
The good student, bersama calon guru kita belajar matematika bagaimana cara menghitung jarak titik dengan titik, jarak titik dengan garis, jarak titik dengan bidang, jarak garis dengan garis, jarak garis dengan bidang, dan jarak bidang dengan bidang pada ruang (dimensi tiga).
Pada catatan ini kita diskusikan tentang jarak titik dengan titik, jarak titik dengan garis dan jarak titik dengan bidang, sedangkan jarak garis dengan garis, jarak garis dengan bidang, dan jarak bidang dengan bidang silahkan disimak pada catatan Cara Menghitung Jarak Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga).
Sebagai modal dasar dalam belajar menghitung jarak titik, garis dan bidang ini, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema pythagoras, karena dalam diskusi ini banyak menggunakan teorema pythagoras.
CARA MENGHITUNG JARAK TITIK ke TITIK
Sebagai contoh jarak dua titik yang sudah pernah kita kenal adalah jarak dua titik pada koordinat kartesius, yaitu untuk titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2), jarak kedua titik itu adalah:
d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2
Untuk menghitung jarak dua titik pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan jarak-jarak titik lain yang diketahui. Jarak dua objek dalam ruang (dimensi tiga) adalah jarak terpendek yang ditarik dari kedua objek itu.
Misalnya pada sebuah kubus, dengan bantuan teorema pythagoras ada banyak jarak titik yang mungkin bisa kita hitung. Berikut ini coba kita gambarkan beberapa jarak titik pada kubus yang bisa dihitung untuk panjang rusuk kubus kita misalkan dengan a.

Contoh:
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm terdapat titik P di tengah-tengah AB. Tentukan jarak titik G ke titik P
Jika kita gambarkan kedudukan titik G dan P pada kubus ABCD.EFGH adalah sebagai berikut:

Jika kesulitan melihat segitiga siku-siku PBG pada kubus di atas, kita bisa angkat bidang diagonal dari kubus yaitu ABGH, sehingga kita peroleh gambarannya seperti berikut:

Dari gambar persegi panjang ABGH di atas sudah jelas bahwa segitiga PBG adalah segitiga siku-siku di B.
- Panjang BP=12AB=4
- Panjang BG yang merupakan diagonal bidang
BG2=BC2+CG2BG2=82+82BG=√64+64=8√2 - Untuk menghitung jarak titik G ke titik P, dapat kita hitung panjang ruas garis GP dengan menggunakan teorema pythagoras.
GP2=PB2+BG2GP2=42+(8√2)2GP2=16+128GP=√144=12
Jarak titik G ke titik P adalah 12 cm
CARA MENGHITUNG JARAK TITIK ke GARIS
Sebagai contoh jarak titik ke garis yang sudah pernah kita kenal adalah jarak titik ke garis pada koordinat kartesius, yaitu jarak titik (x1,y1) dengan garis ax+by+c=0 adalah:
d=|ax1+by1+c√a2+b2|
Untuk menghitung jarak titik ke garis pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan jarak-jarak titik lain yang diketahui. Jarak dua objek dalam ruang (dimensi tiga) adalah jarak terpendek yang ditarik dari kedua objek itu. Misalnya untuk menentukan jarak titik A ke garis g pada gambar di bawah ini.

Untuk menentukan jarak titik A ke garis g pada gambar di atas, jika kita tarik beberapa ruas garis dari titik A ke garis g ada beberapa kondisi, gambarannya seperti berikut:

Yang menjadi jarak titik A dengan garis g adalah jarak terpendek yaitu AD. Jarak terpendek terjadi saat ruas garis ditarik dari titik A dan tegak lurus dengan garis g atau AD merupakan jarak terpendek dimana D merupakan proyeksi A pada garis g.
Contoh:
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm tentukan jarak titik B ke garis EG.
Jika kita gambarkan kedudukan titik B dan garis EG pada kubus ABCD.EFGH adalah sebagai berikut:

Jika kita tarik garis bantu dari titik B ke titik E dan G kita peroleh segitiga BEG. Segitiga dengan sisi-sisinya adalah BE, EG, dan BG yang merupakan diagonal bidang sehingga BEG adalah segitiga samasisi. Gambaran segitiganya seperti berikut ini.

Karena BEG segitiga samasisi maka hasil proyeksi titik B ke garis EG adalah di titik P. Kita peroleh BP merupakan garis tinggi dan juga merupakan garis berat sehingga BP tegak lurus EG dan kita peroleh juga PE=EG=3√2.
Jarak titik B ke EG adalah BP, jaraknya adalah:
BE2=BP2+EP2(6√2)2=BP2+(3√2)272=BP2+18BP2=72−18BP=√54=3√6
CARA MENGHITUNG JARAK TITIK ke BIDANG
Untuk menghitung jarak titik ke bidang pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan jarak-jarak titik lain yang diketahui. Jarak dua objek dalam ruang (dimensi tiga) adalah jarak terpendek yang ditarik dari kedua objek itu. Misalnya untuk menentukan jarak titik A ke bidang α pada gambar di bawah ini.

Jarak antara titik A dan bidang α adalah panjang ruas garis AA′, dimana AA′ merupakan proyeksi A pada bidang α.
Soal Latihan dan Pembahasan Jarak Titik - Garis - Bidang
Untuk menambah pemahaman kita terkait Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) mari kita coba berlatih dari beberapa soal latihan berikut. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
Nama Peserta : | |
Tanggal Tes : | Rabu, 30 Juli 2025 |
Jumlah Soal : | 16 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Jarak Titik ke Titik
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm jarak titik H ke P dimana P adalah titik tengah BF adalah...cm
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan titik H pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik H ke titik P dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis HP. Panjang ruas garis HP dapat kita hitung dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku HPF.
HP2=HF2+FP2HP2=(6√2)2+(3)2HP2=72+9HP=√81=9
∴ Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 9
2. Soal Latihan Jarak Titik ke Titik
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6\ \text{cm} terdapat titik P di tengah-tengah EH dan titik Q perpotongan diagonal-diagonal BCGF. Jarak titik P ke Q adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan titik Q pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik P ke titik Q dari gambar kubus di atas merupakan ruas garis PQ. Panjang ruas garis PQ dapat kita hitung dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku PQR.
\begin{align} PQ^{2} &= PR^{2} + QR^{2} \\ PQ^{2} &= \left( 6 \right)^{2} + \left( 3 \right)^{2} \\ PQ^{2} &= 36 + 9 \\ PQ &= \sqrt{45}=3\sqrt{5} \end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 3\sqrt{5}
3. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8\ \text{cm}, jarak titik A ke garis HF adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik A dan garis HF pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik A ke garis HF dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga AHF, kita sebut AO.
Jika kita tarik garis bantu dari titik A ke titik H dan F kita peroleh segitiga AHF. Segitiga dengan sisi-sisinya adalah AH, HF, dan AF yang merupakan diagonal bidang sehingga AHF adalah segitiga samasisi.
Karena AHF segitiga samasisi maka hasil proyeksi titik A ke garis HF adalah di titik O. Kita peroleh AO merupakan garis tinggi dan juga merupakan garis berat sehingga AO tegak lurus HF dan kita peroleh juga OH=OF=4\sqrt{2}.
Jarak titik A ke HF adalah AO, jaraknya adalah:
\begin{align}
AF^{2} &= AO^{2}+ OF^{2} \\
\left( 8\sqrt{2} \right)^{2} &= AO^{2}+ \left( 4\sqrt{2} \right)^{2} \\
128 &= AO^{2}+ 32 \\
AO^{2} &= 96 \\
AO &= \sqrt{ 96 } = 4\sqrt{6}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 4\sqrt{6}
4. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6\ \text{cm}, jarak titik A ke garis EC adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik A dan garis EC pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik A ke garis EF dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga AEC, kita sebut AO.
Jika kita tarik garis bantu yang membentuk bidang ACGE kita peroleh segitiga ACE yang siku-siku di A. Pada segitiga ACE hasil proyeksi titik A ke garis CE adalah di titik O, sehingga AO tegak lurus DE.
Dengan menggunakan konsep luas segitiga pada ACE dapat kita peroleh AO yaitu:
\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot EC \cdot AO &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AE \\
\dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot AO &= \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 \\
6\sqrt{3} \cdot AO &= 6\sqrt{2} \cdot 6 \\
AO &= \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
AO &= 2\sqrt{6}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ 2\sqrt{6}
5. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4\ \text{cm} terdapat titik P dari perpotongan BG dan CF. Jarak titik P ke bidang ADHE adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan bidang ADHE pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik P ke bidang ADHE dari gambar kubus di atas kita sebut OP.
Jika kita proyeksikan titik P yang merupakan titik potong dua diagonal persegi ke bidang ADHE akan kita peroleh titik O yang juga merupakan titik potong dua diagonal persegi.
Sehingga jarak titik P ke bidang ADHE yaitu OP panjangnya sama dengan AB=4\ \text{cm}.
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E)\ 4
6. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4\sqrt{2}\ \text{cm} terdapat titik P di tengah-tengah AE. Jarak titik P ke bidang BDHF adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jika kita tarik garis bantu dari titik P ke bidang BDHF kita peroleh limas P.BDHF. Jika kita proyeksikan titik P ke bidang BDHF kita peroleh titik hasil proyeksi adalah O, sehingga jarak titik P ke bidang BDHF adalah OP.
\begin{align}
BP^{2} &= OB^{2}+OP^{2} \\
\hline
BP^{2} &= AB^{2}+AP^{2} \\
BP^{2} &= \left( 2\sqrt{2} \right)^{2}+\left( 4\sqrt{2} \right)^{2} \\
BP^{2} &= 8+32=40 \\
\hline
BP^{2} &= OB^{2}+OP^{2} \\
40 &= \left( \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \right)^{2}+OP^{2} \\
40 &= \left( 2\sqrt{6} \right)^{2}+OP^{2} \\
40 &= 24+OP^{2} \\
OP^{2} &= 16 \\
OP &= \sqrt{16}=4
\end{align}
Alternatif lain untuk menghitung jarak OP dapat kita gunakan diagonal AC, jika kita perhatikan panjang OP adalah setengah dari AC.

Sehingga dapa kita peroleh jarak titik P ke bidang BDHF adalah:
\begin{align}
OP &= \frac{1}{2}AC \\
OP &= \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \\
OP &= 2\sqrt{4}=4
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 4
7. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk dengan rusuk 6\ \text{cm} jarak titik E ke bidang AFH adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik E dan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik E ke bidang AFH dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis EP.
Jika kita proyeksikan titik E ke bidang AFH kita peroleh titik hasil proyeksi adalah P, sehingga jarak titik P ke bidang BDHF adalah EP. Dengan menggunakan konsep luas segitiga pada segitiga AOE kita peroleh:
\begin{align}
\frac{1}{2} \cdot AO \cdot EP &= \frac{1}{2} \cdot AE \cdot EO \\
AO \cdot EP &= 6 \cdot 3\sqrt{2} \\
\hline
AO^{2} &= EO^{2}+AE^{2} \\
AO^{2} &= \left( 3\sqrt{2} \right)^{2}+6^{2} \\
AO^{2} &= 18 + 36 \\
AO &= \sqrt{54}=3\sqrt{6} \\
\hline
AO \cdot EP &= 6 \cdot 3\sqrt{2} \\
3\sqrt{6} \cdot EP &= 6 \cdot 3\sqrt{2} \\
EP &= \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}
Alternatif lain untuk menghitung jarak EP dapat kita gunakan diagonal \dfrac{1}{3}EC, silahkan disimak catatan menghitung jarak dua bidang yang sejajar.
\begin{align}
EP &= \frac{1}{3}AC \\
EP &= \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \\
EP &= 2\sqrt{3}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E)\ 2\sqrt{3}
8. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 16\ \text{cm} titik P di tengah-tengah AB. Jarak titik P ke garis FH adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan garis FH pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jika kita proyeksikan titik P ke garis FH kita peroleh titik hasil proyeksi adalah O, sehingga jarak titik P ke garis HF adalah OP.
Dari segitiga siku-siku APH dapat kita hitung panjang PH yaitu:
\begin{align}
PH^{2} &= AH^{2}+PH^{2} \\
PH^{2} &= \left( 16\sqrt{2} \right)^{2}+8^{2} \\
PH^{2} &= 512+64 \\
PH &= \sqrt{576}=24
\end{align}
Dari segitiga siku-siku BFP dapat kita hitung panjang FP yaitu:
\begin{align}
FP^{2} &= BP^{2}+BF^{2} \\
FP^{2} &= 16^{2}+8^{2} \\
FP^{2} &= 256+64 \\
FP &= \sqrt{320}=8\sqrt{5}
\end{align}
Pada \triangle PFH kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi yaitu [PFH]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} dimana s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle PFH.
\begin{align} s &= \dfrac{1}{2}\left( FP+PH+HF \right) \\ s &= \dfrac{1}{2}\left( 8\sqrt{5}+24+16\sqrt{2} \right) \\ s &= 4 \left( \sqrt{5}+3+2\sqrt{2} \right) \\ \hline s-a &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-8\sqrt{5} \\ &=12+8\sqrt{2}-4\sqrt{5} \\ &= 4 \left( 3+2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right) \\ \hline s-b &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-24 \\ &=4\sqrt{5}+8\sqrt{2}-12 \\ &= 4 \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}-3 \right) \\ \hline s-c &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-16\sqrt{2} \\ &=4\sqrt{5}+12-8\sqrt{2} \\ &= 4 \left( \sqrt{5}+3-2 \sqrt{2} \right) \\ \end{align}\begin{align} \left[PFH \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &= \sqrt{4 \left( 3+2\sqrt{2}+\sqrt{5} \right)4 \left( 3+2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right)4 \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}-3 \right)4 \left( \sqrt{5}+3-2 \sqrt{2} \right)} \\ &= \sqrt{4^{4} \left( 12+12\sqrt{2} \right)\left( -12+12\sqrt{2} \right)} \\ &= \sqrt{4^{4} \cdot 12^{2} \left( 1+ \sqrt{2} \right)\left( -1+ \sqrt{2} \right)} \\ &= 4^{2} \cdot 12 \sqrt{ \left( -1+2 \right)} \\ &= 192 \\ \end{align}
Luas \triangle PFC dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
\begin{align}
\left[PFH \right] &= \dfrac{1}{2} \times FH \times OP \\
&= \dfrac{1}{2} \times 16\sqrt{2} \times OP \\
192 &= 8\sqrt{2} \times OP \\
OP &= \dfrac{192}{8\sqrt{2}} \\
OP &= 12\sqrt{2} \\
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ 12\sqrt{2}
9. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk dengan rusuk 6\ \text{cm} terdapat titik P perpotongan diagonal-diagonal BCGF. Jarak titik P ke garis HB adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan garis HB pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik P ke garis HB dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis OP.
Dari segitiga siku-siku HGP dapat kita hitung panjang PH yaitu:
\begin{align}
PH^{2} &= GP^{2}+GH^{2} \\
PH^{2} &= \left( 3\sqrt{2} \right)^{2}+6^{2} \\
PH^{2} &= 18+36 \\
PH &= \sqrt{54}=3\sqrt{6}
\end{align}
Pada \triangle BPH kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi yaitu [BPH]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} dimana s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle BPH.
\begin{align} s &= \dfrac{1}{2}\left( BP+PH+HB \right) \\ s &= \dfrac{1}{2}\left( 3\sqrt{2}+3\sqrt{6}+6\sqrt{3} \right) \\ s &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right) \\ \hline s-a &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right)- 3\sqrt{2} \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \right) \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{6}+2\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) \\ \hline s-b &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right)- 3\sqrt{6} \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}\right) \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ 2\sqrt{3} - \sqrt{6}\right) \\ \hline s-c &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right)- 6\sqrt{3} \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\right) \\ &= \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6} - 2\sqrt{3} \right) \\ \end{align}\begin{align} \left[BPH \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &= \sqrt{\dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \right) \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{6}+2\sqrt{3} - \sqrt{2} \right) \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ 2\sqrt{3} - \sqrt{6}\right) \dfrac{3}{2}\left( \sqrt{2}+ \sqrt{6} - 2\sqrt{3} \right) } \\ &= \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2} \sqrt{ \left( 16+12\sqrt{2} \right)\left( -16+12\sqrt{2} \right)} \\ &= \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2} \sqrt{ 32 } \\ &= 9 \sqrt{ 2 } \end{align}
Luas \triangle BPH dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
\begin{align}
\left[BPH \right] &= \dfrac{1}{2} \times BH \times OP \\
&= \dfrac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times OP \\
9 \sqrt{ 2 } &= 3\sqrt{3} \times OP \\
OP &= \dfrac{3\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \\
OP &= \sqrt{6}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D)\ \sqrt{6}
10. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 6\sqrt{2}\ \text{cm} dan panjang rusuk tegak 10\ \text{cm}. Jika P adalah titik tengah CT maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan garis BD pada limas T.ABCD seperti berikut ini:

Jarak titik P ke garis BD dari gambar limas di atas merupakan panjang ruas garis OP. Karena OP adalah segitiga sama kaki, sehingga proyeksi titik P ke garis BD berada tepat ditengah BD.
Dari segitiga ACT dan segitiga OCP merupakan dua segitiga yang sebangun sehingga dapat kita hitung panjang OP yaitu:
\begin{align}
\dfrac{OP}{AT} &= \dfrac{OC}{AC} \\
\dfrac{OP}{AT} &= \dfrac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\
\dfrac{OP}{10} &= \dfrac{1}{2} \\
OP &= 5
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ 5
11. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 4\ \text{cm} dan panjang rusuk tegak 6\ \text{cm}. Jika E titik potong diagonal alas, maka jarak titik E ke bidang TBC adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik E dan bidang TBC pada limas T.ABCD seperti berikut ini:

Jarak titik E ke bidang TBC dari gambar limas di atas merupakan panjang ruas garis EG.
Jika kita gunakan garis bantu sehingga kita peroleh segitiga siku-siku FET yang siku-siku di E maka kita peroleh EF=2, ET=2\sqrt{7}, dan FT=4\sqrt{2}.
Dari segitiga siku-siku AET kita peroleh panjang ET yaitu:
\begin{align}
AT^{2} &= AE^{2}+ET^{2} \\
6^{2} &= \left( 2\sqrt{2} \right)^{2}+ET^{2} \\
36 &= 8+ET^{2} \\
ET^{2} &= 28 \\
ET &= \sqrt{28}=2\sqrt{7}
\end{align}
Dari segitiga siku-siku BFT kita peroleh panjang FT yaitu:
\begin{align}
BT^{2} &= BF^{2}+FT^{2} \\
6^{2} &= 2^{2}+FT^{2} \\
36 &= 4+FT^{2} \\
FT^{2} &= 32 \\
FT &= \sqrt{32}=4\sqrt{2}
\end{align}
Pada segitiga siku-siku FET kita gunakan konsep Luas Segitiga yaitu:
\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot FT \cdot EG &= \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot ET \\
4\sqrt{2} \cdot EG &= 2 \cdot 2\sqrt{7} \\
EG &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{14}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{14}
12. Soal Latihan Jarak Titik ke Garis
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 16\ \text{cm}. Titik P ditengah-tengah AB. Jarak titik P ke EG adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan garis EG pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik P ke garis EG dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis OP.
Dari segitiga siku-siku BPG dapat kita hitung panjang PG yaitu:
\begin{align}
PG^{2} &= BG^{2}+PB^{2} \\
PG^{2} &= \left( 16\sqrt{2} \right)^{2}+8^{2} \\
PG^{2} &= 512+64 \\
PG &= \sqrt{576}=24
\end{align}
Dari segitiga siku-siku APE dapat kita hitung panjang EP yaitu:
\begin{align}
EP^{2} &= AE^{2}+PE^{2} \\
EP^{2} &= 16^{2}+8^{2} \\
EP^{2} &= 256+64 \\
EP &= \sqrt{320}=8\sqrt{5}
\end{align}
Pada \triangle EPG kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi yaitu [EPG]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} dimana s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle EPG.
\begin{align} s &= \dfrac{1}{2}\left( EP+PG+GE \right) \\ s &= \dfrac{1}{2}\left( 8\sqrt{5}+24+16\sqrt{2} \right) \\ s &= 4 \left( \sqrt{5}+3+2\sqrt{2} \right) \\ \hline s-a &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-8\sqrt{5} \\ &=12+8\sqrt{2}-4\sqrt{5} \\ &= 4 \left( 3+2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right) \\ \hline s-b &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-24 \\ &=4\sqrt{5}+8\sqrt{2}-12 \\ &= 4 \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}-3 \right) \\ \hline s-c &= 4\sqrt{5}+12+8\sqrt{2}-16\sqrt{2} \\ &=4\sqrt{5}+12-8\sqrt{2} \\ &= 4 \left( \sqrt{5}+3-2 \sqrt{2} \right) \\ \end{align}\begin{align} \left[EPG \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &= \sqrt{4 \left( 3+2\sqrt{2}+\sqrt{5} \right)4 \left( 3+2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right)4 \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}-3 \right)4 \left( \sqrt{5}+3-2 \sqrt{2} \right)} \\ &= \sqrt{4^{4} \left( 12+12\sqrt{2} \right)\left( -12+12\sqrt{2} \right)} \\ &= \sqrt{4^{4} \cdot 12^{2} \left( 1+ \sqrt{2} \right)\left( -1+ \sqrt{2} \right)} \\ &= 4^{2} \cdot 12 \sqrt{ \left( -1+2 \right)} \\ &= 192 \\ \end{align}
Luas \triangle EPG dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
\begin{align}
\left[EPG \right] &= \dfrac{1}{2} \times EG \times OP \\
&= \dfrac{1}{2} \times 16\sqrt{2} \times OP \\
192 &= 8\sqrt{2} \times OP \\
OP &= \dfrac{192}{8\sqrt{2}} \\
OP &= 12\sqrt{2} \\
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 12\sqrt{2}
13. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk \sqrt{12}\ \text{cm}. Titik Q terletak pada AD sedemikian hingga AQ = 2\ \text{cm} . Jarak titik A ke bidang QBF adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik A ke bidang QBF pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik A ke bidang QBF dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis AO.
Dari segitiga siku-siku AQB kita peroleh panjang BQ yaitu:
\begin{align}
BQ^{2} &= AB^{2}+AQ^{2} \\
BQ^{2} &= \left( \sqrt{12} \right)^{2}+2^{2} \\
BQ^{2} &= 12+4 \\
BQ^{2} &= 16 \\
BQ &= \sqrt{16}=4
\end{align}
Pada segitiga siku-siku AQB kita gunakan konsep Luas Segitiga yaitu:
\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot BQ \cdot AO &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AQ \\
4 \cdot AO &= \sqrt{12} \cdot 2 \\
AO &= \dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ \sqrt{3}
14. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6\ \text{cm} tedapat titik P ditengah-tengah FB. Jarak titik P ke bidang ACH adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan bidang ACH pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak titik P ke bidang ACH dari gambar kubus di atas merupakan panjang ruas garis OP.
Dari segitiga siku-siku ABP kita peroleh panjang AP yaitu:
\begin{align}
AP^{2} &= AB^{2}+BP^{2} \\
AP^{2} &= 6^{2}+3^{2} \\
AP^{2} &= 36+9 \\
AP &= \sqrt{45}=3\sqrt{5}
\end{align}
Dari segitiga siku-siku AOP kita peroleh panjang OP yaitu:
\begin{align}
AP^{2} &= OP^{2}+OA^{2} \\
\left( 3\sqrt{5} \right)^{2} &= OP^{2}+\left( 3\sqrt{2} \right)^{2} \\
45 &= OP^{2}+18 \\
OP^{2} &= 45-18 \\
OP &= \sqrt{27}=3\sqrt{3}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 3\sqrt{3}
15. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2\ \text{cm}, diketahui titik P terletak di tengah-tengah ruas garis BC. Jarak titik H ke bidang DGP adalah...\text{cm}
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik H dan bidang DGP pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:

Jarak H ke bidang DGP dari gambar kubus di atas, sepertinya belum terlihat, karena jika kita proyeksikan titik H ke bidang DGP yang ada pada kubus ABCD.EFGH tempat letak titik hasil proyeksi tidak ada.
Untuk itu bidang DGP kita perluas menjadi DPGR seperti gambar berikut ini:

Jarak H ke bidang DGP dari gambar kubus di atas adalah OH.
Dengan menggunakan beberapa garis bantu dapat kita gambarkan segitiga siku-siku RHQ, sehingga kita peroleh panjang RQ yaitu:
\begin{align}
RQ^{2} &= RH^{2}+QH^{2} \\
RQ^{2} &= 1^{2}+\left( \sqrt{2} \right)^{2} \\
RQ^{2} &= 1 + 2 \\
RQ &= \sqrt{3}
\end{align}
Pada segitiga siku-siku RHQ kita gunakan konsep Luas Segitiga yaitu:
\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot RQ \cdot OH &= \dfrac{1}{2} \cdot RH \cdot HQ \\
\sqrt{3} \cdot OH &= 1 \cdot \sqrt{2} \\
OH &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
OH &= \dfrac{1}{3} \sqrt{6}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ \dfrac{1}{3} \sqrt{6}
16. Soal Latihan Jarak Titik ke Bidang
Panjang setiap rusuk bidang empat beraturan T. ABC sama dengan 16\ \text{cm}. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, maka PQ = \cdots \text{cm}.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik P dan titik Q pada bidang empat berarturan T. ABC seperti berikut ini:

Titik P dan Q merupakan titik tengah AT dan BC pada bidang empat beraturan, sehingga kita peroleh \triangle CPT yang siku-siku di P sehingga berlaku;
\begin{align}
CP&=\sqrt{CT^{2}-TP^{2}} \\
&=\sqrt{16^{2}-8^{2}} \\
&=\sqrt{256-64} \\
&=\sqrt{192} \\
&=8\sqrt{3} \\
\end{align}
Pada \triangle PQC yang siku-siku di Q, berlaku;
\begin{align}
PQ &= \sqrt{CP^{2}-CQ^{2}} \\
&=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-8^{2}} \\
&=\sqrt{192-64} \\
&=\sqrt{128} \\
&=8\sqrt{2}
\end{align}
\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ 8\sqrt{2}
Catatan Cara Menghitung Jarak Titik - Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.