Catatan calon guru kali ini coba berdiskusi tentang Soal dan Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA Tahun 2013. Tetapi soal yang kita diskusikan disini hanya beberapa saja karena soal yang lainnya kita belum punya.
Olimpiade Sains Nasional (OSN) tingkat Provinsi Sumatera Utara telah dilaksanakan awal bulan juni kemarin, dan pelaksanaanya berlangsung dengan baik. Beberapa siswa SMA Negeri 2 Lintongnihuta ikut dalam kompetisi tersebut, seperti janji Pemerintah Kabupaten Humbang Hasundutan memberangkatkan Juara I, II dan III pada Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten Humbang Hasundutan untuk ikut berkompetisi di Olimpiade Sains Nasional tingkat Provinsi Sumatera Utara.
Salah satu peserta OSN tingkat Provinsi Sumatera Utara, siswa SMA Negeri 2 Lintongnihuta Angkatan I bernama Herman Silaban yang sekarang sedang duduk di kelas X coba berdiskusi dua soal OSP matematika yang diingatnya, karena soal lengkap dikumpulkan panitia, seperti apa soalnya mari kita diskusikan:
1. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2013
Soal Pertama:Diketahui $ f(x)= \frac{cx}{2x-3},\ x\neq \frac{3}{2}$
$ f(f(x))=x,\ x\neq \frac{3}{2}$
Tentukan nilai $ f(2013)=...$
Alternatif Pembahasan:
Salah satu sifat invers fungsi salah satunya adalah $ f\left ( f^{-1}\left ( x \right ) \right )=x$ sehingga dari persamaan $ f(f(x))=x$ dapat kita simpulkan bahwa $ f^{-1}\left ( x \right )=f\left ( x \right )$.
$\begin{align}
f^{-1}\left ( x \right ) &= \cdots \\
\hline
y &= \dfrac{cx}{2x-3} \\
2xy-3y &= cx \\
2xy-cx &=3y \\
x\left (2y-c \right ) &=3y \\
x &= \dfrac{3y}{2y-c} \\
\hline
f^{-1}\left ( x \right ) &= \dfrac{3x}{2x-c} \\
f^{-1}\left ( x \right ) &=f\left ( x \right ) \\
\dfrac{3x}{2x-c} &=\dfrac{cx}{2x-3}
\end{align}$
Dari kesamaan kita peroleh nilai $ c=3$, sehingga:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{3x}{2x-3} \\
f(2013) &= \dfrac{3(2013)}{2(2013)-3} \\
&= \dfrac{6039}{4023} \\
&= \dfrac{671}{447}
\end{align}$
$\therefore\ f(2013)=\dfrac{671}{447}$
2. Soal OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA 2013
Satu saklar untuk satu lampu, pada saat lampu hidup lalu saklar di tekan maka lampu akan mati dan sebaliknya. Saat ini $2013$ lampu yang diberi nomor $1,\ 2,\ 3, \cdots, 2013$ dalam keadaan hidup, lalu ditekan berurutan semua
Pertanyaannya adalah berapa lampu yang masih menyala?
- saklar bernomor genap,
- saklar bernomor kelipatan $3$,
- saklar bernomor kelipatan $4$, dan seterusnya sampai
- saklar bernomor kelipatan $2013$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengerjakan soal ini kita mungkin dapat mempraktekkannya dan membeli bola lampu dan saklar $2013$ buah, tetapi mungkin akan membutuhkan energi dan biaya yang sangat besar. Disinilah letak salah satu keindahan matematika yaitu dapat menghemat energi dan biaya hanya dengan manipulasi alajabar. Seperti apa manipulasinya mari kita simak.
Jika kita pilih bola lampu dari $1$ sampai $10$ lalu lakukan perintah diatas sampai saklar bernomor kelipatan $10$, maka lampu yang masih hidup adalah lampu yang bernomor $1,\ 4,\ 9$.
Jika kita pilih bola lampu dari $1$ sampai $15$ lalu lakukan perintah diatas sampai saklar bernomor kelipatan $15$, maka lampu yang masih hidup adalah lampu yang bernomor $1,\ 4,\ 9$.
Jika kita pilih bola lampu dari $1$ sampai $30$ lalu lakukan perintah diatas sampai saklar bernomor kelipatan $30$, maka lampu yang masih hidup adalah lampu yang bernomor $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25$.
Dari irama pola nomor lampu yang masih hidup yaitu $ 1^2,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2,\ 5^2$, nomor bola lampu ini adalah nomor bilangan kuadrat, sehingga untuk $2013$ lampu ada $44$ lampu yang masih menyala, karena $ 44^2=1936$ dan $45^2=2025$.
Alternatif pembahasan Herman Silaban diatas jika menurut Anda masih kurang tepat atau perlu tambahan, kami sangat berterimakasih jika Anda menyampaikan perbaikannya.
Soal diatas hanyalah sebagian dari soal yang diujikan dan bahasa soal mungkin tidak sama persis dengan aslinya karena soalnya diperoleh dengan menuliskan kembali apa yang ada dalam ingatan.
Untuk update artikel, Soal dan pembahasan OSP Matematika SMA 2013 lengkap dapat dilihat di Persiapan Menghadapi OSP 2014.
Catatan Soal dan Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Matematika SMA Tahun 2013 di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
