Soal dan Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA Tahun 2013

Salah satu sifat invers fungsi salah satunya adalah $ f\left ( f^{-1}\left ( x \right ) \right )=x$ sehingga dari persamaan $ f(f(x))=x$ dapat kita simpulkan bahwa $ f^{-1}\left ( x \right )=f\left ( x \right )$.

$\begin{align}
f^{-1}\left ( x \right ) &= \cdots \\
\hline
y &= \dfrac{cx}{2x-3} \\
2xy-3y &= cx \\
2xy-cx &=3y \\
x\left (2y-c \right ) &=3y \\
x &= \dfrac{3y}{2y-c} \\
\hline
f^{-1}\left ( x \right ) &= \dfrac{3x}{2x-c} \\
f^{-1}\left ( x \right ) &=f\left ( x \right ) \\
\dfrac{3x}{2x-c} &=\dfrac{cx}{2x-3}
\end{align}$
Dari kesamaan kita peroleh nilai $ c=3$, sehingga:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{3x}{2x-3} \\
f(2013) &= \dfrac{3(2013)}{2(2013)-3} \\
&= \dfrac{6039}{4023} \\
&= \dfrac{671}{447}
\end{align}$

$\therefore\ f(2013)=\dfrac{671}{447}$

Untuk mengerjakan soal ini kita mungkin dapat mempraktekkannya dan membeli bola lampu dan saklar $2013$ buah, tetapi mungkin akan membutuhkan energi dan biaya yang sangat besar. Disinilah letak salah satu keindahan matematika yaitu dapat menghemat energi dan biaya hanya dengan manipulasi alajabar. Seperti apa manipulasinya mari kita simak.

Jika kita pilih bola lampu dari $1$ sampai $10$ lalu lakukan perintah diatas sampai saklar bernomor kelipatan $10$, maka lampu yang masih hidup adalah lampu yang bernomor $1,\ 4,\ 9$.

Jika kita pilih bola lampu dari $1$ sampai $15$ lalu lakukan perintah diatas sampai saklar bernomor kelipatan $15$, maka lampu yang masih hidup adalah lampu yang bernomor $1,\ 4,\ 9$.

Jika kita pilih bola lampu dari $1$ sampai $30$ lalu lakukan perintah diatas sampai saklar bernomor kelipatan $30$, maka lampu yang masih hidup adalah lampu yang bernomor $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25$.

Dari irama pola nomor lampu yang masih hidup yaitu $ 1^2,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2,\ 5^2$, nomor bola lampu ini adalah nomor bilangan kuadrat, sehingga untuk $2013$ lampu ada $44$ lampu yang masih menyala, karena $ 44^2=1936$ dan $45^2=2025$.