangan adalah $f=-x^{2}+9$
$\begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \\
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{(b^{2}-4ac) \sqrt{b^{2}-4ac}}{6a^{2}} \\
& = \dfrac{(0-4(-1)(9)) \sqrt{(0-4(-1)(9))}}{6(-1)^{2}} \\
& = \dfrac{(36) \sqrt{(36)}}{6} = \dfrac{36 \cdot 6}{6} = 36
\end{align}$
BENTUK UMUM MENGHITUNG LUAS DAERAH DIANTARA DUA FUNGSI
SOAL dan PEMBAHASAN INTEGRAL TENTU FUNGSI ALJABAR
Untuk menambah pemahaman kita terkait penerapan integral tentu fungsi aljabar dalam menghitung luas mari kita lihat beberapa soal latihan berikut. Soal latihan ini kita pilih dari Modul Matematika SMA penerapan integral tentu fungsi aljabar dalam menghitung luas atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk membahas soal-soal tentang integral tentu fungsi aljabar matematika SMA atau soal seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika SMA Integral Tentu Fungsi Aljabar.
1. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah...satuan luas
Alternatif Pembahasan:
Jika luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas kita gunakan integral untuk menghitung luasnya, maka perhitungan memperhatikan $y_{atas} =2x+4$, $y_{bawah} =0$, batas atas yaitu $x=6$, dan batas bawah yaitu $x=2$.
Dalam perhitungan integral menjadi seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=2}^{x=6} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{2}^{6} \left[ \left( 2x+4 \right)-\left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{2}^{6} \left[ 2x+4 \right] dx \\
& = \left [ x^{2}+4x \right ]_{2}^{6} \\
& = \left [ (6)^{2}+4(6) \right ] - \left [ (2)^{2}+4(2) \right ] \\
& = 36+24-12 \\
& = 48\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 48$
2. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x – 3$, sumbu-$x$ dalam interval $x = 0$ dan $x = 6$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x – 3$, sumbu-$x$ dalam interval $x = 0$ dan $x = 6$, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, luas daerah yang diarsir ada dua daerah yaitu $L_{\text{[A]}}$ dan $L_{\text{[B]}}$. Daerah $\text{[A]}$ dan daerah $\text{[B]}$ diapit oleh fungsi yang sama tetapi pada dua posisi yang berbeda, maka perhitungan menjadi seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{3} \left[ 0- \left( x-3 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{3} \left[ -x+3 \right] dx \\
& = \left[ -\frac{1}{2}x^{2}+3x \right] _{0}^{3} \\
& = \left [ -\frac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right ] - \left [ -\frac{1}{2}(0)^{2}+3(0) \right ] \\
& = -\frac{9}{2}+9 \\
& = \frac{9}{2}\ \text{(satuan luas)} \\
\hline
L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=3}^{x=6} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{3}^{6} \left[ \left( x-3 \right)-0 \right] dx \\
& = \int \limits_{3}^{6} \left[ x-3 \right] dx \\
& = \left[ \frac{1}{2}x^{2}-3x \right] _{3}^{6} \\
& = \left [ \frac{1}{2}(6)^{2}-3(6) \right ]-\left [ \frac{1}{2}(3)^{2}-3(3) \right ] \\
& = 18-18-\frac{9}{2}+9 \\
& = \frac{9}{2}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}=9$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 27$
3. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah...satuan luas
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral kita perhatikan $y_{atas}=-3x^{2}+6x+9$, $y_{bawah}=0$, dan batas bawah yaitu $x=0$.
Batas atas kita peroleh dari titik potong $y_{atas}=-3x^{2}+6x+9$ dengan $y_{bawah}=0$ yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
0 & = -3x^{2}+6x+9 \\
0 & = x^{2}-2x-3 \\
0 & = -3 \left ( x-3\right ) \left ( x+1\right ) \\
& x-3=0\ \longrightarrow\ x=3\ \text{atau}\\
& x+1=0\ \longrightarrow\ x=-1
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{3} \left[ \left( -3x^{2}+6x+9 \right)-\left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{3} \left[ -3x^{2}+6x+9 \right] dx \\
& = \left [ -x^{3}+3x^{2}+9x \right ]_{0}^{3} \\
& = \left [ -(3)^{3}+3(3)^{2}+9(3) \right ] - \left [ -(0)^{3}+3(0)^{2}+9(0) \right ] \\
& = \left [ -27+27+27 \right ] - \left [ 0 \right ] \\
& = 27\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 27$
4. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Jika persamaan kurva di bawah $y = 3x^{2}– 12$, maka luas daerah yang diarsir adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Untuk kurva fungsi kuadrat $y = 3x^{2}– 12$ jika titik-titik pada gambar di atas kita lengkapi, seperti titik potong terhadap $\text{sb.}x$ maka akan kita peroleh gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, luas daerah yang diarsir ada dua daerah yaitu $L_{\text{[A]}}$ dan $L_{\text{[B]}}$. Daerah $\text{[A]}$ dan daerah $\text{[B]}$ diapit oleh fungsi yang sama tetapi pada dua posisi yang berbeda, maka perhitungan menjadi seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{2} \left[ 0- \left( 3x^{2}– 12 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{2} \left[ -3x^{2}+ 12 \right] dx \\
& = \left[ -x^{3}+12x \right] _{0}^{2} \\
& = \left [ -(2)^{3}+12(2) \right ] - \left [ -(0)^{3}+12(0) \right ] \\
& = -8+24-0 \\
& = 16\ \text{(satuan luas)} \\
\hline
L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=3}^{x=6} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{2}^{3} \left[ \left( 3x^{2}– 12 \right)-\left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{2}^{3} \left[ 3x^{2}– 12 \right] dx \\
& = \left[ x^{3}-12x \right] _{2}^{3} \\
& = \left [ (3)^{3}-12(3) \right ] - \left [ (2)^{3}-12(2) \right ] \\
& = 27-36-8+24 \\
& = 7\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=16+7=23$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 23$
5. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 4x + 6$, garis $x = 1$ dan $x = 5$ serta sumbu-$x$ adalah...satuan luas
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 4x + 6$, garis $x = 1$ dan $x = 5$ serta sumbu-$x$, gambarannya seperti berikut ini:
Jika luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas kita gunakan integral untuk menghitung luasnya, maka perhitungan memperhatikan $y_{atas} =4x+6$, $y_{bawah} =0$, batas atas yaitu $x=5$, dan batas bawah yaitu $x=1$.
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=1}^{x=5} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{5} \left[ \left( 4x+6 \right)-\left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{5} \left[ 4x+6 \right] dx \\
& = \left [ 2x^{2}+6x \right ]_{1}^{5} \\
& = \left [ 2(5)^{2}+6(5) \right ] - \left [ 2(1)^{2}+6(1) \right ] \\
& = 50+30-2-6 \\
& = 72\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 72$
6. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi kurva $y = 2x – 4$ dan sumbu-$x$ dalam interval $x = –1$ dan $x = 4$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 2x – 4$, sumbu-$x$ dalam interval $x = -1$ dan $x = 4$, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, luas daerah yang diarsir ada dua daerah yaitu $L_{\text{[A]}}$ dan $L_{\text{[B]}}$. Daerah $\text{[A]}$ dan daerah $\text{[B]}$ diapit oleh fungsi yang sama tetapi pada dua posisi yang berbeda, maka perhitungan menjadi seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=-1}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{-1}^{2} \left[ 0- \left( 2x – 4 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{-1}^{2} \left[ -2x+4 \right] dx \\
& = \left[ -x^{2}+4x \right] _{-1}^{2} \\
& = \left [ -(2)^{2}+4(2) \right ] - \left [ -(-1)^{2}+4(-1) \right ] \\
& = -4+8+1+5 \\
& = 10\ \text{(satuan luas)} \\
\hline
L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=2}^{x=4} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{2}^{4} \left[ \left( 2x-4 \right)-0 \right] dx \\
& = \int \limits_{2}^{4} \left[ 2x-4 \right] dx \\
& = \left[ x^{2}-4x \right] _{2}^{4} \\
& = \left [ (4)^{2}-4(4) \right ]-\left [ (2)^{2}-3(2) \right ] \\
& = 16-16-4+9 \\
& = 5\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=10+5=15$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 15$
7. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi kurva $y=\sqrt{x}$ di kuadran I, garis $x=4$, garis $x=9$, dan di atas sumbu-$x$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Untuk kurva fungsi $y = \sqrt{x}$ jika kita gambarkan dengan memilih titik-titik yang mudah seperti saat $x=0$, $x=4$, $x=9$, dan seterusnya maka akan kita peroleh gambarannya seperti berikut ini:
Jika luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas kita gunakan integral untuk menghitung luasnya, maka perhitungan memperhatikan $y_{atas} =\sqrt{x}$, $y_{bawah} =0$, batas atas yaitu $x=9$, dan batas bawah yaitu $x=4$.
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=4}^{x=9} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{4}^{9} \left[ \sqrt{x}- 0 \right] dx \\
& = \int \limits_{4}^{9} \left[ \sqrt{x} \right] dx \\
& = \int \limits_{4}^{9} \left[ x^{\frac{1}{2}} \right] dx \\
& = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right] _{4}^{9} \\
& = \left[ \frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} \right]-\left[ \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} \right] \\
& = \frac{54}{3} - \frac{16}{3} \\
& = \frac{38}{3}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{38}{3}$
8. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y = 3x^{2}+ 6x – 24$ dan sumbu-$x$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh fungsi kuadrat $y = 3x^{2}+ 6x – 24$ dan sumbu-$x$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral, kita perhatikan $y_{bawah}=3x^{2}+ 6x – 24$, $y_{atas}=0$, batas atas dan batas bawah kita peroleh dari titik potong kedua fungsi $y$ yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
0 & = 3x^{2}+ 6x – 24 \\
0 & = x^{2}+ 2x – 8 \\
0 & = \left ( x+4 \right ) \left ( x-2\right ) \\
& x+4=0\ \longrightarrow\ x=-4\ \text{atau}\\
& x-2=0\ \longrightarrow\ x=2
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=-4}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{-4}^{2} \left[ \left( 0 \right) - \left( 3x^{2}+ 6x – 24 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{-4}^{2} \left[ -3x^{2}-6x +24 \right] dx \\
& = \left[ -x^{3}-3x^{2}-24x \right] _{-4}^{2} \\
& = \left[ -(2)^{3}-3(2)^{2}+24(2) \right] - \left[ -(-4)^{3}-3(-4)^{2}+24(-4) \right] \\
& = \left[ -8-12+48 \right] - \left[ 64-48-96 \right] \\
& = 28+80=108\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 108$
9. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y=-3x^{2}+12x-12$, sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh fungsi kuadrat $y=-3x^{2}+12x-12$, sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral, kita perhatikan $y_{bawah}=-3x^{2}+12x-12$, $y_{atas}=0$, batas bawah sumbu-$y$ atau $x=0$ dan batas atas puncak $x_{p}$ parabola yaitu::
$ \begin{align}
x_{p} & = \dfrac{-b}{2a} \\
& = \dfrac{-12}{2(-3)} \\
& = \dfrac{-12}{-6}=2
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{2} \left[ \left( 0 \right) - \left( -3x^{2}+12x-12 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{2} \left[ 3x^{2}-12x+12 \right] dx \\
& = \left[ x^{3}-6x^{2}+12 \right] _{0}^{2} \\
& = \left[ (2)^{3}-6(2)^{2}+12(2) \right] - \left[ (0)^{3}-6(0)^{2}+12(0) \right] \\
& = \left[ 8-24+24 \right] - \left[ 0 \right] \\
& = 8\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
10. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh garis $y = 3x$ dan $y = x + 2$ dalam interval $x = 2$ dan $x = 3$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh garis $y = 3x$ dan $y = x + 2$ dalam interval $x = 2$ dan $x = 3$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral, kita perhatikan $y_{bawah}=x+2$, $y_{atas}=3x$, batas bawah $x=2$ dan batas atas $x=3$.
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=2}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{2}^{3} \left[ \left( 3x \right) - \left( x+2 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{2}^{3} \left[ 2x-2 \right] dx \\
& = \left[ x^{2}-2x \right] _{2}^{3} \\
& = \left[ (3)^{2}- 2(3) \right] - \left[ (2)^{2}- 2(2) \right] \\
& = \left[ 9-6 \right] - \left[ 0 \right] \\
& = 3\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
11. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh garis $y = 3x$ dan $y = 4 – x$ dalam interval $x = 0$ dan $x = 3$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 3x$ dan $y = 4 – x$ dalam interval $x = 0$ dan $x = 3$.
Garis $y = 3x$ dan $y = 4 – x$ berpotongan pada satu titik yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
3x & = 4-x \\
3x+x & = 4 \\
x & = 1 \longrightarrow\ y=3
\end{align} $,
gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, luas daerah yang diarsir ada dua daerah yaitu $L_{\text{[A]}}$ dan $L_{\text{[B]}}$.
Daerah $\text{[A]}$ dan daerah $\text{[B]}$ diapit oleh fungsi yang sama tetapi pada dua posisi yang berbeda, maka perhitungan menjadi seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=1} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ \left( 4-x \right) - \left( 3x \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 4-4x \right] dx \\
& = \left[ 4x-2x^{2} \right] _{0}^{1} \\
& = \left [ 4(1)-2(1)^{2} \right ] - \left [ 4(0)-2(0)^{2} \right ] \\
& = 2\ \text{(satuan luas)} \\
\hline
L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=1}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ \left( 3x \right) - \left( 4-x \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ 4x-4 \right] dx \\
& = \left[ 2x^{2}-4x \right] _{1}^{3} \\
& = \left [ 2(3)^{2}-4(3) \right ]-\left [ 2(1)^{2}-4(1) \right ] \\
& = 18-12-2+4 \\
& = 8\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=2+8=10$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 10$
12. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y=x^{2}–x$ dan garis $y=2x$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{2}–x$ dan garis $y=2x$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral, kita perhatikan $y_{atas}=2x$, $y_{bawah}=x^{2}-x$, batas bawah dan batas atas kita peroleh dari titik potong kedua kurva, yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
2x & = x^{2}-x \\
0 & = x^{2}-3x \\
0 & = \left( x \right)\left( x-3 \right) \\
&x=0 \longrightarrow \text{batas bawah} \\
&x=3 \longrightarrow \text{batas atas}
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{3} \left[ \left( 2x \right) - \left( x^{2}–x \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{3} \left[ -x^{2}+3x \right] dx \\
& = \left[ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} \right] _{0}^{3} \\
& = \left[ -\frac{1}{3}(3)^{3}+\frac{3}{2}(3)^{2} \right]-\left[ -\frac{1}{3}(0)^{3}+\frac{3}{2}(0)^{2} \right] \\
& = \left[ -9+\frac{27}{2} \right] - \left[ 0 \right] \\
& = \frac{9}{2}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Pada kasus ini, untuk menghitung luas dapat juga kita gunakan $L = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$ pada fungsi $f=-x^{2}+3x$.
$\begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \\
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{(b^{2}-4ac) \sqrt{b^{2}-4ac}}{6a^{2}} \\
& = \dfrac{(9-4(-1)(0)) \sqrt{(9-4(-1)(0))}}{6(-1)^{2}} \\
& = \dfrac{(9) \sqrt{(9)}}{6} = \dfrac{9 \cdot 3}{6} = \frac{9}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{9}{2}$
13. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y = \left(x – 1\right)^{2}$ dan $y = 5 – x^{2}$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh $y = \left(x – 1\right)^{2}=x^{2}-2x+1$ dan $y = 5 – x^{2}$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral, kita perhatikan $y_{atas}=5-x^{2}$, $y_{bawah}=x^{2}-2x+1$, batas bawah dan batas atas kita peroleh dari titik potong kedua kurva, yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
5-x^{2} & =x^{2}-2x+1 \\
0 & = 2x^{2}–2x-4 \\
0 & = 2\left( x-2 \right)\left( x+1 \right) \\
&x=-1 \longrightarrow \text{batas bawah} \\
&x=2 \longrightarrow \text{batas atas}
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=-1}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{-1}^{2} \left[ \left( 5-x^{2} \right) - \left( x^{2}-2x+1 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{-1}^{2} \left[ -2x^{2}+2x+4 \right] dx \\
& = \left[ -\frac{2}{3}x^{3}+ x^{2}+4x \right] _{-1}^{2} \\
& = \left[ -\frac{2}{3}(2)^{3}+ (2)^{2}+4(2) \right]-\left[ -\frac{2}{3}(-1)^{3}+ (-1)^{2}+4(-1) \right] \\
& = \left[ -\frac{16}{3} + 4+ 8 \right]-\left[ \frac{2}{3} + 1-4 \right] \\
& = -\frac{18}{3}+12+3=9\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Pada kasus ini, untuk menghitung luas dapat juga kita gunakan $L = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$ pada fungsi $f=-2x^{2}+2x+4$.
$\begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \\
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{(b^{2}-4ac) \sqrt{b^{2}-4ac}}{6a^{2}} \\
& = \dfrac{(4-4(-2)(4)) \sqrt{(4-4(-2)(4))}}{6(-2)^{2}} \\
& = \dfrac{(36) \sqrt{(36)}}{6(4)} = \dfrac{36 \cdot 6}{6(4)} = 9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$
14. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y=x^{2}$, garis $y=2–x$, $x=3$ dan sumbu-$y$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}$, garis $y=2–x$, $x=3$ dan sumbu-$y$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=2-x$, $y_{bawah}=x^{2}$, batas bawah $x=0$ dan batas atas kita peroleh dari titik potong kedua kurva, yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
2-x & = x^{2} \\
0 & = x^{2}+x-2 \\
0 & = \left( x+2 \right)\left( x-1 \right) \\
&x=1 \longrightarrow \text{batas atas}
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[A]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=1} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ \left( 2-x \right) - \left( x^{2} \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 2-x - x^{2} \right] dx \\
& = \left[ -\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+ 2x \right] _{0}^{1} \\
& = \left[ -\frac{1}{3}(1)^{3}-\frac{1}{2}(1)^{2}+ 2(1) \right]-\left[ -\frac{1}{3}(0)^{3}-\frac{1}{2}(0)^{2}+ 2(0) \right] \\
& = \left[ -\frac{1}{3} -\frac{1}{2} + 2 \right]-\left[ 0 \right] \\
& = \frac{7}{6}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[B]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=x^{2}$, $y_{bawah}=2-x$, batas bawah $x=1$ dan batas atas $x=3$.
$ \begin{align}
L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=1}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ \left( x^{2} \right) - \left( 2-x \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ x^{2}+x-2 \right] dx \\
& = \left[ \frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-2x \right] _{1}^{3} \\
& = \left[ \frac{1}{3}(3)^{3}+\frac{1}{2}(3)^{2}-2(3) \right]- \left[ \frac{1}{3}(1)^{3}+\frac{1}{2}(1)^{2}- 2(1) \right] \\
& = \left[ 9+\frac{9}{2}-6 \right]-\left[ \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 \right] \\
& = \frac{15}{2}+\frac{7}{6} \\
& = \frac{45}{6}+\frac{7}{6} = \frac{52}{6}
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=\frac{7}{6}+\frac{52}{6}=\frac{59}{6}$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{59}{6}$
15. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y=x^{2}-4x+3$ dan garis $y=2x-5$ serta sumbu-$y$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y=x^{2}-4x+3$ dan garis $y=2x-5$ serta sumbu-$y$ daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=2x-5$, $y_{bawah}=x^{2}-4x+3$, batas bawah dan dan batas atas kita peroleh dari titik potong kedua kurva, yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
2x-5 & = x^{2}-4x+3 \\
0 & = x^{2}-6x+8 \\
0 & = \left( x-2 \right)\left( x-4 \right) \\
&x=2 \longrightarrow \text{batas bawah} \\
&x=4 \longrightarrow \text{batas atas} \\
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[A]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=2}^{x=4} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{2}^{4} \left[ \left( 2x-5 \right) - \left( x^{2}-4x+3 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{2}^{4} \left[ -x^{2}+6x-8 \right] dx \\
& = \left[ -\frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}-8x \right] _{2}^{4} \\
& = \left[ -\frac{1}{3}(4)^{3}+3(4)^{2}-8(4) \right]-\left[ -\frac{1}{3}(2)^{3}+3(2)^{2}-8(2) \right] \\
& = \left[ -\frac{64}{3} +48-32 \right]-\left[ -\frac{8}{3} +12-16 \right] \\
& = -\frac{64}{3}+16+\frac{8}{3}+4 \\
& = \frac{4}{3}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[B]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=x^{2}-4x+3$, $y_{bawah}=2x-5$, batas bawah $x=0$ dan batas atas $x=2$.
$ \begin{align}
L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{2} \left[ \left( x^{2}-4x+3 \right) - \left( 2x-5 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{2} \left[ x^{2}-6x+8 \right] dx \\
& = \left[ \frac{1}{3}x^{3}-3x^{2}+8x \right] _{0}^{2} \\
& = \left[ \frac{1}{3}(2)^{3}-3(2)^{2}+8(2) \right]- \left[ \frac{1}{3}(0)^{3}+3(0)^{2}+8(0) \right] \\
& = \left[ \frac{8}{3}-12+16 \right]-\left[ 0 \right] \\
& = \frac{20}{3}
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=\frac{4}{3}+\frac{20}{3}=\frac{24}{3}=8$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
16. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang berada di bawah $y=x^{2}$, di atas sumbu-$x$, dan dalam interval $x=-1$ dan $x=2$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{2}$, di atas sumbu-$x$, dan dalam interval $x=-1$ dan $x=2$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Dari gambar di atas, luas daerah yang diarsir ada dua daerah yaitu $L_{\text{[A]}}$ dan $L_{\text{[B]}}$. Daerah $\text{[A]}$ dan daerah $\text{[B]}$ diapit oleh fungsi yang sama tetapi pada dua posisi yang berbeda, maka perhitungan menjadi seperti berikut:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} + L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=-1}^{x=0} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx + \int \limits_{x=-1}^{x=0} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{-1}^{0} \left[ \left( x^{2} \right)-\left( 0 \right) \right] dx + \int \limits_{0}^{2} \left[ \left( x^{2} \right)-\left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{-1}^{0} \left[ x^{2} \right] dx + \int \limits_{0}^{2} \left[ x^{2} \right] dx \\
& = \int \limits_{-1}^{2} \left[ x^{2} \right] dx \\
& = \left[ \frac{1}{3}x^{3} \right] _{-1}^{2} \\
& = \left [ \frac{1}{3}(2)^{3} \right ] - \left [ \frac{1}{3}(-1)^{3} \right ] \\
& = \frac{8}{3}+\frac{1}{3}=3\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
17. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Integral yang menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang diarsir pada gambar di atas jika kita perhatikan dibatasi oleh garis, parabola, dan sumbu-$x$ dengan batas atas dan batas bawah merupakan titik potong garis dan parabola.
Persamaan garis yang melalui titik $\left(0,-2 \right)$ dan $\left( 1,0 \right)$ adalah $y=2x-2$ (lihat cara menentukan persamaan garis).
Fungsi kuadrat yang melalui titik $\left(0,4 \right)$, $\left(1,0 \right)$ dan $\left( 2,0 \right)$ adalah $y=2x^{2}-6x+4$ (lihat cara menentukan fungsi kuadrat).
Dari informasi yang kita peroleh di atas, daerah yang di arsir pada gambar dibatasi oleh $y=2x-2$, $y=2x^{2}-6x+4$ dan sumbu-$x$.
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=2x-2$, $y_{bawah}=0$, batas bawah $x=1$ dan batas atas $x=2$. Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[A]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=1}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{2} \left[ \left( 2x-2 \right) - \left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{2} \left[ 2x-2 \right] dx
\end{align} $
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[B]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=2x-2$, $y_{bawah}=2x^{2}-6x+4$, batas bawah $x=2$ dan batas atas salah satu titik potong kedua kurva, yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
2x-2 & = 2x^{2}-6x+4 \\
0 & = 2x^{2}-8x+6 \\
0 & = 2\left( x-1 \right)\left( x-3 \right) \\
&x=1 \\
&x=3 \longrightarrow \text{batas atas} \\
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[B]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[B}} & = \int \limits_{x=2}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{2}^{3} \left[ \left( 2x-2 \right) - \left( 2x^{2}-6x+4 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{2}^{3} \left[ -2x^{2}+8x-6 \right]
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} + L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{1}^{2} \left[ 2x-2 \right] dx + \int \limits_{2}^{3} \left[ -2x^{2}+8x-6 \right]
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \int \limits_{1}^{2} \left( 2x-2 \right) dx + \int \limits_{2}^{3} \left( -2x^{2}+8x-6 \right) dx$
18. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Integral yang menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang diarsir pada gambar di atas jika kita perhatikan dibatasi oleh parabola, sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ dengan batas atas dan batas bawah merupakan titik potong garis dan parabola.
Fungsi kuadrat yang melalui titik $\left(0,4 \right)$, $\left(1,0 \right)$ dan $\left( 2,0 \right)$ adalah $y=2x^{2}-6x+4$ (lihat cara menentukan fungsi kuadrat)
Dari informasi yang kita peroleh di atas, daerah yang di arsir pada gambar dibatasi oleh $y=2x^{2}-6x+4$, sumbu-$y$ dan sumbu-$x$.
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=2x^{2}-6x+4$, $y_{bawah}=0$, batas bawah $x=0$ dan batas atas $x=1$. Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[A]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=1} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ \left( 2x^{2}-6x+4 \right) - \left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 2x^{2}-6x+4 \right] dx
\end{align} $
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[B]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=0$, $y_{bawah}=2x^{2}-6x+4$, batas bawah $x=1$ dan batas atas $x=2$. Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[B]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[B}} & = \int \limits_{x=2}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{2} \left[ \left( 0 \right) - \left( 2x^{2}-6x+4 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{2} \left[ -2x^{2}+6x-4 \right] dx
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah:
$ \begin{align}
& L_{\text{[A]}} + L_{\text{[B]}} \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 2x^{2}-6x+4 \right] dx + \int \limits_{1}^{2} \left[ -2x^{2}+6x-4 \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 2x^{2}-6x+4 \right] dx + \int \limits_{1}^{2} -\left[ 2x^{2}-6x+4 \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 2x^{2}-6x+4 \right] dx - \int \limits_{1}^{2} \left[ 2x^{2}-6x+4 \right] dx
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \int \limits_{0}^{1} \left( 2x^{2}-6x+4 \right) dx - \int \limits_{1}^{2} \left( 2x^{2}-6x+4 \right) dx$
19. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah antara kurva $y = x^{2}-5x$ dan kurva $y = –x^{2}+3x-6$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^{2}-5x$ dan kurva $y = –x^{2}+3x-6$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral, kita perhatikan $y_{atas}=5-x^{2}$, $y_{bawah}=x^{2}-2x+1$, batas bawah dan batas atas kita peroleh dari titik potong kedua kurva, yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
–x^{2}+3x-6 & = x^{2}-5x \\
0 & = 2x^{2}–8x-6 \\
0 & = 2\left( x-1 \right)\left( x-3 \right) \\
&x=1 \longrightarrow \text{batas bawah} \\
&x=3 \longrightarrow \text{batas atas}
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=1}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ \left( –x^{2}+3x-6 \right) - \left( x^{2}-5x \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ -2x^{2}+8x-6 \right] dx \\
& = \left[ -\frac{2}{3}x^{3}+ 4x^{2}-6x \right] _{1}^{3} \\
& = \left[ -\frac{2}{3}(3)^{3}+4(3)^{2}-6(3) \right]-\left[ -\frac{2}{3}(1)^{3}+4(1)^{2}-6(1) \right] \\
& = \left[ -18 +36-18 \right]-\left[ -\frac{2}{3}+4-6 \right] \\
& = 2\frac{2}{3}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Pada kasus ini, untuk menghitung luas dapat juga kita gunakan $L = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$ pada fungsi $f=-2x^{2}+8x-6$.
$\begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \\
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{(b^{2}-4ac) \sqrt{b^{2}-4ac}}{6a^{2}} \\
& = \dfrac{(64-4(-2)(-6)) \sqrt{(64-4(-2)(-6))}}{6(-2)^{2}} \\
& = \dfrac{(16) \sqrt{(16)}}{6(4)} = \dfrac{16 \cdot 4}{6(4)} = \dfrac{16 }{6}=\dfrac{8}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\frac{2}{3}$
20. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y=x^{2}+2x-3$, sumbu-$y$, sumbu-$x$ dan garis $x=2$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+2x-3$, sumbu-$y$, sumbu-$x$ dan garis $x=2$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=0$, $y_{bawah}=x^{2}+2x-3$, batas bawah $x=0$ dan batas atas $x=1$. Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[A]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=1} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ \left( 0 \right) - \left( x^{2}+2x-3 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ -x^{2}-2x+3 \right] dx \\
& = \left[ -\frac{1}{3}x^{3}- x^{2}+3x \right] _{0}^{1} \\
& = \left[ -\frac{1}{3}(1)^{3}-(1)^{2}+ 3(1) \right]-\left[ -\frac{1}{3}(0)^{3}-(0)^{2}+ 3(0) \right] \\
& = \left[ -\frac{1}{3} -1+ 3 \right]-\left[ 0 \right] \\
& = \frac{5}{3}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[B]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=x^{2}+2x-3$, $y_{bawah}=0$, batas bawah $x=1$ dan batas atas $x=2$.
$ \begin{align}
L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=1}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ \left( x^{2}+2x-3 \right) - \left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{3} \left[ x^{2}+2x-3 \right] dx \\
& = \left[ \frac{1}{3}x^{3}+ x^{2}-3x \right] _{1}^{2} \\
& = \left[ \frac{1}{3}(2)^{3}+ (2)^{2}-3(2) \right]- \left[ \frac{1}{3}(1)^{3}+ (1)^{2}-3(1) \right] \\
& = \left[ \frac{8}{3}+4-6 \right]-\left[ \frac{1}{3}+1-3 \right] \\
& = \frac{8}{3}-2-\frac{1}{3}+2 \\
& = \frac{7}{3}
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=\frac{5}{3}+\frac{7}{3}=\frac{12}{3}=4$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
21. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $y=x^{2}$ dan garis $y=2x+3$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}$ dan garis $y=2x+3$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral, kita perhatikan $y_{atas}=2x+3$, $y_{bawah}=x^{2}$, batas bawah dan batas atas kita peroleh dari titik potong kedua kurva, yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
2x+3 & = x^{2} \\
0 & = x^{2}-2x-3 \\
0 & = \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) \\
&x=-1 \longrightarrow \text{batas bawah} \\
&x=3 \longrightarrow \text{batas atas}
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=-1}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{-1}^{3} \left[ \left( 2x+3 \right) - \left( x^{2} \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{-1}^{3} \left[ -x^{2}+2x+3 \right] dx \\
& = \left[ -\frac{1}{3}x^{3}+ x^{2}+3x \right] _{-1}^{3} \\
& = \left[ -\frac{1}{3}(3)^{3}+ (3)^{2}+3(3) \right]-\left[ -\frac{1}{3}(-1)^{3}+ (-1)^{2}+3(-1) \right] \\
& = \left[ -9+9+9 \right]-\left[ \frac{1}{3} +1 -3 \right] \\
& = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Pada kasus ini, untuk menghitung luas dapat juga kita gunakan $L = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$ pada fungsi $f=-x^{2}+2x+3 $.
$\begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \\
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{(b^{2}-4ac) \sqrt{b^{2}-4ac}}{6a^{2}} \\
& = \dfrac{(4-4(-1)(3)) \sqrt{(4-4(-1)(3))}}{6(-1)^{2}} \\
& = \dfrac{(16) \sqrt{(16)}}{6} = \dfrac{16 \cdot 4}{6} = \frac{32}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10\frac{2}{3}$
22. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Bentuk integral yang menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang diarsir pada gambar di atas jika kita perhatikan dibatasi oleh parabola, sumbu-$x$, garis $y=4$.
Fungsi kuadrat yang melalui titik $\left(0,4 \right)$, $\left(1,0 \right)$ dan $\left( 4,0 \right)$ adalah $y= x^{2}-5x+4$ (lihat cara menentukan fungsi kuadrat)
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=4$, $y_{bawah}=x^{2}-5x+4$, batas bawah $x=0$ dan batas atas $x=1$. Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[A]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=1} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 4 - \left( x^{2}-5x+4 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ -x^{2}+5x \right] dx
\end{align} $
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[B]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=0$, $y_{bawah}=x^{2}-5x+4$, batas bawah $x=1$ dan batas atas $x=4$. Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[B]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[B}} & = \int \limits_{x=1}^{x=4} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{4} \left[ \left( 0 \right) - \left( x^{2}-5x+4 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{1}^{4} \left[ -x^{2}+5x-4 \right] dx
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah:
$ \begin{align}
& L_{\text{[A]}} + L_{\text{[B]}} \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ -x^{2}+5x \right]\ dx + \int \limits_{1}^{4} \left[ -x^{2}+5x-4 \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 5x-x^{2} \right]\ dx - \int \limits_{1}^{4} \left[ x^{2}-5x+4 \right] dx \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \int \limits_{0}^{1} \left( 5x-x^{2} \right) dx - \int \limits_{1}^{4} \left( x^{2}-5x+4 \right) dx$
23. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah dalam kuadran $I$ yang dibatasi oleh $y=4-x^{2}$, garis $y=3x$ dan sumbu-$x$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi kurva $y=4-x^{2}$, garis $y=3x$ dan sumbu-$x$ daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=3x$, $y_{bawah}=0$, batas bawah $x=0$ dan dan batas atas kita peroleh dari titik potong parabola dan garis, yaitu:
$ \begin{align}
y & = y \\
3x & = 4-x^{2} \\
0 & = x^{2}+3x-4 \\
0 & = \left( x+4 \right)\left( x-1 \right) \\
&x=1 \longrightarrow \text{batas atas} \\
&x=-4 \\
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir untuk daerah $L_{\text{[A]}}$ yaitu:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=1} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ \left( 3x \right) - \left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left[ 3x \right] dx \\
& = \left[ \frac{3}{2}x^{2} \right] _{0}^{1} \\
& = \left[ \frac{3}{2}(1)^{3} \right]-\left[ \frac{3}{2}(0)^{3} \right] \\
& = \frac{3}{2}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[B]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=4-x^{2}$, $y_{bawah}=0$, batas bawah $x=1$ dan batas atas $x=2$.
$ \begin{align}
L_{\text{[B]}} & = \int \limits_{x=1}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{1}^{2} \left[ \left( 4-x^{2} \right) - \left( 0 \right) \right] dx \\
& = \left[ 4x -\frac{1}{3}x^{3} \right] _{1}^{2} \\
& = \left[ 4(2) -\frac{1}{3}(2)^{3} \right]- \left[ 4(1) -\frac{1}{3}(1)^{3} \right] \\
& = \left[ 8 -\frac{8}{3} \right]- \left[ 4 -\frac{1}{3} \right] \\
& = 4-\frac{7}{3} \\
& = \frac{5}{3} \ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=\frac{3}{2}+\frac{5}{3}=\frac{19}{6}=3\frac{1}{6}$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3\frac{1}{6}$
24. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas bagian bidang yang dibatasi oleh parabola $y=x^{2}+1$ dan garis $y=-x+3$ adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh parabola $y=x^{2}+1$ dan garis $y=-x+3$ adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ pada gambar di atas dengan integral, kita perhatikan $y_{atas}=-x+3$, $y_{bawah}=x^{2}+1$, batas bawah dan batas atas kita peroleh dari titik potong kedua kurva, yaitu:
$ \begin{align}
y_{atas} & = y_{bawah} \\
-x+3 & = x^{2}+1 \\
0 & = x^{2}+x-2 \\
0 & = \left( x+2 \right)\left( x-1 \right) \\
&x=-2 \longrightarrow \text{batas bawah} \\
&x=1 \longrightarrow \text{batas atas}
\end{align} $
Luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=-2}^{x=1} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{-2}^{1} \left[ \left( -x+3 \right) - \left( x^{2}+1 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{-2}^{1} \left[ -x^{2}-x+2 \right] dx \\
& = \left[ -\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x \right] _{-2}^{1} \\
& = \left[ -\frac{1}{3}(1)^{3}-\frac{1}{2}(1)^{2}+2(1) \right]-\left[ -\frac{1}{3}(-2)^{3}-\frac{1}{2}(-2)^{2}+2(-2) \right] \\
& = \left[ -\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2 \right] - \left[ \frac{8}{3}-2+2 \right] \\
& = \frac{9}{2}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Pada kasus ini, untuk menghitung luas dapat juga kita gunakan $L = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$ pada fungsi $f=-x^{2}-x+2$.
$\begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \\
L_{\text{[A]}} & = \dfrac{(b^{2}-4ac) \sqrt{b^{2}-4ac}}{6a^{2}} \\
& = \dfrac{(1-4(-1)(2)) \sqrt{(1-4(-1)(2))}}{6(-1)^{2}} \\
& = \dfrac{(9) \sqrt{(9)}}{6} = \dfrac{9 \cdot 3}{6} = \frac{9}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\frac{1}{2}$
25. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Kurva $y=2x^{2}-8$ memotong sumbu-$x$ dititik $\left( -2,0 \right)$ dan $\left( 2,0 \right)$.
Persamaan garis yang melalui titik $\left( -2,0 \right)$ dan $\left( 1,6 \right)$ adalah $y=2x+4$ dan persamaan garis yang melalui titik $\left( -2,0 \right)$ dan $\left( 1,-6 \right)$ adalah $y=-2x-4$. Jika kita lengkapi informasi pada gambar, daerah yang diarsir seperti gambar berikut ini:
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[A]}} \right)$, kita perhatikan $y_{atas}=-2x^{2}+8$, $y_{bawah}=2x+4$, batas bawah $x=-2$ dan batas atas $x=0$.
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=-2}^{x=0} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{-2}^{0} \left[ \left( -2x^{2}+8 \right) - \left( 2x+4 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{-2}^{0} \left[ -2x^{2}-2x+4 \right] dx \\
& = \left[ -\frac{2}{3}x^{3}-x^{2}+4x \right] _{-2}^{0} \\
& = \left[ -\frac{2}{3}(0)^{3}-(0)^{2}+4(0) \right]-\left[ -\frac{2}{3}(-2)^{3}-(-2)^{2}+4(-2) \right] \\
& = \left[ 0 \right]-\left[ \frac{16}{3} -4-8 \right] \\
& = \frac{20}{3}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir $\left(L_{\text{[B]}} \right)$, kita perhatikan gambar di atas kedua daerah tampak simetris sehingga $L_{\text{[A]}} = L_{\text{[B]}}$.
Luas daerah yang di arsir keseluruhan adalah $L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}}=\frac{20}{3}+\frac{20}{3}=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}$ satuan luas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13\frac{1}{3}$
26. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Grafik fungsi $y = x^{2} + 4$ disinggung garis $g$ dan $h$ yang melalui $O \left(0, 0 \right)$. Grafik tersebut beserta garis $g$ dan $h$ membatasi daerah $D$. Luas daerah $D$ tersebut adalah...(satuan luas)
Alternatif Pembahasan:
Grafik fungsi $y = x^{2} + 4$ dan kedua garis singgung yang melalui titik $O \left(0, 0 \right)$ jika kita gambarkan maka kita peroleh gambar daerah yang diarsir seperti gambar berikut ini:
Luas daerah $D$ adalah daerah yang diarsir di atas yang kita bagi oleh dua daerah simetris yaitu daerah $\text{[A]}$ dan daerah $\text{[B]}$. Daerah $\text{[A]}$ dan daerah $\text{[B]}$ adalah daerah yang simetris sehingga luas kedua daerah tersebut adalah sama.
Luas daerah $D$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[D]}} & = L_{\text{[A]}} + L_{\text{[B]}} \\
L_{\text{[D]}} & = L_{\text{[A]}} + L_{\text{[A]}} \\
& = 2 \cdot L_{\text{[A]}} \\
& = 2 \cdot \int \limits_{x=0}^{x=2} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = 2 \cdot \int \limits_{0}^{2} \left[ \left( x^{2}+4 \right) - \left( 4x \right) \right] dx \\
& = 2 \cdot \int \limits_{0}^{2} \left[ x^{2}+4-4x \right] dx \\
& = 2 \cdot \left[ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+4x \right] _{0}^{2} \\
& = 2 \cdot \left[ \frac{1}{3}(2)^{3}-2(2)^{2}+4(2) \right]-2 \cdot \left[ \frac{1}{3}(0)^{3}-2(0)^{2}+4(0) \right] \\
& = 2 \cdot \left[ \frac{8}{3} - 8+ 8 \right]-\left[ 0 \right] \\
& = 2 \cdot \frac{8}{3} \\
& = \frac{16}{3}\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{16}{3}$
27. Soal Latihan Penerapan Integral Tentu
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 6x – x^{2}$ dan sumbu-$x$ dibagi oleh parabola $y = x^{2}$ menjadi dua bagian. Perbandingan luas kedua bagian itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 6x – x^{2}$ dan sumbu-$x$ dibagi oleh parabola $y = x^{2}$ menjadi dua bagian, jika kita gambarkan maka kita peroleh gambar daerah yang diarsir seperti gambar berikut ini:
Luas daerah $\text{[A]}$ dan daerah $\text{[B]}$ adalah daerah yang dibatasi oleh $y_{atas}=6x-x^{2}$ dan $y_{bawah}=0$ dengan batas atas $x=6$ dan batas bawah $x=0$. Luas daerah $\text{[A]}+\text{[B]}$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[AB]}} & = L_{\text{[A]}}+L_{\text{[B]}} \\
& = \int \limits_{x=0}^{x=6} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{6} \left[ \left( 6x-x^{2} \right) - \left( 0 \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{6} \left[ 6x-x^{2} \right] dx \\
& = \left[ 3x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right] _{0}^{6} \\
& = \left[ 3(6)^{2}-\frac{1}{3}(6)^{3} \right]- \left[ 3(0)^{2}-\frac{1}{3}(0)^{3} \right] \\
& = \left[ 108-72 \right]- \left[ 0 \right] \\
& = 36\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Luas daerah $\text{[A]}$ adalah luas daerah yang dibatasi oleh $y_{atas}=6x-x^{2}$ dan $y_{bawah}=x^{2}$ dengan batas bawah $x=0$ dan batas atas merupakan salah satu titik potong kedua kurva yaitu batas atas $x=3$. Luas daerah $\text{[A]}$ adalah:
$ \begin{align}
L_{\text{[A]}} & = \int \limits_{x=0}^{x=3} \left( y_{atas}-y_{bawah} \right) dx \\
& = \int \limits_{0}^{3} \left[ \left( 6x-x^{2} \right) - \left( x^{2} \right) \right] dx \\
& = \int \limits_{0}^{3} \left[ 6x-2x^{2} \right] dx \\
& = \left[ 3x^{2}-\frac{2}{3}x^{3} \right] _{0}^{3} \\
& = \left[ 3(3)^{2}-\frac{2}{3}(3)^{2} \right]- \left[ 3(0)^{2}-\frac{2}{3}(0)^{2} \right] \\
& = \left[ 27-18 \right]- \left[ 0 \right] \\
& = 9\ \text{(satuan luas)}
\end{align} $
Dengan $L_{\text{[AB]}}=36$ dan $L_{\text{[A]}}=9$, kita peroleh $L_{\text{[B]}}=27$. Perbandingan $L_{\text{[A]}}$ dan $L_{\text{[B]}}$ adalah $\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1:3 $
Catatan tentang Penerapan Integral Tentu Fungsi Aljabar Dalam Menghitung Luas dan Pembahasan Soal Latihan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.