The good student, bersama calon guru kita belajar matematika bagaimana cara menghitung jarak titik dengan titik, jarak titik dengan garis, jarak titik dengan bidang, jarak garis dengan garis, jarak garis dengan bidang, dan jarak bidang dengan bidang pada ruang (dimensi tiga).
Pada catatan ini kita diskusikan tentang jarak titik dengan titik, jarak titik dengan garis dan jarak titik dengan bidang, sedangkan jarak garis dengan garis, jarak garis dengan bidang, dan jarak bidang dengan bidang silahkan disimak pada catatan Cara Menghitung Jarak Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga).
Sebagai modal dasar dalam belajar menghitung jarak titik, garis dan bidang ini, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema pythagoras, karena dalam diskusi ini banyak menggunakan teorema pythagoras.
CARA MENGHITUNG JARAK TITIK ke TITIK
Sebagai contoh jarak dua titik yang sudah pernah kita kenal adalah jarak dua titik pada koordinat kartesius, yaitu untuk titik $A(x_{1},y_{1})$ dan titik $B(x_{2},y_{2})$, jarak kedua titik itu adalah:
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
Untuk menghitung jarak dua titik pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan jarak-jarak titik lain yang diketahui. Jarak dua objek dalam ruang (dimensi tiga) adalah jarak terpendek yang ditarik dari kedua objek itu.
Misalnya pada sebuah kubus, dengan bantuan teorema pythagoras ada banyak jarak titik yang mungkin bisa kita hitung. Berikut ini coba kita gambarkan beberapa jarak titik pada kubus yang bisa dihitung untuk panjang rusuk kubus kita misalkan dengan $a$.
Contoh:
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $8\ \text{cm}$ terdapat titik $P$ di tengah-tengah $AB$. Tentukan jarak titik $G$ ke titik $P$
Jika kita gambarkan kedudukan titik $G$ dan $P$ pada kubus $ABCD.EFGH$ adalah sebagai berikut:
Jika kesulitan melihat segitiga siku-siku $PBG$ pada kubus di atas, kita bisa angkat bidang diagonal dari kubus yaitu $ABGH$, sehingga kita peroleh gambarannya seperti berikut:
Dari gambar persegi panjang $ABGH$ di atas sudah jelas bahwa segitiga $PBG$ adalah segitiga siku-siku di $B$.
- Panjang $BP=\frac{1}{2}AB=4$
- Panjang $BG$ yang merupakan diagonal bidang
$\begin{align} BG^{2} &= BC^{2}+ CG^{2} \\ BG^{2} &= 8^{2}+ 8^{2} \\ BG &= \sqrt{ 64+64 } = 8 \sqrt{2} \end{align}$ - Untuk menghitung jarak titik $G$ ke titik $P$, dapat kita hitung panjang ruas garis $GP$ dengan menggunakan teorema pythagoras.
$\begin{align} GP^{2} &= PB^{2}+ BG^{2} \\ GP^{2} &= 4^{2}+ \left( 8\sqrt{2} \right)^{2} \\ GP^{2} &= 16 + 128 \\ GP &= \sqrt{ 144 }=12 \end{align}$
Jarak titik $G$ ke titik $P$ adalah $12 \ \text{cm}$
CARA MENGHITUNG JARAK TITIK ke GARIS
Sebagai contoh jarak titik ke garis yang sudah pernah kita kenal adalah jarak titik ke garis pada koordinat kartesius, yaitu jarak titik $(x_{1},y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Untuk menghitung jarak titik ke garis pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan jarak-jarak titik lain yang diketahui. Jarak dua objek dalam ruang (dimensi tiga) adalah jarak terpendek yang ditarik dari kedua objek itu. Misalnya untuk menentukan jarak titik $A$ ke garis $g$ pada gambar di bawah ini.
Untuk menentukan jarak titik $A$ ke garis $g$ pada gambar di atas, jika kita tarik beberapa ruas garis dari titik $A$ ke garis $g$ ada beberapa kondisi, gambarannya seperti berikut:
Yang menjadi jarak titik $A$ dengan garis $g$ adalah jarak terpendek yaitu $AD$. Jarak terpendek terjadi saat ruas garis ditarik dari titik $A$ dan tegak lurus dengan garis $g$ atau $AD$ merupakan jarak terpendek dimana $D$ merupakan proyeksi $A$ pada garis $g$.
Contoh:
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ tentukan jarak titik $B$ ke garis $EG$.
Jika kita gambarkan kedudukan titik $B$ dan garis $EG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ adalah sebagai berikut:
Jika kita tarik garis bantu dari titik $B$ ke titik $E$ dan $G$ kita peroleh segitiga $BEG$. Segitiga dengan sisi-sisinya adalah $BE$, $EG$, dan $BG$ yang merupakan diagonal bidang sehingga $BEG$ adalah segitiga samasisi. Gambaran segitiganya seperti berikut ini.
Karena $BEG$ segitiga samasisi maka hasil proyeksi titik $B$ ke garis $EG$ adalah di titik $P$. Kita peroleh $BP$ merupakan garis tinggi dan juga merupakan garis berat sehingga $BP$ tegak lurus $EG$ dan kita peroleh juga $PE=EG=3\sqrt{2}$.
Jarak titik $B$ ke $EG$ adalah $BP$, jaraknya adalah:
$\begin{align}
BE^{2} &= BP^{2}+ EP^{2} \\
\left( 6\sqrt{2} \right)^{2} &= BP^{2}+ \left( 3\sqrt{2} \right)^{2} \\
72 &= BP^{2}+ 18 \\
BP^{2} &= 72-18 \\
BP &= \sqrt{ 54 } = 3\sqrt{6}
\end{align}$
CARA MENGHITUNG JARAK TITIK ke BIDANG
Untuk menghitung jarak titik ke bidang pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan jarak-jarak titik lain yang diketahui. Jarak dua objek dalam ruang (dimensi tiga) adalah jarak terpendek yang ditarik dari kedua objek itu. Misalnya untuk menentukan jarak titik $A$ ke bidang $\alpha$ pada gambar di bawah ini.
Jarak antara titik $A$ dan bidang $\alpha$ adalah panjang ruas garis $AA'$, dimana $AA'$ merupakan proyeksi $A$ pada bidang $\alpha$.
Soal Latihan dan Pembahasan Jarak Titik - Garis - Bidang
Untuk menambah pemahaman kita terkait Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) mari kita coba berlatih dari beberapa soal latihan berikut. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Untuk melihat soal-soal terkait geometri atau dimensi tiga yang sudah pernah diujikan pada tes masuk PTN atau sekolah kedinasan, silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Dimensi Tiga.
1. Soal Latihan Jarak Titik ke Titik
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak titik $H$ ke $P$ dimana $P$ adalah titik tengah $BF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan titik $H$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $H$ ke titik $P$ dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis $HP$. Panjang ruas garis $HP$ dapat kita hitung dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku $HPF$.
$\begin{align} HP^{2} &= HF^{2} + FP^{2} \\ HP^{2} &= \left( 6\sqrt{2} \right)^{2} + \left( 3 \right)^{2} \\ HP^{2} &= 72 + 9 \\ HP &= \sqrt{81}=9 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
2. Soal Latihan Jarak Titik ke Titik
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ terdapat titik $P$ di tengah-tengah $EH$ dan titik $Q$ perpotongan diagonal-diagonal $BCGF$. Jarak titik $P$ ke $Q$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan titik $Q$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $P$ ke titik $Q$ dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis $PQ$. Panjang ruas garis $PQ$ dapat kita hitung dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku $PQR$.
$\begin{align} PQ^{2} &= PR^{2} + QR^{2} \\ PQ^{2} &= \left( 6 \right)^{2} + \left( 3 \right)^{2} \\ PQ^{2} &= 36 + 9 \\ PQ &= \sqrt{45}=3\sqrt{5} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3\sqrt{5}$
3. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $8\ \text{cm}$, jarak titik $A$ ke garis $HF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan garis $HF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke garis $HF$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $AHF$, kita sebut $AO$.
Jika kita tarik garis bantu dari titik $A$ ke titik $H$ dan $F$ kita peroleh segitiga $AHF$. Segitiga dengan sisi-sisinya adalah $AH$, $HF$, dan $AF$ yang merupakan diagonal bidang sehingga $AHF$ adalah segitiga samasisi.
Karena $AHF$ segitiga samasisi maka hasil proyeksi titik $A$ ke garis $HF$ adalah di titik $O$. Kita peroleh $AO$ merupakan garis tinggi dan juga merupakan garis berat sehingga $AO$ tegak lurus $HF$ dan kita peroleh juga $OH=OF=4\sqrt{2}$.
Jarak titik $A$ ke $HF$ adalah $AO$, jaraknya adalah:
$\begin{align}
AF^{2} &= AO^{2}+ OF^{2} \\
\left( 8\sqrt{2} \right)^{2} &= AO^{2}+ \left( 4\sqrt{2} \right)^{2} \\
128 &= AO^{2}+ 32 \\
AO^{2} &= 96 \\
AO &= \sqrt{ 96 } = 4\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\sqrt{6}$
4. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$, jarak titik $A$ ke garis $EC$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan garis $EC$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke garis $EF$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $AEC$, kita sebut $AO$.
Jika kita tarik garis bantu yang membentuk bidang $ACGE$ kita peroleh segitiga $ACE$ yang siku-siku di $A$. Pada segitiga $ACE$ hasil proyeksi titik $A$ ke garis $CE$ adalah di titik $O$, sehingga $AO$ tegak lurus $DE$.
Dengan menggunakan konsep luas segitiga pada $ACE$ dapat kita peroleh $AO$ yaitu:
\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot EC \cdot AO &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AE \\
\dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot AO &= \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 \\
6\sqrt{3} \cdot AO &= 6\sqrt{2} \cdot 6 \\
AO &= \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
AO &= 2\sqrt{6}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{6}$
6. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ \text{cm}$ terdapat titik $P$ dari perpotongan $BG$ dan $CF$. Jarak titik $P$ ke bidang $ADHE$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan bidang $ADHE$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $P$ ke bidang $ADHE$ dari gambar kubus di atas kita sebut $OP$.
Jika kita proyeksikan titik $P$ yang merupakan titik potong dua diagonal persegi ke bidang $ADHE$ akan kita peroleh titik $O$ yang juga merupakan titik potong dua diagonal persegi.
Sehingga jarak titik $P$ ke bidang $ADHE$ yaitu $OP$ panjangnya sama dengan $AB=4\ \text{cm}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
7. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\sqrt{2}\ \text{cm}$ terdapat titik $P$ di tengah-tengah $AE$. Jarak titik $P$ ke bidang $BDHF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan bidang $BDHF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jika kita tarik garis bantu dari titik $P$ ke bidang $BDHF$ kita peroleh limas $P.BDHF$. Jika kita proyeksikan titik $P$ ke bidang $BDHF$ kita peroleh titik hasil proyeksi adalah $O$, sehingga jarak titik $P$ ke bidang $BDHF$ adalah $OP$.
\begin{align}
BP^{2} &= OB^{2}+OP^{2} \\
\hline
BP^{2} &= AB^{2}+AP^{2} \\
BP^{2} &= \left( 2\sqrt{2} \right)^{2}+\left( 4\sqrt{2} \right)^{2} \\
BP^{2} &= 8+32=40 \\
\hline
BP^{2} &= OB^{2}+OP^{2} \\
40 &= \left( \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \right)^{2}+OP^{2} \\
40 &= \left( 2\sqrt{6} \right)^{2}+OP^{2} \\
40 &= 24+OP^{2} \\
OP^{2} &= 16 \\
OP &= \sqrt{16}=4
\end{align}
Alternatif lain untuk menghitung jarak $OP$ dapat kita gunakan diagonal $AC$, jika kita perhatikan panjang $OP$ adalah setengah dari $AC$.
Sehingga dapa kita peroleh jarak titik $P$ ke bidang $BDHF$ adalah:
\begin{align}
OP &= \frac{1}{2}AC \\
OP &= \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \\
OP &= 2\sqrt{4}=4
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
8. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk dengan rusuk $6\ \text{cm}$ jarak titik $E$ ke bidang $AFH$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $E$ dan bidang $AFH$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $E$ ke bidang $AFH$ dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis $EP$.
Jika kita proyeksikan titik $E$ ke bidang $AFH$ kita peroleh titik hasil proyeksi adalah $P$, sehingga jarak titik $P$ ke bidang $BDHF$ adalah $EP$. Dengan menggunakan konsep luas segitiga pada segitiga $AOE$ kita peroleh:
\begin{align}
\frac{1}{2} \cdot AO \cdot EP &= \frac{1}{2} \cdot AE \cdot EO \\
AO \cdot EP &= 6 \cdot 3\sqrt{2} \\
\hline
AO^{2} &= EO^{2}+AE^{2} \\
AO^{2} &= \left( 3\sqrt{2} \right)^{2}+6^{2} \\
AO^{2} &= 18 + 36 \\
AO &= \sqrt{54}=3\sqrt{6} \\
\hline
AO \cdot EP &= 6 \cdot 3\sqrt{2} \\
3\sqrt{6} \cdot EP &= 6 \cdot 3\sqrt{2} \\
EP &= \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}
Alternatif lain untuk menghitung jarak $EP$ dapat kita gunakan diagonal $\dfrac{1}{3}EC$, silahkan disimak catatan menghitung jarak dua bidang yang sejajar.
\begin{align}
EP &= \frac{1}{3}AC \\
EP &= \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \\
EP &= 2\sqrt{3}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2\sqrt{3}$
9. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $16\ \text{cm}$ titik $P$ di tengah-tengah $AB$. Jarak titik $P$ ke garis $FH$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan garis $FH$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jika kita proyeksikan titik $P$ ke garis $FH$ kita peroleh titik hasil proyeksi adalah $O$, sehingga jarak titik $P$ ke garis $HF$ adalah $OP$.
Dari segitiga siku-siku $APH$ dapat kita hitung panjang $PH$ yaitu:
$\begin{align}
PH^{2} &= AH^{2}+PH^{2} \\
PH^{2} &= \left( 16\sqrt{2} \right)^{2}+8^{2} \\
PH^{2} &= 512+64 \\
PH &= \sqrt{576}=24
\end{align}$
Dari segitiga siku-siku $BFP$ dapat kita hitung panjang $FP$ yaitu:
$\begin{align}
FP^{2} &= BP^{2}+BF^{2} \\
FP^{2} &= 16^{2}+8^{2} \\
FP^{2} &= 256+64 \\
FP &= \sqrt{320}=8\sqrt{5}
\end{align}$
Pada $\triangle PFH$ kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi yaitu $[PFH]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle PFH$.
$\begin{align}s &= \dfrac{1}{2}\left( FP+PH+HF \right) \\ s &= \dfrac{1}{2}\left( 8\sqrt{5}+24+16\sqrt{2} \right) \\ s &= 4 \left( \sqrt{5}+3+2\sqrt{2} \right) \\ \hline s-a &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-8\sqrt{5} \\ &=12+8\sqrt{2}-4\sqrt{5} \\ &= 4 \left( 3+2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right) \\ \hline s-b &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-24 \\ &=4\sqrt{5}+8\sqrt{2}-12 \\ &= 4 \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}-3 \right) \\ \hline s-c &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-16\sqrt{2} \\ &=4\sqrt{5}+12-8\sqrt{2} \\ &= 4 \left( \sqrt{5}+3-2 \sqrt{2} \right) \\ \end{align}$
$\begin{align}
\left[PFH \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&= \sqrt{4 \left( 3+2\sqrt{2}+\sqrt{5} \right)4 \left( 3+2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right)4 \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}-3 \right)4 \left( \sqrt{5}+3-2 \sqrt{2} \right)} \\
&= \sqrt{4^{4} \left( 12+12\sqrt{2} \right)\left( -12+12\sqrt{2} \right)} \\
&= \sqrt{4^{4} \cdot 12^{2} \left( 1+ \sqrt{2} \right)\left( -1+ \sqrt{2} \right)} \\
&= 4^{2} \cdot 12 \sqrt{ \left( -1+2 \right)} \\
&= 192 \\
\end{align}$
Luas $\triangle PFC$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[PFH \right] &= \dfrac{1}{2} \times FH \times OP \\
&= \dfrac{1}{2} \times 16\sqrt{2} \times OP \\
192 &= 8\sqrt{2} \times OP \\
OP &= \dfrac{192}{8\sqrt{2}} \\
OP &= 12\sqrt{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12\sqrt{2}$
10. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk dengan rusuk $6\ \text{cm}$ terdapat titik $P$ perpotongan diagonal-diagonal $BCGF$. Jarak titik $P$ ke garis $HB$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan garis $HB$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $P$ ke garis $HB$ dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis $OP$.
Dari segitiga siku-siku $HGP$ dapat kita hitung panjang $PH$ yaitu:
$\begin{align}
PH^{2} &= GP^{2}+GH^{2} \\
PH^{2} &= \left( 3\sqrt{2} \right)^{2}+6^{2} \\
PH^{2} &= 18+36 \\
PH &= \sqrt{54}=3\sqrt{6}
\end{align}$
Pada $\triangle BPH$ kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi yaitu $[BPH]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle BPH$.
$\begin{align}s &= \dfrac{1}{2}\left( BP+PH+HB \right) \\ s &= \dfrac{1}{2}\left( 3\sqrt{2}+3\sqrt{6}+6\sqrt{3} \right) \\ s &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right) \\ \hline s-a &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right)- 3\sqrt{2} \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \right) \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{6}+2\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) \\ \hline s-b &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right)- 3\sqrt{6} \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}\right) \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ 2\sqrt{3} - \sqrt{6}\right) \\ \hline s-c &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right)- 6\sqrt{3} \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\right) \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6} - 2\sqrt{3} \right) \\ \end{align}$
$\begin{align}
\left[BPH \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&= \sqrt{\dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right) \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{6}+2\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ 2\sqrt{3} - \sqrt{6}\right) \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6} - 2\sqrt{3} \right) } \\
&= \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2} \sqrt{ \left( 16+12\sqrt{2} \right)\left( -16+12\sqrt{2} \right)} \\
&= \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2} \sqrt{ 32 } \\
&= 9 \sqrt{ 2 }
\end{align}$
Luas $\triangle BPH$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[BPH \right] &= \dfrac{1}{2} \times BH \times OP \\
&= \dfrac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times OP \\
9 \sqrt{ 2 } &= 3\sqrt{3} \times OP \\
OP &= \dfrac{3\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \\
OP &= \sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \sqrt{6}$
11. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Diketahui limas segiempat beraturan $T.ABCD$ dengan panjang rusuk alas $6\sqrt{2}\ \text{cm}$ dan panjang rusuk tegak $10\ \text{cm}$. Jika $P$ adalah titik tengah $CT$ maka jarak titik $P$ ke diagonal sisi $BD$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan garis $BD$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:
Jarak titik $P$ ke garis $BD$ dari gambar limas di atas merupakan panjang ruas garis $OP$. Karena $OP$ adalah segitiga sama kaki, sehingga proyeksi titik $P$ ke garis $BD$ berada tepat ditengah $BD$.
Dari segitiga $ACT$ dan segitiga $OCP$ merupakan dua segitiga yang sebangun sehingga dapat kita hitung panjang $OP$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{OP}{AT} &= \dfrac{OC}{AC} \\
\dfrac{OP}{AT} &= \dfrac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\
\dfrac{OP}{10} &= \dfrac{1}{2} \\
OP &= 5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
12. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Diketahui limas segiempat beraturan $T.ABCD$ dengan panjang rusuk alas $4\ \text{cm}$ dan panjang rusuk tegak $6\ \text{cm}$. Jika $E$ titik potong diagonal alas, maka jarak titik $E$ ke bidang $TBC$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $E$ dan bidang $TBC$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:
Jarak titik $E$ ke bidang $TBC$ dari gambar limas di atas merupakan panjang ruas garis $EG$.
Jika kita gunakan garis bantu sehingga kita peroleh segitiga siku-siku $FET$ yang siku-siku di $E$ maka kita peroleh $EF=2$, ET=2\sqrt{7}, dan $FT=4\sqrt{2}$.
Dari segitiga siku-siku $AET$ kita peroleh panjang $ET$ yaitu:
$\begin{align}
AT^{2} &= AE^{2}+ET^{2} \\
6^{2} &= \left( 2\sqrt{2} \right)^{2}+ET^{2} \\
36 &= 8+ET^{2} \\
ET^{2} &= 28 \\
ET &= \sqrt{28}=2\sqrt{7}
\end{align}$
Dari segitiga siku-siku $BFT$ kita peroleh panjang $FT$ yaitu:
$\begin{align}
BT^{2} &= BF^{2}+FT^{2} \\
6^{2} &= 2^{2}+FT^{2} \\
36 &= 4+FT^{2} \\
FT^{2} &= 32 \\
FT &= \sqrt{32}=4\sqrt{2}
\end{align}$
Pada segitiga siku-siku $FET$ kita gunakan konsep Luas Segitiga yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot FT \cdot EG &= \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot ET \\
4\sqrt{2} \cdot EG &= 2 \cdot 2\sqrt{7} \\
EG &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{14}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{14}$
13. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $16\ \text{cm}$. Titik $P$ ditengah-tengah $AB$. Jarak titik $P$ ke $EG$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan garis $EG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $P$ ke garis $EG$ dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis $OP$.
Dari segitiga siku-siku $BPG$ dapat kita hitung panjang $PG$ yaitu:
$\begin{align}
PG^{2} &= BG^{2}+PB^{2} \\
PG^{2} &= \left( 16\sqrt{2} \right)^{2}+8^{2} \\
PG^{2} &= 512+64 \\
PG &= \sqrt{576}=24
\end{align}$
Dari segitiga siku-siku $APE$ dapat kita hitung panjang $EP$ yaitu:
$\begin{align}
EP^{2} &= AE^{2}+PE^{2} \\
EP^{2} &= 16^{2}+8^{2} \\
EP^{2} &= 256+64 \\
EP &= \sqrt{320}=8\sqrt{5}
\end{align}$
Pada $\triangle EPG$ kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi yaitu $[EPG]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle EPG$.
$\begin{align}s &= \dfrac{1}{2}\left( EP+PG+GE \right) \\ s &= \dfrac{1}{2}\left( 8\sqrt{5}+24+16\sqrt{2} \right) \\ s &= 4 \left( \sqrt{5}+3+2\sqrt{2} \right) \\ \hline s-a &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-8\sqrt{5} \\ &=12+8\sqrt{2}-4\sqrt{5} \\ &= 4 \left( 3+2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right) \\ \hline s-b &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-24 \\ &=4\sqrt{5}+8\sqrt{2}-12 \\ &= 4 \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}-3 \right) \\ \hline s-c &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-16\sqrt{2} \\ &=4\sqrt{5}+12-8\sqrt{2} \\ &= 4 \left( \sqrt{5}+3-2 \sqrt{2} \right) \\ \end{align}$
$\begin{align}
\left[EPG \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&= \sqrt{4 \left( 3+2\sqrt{2}+\sqrt{5} \right)4 \left( 3+2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right)4 \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}-3 \right)4 \left( \sqrt{5}+3-2 \sqrt{2} \right)} \\
&= \sqrt{4^{4} \left( 12+12\sqrt{2} \right)\left( -12+12\sqrt{2} \right)} \\
&= \sqrt{4^{4} \cdot 12^{2} \left( 1+ \sqrt{2} \right)\left( -1+ \sqrt{2} \right)} \\
&= 4^{2} \cdot 12 \sqrt{ \left( -1+2 \right)} \\
&= 192 \\
\end{align}$
Luas $\triangle EPG$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[EPG \right] &= \dfrac{1}{2} \times EG \times OP \\
&= \dfrac{1}{2} \times 16\sqrt{2} \times OP \\
192 &= 8\sqrt{2} \times OP \\
OP &= \dfrac{192}{8\sqrt{2}} \\
OP &= 12\sqrt{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{2}$
14. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $\sqrt{12}\ \text{cm}$. Titik $Q$ terletak pada $AD$ sedemikian hingga $AQ = 2\ \text{cm}$ . Jarak titik $A$ ke bidang $QBF$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ ke bidang $QBF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke bidang $QBF$ dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis $AO$.
Dari segitiga siku-siku $AQB$ kita peroleh panjang $BQ$ yaitu:
$\begin{align}
BQ^{2} &= AB^{2}+AQ^{2} \\
BQ^{2} &= \left( \sqrt{12} \right)^{2}+2^{2} \\
BQ^{2} &= 12+4 \\
BQ^{2} &= 16 \\
BQ &= \sqrt{16}=4
\end{align}$
Pada segitiga siku-siku $AQB$ kita gunakan konsep Luas Segitiga yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot BQ \cdot AO &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AQ \\
4 \cdot AO &= \sqrt{12} \cdot 2 \\
AO &= \dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{3}$
15. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ \text{cm}$ tedapat titik $P$ ditengah-tengah $FB$. Jarak titik $P$ ke bidang $ACH$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan bidang $ACH$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $P$ ke bidang $ACH$ dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis $OP$.
Dari segitiga siku-siku $ABP$ kita peroleh panjang $AP$ yaitu:
$\begin{align}
AP^{2} &= AB^{2}+BP^{2} \\
AP^{2} &= 6^{2}+3^{2} \\
AP^{2} &= 36+9 \\
AP &= \sqrt{45}=3\sqrt{5}
\end{align}$
Dari segitiga siku-siku $AOP$ kita peroleh panjang $OP$ yaitu:
$\begin{align}
AP^{2} &= OP^{2}+OA^{2} \\
\left( 3\sqrt{5} \right)^{2} &= OP^{2}+\left( 3\sqrt{2} \right)^{2} \\
45 &= OP^{2}+18 \\
OP^{2} &= 45-18 \\
OP &= \sqrt{27}=3\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3\sqrt{3}$
16. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $2\ \text{cm}$, diketahui titik $P$ terletak di tengah-tengah ruas garis $BC$. Jarak titik $H$ ke bidang $DGP$ adalah...$\text{cm}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $H$ dan bidang $DGP$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak $H$ ke bidang $DGP$ dari gambar kubus di atas, sepertinya belum terlihat, karena jika kita proyeksikan titik $H$ ke bidang $DGP$ yang ada pada kubus $ABCD.EFGH$ tempat letak titik hasil proyeksi tidak ada.
Untuk itu bidang $DGP$ kita perluas menjadi $DPGR$ seperti gambar berikut ini:
Jarak $H$ ke bidang $DGP$ dari gambar kubus di atas adalah $OH$.
Dengan menggunakan beberapa garis bantu dapat kita gambarkan segitiga siku-siku $RHQ$, sehingga kita peroleh panjang $RQ$ yaitu:
$\begin{align}
RQ^{2} &= RH^{2}+QH^{2} \\
RQ^{2} &= 1^{2}+\left( \sqrt{2} \right)^{2} \\
RQ^{2} &= 1 + 2 \\
RQ &= \sqrt{3}
\end{align}$
Pada segitiga siku-siku $RHQ$ kita gunakan konsep Luas Segitiga yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot RQ \cdot OH &= \dfrac{1}{2} \cdot RH \cdot HQ \\
\sqrt{3} \cdot OH &= 1 \cdot \sqrt{2} \\
OH &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
OH &= \dfrac{1}{3} \sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{3} \sqrt{6}$
17. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Panjang setiap rusuk bidang empat beraturan $T. ABC$ sama dengan $16\ \text{cm}$. Jika $P$ pertengahan $AT$ dan $Q$ pertengahan $BC$, maka $PQ = \cdots \text{cm}$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan titik $Q$ pada bidang empat berarturan $T. ABC$ seperti berikut ini:
Titik $P$ dan $Q$ merupakan titik tengah $AT$ dan $BC$ pada bidang empat beraturan, sehingga kita peroleh $\triangle CPT$ yang siku-siku di $P$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
CP&=\sqrt{CT^{2}-TP^{2}} \\
&=\sqrt{16^{2}-8^{2}} \\
&=\sqrt{256-64} \\
&=\sqrt{192} \\
&=8\sqrt{3} \\
\end{align}$
Pada $\triangle PQC$ yang siku-siku di $Q$, berlaku;
$\begin{align}
PQ &= \sqrt{CP^{2}-CQ^{2}} \\
&=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-8^{2}} \\
&=\sqrt{192-64} \\
&=\sqrt{128} \\
&=8\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8\sqrt{2}$
Catatan tentang Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) dan Pembahasan Soal Latihan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.