Calon guru belajar matematika dasar lewat Hubungan Sudut Pusat, Sudut Keliling, Segiempat Tali Busur, dan Sudut Refleks pada Lingkaran serta penggunaannya dalam menyelesaikan soal-soal matematika.
Pada catatan soal dan pembahasan lingkaran kita sudah mengenal beberapa bagian-bagian pada lingkaran antara lain: Jari-jari lingkaran, titik pusat lingkaran, luas lingkaran, keliling lingkaran, tali busur lingkaran, diameter lingkaran, busur lingkaran, juring lingkaran, tembereng lingkaran, dan apotema pada lingkaran.
Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Sudut Pusat Lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran. Sudut Keliling Lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur lingkaran.
Jika sudut keliling lingkaran dan sudut pusat lingkaran menghadap busur yang sama maka berlaku hubungan "sudut pusat lingkaran sama dengan 2 kali sudut keliling lingkaran".
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan pernyataan "jika sudut keliling lingkaran dan sudut pusat lingkaran menghadap busur yang sama maka berlaku hubungan sudut pusat lingkaran sama dengan 2 kali sudut keliling lingkaran", kita gunakan garis bantu $OC$ dan $AB$ sehingga kita peroleh tiga buah segitiga sama kaki yaitu $\triangle AOC$, $\triangle AOB$, dan $\triangle BOC$.
- Pada segitiga $\triangle AOC$ dan $\triangle BOC$ kita peroleh:
- Dari $\triangle AOC$ kita peroleh sudut $\color{Red}{\angle OCA}= \color{Red} {\angle OAC}= \color{Red}{m}$, sehingga $\color{Red}{\angle AOC}= 180^{\circ}-2\color{Red}{m}$.
- Dari $\triangle BOC$ kita peroleh sudut $\color{Blue}{\angle OBC}= \color{Blue} {\angle OCB}= \color{Blue}{b}$, sehingga $\color{Blue}{\angle BOC}= 180^{\circ}-2\color{Blue}{b}$.
Dari $\triangle ABC$ dan kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC &= 360^{\circ} \\
\angle AOB + 180^{\circ}-2\color{Blue}{b} + 180^{\circ}-2\color{Red}{m} &= 360^{\circ} \\
\angle AOB &= 360^{\circ} - 180^{\circ} + 2\color{Blue}{b} - 180^{\circ} + 2\color{Red}{m} \\
\angle AOB &= 2\color{Blue}{b} + 2\color{Red}{m} \\
\angle AOB &= 2 \left( \color{Blue}{b} + \color{Red}{m} \right) \\
\angle AOB &= 2 \times \angle ACB
\end{align}$
Sampai pada tahap ini kita sudah membuktikan bahwa jika sudut keliling lingkaran $\left( \angle ACB \right)$ dan sudut pusat lingkaran $\left( \angle AOB \right)$ menghadap busur yang sama maka berlaku hubungan sudut pusat lingkaran sama dengan 2 kali sudut keliling lingkaran $\left( \angle AOB = 2 \times \angle ACB \right)$.
Segi Empat Tali Busur
Segi empat tali busur adalah segi empat dimana titik-titik sudutnya terletak tepat pada lingkaran, sehingga sisi-sisi pada segi empat tali busur merupakan tali busur lingkaran.
Pada segi empat tali busur berlaku hubungan sudut yang berhadapan saling berpelurus atau jumlah sudut yang berhadapan adalah $180^{\circ}$.
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan pernyataan "sudut yang berhadapan saling berpelurus atau jumlah sudut yang berhadapan adalah $180^{\circ}$", kita gunakan garis bantu $OC$ dan $OD$ sehingga kita peroleh sudut keliling $\angle CDA=d$ sudut pusatnya $\color{Red}{\angle AOC=2d}$ dan sudut keliling $\angle ABC=b$ sudut pusatnya $\color{Green}{\angle AOC=2b}$.
Dari keterangan dan gambar di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\color{Red}{\angle AOC} + \color{Green}{\angle AOC} &= 360^{\circ} \\
\color{Red}{2d} + \color{Green}{2b} &= 360^{\circ} \\
2 \left( \color{Red}{d} + \color{Green}{b} \right) &= 360^{\circ} \\
\color{Red}{d} + \color{Green}{b} &= 180^{\circ} \\
\angle ADC + \angle ABC &= 180^{\circ}
\end{align}$
Sampai pada tahap ini kita sudah membuktikan bahwa pada segi empat tali busur sudut yang berhadapan saling berpelurus atau jumlah sudut yang berhadapan adalah $180^{\circ}$.
Sudut Refleks
Sudut refleks adalah sudut yang memiliki ukuran lebih dari $180^{\circ}$ dan kurang dari $360^{\circ}$, atau dapat kita tuliskan jika $AOC$ adalah sudut refleks maka $180^{\circ} \lt AOC \lt 360^{\circ}$.
Dari gambar di atas jika $\angle ABC$ adalah sudut keliling lingkaran dan sudut refleks $AOC$ merupakan sudut pusat lingkaran, karena keduanya menghadap busur yang sama maka berlaku hubungan sudut refleks $AOC$ adalah $2 \times \angle ABC$.
Soal Latihan dan Pembahasan Hubungan Sudut Pusat, Sudut Keliling, Segi Empat Tali Busur dan Sudut Refleks pada Lingkaran
Soal-soal latihan matematika tentang Lingkaran berikut ini kita pilih dari soal-soal latihan matematika SMA buku matematika SMA/MA kelas XI Kurikulum Merdeka penerbit Erlangga.
Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 10 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Besar dari sudut $z$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba berikan nama pada titik-titik yang diketahui dan tambahan sebuah garis bantu yaitu $OC$, seperti gambar berikut.
- Dari $\triangle BOC$ yang merupakan segitiga samakaki kita peroleh $\angle BCO=\angle OBC=16^{\circ}$, sehingga $\angle BOC=180^{\circ}-32^{\circ}=148^{\circ}$
- Dari $\triangle AOC$ yang merupakan segitiga samakaki kita peroleh $\angle OCA=\angle OAC=27^{\circ}$, sehingga $\angle AOC=180^{\circ}-54^{\circ}=126^{\circ}$
- Berikutnya kita peroleh besar $\angle AOB$ yaitu:
$\begin{align}
\angle AOB+\angle BOC + \angle AOC &= 360^{\circ} \\ \angle AOB+ 148^{\circ} + 126^{\circ} &= 360^{\circ} \\ \angle AOB+ 274^{\circ} &= 360^{\circ} \\ \angle AOB &= 360^{\circ}-274^{\circ} \\ \angle AOB &= 86^{\circ} \end{align}$ - Dari hasil di atas kita peroleh besar $\angle ADC=z$ yaitu:
$\begin{align}
\angle ADC &= \frac{1}{2} \times \text{sudut refleks} AOC \\ z &= \frac{1}{2} \times \left( \angle AOB + \angle BOC \right) \\ z &= \frac{1}{2} \times \left( 86^{\circ} + 148^{\circ} \right) \\ z &= \frac{1}{2} \times \left( 234^{\circ} \right) \\ z &= 117^{\circ} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 117^{\circ}$
2. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Diketahui $AB$ merupakan diameter, $\angle AOD=22^{\circ}$ dan $\angle BCD=p$, besar $p$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba berikan nama pada sudut yang diketahui seperti gambar berikut.
Dari gambar di atas dapat kita peroleh besar sudut refleks $BOD$ adalah $\angle AOD + \angle AOB=22^{\circ}+180^{\circ}=202^{\circ}$.
Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\angle BCD &= \frac{1}{2} \times \text{sudut refleks} BOD \\
p &= \frac{1}{2} \times 202^{\circ} \\
p &= 101^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 101^{\circ} $
3. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Diketahui $\angle ACB=10^{\circ}$, besar $\angle CAD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba berikan nama pada sudut yang diketahui dan garis bantu $AC$ seperti gambar berikut.
- Dari $\triangle ABE$ yang merupakan segitiga samakaki kita peroleh $\angle ABE=\angle AEB=33^{\circ}$, sehingga $\angle EAB=180^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ}$
- Dari $\triangle ABC$ yang merupakan segitiga samakaki kita peroleh $\angle ABC=\angle ACB=10^{\circ}$, sehingga $\angle BAC=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}$
- Dari sudut keliling $\angle EBC=33^{\circ}+10^{\circ}=43^{\circ}$ kita peroleh sudut pusat $\angle EAC=86^{\circ}$.
- Sudut $\angle EAC=86^{\circ}$ dan $\angle CAD$ berpelurus, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\angle EAC+\angle CAD &= 180^{\circ} \\ \angle CAD &= 180^{\circ}-86^{\circ} \\ \angle CAD &= 94^{\circ} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 94^{\circ}$
4. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Besar $\angle CBD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal di atas dapat kita peroleh:
- Dari sudut pusat $\angle CAD=(22x)^{\circ}$ kita peroleh sudut keliling $\angle CBD=(11x)^{\circ}$
- $BCED$ merupakan segi empat tali busur, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\angle CBD+\angle CED &= 180^{\circ} \\ (11x)^{\circ}+(24x+5)^{\circ} &= 180^{\circ} \\ 11x + 24x+5 &= 180 \\ 35x &= 180-5 \\ 35x &= 175 \\ x &= 5 \end{align}$ - Untuk $x=5$ kita peroleh $\angle CBD = (11x)^{\circ}=55^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 55^{\circ}$
5. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Besar $\angle ECA$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal di atas dapat kita peroleh:
- Dari segi empat $ACBD$ yang siku-siku di $ACD$ dan $ADB$, sehingga $\angle CAD+\angle CBD=180^{\circ}$, kita peroleh $\angle CAD=130^{circ}$
- Dari sudut pusat $\angle CAD=130^{\circ}$ kita peroleh sudut keliling $\angle CED=65^{\circ}$.
- Dari segi empat $CEDA$ kita peroleh:
$\begin{align}
\angle ECA+\text{refleks}\ CAD+\angle ADE+\angle DEC &= 360^{\circ} \\ \angle ECA+230^{\circ}+44^{\circ}+65^{\circ} &= 360^{\circ} \\ \angle ECA+339^{\circ} &= 360^{\circ} \\ \angle ECA &= 360^{\circ}-339^{\circ} \\ \angle ECA &= 21^{\circ} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 21^{\circ}$
6. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Jika $\angle ABE + \angle ACE+\angle AOE=228^{\circ}$, besar $\angle ADE$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal di atas dapat kita peroleh:
- Sudut keliling $\angle ABE= \angle ACE=\angle ADE$ karena ketiganya menghadap busur yang sama.
- Jika sudut keliling $\angle ABE= \angle ACE=a$ maka sudut pusat $\angle AOE=2a$ karena menghadap busur yang sama.
- Dari $\angle ABE + \angle ACE+\angle AOE=228^{\circ}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\angle ABE + \angle ACE+\angle AOE &= 228^{\circ} \\ a+a+2a &= 228^{\circ} \\ 4a &= 228^{\circ} \\ a &= \dfrac{228^{\circ}}{4} \\ a &= 57^{\circ} \\ \hline \angle ADE &= a = 57^{\circ} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 57^{\circ}$
7. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Besar sudut $y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal di atas, kita perhatikan sudut keliling $\left( 2x-5 \right)^{\circ}$ ditambah sudut keliling $\left( x-5 \right)^{\circ}$ akan menghadap busur sama dengan sudut keliling $\left( 7x-90 \right)^{\circ}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left( 2x-5 \right)^{\circ} + \left( x-5 \right)^{\circ} &= \left( 7x-90 \right)^{\circ} \\
2x-5 + x-5 &= 7x-90 \\
3x-10 &= 7x-90 \\
3x-7x &= 10-90 \\
-4x &= -80 \\
x &= 20 \\
\hline
y &= \left( 7x-90 \right)^{\circ} \\
y &= \left( 7(20)-90 \right)^{\circ} \\
y &= \left( 140-90 \right)^{\circ} \\
y &= 50^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 50^{\circ}$
8. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Hasil dari $\angle ABC+\angle ADC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
- Dari informasi pada soal di atas, pada segitiga $ACD$ sudut keliling $\angle ACD=90^{\circ}$ karena menghadap diameter $AD$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\angle ADC+\angle ACD + \angle CAD &= 180^{\circ} \\ \angle ADC + 90^{\circ}+28^{\circ} &= 180^{\circ} \\ \angle ADC + 118^{\circ} &= 180^{\circ} \\ \angle ADC &= 180^{\circ}-118^{\circ} \\ \angle ADC &= 62^{\circ} \end{align}$ - Sudut keliling $\angle ADC$ dan $\angle ABC$ menghadap busur yang sama sehinga besarnya sama. $\angle ABC+\angle ADC=62^{\circ}+62^{\circ}=124^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 124^{\circ} $
9. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Besar $\angle BCA$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
- Dari informasi pada soal di atas, pada segitiga $EBD$ sudut keliling $\angle EBD=90^{\circ}$ karena menghadap diameter $ED$, sehingga kita peroleh $\angle EBC=90^{\circ}-37^{\circ}=53^{\circ}$ dan $\angle BED=90^{\circ}-57^{\circ}=33^{\circ}$
- Dari sudut keliling $\angle EBC=53^{\circ}$ kita peroleh sudut pusatnya $\angle CAE=106^{\circ}$ dan sudut refleks $CAE=360^{\circ}-106^{\circ}=254^{\circ}$
- Dari segi empat $BEAC$ dan sudut refleks $CAE=254^{\circ}$ kita peroleh:
$\begin{align}
\angle BCA+\angle CAE + \angle AEB + \angle EBC &= 360^{\circ} \\ \angle BCA+ 254^{\circ} + 33^{\circ} + 53^{\circ} &= 360^{\circ} \\ \angle BCA+ 340^{\circ} &= 360^{\circ} \\ \angle BCA &= 360^{\circ}-340^{\circ} \\ \angle BCA &= 20^{\circ} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20^{\circ}$
10. Soal Latihan Lingkaran
Perhatikan gambar berikut:
Besar $\angle EBC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
- Dari informasi pada soal di atas, pada segitiga $EBD$ sudut keliling $\angle BED=90^{\circ}$ karena menghadap diameter $BD$, sehingga kita peroleh $\angle EBD=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$
- Dari segi empat tali busur $BDFC$ dimana $BD \parallel CF$ sehingga $\angle BCF=\angle CFD=120^{\circ}$
- Dari segi empat tali busur $BDFC$, sudut yang berhapadan $\angle DBC+\angle CFD=180^{\circ}$ sehingga $\angle DBC =60^{\circ}$
- Besar $\angle EBC$ adalah $\angle EBD+ \angle DBC$ yaitu $60^{\circ}+36^{\circ}=96^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 96^{\circ} $
Catatan Hubungan Sudut Pusat, Sudut Keliling, Sudut Refleks, dan Segi Empat Tali Busur pada Lingkaran di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
