Barisan dan Deret Bilangan Aritmatika (Uji Kompetensi 5.1 Matematika SMA Kelas 11 Kurikulum 2013)

Catatan Calon Guru coba berdiskusi tentang Barisan dan Deret Bilangan Aritmatika. Sebagai contoh soal untuk bahan diskusi, kita pilih dari soal Uji Kompetensi 5.1 pada buku Matematika SMA Kelas 11 Kurikulum 2013.

Defenisi Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama, beda dinotasikan dengan "$b$"

Untuk barisan aritmatika $u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \cdots, u_{n}$,
dimana $u_{1}$ adalah suku pertama dan $u_{2}$ suku kedua dan seterusnya sampai dengan $u_{n}$ adalah suku ke-$n$.

Berdasarkan defenisi barisan aritmatika maka berlaku:
$\begin{align}
b\ &= u_{2}-u_{1} \\
&= u_{3}-u_{2} \\
&= u_{n}-u_{n-1} \\
\end{align}$

Barisan aritmatika dapat kita tuliskan menjadi:
$u_{1},\ u_{1}+b,\ u_{1}+2b,\ u_{1}+3b,\ \cdots$

Untuk $u_{1}=a$ barisan aritmatika dapat kita tuliskkan menjadi:
$a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ \cdots$

Dari bentuk di atas, dapat kita temukan pola barisan aritmatika sebagai berikut:
$\begin{align}
u_{1}\ &= a \\
u_{2}\ &= a+b \\
u_{3}\ &= a+2b \\
& \vdots \\
u_{10}\ &= a+9b \\
u_{11}\ &= a+10b \\
& \vdots \\
u_{n}\ &= a+\left( n-1 \right)b \\
\end{align}$
Dari pola yang kita dapat di atas kita peroleh bentuk umum untuk suku suku ke-$n$ barisan aritmatika yaitu:
$ u_{n}\ = a+\left( n-1 \right)$

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan barisan bilangan aritmatika.

secara umum deret aritmatika dapat tuliskan:
$a+\left( a+b \right)+ \left( a+2b \right)+ \cdots +\left( a+(n-1)b \right)$

Jumlah satu suku pertama adalah $S_{1}$
$\begin{align}
S_{1}\ &= u_{1} \\
&= a
\end{align}$

Jumlah dua suku pertama adalah $S_{2}$
$\begin{align}
S_{2}\ &= u_{1}+u_{2} \\
&= a+a+b \\
&= 2a+2b
\end{align}$

Jumlah tiga suku pertama adalah $S_{3}$
$\begin{align}
S_{3}\ &= u_{1}+u_{2}+u_{3} \\
&= a+a+b+a+2b \\
&= 3a+5b
\end{align}$

Jumlah n suku pertama adalah $S_{n}$
$\begin{align}
S_{n}\ &= u_{1}+u_{2}+u_{3}+ \cdots +u_{n-2}+u_{n-1}+u_{n} \\
&= a+a+b+a+2b+\cdots +a+(n-3)b+a+(n-2)b+a+(n-1)b
\end{align}$

Kita coba temukan rumus umum untuk $S_{n}$
$\begin{align}
S_{n}\ &= a+a+b+a+2b+\cdots +a+(n-3)b+a+(n-2)b+a+(n-1)b \\
S_{n}\ &= a+(n-1)b+a+(n-2)b+a+(n-3)b+ \cdots + a+2b+a+b+a\ \ \ (+) \\
\hline
2S_{n}\ &= \left( a+a+(n-1)b \right) +\left( a+b+a+(n-2)b \right)+ \cdots + \left( a+(n-1)b+a \right) \\
2S_{n}\ &= \left( 2a+(n-1)b \right) +\left( 2a+nb-b \right)+ \cdots +\left( 2a+nb-b \right) \\
2S_{n}\ &= \left( 2a+(n-1)b \right) +\left( 2a+(n-1)b \right)+\cdots +\left( 2a+(n-1)b \right) \\
2S_{n}\ &= n \left( 2a+(n-1)b \right) \\
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right)
\end{align}$

Rumus untuk menentukan $S_{n}$ di atas dapat kita jabarkan lagi yaitu:
$\begin{align}
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+a+(n-1)b \right) \\
S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left( a+u_{n} \right)
\end{align}$

Soal dan pembahasan yang khusus membahas barisan dan deret bilangan aritmatika atau barisan dan deret bilangan geometri terkait soal-soal Ujian Nasional atau soal masuk Perguruan Tinggi Negeri lainnya sudah ada pada catatan kita sebelumnya yaitu Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika dan Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri.

Berikut kita coba diskusikan beberapa soal yang memuat tentang pola barisan atau deret bilangan aritmatika. Apakah termasuk barisan bilangan aritmatika atau deret bilangan aritmatika atau tidak keduanya silahkan di simak.

1. Suatu barisan dengan rumus suku ke-$n$ adalah $u_{n} = 2n^{2} – 2$.
(a). Tentukan lima suku pertama barisan tersebut.
(b). Tentukan $n$ jika barisan tersebut yang bernilai $510$.

Alternatif Pembahasan:

Show

(a). Lima suku pertama barisan

• Suku pertama $u_{1} = 2(1)^{2} – 2=0$
• Suku kedua $u_{2} = 2(2)^{2} – 2=6$
• Suku ketiga $u_{3} = 2(3)^{2} – 2=16$
• Suku keempat $u_{4} = 2(4)^{2} – 2=30$
• Suku kelima $u_{5} = 2(5)^{2} – 2=48$

(b). Nilai $n$ untuk $u_{n} = 510$
$\begin{align}
u_{n} & = 2n^{2} – 2 \\
510 & = 2n^{2} – 2 \\
510+2 & = 2n^{2} \\
\dfrac{512}{2} & = n^{2} \\
256 & = n^{2} \\
16 &= n
\end{align}$

2. Bila $a,\ b,\ c$ merupakan suku berurutan yang membentuk barisan aritmetika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga membentuk barisan aritmetika $\dfrac{1}{bc},\ \dfrac{1}{ca},\ \dfrac{1}{ab}$

Alternatif Pembahasan:

Show

Diketahui bahwa $a,\ b,\ c$ merupakan suku berurutan yang membentuk barisan aritmetika, sehingga berlaku:
$\begin{align}
2u_{2} & = u_{1} + u_{3} \\
2b & = a + c
\end{align}$

untuk barisan $\dfrac{1}{bc},\ \dfrac{1}{ca},\ \dfrac{1}{ab}$ akan dibuktikan bahwa berlaku $2u_{2} = u_{1} + u_{3}$:
$\begin{align}
2 \cdot \dfrac{1}{ca} & = \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ab} \\
\dfrac{2}{ca} & = \dfrac{ab+bc}{bc \cdot ab} \\
& = \dfrac{b \left( a+ c \right)}{ab^{2}c} \\
& = \dfrac{b \left( 2b \right)}{ab^{2}c} \\
& = \dfrac{2b^{2}}{ab^{2}c} \\
& = \dfrac{2}{ac}
\end{align}$
Dari kesamaan bentuk di atas, terbukti bahwa $2u_{2} = u_{1} + u_{3}$ berlaku untuk barisan $\dfrac{1}{bc},\ \dfrac{1}{ca},\ \dfrac{1}{ab}$.

$\therefore$ $\dfrac{1}{bc},\ \dfrac{1}{ca},\ \dfrac{1}{ab}$ adalah barisan aritmatika.

3. Semua bilangan genap positif dikelompokkan sebagai berikut. $(2)$, $(4, 6)$, $(8, 10, 12)$, $(14, 16, 18, 20)$, $(22, 24, 26, 28, 30)$, $\cdots$ tentukan bilangan
yang terletak di tengah pada kelompok ke $15$.

Alternatif Pembahasan:

Show

Barisan bilangan di atas jika tidak dikelompokkan adalah barisan aritmatika dengan $a=2$ dan $b=2$:
$(2)$, $(4,6)$, $(8,10,12)$, $(14, 16, 18, 20)$, $(22, 24, 26, 28, 30)$, $(32, 34, 36, 38, 40,42),\ \cdots$

Jika kita urutkan banyak bilangan pada setiap kelompok membentuk barisan aritmatika yaitu:
$[1]$, $[2]$, $[3]$, $[4]$, $[5]$, $\cdots$, $[14]$, $[15]$
jadi banyak bilangan pada kelompok ke-$15$ ada sebanyak $15$ bilangan.

Dari barisan banyak bilangan di atas, dapat kita simpulkan bahwa:

• suku pertama pada kelompok ke-$3$ adalah suku ke-$\left(s_{[2]}+1 \right)=\left( (1+2)+1 \right)$ atau suku ke-$4$ yaitu $a+3b=8$
• suku pertama pada kelompok ke-$5$ adalah suku ke-$\left(s_{[4]}+1 \right)=\left( (1+2+\cdots+4)+1 \right)$ atau suku ke-$11$ yaitu $a+10b=22$
• suku pertama pada kelompok ke-$6$ adalah suku ke-$\left(s_{[5]}+1 \right)= \left( (1+2+\cdots+5)+1 \right)$ atau suku ke-$16$ yaitu $a+15b=32$
• suku pertama pada kelompok ke-$15$ adalah suku ke-$\left(s_{[14]}+1 \right)=\left( (1+2+\cdots+14)+1 \right)$ atau suku ke-$106$ yaitu $a+105b=212$
  $\begin{align}
  s_{n} &=\dfrac{n}{2} \left(2(a)+(n-1)b \right) \\
  s_{[14]} &=\dfrac{14}{2} \left(2(1)+(14-1)(1) \right) \\
  &=7 \left(2+13 \right) \\
  &=7 \left( 15 \right) =105
  \end{align}$
• suku pertama pada bilangan kelompok ke-$16$ adalah suku ke-$\left(s_{[15]}+1\right)=\left( (1+2+\cdots+15)+1 \right)$ atau suku ke-$121$ yaitu $a+120b=242$
  $\begin{align}
  s_{n} &=\dfrac{n}{2} \left(2(a)+(n-1)b \right) \\
  s_{[15]} &=\dfrac{15}{2} \left(2(1)+(15-1) (1) \right) \\
  &=\dfrac{15}{2} \left(2+14 \right) \\
  &=\dfrac{15}{2} \left( 16 \right) = 120
  \end{align}$

Dari data-data yang kita peroleh di atas, kita coba analisa pola suku tengah kelompok;

• kelompok ke-$3$, $u_{t}=\dfrac{u_{2}+u_{4}}{2}=\dfrac{8+12}{2}=10$
• kelompok ke-$5$, $u_{t}=\dfrac{u_{11}+u_{15}}{2}=\dfrac{22+30}{2}=26$
• kelompok ke-$15$, $u_{t}=\dfrac{u_{106}+u_{120}}{2}=\dfrac{212+240}{2}=226$

4. Tentukan banyak bilangan asli yang kurang dari $999$ yang tidak habis dibagi $3$ atau $5$ adalah$\cdots$

Alternatif Pembahasan:

Show

Barisan bilangan asli yang kurang dari $999$ adalah:
$1,\ 2,\ 3,\ 4\, 5,\ \cdots\, 998$
banyaknya adalah $n=998$

pada barisan terdapat bilangan kelipatan $3$ yaitu:
$3,\ 6\, 9,\ \cdots\, 996$
banyaknya adalah
$\begin{align}
u_{n} &=a+ \left( n-1 \right) b \\
996 &=3+ \left( n-1 \right) 3 \\
996 &=3+ 3n-3 \\
996 &= 3n \\
\dfrac{996}{3} &= n\ \rightarrow n=332
\end{align}$

pada barisan terdapat bilangan kelipatan $5$ yaitu:
$5,\ 10\, 15,\ \cdots\, 995$
banyaknya adalah
$\begin{align}
u_{n} &=a+ \left( n-1 \right) b \\
995 &=5+ \left( n-1 \right) 5 \\
995 &=5+ 5n-5 \\
995 &= 5n \\
\dfrac{995}{5} &= n\ \rightarrow n=199
\end{align}$

pada barisan terdapat bilangan kelipatan $3$ dan $5$ yaitu:
$15,\ 30\, 90,\ \cdots\, 990$
banyaknya adalah
$\begin{align}
u_{n} &=a+ \left( n-1 \right) b \\
990 &=15+ \left( n-1 \right) 15 \\
990 &=15+ 15n-15 \\
990 &= 15n \\
\dfrac{995}{5} &= n\ \rightarrow n=66
\end{align}$

Untuk menghitung banyak bilangan yang habis dibagi $3$ atau $5$ kita pakai konsep bilangan kardinal yaitu:
$\begin{align}
n\left ( A \cup B \right ) &= n(A)+n(B)-n\left ( A \cap B \right ) \\
n\left ( 3 \cup 5 \right ) &= n(3)+n(5)-n\left ( 3 \cap 5 \right ) \\
&= 332+199-66 \\
&= 465
\end{align}$

Banyak bilangan asli yang tidak habis dibagi $3$ atau $5$ adalah selain bilangan yang kita sebutkan di atas yaitu:
$2,\ 4,\ 7,\ 8,\ \cdots\, 998$
banyaknya adalah banyak bilangan asli kurag dari $999$ dikurang dengan banyak bilangan asli kelipatan $3$ atau $5$ yaitu $998-465= 533$

5. Diketahui $a + (a + 1) + (a + 2) + \cdots + 50 = 1.139$
Jika $a$ bilangan bulat positif maka tentukan nilai $a$.

Alternatif Pembahasan:

Show

Deret bilangan $a + (a + 1) + (a + 2) + \cdots + 50$ untuk $a$ bilangan bulat positif merupakan deret bilangan aritmatika dengan $u_{1}=a$ dan beda $b=1$, sehingga berlaku:

$\begin{align}
u_{n} &=a+ \left( n-1 \right) b \\
50 &=a+ \left( n-1 \right) (1) \\
50 &=a+ n-1 \\
51 &= a+n \\
51-a &= n
\end{align}$

$\begin{align}
s_{n} &=\dfrac{n}{2} \left( a+u_{n} \right) \\
1139 &=\dfrac{n}{2} \left( a+ 50 \right) \\
2278 &=n \left( a+ 50 \right) \\
2278 &=\left( 51-a \right) \left( a+ 50 \right) \\
2278 &=51a+2550-a^{2}-50a \\
a^{2}-a -272 &= 0 \\
\left( a-17 \right)\left( a+16 \right) &= 0 \\
a=17\ \ a=-16 &
\end{align}$
Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=17$

6. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $2$ $1$ $3$ $1$ $4$ $1$ $5$ $1$ $6$ $1$ $7$ $1$ $8$ $1$ $9$ $2$ $0$ $2$ $1$ $2$ $2$ $2$ $3$ $2$ $4$ $2$ $5$ $2$ $6$ $\cdots$
Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke-$2004$?
(bilangan ke-$12$ adalah angka $1$ dan bilangan ke-$15$ adalah angka $2$).

Alternatif Pembahasan:

Show

Dari pola bilangan di atas kita coba analisa mulai bilangan satuan

• Bilangan $1-9$ ada $9$ angka artinya bilangan ke-$1$ sampai ke-$9$
• Bilangan $10-19$ ada $20$ angka artinya bilangan ke-$10$ sampai ke-$29$
• Bilangan $20-29$ ada $20$ angka artinya bilangan ke-$30$ sampai ke-$39$
• Bilangan $10-99$ ada $180$ angka artinya bilangan ke-$10$ sampai ke-$189$
• Bilangan $100-199$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$190$ sampai ke-$489$
• Bilangan $200-299$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$490$ sampai ke-$789$
• Bilangan $300-399$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$790$ sampai ke-$1089$
• Bilangan $400-599$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$1090$ sampai ke-$1389$
• Bilangan $500-699$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$1390$ sampai ke-$1689$
• Bilangan $600-799$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$1690$ sampai ke-$1989$

Sampai apa yang kita peroleh di atas kita sudah dapatkan bilangan ke-$1989$ yaitu angka $9$.

Berikutnya kita lanjutkan:
$800\ 801\ 802\ 803\ 804\ 805$

Bilangan ke-$2004$ adalah angka $4$

7. Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan $2^{6}3^{4}$?

Alternatif Pembahasan:

Show

Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD... berulang setelah ABBCCCDDDD artinya huruf akan kembali setelah huruf ke-$10$.

Atau bisa kita tuliskan menjadi:
ABBCCCDDDD
ABBCCCDDDD
ABBCCCDDDD
ABBCCCDDDD
ABBCCCDDDD
ABBCCCDDDD
$\cdots$

untuk menentukan yang menempati urutan $2^{6}3^{4}$ dapat kita tentukan dengan membagi $2^{6}3^{4}$ dengan $10$ secara terus sampai tidak bisa dibagi lagi atau sampai sisa pembagian kurang dari $10$. Urutan sisa pembagian sama dengan urutan posisi yang kita cari (*coba dipelajari sedikit tentang modulo)

$\begin{align}
\dfrac{2^{6}3^{4}}{10} & = \dfrac{64 \cdot 81}{10} \\
& = \dfrac{5184}{10} \\
& = \dfrac{4}{10}
\end{align}$
Huruf yang menempati urutan $2^{6}3^{4}$ sama dengan urutan ke-$4$ yaitu $C$.

8. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $2$ $1$ $3$ $1$ $4$ $1$ $5$ $1$ $6$ $1$ $7$ $1$ $8$ $1$ $9$ $2$ $0$ $2$ $1$ $2$ $2$ $2$ $3$ $2$ $4$ $2$ $5$ $2$ $6$ $\cdots$
Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke-$2013$?
(bilangan ke-$12$ adalah angka $1$ dan bilangan ke-$15$ adalah angka $2$).

Alternatif Pembahasan:

Show

Dari pola bilangan di atas kita coba analisa mulai bilangan satuan

• Bilangan $1-9$ ada $9$ angka artinya bilangan ke-$1$ sampai ke-$9$
• Bilangan $10-19$ ada $20$ angka artinya bilangan ke-$10$ sampai ke-$29$
• Bilangan $20-29$ ada $20$ angka artinya bilangan ke-$30$ sampai ke-$39$
• Bilangan $10-99$ ada $180$ angka artinya bilangan ke-$10$ sampai ke-$189$
• Bilangan $100-199$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$190$ sampai ke-$489$
• Bilangan $200-299$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$490$ sampai ke-$789$
• Bilangan $300-399$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$790$ sampai ke-$1089$
• Bilangan $400-599$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$1090$ sampai ke-$1389$
• Bilangan $500-699$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$1390$ sampai ke-$1689$
• Bilangan $600-799$ ada $300$ angka artinya bilangan ke-$1690$ sampai ke-$1989$

Sampai apa yang kita peroleh di atas kita sudah dapatkan bilangan ke-$1989$ yaitu angka $9$.

Berikutnya kita lanjutkan:
$800\ 801\ 802\ 803\ 804\ 805\ 806\ 807$

Bilangan ke-$2013$ adalah angka $7$

9. Perhatikan susunan balok berikut.

(a). Tentukan berapa banyak balok yang dibutuhkan pada susunan ke-$10$
(a). Tentukan berapa banyak balok yang dibutuhkan pada susunan ke-$100$

Alternatif Pembahasan:

Show

Dari pola banyak balok yang ditampilkan pada gambar,
$1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\cdots$
ini adalah barisan bilangan aritmatika tingkat dua, karena mempunyai beda yang sama pada barisan aritmatika pada pola yang kedua, ilustrasinya perhatikan gambar berikut ini:

Suku ke-$n$ barisan aritmatika tingkat dua adalah:
$U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!}+ \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}$

(a). Banyak balok pada susunan ke-$10$ adalah suku ke-$10$
$\begin{align}
U_{n} &=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!}+ \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!} \\
U_{10} &=1+ \dfrac{(10-1)2}{1!}+ \dfrac{(10-1)(10-2)1}{2!} \\
&=1+ \dfrac{(9)2}{1 }+ \dfrac{(9)(8)}{2} \\
&=1+ 18 + 36 = 55
\end{align}$

(b). Banyak balok pada susunan ke-$100$ adalah suku ke-$100$
$\begin{align}
U_{n} &=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!}+ \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!} \\
U_{100} &=1+ \dfrac{(100-1)2}{1!}+ \dfrac{(100-1)(100-2)1}{2!} \\
&=1+ \dfrac{(99)2}{1 }+ \dfrac{(99)(98)}{2} \\
&=1+ 198 + 4851 = 5050
\end{align}$

10. Suatu perusahaan minuman kaleng pada bulan Januari 2012 memproduksi $40.000$ minuman kaleng. Setiap bulan perusahaan tersebut menaikkan produksinya secara tetap sebanyak $250$ kaleng. Berapa banyak minuman kaleng yang diproduksi perusahaan sampai akhir bulan Juni 2013?

Alternatif Pembahasan:

Show

Persahaan memproduksi mimunam pada bulan Januari 2012 adalah $40.000$ minuman kaleng, kita anggap ini $a=40.000$

Lalu pertambahan produksi tiap bulan itu tetap yaitu $250$ kaleng, kita anggap ini $b=250$

karena pertambahan tetap sebesar $b=250$, maka total produksi sampai akhir Juni 2013 dapat kita hitung dengan menggunakan konsep deret aritmatika, dimana banyak $n=18$ adalah banyak bulan dari Januari 2012-Juni 2013.
$\begin{align}
S_{n} &=\dfrac{n}{2} \left(2a+ (n-1)b \right) \\
S_{18} &=\dfrac{18}{2} \left(2(40.000)+ (18-1)(250) \right) \\
&= 9 \left( 80.000+ (19)(250) \right) \\
&= 9 \left( 80.000+ 4750 \right) \\
&= 9 \left( 84.750 \right) \\
&= 762.750
\end{align}$

Saran, Kritik atau Masukan yang sifatnya membangun terkait Barisan dan Deret Bilangan Aritmatika (Uji Kompetensi 5.1 Matematika SMA Kelas 11 Kurikulum 2013) di atas sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Cara Alternatif pada Perkalian Dua Angka dikerjakan dengan cara kreatif, silahkan disimak;