The good student, bersama calon guru kita belajar matematika bagaimana cara menghitung jarak titik dengan titik, jarak titik dengan garis, jarak titik dengan bidang, jarak garis dengan garis, jarak garis dengan bidang, dan jarak bidang dengan bidang pada ruang (dimensi tiga).
Pada catatan ini kita diskusikan tentang jarak garis dengan garis, jarak garis dengan bidang, dan jarak bidang dengan bidang, sedangkan jarak titik dengan titik, jarak titik dengan garis dan jarak titik dengan bidang silahkan disimak pada catatan Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga).
Sebagai modal dasar dalam belajar menghitung jarak titik, garis dan bidang ini, ada baiknya kita sudah bisa tentang Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga), karena dalam diskusi ini pada akhirnya kita akan samapi kepada jarak titik ke titik.
Catatan lain yang harus sudah kita ketahui adalah teorema pythagoras. Misalnya pada sebuah kubus, dengan bantuan teorema pythagoras ada banyak jarak titik yang mungkin bisa kita hitung. Berikut ini coba kita gambarkan beberapa jarak titik pada kubus yang bisa dihitung untuk panjang rusuk kubus kita misalkan dengan $a$.
CARA MENGHITUNG JARAK GARIS ke GARIS
Untuk menghitung dua garis pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan jarak-jarak titik lain yang diketahui. Jarak dua objek dalam ruang (dimensi tiga) adalah jarak terpendek yang ditarik dari kedua objek itu.
Jarak Antara Dua Garis Sejajar
Jarak antara garis $g$ dan garis $l$ yang sejajar adalah panjang ruas garis $AA'$, dimana $A$ adalah sembarang titik pada garis $g$ dan $A'$ merupakan proyeksi titik $A$ pada garis $l$.
Contoh:
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ \text{cm}$. Beberapa jarak dua garis sejajar yang dapat kita hitung tanpa perhitungan yang sulit antara lain:
- Jarak garis $AD$ dan $BC$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak garis $AE$ dan $CG$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak garis $EH$ dan $BC$ adalah $6\sqrt{2}\ \text{cm}$.
- Jarak garis $EG$ dan $AC$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak garis $AQ$ dan $PG$ adalah $\dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3}=2\sqrt{3} \text{cm}$.
Jarak Antara Dua Garis Bersilangan
Garis bersilangan adalah garis yang digambar pada dimensi dua seolah-olah berpotongan, sedangkan jika dilihat pada dimensi tiga garis tersebut tidak berpotongan.
Secara teori untuk menghitung jarak antara dua garis bersilangan, langkah-langkah untuk menghitungnya dapat kita tuliskan seperti berikut:
- Misalkan garis $g$ dan garis $l$ bersilangan
- Kita buat beberapa garis bantu sehingga diperoleh bidang yang memuat garis $l$ dan sejajar garis $g$ atau sebaliknya, misal kita sebut dengan bidang $\alpha$.
- Selanjutnya kita ambil sembarang titik $A$ pada garis $g$ lalu kita proyeksikan titik $A$ ke bidang $\alpha$, misal kita sebut dengan titik $A'$.
- Jarak titik $A$ dan titik $A'$ merupakan jarak garis $g$ dengan garis $l$ yang bersilangan.
Contoh:
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ \text{cm}$. Beberapa jarak dua garis bersilangan dapat kita hitung tanpa perhitungan yang sulit antara lain:
- Jarak garis $BF$ dan $CD$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak garis $EF$ dan $DH$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak garis $HF$ dan $AC$ adalah $6\ \text{cm}$.
Jarak dua garis bersilangan di atas diperoleh dengan menggunakan langkah-langkah menentukan dua garis bersilangan seperti yang kita sebutkan sebelumnya.
- Misalnya jarak garis $BF$ dan $CD$:
- Kita buat beberapa garis bantu sehingga diperoleh bidang yang memuat garis $CD$ dan sejajar garis $BF$ yaitu bidang $CDHG$.
- Selanjutnya kita ambil titik $B$ pada garis $BF$ lalu kita proyeksikan ke bidang $CDHG$ kita peroleh titik $C$.
- Jarak titik $B$ dan titik $C$ merupakan jarak garis $CD$ dengan garis $BF$ yang bersilangan yaitu $6\ \text{cm}$.
CARA MENGHITUNG JARAK GARIS ke BIDANG
Secara teori untuk menghitung jarak antara garis dan bidang yang sejajar, langkah-langkah untuk menghitungnya dapat kita tuliskan seperti berikut:
- Misalkan garis $g$ dan bidang $\alpha$ sejajar.
- Selanjutnya kita ambil sembarang titik $A$ pada garis $g$ lalu kita proyeksikan titik $A$ ke bidang $\alpha$, misal kita sebut dengan titik $A'$.
- Jarak titik $A$ dan titik $A'$ merupakan jarak garis $g$ dengan bidang $\alpha$ yang sejajar.
Contoh:
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ \text{cm}$. Beberapa jarak garis dengan bidang yagng dapat kita hitung tanpa perhitungan sulit antara lain:
- Jarak garis $EG$ dan bidang $ABCD$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak garis $EH$ dan bidang $ABCD$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak garis $ET$ dan bidang $BCGF$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak garis $EF$ dan bidang $ABGH$ adalah $\dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} =3\sqrt{2}\ \text{cm}$.
CARA MENGHITUNG JARAK BIDANG ke BIDANG
Secara teori untuk menghitung jarak antara bidang dan bidang yang sejajar, langkah-langkah untuk menghitungnya dapat kita tuliskan seperti berikut:
- Misalkan bidang $\alpha$ dan bidang $\beta$ sejajar.
- Selanjutnya kita ambil sembarang titik $A$ bidang $\beta$ lalu kita proyeksikan titik $A$ ke bidang $\alpha$, misal kita sebut dengan titik $A'$.
- Jarak titik $A$ dan titik $A'$ merupakan jarak bidang $\alpha$ dengan bidang $\beta$ yang sejajar.
Contoh:
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ \text{cm}$. Beberapa jarak bidang dengan bidang yagng dapat kita hitung tanpa perhitungan sulit antara lain:
- Jarak bidang $ABCD$ dan bidang $EFGH$ adalah $6\ \text{cm}$.
- Jarak bidang $ADHE$ dan bidang $BCGF$ adalah $6\ \text{cm}$.
Soal Latihan dan Pembahasan Jarak Garis - Bidang
Untuk menambah pemahaman kita terkait Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) mari kita coba berlatih dari beberapa soal latihan berikut. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Untuk melihat soal-soal terkait geometri atau dimensi tiga yang sudah pernah diujikan pada tes masuk PTN atau sekolah kedinasan, silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Dimensi Tiga.
1. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak garis $EH$ ke garis $BC$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $EH$ dan garis $BC$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak garis $EH$ ke garis $BC$ dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis $BE$. Panjang ruas garis $BE$ dapat kita hitung dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku $ABE$.
$\begin{align} BE^{2} &= AB^{2} + AE^{2} \\ BE^{2} &= 6^{2} + 6^{2} \\ BE^{2} &= 72 \\ BE &= \sqrt{72}=6\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6 \sqrt{2}$
2. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $12\ \text{cm}$ jarak garis $AE$ ke garis $HF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $AE$ dan garis $HF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak garis $AE$ ke garis $HF$ dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis $EO$. Panjang ruas garis $EO$ dapat kita hitung dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku $EFG$.
$\begin{align} EG^{2} &= EF^{2} + FG^{2} \\ EG^{2} &= 12^{2} + 12^{2} \\ EG^{2} &= 244 \\ EG &= \sqrt{288}=12\sqrt{2} \\ EO &= \dfrac{1}{2} EG =6\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6 \sqrt{2}$
3. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $8\ \text{cm}$ jarak garis $EG$ ke garis $BD$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $EG$ dan garis $BD$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak garis $EG$ ke garis $BD$ dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis $OP$. Panjang ruas garis $OP$ sama dengan ruas garis $AE$ yaitu $8\ \text{cm}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
4. Soal Latihan Jarak Garis ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak garis $BE$ ke bidang $DCGH$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $BE$ dan bidang $DCGH$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak garis $BE$ ke bidang $DCGH$ dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis $OP$. Panjang ruas garis $OP$ sama dengan ruas garis $BC$ yaitu $6\ \text{cm}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$
5. Soal Latihan Jarak Garis ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak garis $BE$ ke bidang $DCGH$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $BE$ dan bidang $DCGH$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak garis $BE$ ke bidang $DCGH$ dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis $OP$. Panjang ruas garis $OP$ sama dengan ruas garis $BC$ yaitu $6\ \text{cm}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$
6. Soal Latihan Jarak Bidang ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak bidang $AFH$ ke bidang $BDG$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan bidang $AFH$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak bidang $AFH$ ke bidang $BDG$ dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis $OP$. Panjang ruas garis $OP$ adalah $\dfrac{1}{3} EC $ yaitu $2\sqrt{3}$.
Untuk melihat perhitungan $\dfrac{1}{3} EC $ lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$
7. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak garis $BG$ ke garis $HF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $BG$ dan garis $HF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti gambar di bawah ini.
Garis $BG$ dan garis $HF$ adalah dua garis bersilangan.
Jika kita ambil garis bantu pada garis $BG$ dan garis $HF$ sehingga kita peroleh dua bidang yang sejajar yaitu bidang $AFH$ dan bidang $BDG$, kedudukannya pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti di atas.
Dari gambar di atas kita peroleh jarak garis $BG$ ke garis $HF$ merupakan jarak bidang $AFH$ ke bidang $BDG$ yaitu ruas garis $OP$. Panjang ruas garis $OP$, jaraknya adalah $\dfrac{1}{3} EC $ yaitu $2\sqrt{3}$.
Untuk melihat perhitungan $\dfrac{1}{3} EC $ lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$
8. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak garis $HB$ ke garis $AC$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $HB$ dan garis $AC$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti gambar di bawah ini.
Garis $HB$ dan garis $AC$ adalah dua garis bersilangan, kita anggap jaraknya adalah $OP$ sehingga $OP$ tegak lurus $HB$.
Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $BDH$ maka dapat kita peroleh beberapa informasi.
- Luas segitiga $BDH$
$\begin{align} \left[ BDH \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot DH \\ \left[ BDH \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 \\ \left[ BDH \right] &= 18\sqrt{2} \end{align}$ - Luas segitiga $ODH$
$\begin{align} \left[ ODH \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot OD \cdot DH \\ \left[ ODH \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6 \\ \left[ ODH \right] &= 9\sqrt{2} \end{align}$ - Luas segitiga $OBH$
$\begin{align} \left[ OBH \right] &= \left[ BDH \right] - \left[ ODH \right] \\ \dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot OP &= 18\sqrt{2} - 9 \sqrt{2} \\ \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot OP &= 9 \sqrt{2} \\ 3\sqrt{3} \cdot OP &= 9 \sqrt{2} \\ OP &= \dfrac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}= \sqrt{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{6}$
9. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $12\ \text{cm}$ jarak garis $FD$ ke garis $BG$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $FD$ dan garis $BG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti gambar di bawah ini.
Garis $FD$ dan garis $BG$ adalah dua garis bersilangan, kita anggap jaraknya adalah $OP$ sehingga $OP$ tegak lurus $FD$.
Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $FCD$ maka dapat kita peroleh beberapa informasi.
- Luas segitiga $FCD$
$\begin{align} \left[ FCD \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot FC \cdot CD \\ \left[ FCD \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 12 \\ \left[ FCD \right] &= 72\sqrt{2} \end{align}$ - Luas segitiga $OCD$
$\begin{align} \left[ OCD \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot CD \\ \left[ OCD \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 \\ \left[ OCD \right] &= 36\sqrt{2} \end{align}$ - Luas segitiga $FOD$
$\begin{align} \left[ FOD \right] &= \left[ FCD \right] - \left[ OCD \right] \\ \dfrac{1}{2} \cdot FD \cdot OP &= 72\sqrt{2} - 36 \sqrt{2} \\ \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot OP &= 36 \sqrt{2} \\ 6\sqrt{3} \cdot OP &= 36 \sqrt{2} \\ OP &= \dfrac{36 \sqrt{2}}{6 \sqrt{3}}= 2\sqrt{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{6}$
10. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $12\ \text{cm}$ jarak garis $AH$ ke garis $DG$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $AH$ dan garis $DG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti gambar di bawah ini.
Garis $AH$ dan garis $DG$ adalah dua garis bersilangan.
Jika kita ambil garis bantu pada garis $BG$ dan garis $HF$ sehingga kita peroleh dua bidang yang sejajar yaitu bidang $AFH$ dan bidang $BDG$, kedudukannya pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti di atas.
Dari gambar di atas kita peroleh jarak $AH$ ke garis $DG$ merupakan jarak bidang $AFH$ ke bidang $BDG$ yaitu ruas garis $OP$. Panjang ruas garis $OP$, jaraknya adalah $\dfrac{1}{3} EC $ yaitu $4\sqrt{3}$.
Untuk melihat perhitungan $\dfrac{1}{3} EC $ lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\sqrt{3}$
11. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ terdapat titik $P$ yakni perpotongan diagonal $EFGH$. Jarak garis $AP$ ke $BD$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $AP$ ke $BD$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti gambar di bawah ini.
Garis $AP$ dan $BD$ adalah dua garis bersilangan.
Jika kita ambil garis bantu pada garis $AP$ dan garis $BD$ sehingga kita peroleh dua bidang yang sejajar yaitu bidang $AFH$ dan bidang $BDG$, kedudukannya pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti di atas.
Dari gambar di atas kita peroleh jarak $AH$ ke garis $DG$ merupakan jarak bidang $AFH$ ke bidang $BDG$ yaitu ruas garis $OQ$. Panjang ruas garis $OQ$, jaraknya adalah $\dfrac{1}{3} EC $ yaitu $2\sqrt{3}$.
Untuk melihat perhitungan $\dfrac{1}{3} EC $ lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{3}$
12. Soal Latihan Jarak Garis ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $12\ \text{cm}$ jarak garis $AB$ ke bidang $CDEF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $AB$ dan bidang $CDEF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Langkah-langkah menentukan jarak garis ke bidang, pertama kita pilih sebuah titik pada garis, titik $B$.
Lalu titik $B$ kita proyeksikan ke bidang $CDEF$ kita peroleh titik $O$, sehingga garis $AB$ ke bidang $CDEF$ adalah $OB$.
Panjang $OB$ adalah $\dfrac{1}{2} OG=6\sqrt{2}$, sehingga jarak garis $AB$ ke bidang $CDEF$ adalah $6\sqrt{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6\sqrt{2}$
13. Soal Latihan Jarak Garis ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ \text{cm}$ jarak garis $HD$ ke bidang $ACF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $HD$ dan bidang $ACF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jika kita perhatikan posisi garis $HD$ dan bidang $ACF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ dia atas keduanya mempunyai titik sekutu, sehingga jarak keduanya adalah $0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0$
14. Soal Latihan Jarak Garis ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak garis $EG$ ke bidang $ACF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan garis $EG$ dan bidang $ACF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti gambar di bawah ini.
Jika kita ambil garis bantu pada garis $EG$ sehingga kita peroleh bidang $DEG$ yang sejajar dengan bidang $AFH$. Dari gambar di atas kita peroleh jarak garis $EG$ ke bidang $AFH$ merupakan jarak bidang $DEG$ ke bidang $AFH$ yaitu ruas garis $OP$. Panjang ruas garis $OP$, jaraknya adalah $\dfrac{1}{3} BH $ yaitu $2\sqrt{3}$.
Untuk melihat perhitungan $\dfrac{1}{3} BH $ lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{3}$
Catatan tentang Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) dan Pembahasan Soal Latihan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.