Soal dan Pembahasan OSP Matematika SMA 2013

Olimpiade Sains Nasional (OSN) tingkat Provinsi Sumatera Utara telah dilaksanakan awal bulan juni kemarin tetapi hasilnya belum diketahui sampai sekarang (18062013). Beberapa siswa SMA Negeri 2 Lintongnihuta ikut dalam kompetisi tersebut, seperti janji Pemerintah Kabupaten Humbang Hasundutan memberangkatkan Juara I, II dan III pada OSK Humbang Hasundutan untuk berkompetisi di OSP Sumatera Utara.

Salah satu peserta OSP siswa SMA Negeri 2 Lintongnihuta Angkatan I bernama Herman Silaban yang sekarang sedang duduk di kelas X bertanya dua soal OSP matematika yang diingatnya karena soal lengkap dikumpulkan panitia. Dia hanya ingat dua soal, seperti apa soalnya mari kita diskusikan :

Soal Pertama:
Diketahui $ f(x)= \frac{cx}{2x-3},\ x\neq \frac{3}{2}$

$ f(f(x))=x,\ x\neq \frac{3}{2}$

tentukan nilai $ f(2013)=...$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Sifat fungsi salah satunya adalah $ f\left ( f^{-1}\left ( x \right ) \right )=x$ sehingga dari persamaan $ f(f(x))=x$ dapat kita simpulkan bahwa $ f^{-1}\left ( x \right )=f\left ( x \right )$.
$ f^{-1}\left ( x \right )= .\ .\ .$

$ y=\frac{cx}{2x-3}$

$ 2xy-3y=cx$

$ 2xy-cx=3y$

$ x\left (2y-c \right )=3y$

$ x= \frac{3y}{2y-c}$

$ f^{-1}\left ( x \right )= \frac{3x}{2x-c}$

$ f^{-1}\left ( x \right )=f\left ( x \right )$

$ \frac{3x}{2x-c}=\frac{cx}{2x-3}$, Dari persamaan kita peroleh nilai $ c=3$

$ f(x)= \frac{3x}{2x-3}$

$ f(2013)= \frac{3(2013)}{2(2013)-3}= \frac{6039}{4023}=\frac{671}{447}$



Soal Kedua:
Satu saklar untuk satu lampu, pada saat lampu hidup lalu saklar di tekan maka lampu akan mati dan sebaliknya. Saat ini 2013 lampu yang diberi nomor 1,2,3,...,2013 dalam keadaan hidup, lalu ditekan berurutan semua
☛ saklar bernomor genap,
☛ saklar bernomor kelipatan 3,
☛ saklar bernomor kelipatan 4, dan seterusnya sampai
☛ saklar bernomor kelipatan 2013
Pertanyaannya adalah berapa lampu yang masih menyala?

Alternatif Pembahasan:

Hint

Cara yang paling gampang dalam mengerjakan soal seperti soal diatas adalah dengan langsung mempraktekkannya (karena polosnya pergi ke mall beli bola lampu dan saklar 2013 buah), cukup praktekkan dengan angka dan itupun ga perlu sampai 2013.

Coba pilih dari 1 sampai 30 lalu lakukan perintah diatas sampai saklar bernomor kelipatan 30. Lampu yang masih hidup adalah lampu yang bernomor 1, 4, 9, 16, 25.

Dengan melihat irama nomor lampu yang masih hidup yaitu $ 1^2,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2,\ 5^2$ berarti untuk 2013 lampu ada 44 lampu yang masih menyala karena $ 44^2=1936\ dan\ 45^2=2025$

Atau dengan analisa yang lain,
☛ lampu akan padam jika saklar ditekan sebanyak 1x, 3x, 5x dan seterusnya (ganjil)
ditekan sebanyak ganjil jika banyak faktor (bilangan majemuk) adalah ganjil.
☛ lampu akan hidup jika saklar ditekan sebanyak 0x, 2x, 4x dan seterusnya (genap)
ditekan sebanyak genap jika banyak faktor (bilangan majemuk) adalah genap.

Contoh:
Lampu dengan bernomor 20
faktor 20: 1,2,4,5,10, dan 20.
banyak faktor dengan 1 tidak dihitung adalah 5, maka lampu bernomor 20 akan padam karena ditekan 5x.

Lampu dengan bernomor 36
faktor 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,dan 36
banyak faktor dengan 1 tidak dihitung adalah 8, maka lampu bernomor 36 akan hidup karena ditekan 8x.




Pembahasan adalah analisa Herman Silaban, jadi kalau menurut Anda kurang tepat, kami sangat berterimakasih jika Anda menyampaikan kekurangannya.

Soal diatas hanyalah sebagian dari soal yang diujikan dan bahasa soal mungkin tidak sama persis dengan aslinya karena soalnya diperoleh dengan menuliskan kembali apa yang ada dalam ingatan.

Untuk update artikel, Soal dan pembahasan OSP Matematika SMA 2013 lengkap dapat dilihat di Persiapan Menghadapi OSP 2014, semoga bermanfaat.

Pernah dengar bilangan prima terbesar atau sudah pernah membayangkan berapa bilangan prima terbesar?, mari kita lihat bagaimana bilangan prima terbesar;

You Might Also Like: