com.png "defantri.com")
The good student, bersama calon guru kita belajar matematika SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan terdiri dari beberapa sub topik, yaitu aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.
Penerapan Kaidah Pencacahan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa diantaranya dapat menentukan banyaknya jumlah pertandingan pada sebuah kompetisi penuh atau setengah kompetisi pada sebuah pertandingan.
Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada kaidah pencacahan dalam menyelesaiakn masalah bukanlah sesuatu yang sulit. Jika kita ikuti step by step yang apa kita diskusikan dibawah ini, maka kita akan dapat memahami soal-soal kaidah pencahahan dan menemukan solusinya.
Kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan penjumlahan dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini semoga mampu meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah.
Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada materi ini, karena jika kita tidak dapat menerima cara berpikir yang sudah diberikan dalam menyelesaikan masalah misalkan pada aturan perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam membuktikan jawaban yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.
ATURAN PENJUMLAHAN
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas atau semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.
Bagas memiliki $4$ sepeda motor, $2$ mobil, dan $3$ sepeda. Berapa cara Bagas dapat ke kantor dengan kendaraannya?
Banyak kemungkinan cara Bagas dapat ke kantor dengan kendaraannya adalah $4 + 2 + 3 = 9$ cara.
ATURAN PERKALIAN
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas atau semua kegiatan tersebut dapat dilakukan bersamaan, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.
Bagas memiliki $4$ sepeda motor, $2$ mobil, dan $3$ sepeda. Jika ke kantor Bagas perlu menggunakan mobil, sepeda motor, dan
sepeda. Berapa cara yang dapat dipilih Bagas untuk pergi ke kantornya
Banyak kemungkinan cara Bagas pergi ke kantor dengan menggunakan ketiga kendaraannya adalah $4 \times 2 \times 3 = 24$ cara.
Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Kaidah Pencacahan, Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian.
FAKTORIAL
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.
Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Faktorial dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika.
PERMUTASI
Permutasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia, dan dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.
Misal banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!} \end{align}
PERMUTASI MELINGKAR
Permutasi Melingkar adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dan akan disusun secara melingkar.
Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$, dan dirumuskan sebagai berikut:
\begin{align}
P_{siklis}^{n} = (n-1)!
\end{align}
PERMUTASI ADA UNSUR YANG SAMA
Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan objek dari objek-obek yang tersedia dimana ada beberapa objek yang sama.
Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut:
\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}
\end{align}
Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait judul, bisa membaca catatan Belajar Permutasi dan Menggunakannya Menyelesaikan Soal Matematika.
KOMBINASI
Kombinasi adalah suatu susunan objek dari objek-objek yang tersedia dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$, dan dirumuskan sebagai berikut: \begin{align} C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \end{align}
Jika ingin membaca dan berlatih khusus terkait kombinasi, bisa membaca catatan Belajar Kombinasi dan Binomial Newton Dalam Menyelesaikan Soal Matematika.
TEOREMA BINOMIAL NEWTON
Salah satu penerapan kombinasi ini dapat juga kita gunakan untuk menentukan koefisien variabel $a$ dan $b$ pada penjabaran $(a+b)^{n}$. Secara umum dapat kita tuliskan, untuk $n$ bilangan bulat positif berlaku:
$(a+b)^{n}=\sum\limits_{r=0}^{n} \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$
$(a+b)^{n}=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi)
Catatan matematika tentang soal dan pembahasan Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi) ini kita bagi menjadi tiga catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal-soal latihan Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, Kombinasi) berikut ini kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
41. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 🔗
Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari $4$ angka yang disusun oleh angka-angka $0,1,3,5,$ dan $7$. Jika angka pertama atau terakhir tidak $0$, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah...
Alternatif Pembahasan:
$(A):$ dari angka $0,1,3,5,7$ akan dibentuk kupon $4$ angka dengan angka pertama tidak nol,
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\
\hline
(4) & (5) & (5) & (5) \end{array} $
Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $n(A)=4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 =500$
$(B):$ dari angka $0,1,3,5,7$ akan dibentuk kupon $4$ angka dengan angka terakhir tidak nol:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\
\hline
(5) & (5) & (5) & (4) \end{array} $
Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $n(B)=5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 =500$
$(A \cap B):$ dari angka $0,1,3,5,7$ akan dibentuk kupon $4$ angka dengan angka pertama dan terakhir tidak nol:
$\begin{array}{c|c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \\
\hline
(4) & (5) & (5) & (4) \end{array} $
Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $n(A \cap B)=4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 =400$
Banyak kupon angka pertama atau terakhir tidak nol, adalah:
$\begin{align}
n\left ( A \cup B \right ) &= n\left ( A \right )+n\left ( B \right )-n\left ( A \cap B \right ) \\
&= 500 + 500 - 400 \\
&= 600
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 600$
42. Soal SNMPTN 2011 Kode 659 🔗
Sembilan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal ini adalah pengembangan dari soal "Dari $7$ titik, berapa banyak garis yang dapat dibuat atau dari $7$ orang, jika setiap orang bersalaman satu kali, maka banyak salaman yang terjadi adalah.."
Konsep mengerjakan soal ini sama dengan soal yang di atas, salah satu caranya dengan menggunakan kombinasi, yaitu untuk membentuk segitiga diperlukan tiga titik, sehingga dari sembilan titik banyak segitiga yang dapat terbentuk adalah:
$\begin{align}
C(n,r)\ & = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \\
C(9,3)\ & = \dfrac{9!}{3!(9-3)!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3!(6)!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 }{6} = 84
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 84$
43. Soal SNMPTN 2011 Kode 591 🔗
Banyak siswa laki-laki $10$ orang dan siswa perempuan $5$ orang. Banyaknya cara untuk membentuk panitia yang beranggotakan $10$ orang dan terdiri atas paling sedikit $2$ orang perempuan dan paling banyak $4$ orang perempuan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Susunan panitia $10$ orang yang mungkin dengan syarat paling sedikit $2$ orang perempuan dan paling banyak $4$ orang perempuan adalah:
- $2$ perempuan dan $8$ laki-laki:
$C(5,2) \cdot C(10,2) = 10 \cdot 45 =450$ - $3$ perempuan dan $7$ laki-laki:
$C(5,3) \cdot C(10,3) = 10 \cdot 120 =1200$ - $4$ perempuan dan $6$ laki-laki:
$C(5,4) \cdot C(10,6) = 5 \cdot 210 =1050$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2.700$
44. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 🔗
Tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris. Jika setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan, maka banyak cara mereka duduk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Susunan tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris dengan syarat setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan adalah:
$\begin{align}
& 3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! =6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\
& =48
\end{align}$
ketereangan:
- $3!$ adalah banyak susunan kelompok pasangan suami istri
- $2!$ adalah banyak susunan posisi duduk dalam satu pasang suami istri, atau satu pasang suami istri dalam posisi berdampingan ada $2$ susunan posisi duduk. Karena ada $3$ pasang suami istri, sehingga dikalikan sebanyak $3$ kali
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 48$
45. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 🔗
Tujuh orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah $4$ orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Tujuh orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Karena mobil harus dikemudikan pemilikinya maka yang disusun ke mobil adalah tinggal $5$ orang, pembagian kelima orang tersebut pada kedua mobil adalah sebagai berikut:
- dipilih $3$ orang dari $5$ orang ke mobil A dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil B.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{5} \cdot C_{2}^{2} =10 \cdot 1= 10$ - dipilih $2$ orang dari $5$ orang ke mobil A dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil B.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{5} \cdot C_{3}^{3} =10 \cdot 1= 10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$
46. Soal SNMPTN 2012 Kode 833 🔗
Himpunan $A$ memenuhi hubungan $\left \{ 1,7 \right \} \subset A \subset \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$
Jika $2$ adalah anggota $A$, maka banyak himpunan $A$ yang mungkin adalah..
Alternatif Pembahasan:
Anggota himpunan $A$ yang mungkin dengan syarat: $\left \{ 1,7 \right \} \subset A \subset \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$
misalnya: $A: \left \{ 1,2,7 \right \}$, $A: \left \{ 1,2,4,7 \right \}$, atau $A: \left \{ 1,2,5,6,7 \right \}$
- Banyak himpunan $A$ yang memiliki $3$ anggota, hanya $(1,2,7)$, artinya tidak ada lagi tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,0)=1$ - Banyak himpunan $A$ yang memiliki $4$ anggota, misal $(1,2,3,7)$, artinya ada $1$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,1)=4$ - Banyak himpunan $A$ yang memiliki $5$ anggota, misal $(1,2,3,4,7)$, artinya ada $2$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,2)=6$ - Banyak himpunan $A$ yang memiliki $6$ anggota, misal $(1,2,3,4,5,7)$, artinya ada $3$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,3)=4$ - Banyak himpunan $A$ yang memiliki $7$ anggota, misal $(1,2,3,4,5,6,7)$, artinya ada $4$ tambahan anggota $A$ yang dapat dipilih dari $\left \{ 3,4,5,6 \right \}$.
Dengan menggunakan kombinasi banyak himpunan $A$ adalah $C(4,4)=1$
Total banyak himpunan $A$ adalah $1+4+6+4+1=16$
Sebagai alternatif, dapat digunakan $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota yang dapat ditambahkan. Pada soal di atas, yang dapat ditambahkan ke himpunan $A$ adalah $4$ sehingga banyak himpunan $A$ adalah $2^{4}=16$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16$
47. Soal SIMAK UI 2011 Kode 212 🔗
Banyak bilangan asli yang lebih kecil dari $1000$ dan terdiri dari angka-angka $0,1,2,3,4,5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan asli yang lebih kecil dari dari $1000$ terdiri dari:
- Satu angka, banyak bilangan asli adalah $5$
- Dua angka,
$\begin{array}{ c|cc}
A_{1} & A_{2} \\ \hline
(5) & (6) \end{array} $
Banyak bilangan asli adalah $ 5 \cdot 6 =30$ - Tiga angka,
$\begin{array}{ c|c|cc}
A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ \hline
(5) & (6) & (6) \end{array} $
Banyak bilangan asli adalah $ 5 \cdot 6 \cdot 6 =180$
Keseluruhan bilangan asli yang terbentuk adalah $5+30+180=215$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 215$
48. Soal SIMAK UI 2011 Kode 211 🔗
Huruf-huruf $A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Z$ akan terlihat sama jika dilihat melalui sebuah kaca. Huruf-huruf ini dinamakan huruf simetri. Berapa banyak cara untuk memilih kata sandi yang terdiri dari $3$ huruf dengan paling sedikit $2$ huruf simetri...
Alternatif Pembahasan:
Kata sandi yang akan disusun adalah terdiri dari $3$ huruf dengan paling sedikit $2$ huruf simetri, artinya kemungkinan pertama sandinya adalah $2$ huruf simetri $\left ( S \right )$ dan $1$ huruf tidak simetri $\left ( T \right )$. Sedangkan kemungkinan kedua kata sandi $3$ huruf simetri.
- Untuk kemungkinan pertama $2S$ dan $1T$, susunan yang mungkin terjadi adalah:
- $\begin{array}{ c|c|cc}
S_{1} & S_{2} & T_{1} \\ \hline
(11) & (10) & (15) \end{array} $
Banyak susunan adalah $11 \cdot 10 \cdot 15 =1650$ - $\begin{array}{ c|c|cc}
S_{1} & T_{1} & S_{2} \\ \hline
(11) & (15) & (10) \end{array} $
Banyak susunan adalah $11 \cdot 10 \cdot 15 =1650$ - $\begin{array}{ c|c|cc}
T_{1} & S_{1} & S_{2} \\ \hline
(15) & (11) & (10) \end{array} $
Banyak susunan adalah $11 \cdot 10 \cdot 15 =1650$
- $\begin{array}{ c|c|cc}
- Untuk kemungkinan kedua $3S$:
$\begin{array}{ c|c|cc}
S_{1} & S_{2} & S_{3} \\ \hline
(11) & (10) & (9) \end{array} $
Banyak susunan adalah $11 \cdot 10 \cdot 9 =990$
Total banyak susunan kata sandi adalah $3 \left(1650 \right)+990=5940$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 5940$
49. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 🔗
Dari angka $2,4,6,8,$ dan $9$ dibuat bilangan yang terdiri dari $3$ angka berbeda. Banyaknya bilangan yang kurang dari $500$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan terdiri atas tiga angka beda dan kurang dari $500$ yang akan disusun dari angka $2,4,6,8,$ dan $9$.
$\begin{array}{c|c|cc}
Ratusan & Puluhan & Satuan \\
\hline
2,4 & 2,4,6,8,9 & 2,4,6,8,9 \\
(2) & (4) & (3) \end{array} $
Banyak bilangan adalah: $2 \times 4 \times 3 = 24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 24$
50. Soal SNMPTN 2009 Kode 383 🔗
Suatu tim bulu tangkis terdiri atas $5$ anggota. Akan ditentukan $2$ orang untuk bermain tunggal dan $2$ pasang untuk bermain ganda. Jika peraturan yang dipakai bahwa pemain tunggal boleh bermain ganda sekali, maka banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk memilih tim dengan syarat $2$ orang untuk bermain tunggal dan $2$ pasang untuk bermain ganda. Jika peraturan yang dipakai bahwa pemain tunggal boleh bermain ganda sekali.
- Pertama kita pilih $2$ pemain tunggal dua orang dari lima yaitu $C \left(5,2 \right)=\dfrac{5!}{2!(5-2)!}=\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!(3)!}=10$. Sehingga untuk memilih pemain tunggal ada $10$ cara.
- Berikutnya kita pilih pemain ganda $2$ dari yang tersisa $3$ yaitu $C \left(3,2 \right)=\dfrac{3!}{2!(3-2)!}=\dfrac{3 \cdot 2!}{2!(1)!}=3$.
Pada setiap pemilihan pemain ganda dari tiga orang ada sisa $1$ orang dan pasangannya dapat kita pilih dari pemain tunggal yaitu $C \left(2,1 \right)=2$. Sehingga untuk memilih pemain ganda ada sebanyak $3 \cdot 2=6$ cara
Banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah banyak cara memilih pemain tunggal dan banyak cara memilih pemain ganda yaitu $10 \times 6=60$
Sebagai gambaran dapat dilihat pada diagram pohon berikut ini, Dari lima orang kita misalkan $A,B,C,D,E$ dengan dua orang pemain tunggal $A$ dan $B$ dihasilkan $6$ susunan yang mungkin terjadi
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 60$
51. Soal SNMPTN 2009 Kode 285 🔗
Enam orang tamu undangan akan dijemput dengan $2$ mobil yang masing-masing berkapasitas $4$ orang. Banyak cara penempatan orang pada mobil adalah...
Alternatif Pembahasan:
Enam orang tamu undangan akan dijemput dengan $2$ mobil yang masing-masing berkapasitas $4$ orang.
- Dipilih $4$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $2$ orang dari $2$ orang) ke mobil kedua.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{4}^{6} \cdot C_{2}^{2} =15 \cdot 1= 15$ - Dipilih $3$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $3$ orang dari $3$ orang) ke mobil kedua.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{3}^{6} \cdot C_{3}^{3} =20 \cdot 1= 20$ - Dipilih $2$ orang dari $6$ orang ke salah satu mobil dan sisanya (dipilih $4$ orang dari $4$ orang) ke mobil kedua.
Banyak susunan pada kasus ini adalah $C_{2}^{6} \cdot C_{4}^{4} =15 \cdot 1= 20$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 50$
52. Soal SNMPTN 2009 Kode 383 🔗
Suatu panitia yang terdiri atas $4$ orang dengan rincian, seorang sebagai ketua, seorang sebagai sekretaris, dan dua orang sebagai anggota (kedua anggota tidak dibedakan) akan dipilih dari $3$ pria dan $3$ wanita. Jika ketua panitia harus wanita dan sekretarisnya harus pria, maka banyak susunan panitia berbeda yang bisa dibentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Panitia yang terdiri atas $4$ orang dengan rincian, ketua, sekretaris, dan dua orang sebagai anggota (kedua anggota tidak dibedakan).
- Banyak cara pemilihan ketua yang harus wanita adalah $3$ cara,
- Banyak cara pemilihan sekretaris yang harus pria adalah $3$ cara,
- Banyak cara pemilihan anggota sebanyak $2$ dari yang tersisa $4$ orang karena $2$ sudah menjadi ketua dan sekretaris adalah $C \left(4,2 \right)=\dfrac{4!}{2!(4-2)!}=6$
- Banyak susunan pengurus adalah:
$\begin{array}{ c|c|cc}
K & S & A_{1}\ \text{dan}\ A_{2} \\ \hline (3) & (3) & (6) \end{array} $
Banyak susunan penggurus yang mungkin adalah $3 \cdot 3 \cdot 6=54$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 54$
53. Soal SNMPTN 2009 Kode 183 🔗
Delapan orang peserta wisata harus menginap dalam $1$ kamar dengan dua tempat tidur dan $2$ kamar masing-masing dengan $3$ tempat tidur. Banyak cara penempatan peserta wisata dalam kamar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun peserta wisata ke dalam tiga kamar adalah sebagai berikut:
- Banyak cara memilih peserta untuk kamar pertama yang berisi $2$ adalah $C \left(8,2 \right)=\dfrac{8!}{2!(8-2)!}=28$,
- Banyak cara memilih peserta untuk kamar kedua yang berisi $3$ adalah $C \left(6,3 \right)=\dfrac{6!}{3!(6-3)!}=20$,
- Banyak cara memilih peserta untuk kamar ketiga yang berisi $3$ adalah $C \left(3,3 \right)=\dfrac{3!}{3!(3-3)!}=1$.
Banyak susunan peserta wisata adalah banyak susunan di kamar pertama dan banyak susunan di kamar kedua dan banyak susunan di kamar ketiga yaitu $28 \times 20 \times 1 = 560$
Sebagai alternatif juga kita bisa gunakan aturan permutasi dengan unsur yang sama. Kita akan membagi $8$ tempat tidur kepada $8$ orang dimana tempat tidur yang berada di tempat yang sama kita anggap unsur yang sama yaitu $2$, $3$, dan $3$.
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{k}!} \\
P^{8}_{2,3,3} &= \dfrac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2! \cdot 3!} \\
&= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4}{2!} \\
&= 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 \\
&= 560
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 560$
54. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 🔗
Banyaknya bilangan genap terdiri dari tiga angka berbeda yang disusun dari bilangan $1,3,6,7,8$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan genap $abc$ yang akan disusun dari angka $1,3,6,7,8$, pertama yang kita susun adalah bilangan satuan, lalu ratusan dan puluhan.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1,3,6,7,8) & (1,3,6,7,8) & (6,8) \end{array} $
Kita sudah peroleh angka-angka yang mungkin untuk membentuk bilangan tiga angka beda. Angka pada satuan yang mungkin digunakan hanya ada $2$ yaitu $(6,8)$.
Berikutnya untuk angka pada ratusan angka yang mungkin digunakan adalah $(1,3,6,7,8)$ tetapi karena sudah digunakan satu angka pada satuan angka yang mungkin digunakan tinggal $4$.
Lalu pada puluhan, angka yang mungkin digunakan adalah $(1,3,6,7,8)$, tetapi karena dua angka sudah digunakan pada satuan dan ratusan sehingga angka pada puluhan yang bisa dipakai tinggal $3$.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(4) & (3) & (2) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 2 = 24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 24$
55. Soal SPMB 2007 Kode 641 🔗
Jika nomor telepon rumah di suatu kota terdiri dari $6$ angka, maka banyaknya rumah dengan nomor telepon yang dimulai dengan angka $5$ dan diakhiri bukan angka $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita akan menyusun nomor telepon yang terdiri dari $6$ angka dan angka penyusunnya adalah $0,1,2,\cdots,8,9$. Pertama yang kita susun adalah angka di depan harus $5$ dan angka di akhir bukan $5$ lalu ke angka yang lainnya sudah bebas.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
(5) & (0-9) & (0-9) & (0-9) & (0-9) & \text{bukan}\ (5) \\
\hline
1 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 \end{array} $
Banyak susunan nomor telepon adalah $1 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 9 = 90.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 90.000$
56. Soal SPMB 2007 Kode 141 🔗
Dari angka $1,2,3,4,$ dan $5$ akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyaknya bilangan ganjil yang terbentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan ganjil $abc$ yang akan disusun dari angka $1,2,3,4,5$, pertama yang kita susun adalah bilangan satuan, lalu ratusan dan puluhan.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(1,2,3,4,5) & (1,2,3,4,5) & (1,3,5) \end{array} $
Kita sudah peroleh angka-angka yang mungkin untuk membentuk bilangan tiga angka beda. Angka pada satuan yang mungkin digunakan hanya ada $3$ yaitu $(1,3,5)$.
Berikutnya untuk angka pada ratusan angka yang mungkin digunakan adalah $(1,2,3,4,5)$ tetapi karena sudah digunakan satu angka pada satuan angka yang mungkin digunakan tinggal $4$.
Lalu pada puluhan, angka yang mungkin digunakan adalah $(1,2,3,4,5)$, tetapi karena dua angka sudah digunakan pada satuan dan ratusan sehingga angka pada puluhan yang bisa dipakai tinggal $3$.
$\begin{array}{c|c|cc}
a & b & c \\
\hline
(4) & (3) & (3) \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 3 = 36$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 36$
57. Soal SPMB 2007 Kode 741 🔗
Dari $5$ pria dan $3$ wanita akan dipilih susunan panitia yang tediri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Jika sekretaris harus wanita dan bendahara harus pria, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Panitia yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara.
- Banyak cara pemilihan sekretaris yang harus wanita adalah $3$ cara,
- Banyak cara pemilihan bendahara yang harus pria adalah $5$ cara,
- Banyak cara pemilihan ketua adalah $6$ cara karena dari $8$ orang dua orang sudah terpilih menjadi sekretaris dan bendahara,
- Banyak susunan pengurus adalah:
$\begin{array}{ c|c|cc}
K & S & B \\ \hline (6) & (3) & (5) \end{array} $
Banyak susunan penggurus yang mungkin adalah $6 \cdot 3 \cdot 5=90$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 90$
58. Soal SPMB 2007 Kode 441 🔗
Suatu gedung mempunyai $5$ pintu masuk. Jika tiga orang hendak memasuki gedung itu, maka banyaknya cara mereka masuk dari pintu yang berlainan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak cara mereka bertiga masuk melalui pintu yang berbeda.
- Orang pertama bisa masuk dengan $5$ pintu berbeda,
- Orang kedua bisa masuk dengan $4$ pintu berbeda, karena satu pintu sudah dimasuki orang pertama
- Orang ketiga bisa masuk dengan $3$ pintu berbeda, karena dua pintu sudah dimasuki orang pertama dan kedua
- Banyak susunan cara masuk adalah:
$\begin{array}{ c|c|cc}
O_{1} & O_{2} & O_{3} \\ \hline (5) & (4) & (3) \end{array} $
Banyak susunan cara masuk yang mungkin adalah $5 \cdot 4 \cdot 3=60$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 60$
59. Soal SPMB 2007 Kode 541 🔗
Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku. Jika yang menempati pinggir bangku harus siswa, maka banyaknya susunan posisi duduk yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku dengan syarat yang menempati pinggir bangku harus siswa.
- Yang duduk pertama adalah siswa, memilih tempat duduk di pinggir, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(3)$ dan $(2)$,
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc} B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ \hline (3) & (-) & (-) & (-) & (-) & (2) \end{array} $ - Berikutnya yang duduk sudah bebas, sehingga yang empat orang dapat duduk sembarang dan banyak kemungkinannya adalah $(4)$, $(3)$, $(2)$, dan $(1)$.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc} B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ \hline (3) & (4) & (3) & (2) & (1) & (2) \end{array} $ - Banyak susunan cara duduk yang mungkin adalah $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2=144$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 144$
60. Soal SPMB 2007 Kode 341 🔗
Di ruang tunggu suatu bank terdapat $30$ kursi yang tersusun dalam $5$ baris dengan setiap baris terdiri dari $6$ kursi. Jika seorang ibu dan anaknya duduk di ruang tersebut, maka banyaknya cara agar dapat duduk dalam $1$ baris adalah...
Alternatif Pembahasan:
Seorang ibu dan anaknya hendak duduk dalam $1$ baris.
- Yang bisa memilih tempat duduk pertama bisa Ibu atau bisa juga anaknya. Pada kasus ini kita misalkan saja yang pertama duduk adalah Ibu, banyak pilihan tempat duduk ibu adalah bebas yaitu sebanyak $30$ kursi.
- Berikutnya yang duduk adalah anaknya, tetapi kursi pilihan tidak lagi bebas karena mereka ingin duduk pada satu baris sehingga kursi pilihan anak hanya yang ada pada satu baris kursi pilihan Ibu yaitu $5$ kursi.
- Banyak susunan cara duduk yang mungkin adalah $30 \cdot 5=150$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 150$
61. Soal UM UGM 2007 Kode 731 🔗
Dua orang pergi nonton sepak bola ke suatu stadion. Stadion itu mempunyai $3$ pintu dan mereka masuk lewat pintu yang sama tetapi keluar lewat pintu yang berlainan. Banyaknya cara mereka masuk dan keluar pintu stadion adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal di atas dikatakan bahwa dua orang $(A) dan (B)$ masuk dari pintu yang sama sehingga pilihan pintu ada $3$ dan keluar dari pintu yang berbeda sehingga ada $3$ pilihan untuk yang memilih pintu keluar pertama dan $2$ pilihan untuk orang yang keluar berikutnya.
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{masuk}\ (AB) & \text{keluar}\ (A) & \text{keluar}\ (B) \\
\hline
(3) & (3) & (2) \end{array} $
Banyak cara masuk dan keluar adalah $3 \times 3 \times 2 = 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 18$
62. Soal UM UGM 2019 Kode 624 🔗
Banyaknya bilangan tiga digit yang disusun dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat semua digitnya berbeda atau jika ada digit yang sama letaknya tidak boleh berdekatan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyusun bilangan tiga digit dari angka $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat tidak boleh digit sama.
- Digit ratusan yang mungkin adalah $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah puluhan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi satu digit sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(9)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array} $ - Berikutnya adalah satuan, digit yang mungkin adalah $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tetapi dua digit sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah $(8)$,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array} $ - Banyak bilangan tiga digit beda yang mungkin adalah $9 \cdot 9 \cdot 8=648$
Untuk menyusun bilangan tiga digit dari $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ dengan syarat digit yang sama tidak boleh berdekatan, maka digit yang sama itu adalah ratusan dan satuan.
Misalnya kita pilih ratusan dan satuan $1$, maka banyak bilangan yang mungkin adalah $101$, $121$, $131$, $141$, $151$, $161$, $171$, $181$, $191$ ada sebanyak $9$. Jika kita lakukan hal yang sama untuk $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, maka akan kita peroleh $9 \times 9 =81$ bilangan tiga digit dengan digit yang sama tidak boleh berdekatan.
Banyak bilangan tiga digit beda atau digit yang sama tidak boleh berdekatan adalah $648+81=729$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 729$
63. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 🔗
Sebuah kotak memuat $6$ bola merah dan $4$ bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyaknya kemungkinannya adalah...
Alternatif Pembahasan:
pengambilan tiga bola satu persatu dalam kantong tanpa pengembalian dan pada pengambilan ketiga yang terambil adalah bola merah, dapat terjadi dari beberapa kemungkinan. Yaitu:
- Pengambilan pertama merah, kedua merah dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (6) & (5) & (4) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 =120$ - Pengambilan pertama merah, kedua hitam dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{merah} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (6) & (4) & (5) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $6 \cdot 4 \cdot 5 =120$ - Pengambilan pertama hitam, kedua merah dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{merah} & \text{merah} \\ \hline (4) & (6) & (5) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 6 \cdot 5 =120$ - Pengambilan pertama hitam, kedua hitam dan ketiga merah,
$\begin{array}{c|c|cc} \text{hitam} & \text{hitam} & \text{merah} \\ \hline (4) & (3) & (6) \end{array} $
Banyak kemungkinan adalah $4 \cdot 3 \cdot 6 =72$ - Banyak kemungkinan keseluruhan adalah $120+120+120+72=432$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 432$
64. Soal SIMAK UI 2018 Kode 632 🔗
Diberikan himpunan huruf
$\left \{ a,i,u,e,o,k,l,m,n,r,p,q \right \}$
Banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut sehingga tidak ada vokal yang berdampingan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Agar huruf vokal tidak berdekatan maka yang pertama kita susun adalah huruf konsonan dengan memberikan tempat yang mungkin untuk huruf vokal diantara huruf konsonan.
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
V_{1} & K_{1} & V_{2} & K_{2} & V_{3} & K_{3} & V_{4} & K_{4} & V_{5} & K_{5} & V_{6} & K_{6} & V_{7} & K_{7} & V_{8} \\
\hline
& (7) & & (6) & & (5) & & (4) & & (3) & & (2) & & (1) &
\end{array} $
Untuk mengisi susunan konsonan ada sebanyak $7!$ cara
Berikutnya untuk mengisi tempat kosong diantara konsonan akan kita isi dengan huruf vokal $a,i,u,e,o$. Kita akan susun $5$ huruf ke $8$ tempat yang tersedia maka banyak susunan adalah:
$\begin{align}
P \left(n,r \right)\ &= \dfrac{n!}{(n-r)!} \\
P \left(8,5 \right)\ &= \dfrac{8!}{(8-5)!} \\
&= \dfrac{8!}{3!}
\end{align}$
Banyak susunan huruf keseluruhan adalah banyak cara menyusun huruf konsonan dan banyak cara menyusun huruf vokal yaitu $7! \cdot \dfrac{8!}{3!} = \dfrac{7! \cdot 8!}{3!}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7! \cdot 8! }{3 !}$
65. Soal SIMAK UI 2018 Kode 631 🔗
Banyak cara memilih $3$ pasang pemain untuk bermain dalam permainan ganda dari $10$ pemain yang ada adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk memilih $3$ pasang pemain untuk bermain dalam permainan ganda dari $10$ pemain adalah:
- Pertama, dipilih untuk pasangan ganda pertama, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(10,2 \right) = \dfrac{10!}{2! (10-2)!}=45$
- Kedua, dipilih untuk pasangan ganda kedua, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(8,2 \right) = \dfrac{8!}{2! (8-2)!}=28$
- Ketiga, dipilih untuk pasangan ganda ketiga, banyak pasangan yang mungkin adalah $C \left(6,2 \right) = \dfrac{6!}{2! (6-2)!}=15$
Total cara memilih $3$ pasang pemain adalah banyak cara memilih pasangan pertama dan banyak cara memilih pasangan kedua dan banyak cara memilih pasangan ketiga yaitu $45 \cdot 28 \cdot 15 =18.900$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18900$
66. Soal SIMAK UI 2017 Kode 551 🔗
Diketahui $55$ siswa akan mengikuti pekan olahraga dan seni. Sebagai persiapan, setiap siswa akan dilatih oleh seorang pelatih dari $10$ pelatih yang ada. Setiap pelatih melatih siswa dengan jumlah yang berbeda. Banyaknya cara pengelompokan siswa yang akan dilatih adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari $55$ siswa yang akan dilatih oleh $10$ pelatih yang ada, dimana setiap pelatih melatih siswa dengan jumlah yang berbeda, maka pembagian siswa yang dilatih hanya ada pada satu kemungkinan yaitu $1+2+3+\cdots+9+10=55$.
Pengelompokan siswa yang akan dilatih dapat dilakukan dengan cara:
- Untuk pelatih pertama, akan dipilih $1$ siswa dari $55$ siswa banyak caranya adalah $C \left(55,1 \right) = \dfrac{55!}{1! (55-1)!}=\dfrac{55}{1!}$.
- Untuk pelatih kedua, akan dipilih $2$ siswa dari $54$ siswa banyak caranya adalah $C \left(54,2 \right) = \dfrac{54!}{2! (54-2)!}=\dfrac{54 \cdot 53}{2!}$.
- Untuk pelatih ketiga, akan dipilih $3$ siswa dari $52$ siswa banyak caranya adalah $C \left(52,3 \right) = \dfrac{52!}{3! (52-3)!}=\dfrac{52 \cdot 51 \cdot 50}{3!}$.
- Untuk pelatih keempat, akan dipilih $4$ siswa dari $49$ siswa banyak caranya adalah $C \left(49,4 \right) = \dfrac{49!}{4! (49-4)!}=\dfrac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{4!}$.
- Untuk pelatih kelima, akan dipilih $5$ siswa dari $44$ siswa banyak caranya adalah $C \left(45,5 \right) = \dfrac{45!}{5! (45-5)!}=\dfrac{45 \cdot 44 \cdots 40}{5!}$.
- Untuk pelatih keenam, akan dipilih $6$ siswa dari $39$ siswa banyak caranya adalah $C \left(39,6 \right) = \dfrac{39!}{6! (39-6)!}=\dfrac{39 \cdot 38 \cdots 34}{6!}$.
- Untuk pelatih ketujuh, akan dipilih $7$ siswa dari $33$ siswa banyak caranya adalah $C \left(33,7 \right) = \dfrac{33!}{7! (33-7)!}=\dfrac{33 \cdot 32 \cdots 27}{7!}$.
- Untuk pelatih kedelapan, akan dipilih $8$ siswa dari $26$ siswa banyak caranya adalah $C \left(26,8 \right) = \dfrac{26!}{8! (26-8)!}=\dfrac{26 \cdot 25 \cdots 19}{8!}$.
- Untuk pelatih kesembilan, akan dipilih $9$ siswa dari $19$ siswa banyak caranya adalah $C \left(19,9 \right) = \dfrac{19!}{9! (19-9)!}=\dfrac{19 \cdot 18 \cdots 11}{9!}$.
- Untuk pelatih kesepuluh, akan dipilih $10$ siswa dari $10$ siswa banyak caranya adalah $C \left(10,10 \right) = \dfrac{10!}{10! (10-10)!}=\dfrac{10!}{10!}$.
Dari hasil di atas banyak pengelompokkan yang mungkin adalah:
$\begin{align}
& \dfrac{55}{1!} \cdot \dfrac{54 \cdot 53}{2!} \cdot \dfrac{52 \cdot 51 \cdot 50}{3!} \cdots \dfrac{19 \cdot 18 \cdots 11}{9!} \cdot \dfrac{10!}{10!} \\
&= \dfrac{55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdots 10!}{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10!} \\
&= \dfrac{55!}{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10!}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{55!}{1!2!3! \cdots 10!}$
67. Soal Simulasi UNBK Matematika 2019 🔗
Gambar berikut merupakan denah arena pameran
Banyak cara seorang pengunjung dapat masuk dan keluar arena pameran tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pintu masuk arena pameran ada $4$ pintu dan terdapat dua gedung di dalam arena pameran, sehingga banyak cara masuk dan keluar gedung ada $2$ cara yaitu lewat gedung $A$ atau $B$.
Total banyak cara adalah $4 \times 2 \times 2 + 4 \times 1 \times 3=16+12=28$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 28$
68. Soal Simulasi UNBK Matematika 2018 🔗
Seorang siswa diwajibkan mengerjakan $8$ dari $10$ soal yang tersedia, tetapi nomor $1$ sampai dengan $4$ wajib diisi. Banyak cara memilih soal yang akan dikerjakan oleh siswa...cara
Alternatif Pembahasan:
Banyak soal yang ada sebanyak $10$ soal.
Banyak soal yang harus dikerjakan ada $8$ soal.
Karena soal nomor $1$ sampai dengan $4$ harus dikerjakan maka banyak pilihan soal hanya tinggal $6$ soal.
Siswa akan memilih mengerjakan $4$ soal dari $6$ soal yang tersedia.
$C_{4}^{6}=\dfrac{6!}{4! \cdot (6-4)!}$
$C_{4}^{6}=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!}$
$C_{4}^{6}=\dfrac{30}{2}$
$C_{4}^{6}=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 15$
69. Soal PENMABA UNJ 2012 Kode 25 🔗
Terdapat $10$ titik dimana tidak ada tiga titik yang segaris. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat menggunakan kesepuluh titik tersebut sebagai titik-titik sudutnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, ada $10$ titik, dimana tidak ada tiga titik yang terletak segaris karena titik-titik sudut segitiga itu tepat berada pada $10$ titik tersebut. Artinya jika ditarik garis lurus tidak ada tiga titik yang terkena.
Jika titik $A$ kita hubungkan dengan titik $B$ lalu $C$ maka tercipta segitiga $ABC$. Jika titik $B$ kita hubungkan dengan titik $C$, dan $A$ maka tercipta segitiga $BCA$. Kita ketahui segitiga $ABC$ juga merupakan segitiga $BCA$, maka dapat kita simpulkan bahwa $ABC=BCA$.
Segitiga tercipta jika ada tiga titik, sehingga banyak segitiga yang terjadi adalah kombinasi $3$ titik dari $10$ titik yang ada:
$\begin{align}
C \left( 10, 3 \right) &= \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\
&= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot (7)!} \\
&= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&= 10 \cdot 3 \cdot 4 \\
&= 120
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 120\ \text{segitiga}$
70. Soal PENMABA UNJ 2018 Kode 22 🔗
Penyusunan nomor kendaraan di sebuah wilayah di Jakarta adalah sebagai berikut:dengan syarat: Huruf $B$ di depan, diikuti $3$ angka dari $0-9$ (angka $0$ tidak boleh di depan), angka boleh berulang. Sedangkan huruf di belakang hanya $T$, $S$, $R$, dan $U$ (huruf tidak boleh berulang). Banyak kemugkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi dari soal banyak susunan yang mungkin kita peroleh adalah:
Total banyak susunan nomor kendaraan adalah $(1) \cdot (9) \cdot (10) \cdot (10) \cdot (4) \cdot (3) \cdot (2) =21.600$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 21.600$
71. Soal PENMABA UNJ 2015 Kode 33 🔗
Dalam suatu antrian terdapat $6$ orang yang mengantri termasuk Ainun dan Habibie. Bila dalam antrian Ainun harus selalu di depan Habibie, banyak cara antrian yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi dari soal, $6$ orang mengantri termasuk Ainun dan Habibie.
Banyak susunan yang mungkin untuk Ainun harus selalu di depan Habibie kita hitung dengan menganggap Ainun dan Habibie adalah "satu". Karena Ainun dan Habibie adalah "satu" maka yang akan mengantri sekarang tinggal $5$ orang, sehingga banyak susunan antrian adalah $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 120$
72. Soal UM UNDIP 2018 Kode 822 🔗
Suatu kedai "Jus Aneka Buah" menyediakan tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah. Minimal banyaknya jenis buah yang harus disediakan adalah........
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi dari soal, kedai menyediakan tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, artinya paling sedikit ada $2018$ kombinasi rasa buah yang dijual.
- Jika ada $1$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah $C_{1}^{1}=1$
- Jika ada $2$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
$C_{1}^{2}+C_{2}^{2}=2+1=3$ - Jika ada $3$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
$\begin{align} & \ \ C_{1}^{3}+C_{2}^{3}+C_{3}^{3} \\ & =3+3+1=7 \end{align}$ - Jika ada $4$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
$\begin{align} & \ \ C_{1}^{4}+C_{2}^{4}+C_{3}^{4}+C_{4}^{4} \\ & =4+6+4+1=15 \end{align}$ - Jika ada $5$ buah, maka banyak kombinasi rasa adalah:
$\begin{align} & \ \ C_{1}^{5}+C_{2}^{5}+C_{3}^{5}+C_{4}^{5}+C_{5}^{5} \\ & = 5+10+10+5+1=31 \end{align}$
Banyak kombinasai rasa buah $R$ yang terbentuk untuk setiap banyak buah adalah $1,3,7,15,31,\cdots$.
Pola yang kita temukan untuk $n$ buah adalah $\left( 2^{1}-1 \right),$ $\left( 2^{2}-1 \right),$ $\left( 2^{3}-1 \right),$ $\left( 2^{4}-1 \right),$ $\left( 2^{5}-1 \right),\cdots$
Ini mengingatkan kita ke rumus:
$C_{0}^{n}+C_{1}^{n}+C_{2}^{n}+C_{3}^{n}+C_{4}^{n}+\cdots =2^{n}$
Dari hasil di atas untuk kombinasi rasa tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, maka banyak buah paling sedikit adalah:
$\begin{align}
R\ &= 2^{n}-1 \\
\hline
2^{n}-1\ & \geq 2018 \\
2^{n}\ & \geq 2018+1 \\
2^{n}\ & \geq 2019 \\
\hline
2^{10}\ & =1024 \\
2^{11}\ & =2048
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh, agar diperoleh tidak kurang dari $2018$ kombinasi rasa buah, maka buah yang harus dipersiapkan paling sedikit adalah $11$ buah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 11$
73. Soal UM UNDIP 2012 Kode 121 🔗
Untuk menghadapi turnamen bulutangkis, suatu klub yang beranggotakan $6$ pemain akan dibentuk susunan pemain $2$ partai tunggal dan $1$ partai ganda. Jika setiap pemain tidak diperbolehkan merangkap (main dua kali), maka banyaknya susunan yang bisa dibentuk adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal akan dibentuk susunan pemain $2$ partai tunggal dan $1$ partai ganda, sehingga akan dipilih $2$ orang untuk dua kelompok yang berbeda dan satu orang tidak boleh masuk dua kelompok.
Untuk memilih tim dengan $2$ orang untuk bermain tunggal dan $q$ pasang untuk bermain ganda dan peraturan yang dipakai bahwa pemain tidak boleh bermain dua kali.
- Pertama kita pilih $2$ pemain tunggal dua orang dari enam yaitu $C \left(6,2 \right)=\dfrac{6!}{2!(6-2)!}=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2!(4)!}=15$. Sehingga untuk memilih pemain tunggal ada $15$ cara.
- Berikutnya kita pilih pemain ganda $2$ dari yang tersisa $4$ yaitu $C \left(4,2 \right)=\dfrac{4!}{2!(4-2)!}=\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!(2)!}=6$.
Banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah banyak cara memilih pemain tunggal dan banyak cara memilih pemain ganda yaitu $15 \times 6=90$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 90$
74. Soal UM UGM 2017 Kode 748 🔗
Jika $2$ bola biru sejenis, $3$ bola merah yang sejenis, dan $4$ bola kuning yang sejenis disusun secara teratur dalam satu baris, maka banyak susunan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $2$ bola biru sejenis, $3$ bola merah yang sejenis, dan $4$ bola kuning yang sejenis disusun secara teratur dalam satu baris.
Karena bola yang sewarna adalah sejenis, maka untuk menentukan banyak susunan yang mungkin terjadi dapat kita pakai aturan permutasi jika ada unsur yang sama:
$\begin{align}
P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n} & = \dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!} \\
\hline
P_{2,3,4}^{9} & = \dfrac{9!}{2! \times 3! \times 4!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \times 3! \times 4!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2! \times 3!} \\
& = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5}{2!} \\
& = 9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1.260
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1.260$
75. Soal UM UGM 2017 Kode 814 🔗
Banyaknya bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka $0,1,2,3,\cdots,9$ dan habis dibagi oleh $5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan tiga digit yang berbeda dari angka $0,1,2,3,\cdots,9$ dan habis dibagi oleh $5$.
Bilangan yang diharapkanadalah bilangan kelipatan lima, sehingga yang pertama kita kerjakan adalah bilangan satuan. Angka yang mungkin pada satuan adalah $5$ atau $0$.
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{5} \\
\hline
(8) & (8) & (1) \end{array} $
Banyak bilangan kelipatan lima satuan $5$ adalah: $8 \times 8 \times 1 = 64$
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Ratusan} & \text{Puluhan} & \text{0} \\
\hline
(9) & (8) & (1) \end{array} $
Banyak bilangan kelipatan lima satuan $0$ adalah: $9 \times 8 \times 1 = 72$
Banyak bilangan kelipatan lima keseluruhan adalah $64+72=136$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 136$
76. Soal UM UGM 2017 Kode 738 🔗
Suatu hari Putera dan Angga pergi menonton pertandingan sepak bola di Stadion Gelora Bung Karno, Jakarta. Stadion GBK memiliki $6$ pintu masuk berbeda. Apabila mereka berdua masuk melalui pintu yang sama dan keluar dengan pintu yang berbeda, maka banyaknya cara yang terjadi ialah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dikatakan bahwa Putera dan Angga masuk dari pintu yang sama dan keluar dari pintu yang berbeda. Sehingga ada $6$ pintu pilihan untuk masuk dan untuk keluar ada $6$ pintu untuk yang keluar pertama dan $5$ pintu untuk yang keluar kedua.
Banyak susunan keluar adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{masuk}\ (AP) & \text{keluar}\ (A) & \text{keluar}\ (P) \\
\hline
(6) & (6) & (5) \end{array} $
Banyak cara masuk dan keluar adalah $6 \times 6 \times 5 = 180$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 180$
77. Soal UM UGM 2017 Kode 714 🔗
Dalam pemilihan pengurus kelas, terpilih $5$ calon, $3$ laki-laki dan $2$ perempuan. Posisi yang tersedia yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara I, dan bendahara II. Jika ketua kelas harus laki-laki, maka banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun pengurus dari $5$ calon terdiri dari $3$ laki-laki dan $2$ perempuan, dimana ketua harus laki-laki.
Banyak pengurus yang mungkin terjadi adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{Ket} & \text{Wak} & \text{Sekr} & \text{Bend.I} & \text{Bend.II} \\
\hline
(3) & (4) & (3) & (2) & (1)
\end{array} $
Banyak susunan pengurus adalah $3 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=72$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 72$
78. Soal UM UGM 2016 Kode 372 🔗
Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka $0,1,3,5,$ dan $7$. Jika angka pertama atau terakhir tidak boleh nol, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan dibuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka $0,1,3,5,$ dan $7$ dengan syarat angka pertama atau terakhir tidak boleh nol.
Banyak kupon yang dapat dibuat dimana angka pertama atau terakhir tidak nol,
Karena syarat adalah angka pertama atau terakhir tidak nol, sehingga yang kita kerjakan pertama adalah angka pertama atau keempat.
$\begin{array}{c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{A}_{4} \\
\hline
(4) & (3) & (2) & (3) \\
\hline
(1,3,5,7) & (0,1,3,5,7) & (0,1,3,5,7) & (1,3,5,7) \\
\end{array} $
- Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{1}$ adalah empat yaitu $(1,3,5,7)$, sehingga ada $(4)$ kemungkinan.
- Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{4}$ adalah empat yaitu $(1,3,5,7)$, tetapi satu angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(3)$ kemungkinan.
- Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{2}$ adalah lima yaitu $(0,1,3,5,7)$, tetapi dua angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(3)$ kemungkinan.
- Banyak kemungkinan angka yang dapat mengisi $\text{A}_{3}$ adalah lima yaitu $(0,1,3,5,7)$, tetapi tiga angka sudah dipakai sebelumnya sehingga yang mungkin tinggal $(2)$ kemungkinan.. Banyak kupon yang dapat dibuat adalah $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 =72$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72$
79. Soal UM UGM 2016 Kode 582 🔗
Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri di dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, $7$ siswa yang berdiri dari empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan dalam suatu barisan.
Kejadian yang diharapkan adalah posisi berdiri dimana ketiga siswa perempuan selalu berdampingan. Untuk menghitung banyak kemungkinan ini kita anggap ketiga siswa perempuan adalah "satu" sehingga banyak siswa yang berdiri adalah lima siswa.
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{S}_{1} & \text{S}_{2} & \text{S}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\
\hline
(5) & (4) & (3) & (2) & (1) \\
\end{array} $
Banyak posisi berdiri adalah $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 3! =720$
*perkalian di atas kita kalikan dengan $3!$ karena siswa perempuan dalam kelompoknya masih mampu bertukar posisi sebanyak $3!$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 720$
80. Soal UM UGM 2016 Kode 381 🔗
Banyaknya bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, akan disusun bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama.
Untuk menyelesaikan soal ini kita bagi pada dua kemungkinan.
Kemungkinan I: terdapat tepat tiga angka $1$ yang sama, misalnya $11921$, $15141$, $\cdots$
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\
\hline
1 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\end{array} $
Untuk mengisi keempat tempat yang kosong angkanya adalah $1,1,x,y$ banyak susunan adalah $P_{2,1,1}^{4}=\dfrac{4!}{2! \times 1! \times 1!}=12$.
Angka $x,y$ yang mungkin kita pilih dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$. Nilai $x$ dan $y$ adalah berbeda, banyak cara memilih dua angka dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$ adalah $C_{2}^{9}=\dfrac{9!}{2! \times \left( 9-2 \right)!}=36$ cara.
Total banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka $1$ sama adalah $12 \times 36=432$.
Kemungkinan II: terdapat tepat tiga angka yang sama tidak $1$, misalnya $12322$, $17444$, $\cdots$
$\begin{array}{c|c|c|c|cc}
\text{A}_{1} & \text{A}_{2} & \text{A}_{3} & \text{S}_{4} & \text{S}_{5} \\
\hline \\
1 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\end{array} $
Untuk mengisi keempat tempat yang kosong angkanya adalah $x,x,x,y$ banyak susunan adalah $P_{3,1}^{4}=\dfrac{4!}{3! \times 1! \times 1!}=4$.
Angka $x,y$ yang mungkin kita pilih dari $0,2,3,4,5,6,7,8,9$.
(*Angka $1$ tidak ikut karena jika $1$ ikut maka akan pernah ada dua angka yang sama)
Nilai $x$ dan $y$ adalah berbeda, sehingga nilai $x$ yang mungkin adalah $9$ dan nilai $y$ yang mungkin adalah $8$.
Total banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama $1$ dan tepat tiga angka sama dan satu angka $1$ adalah $4 \times 9 \times 8=288$.
Dari dua kemungkinan di atas, banyak bilangan bulat positif lima angka dengan angka pertama $1$ dan terdapat tepat tiga angka sama adalah $432+288=720$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 720$
Catatan Soal dan Pembahasan Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kita adalah apa yang kita lakukan berulang kali. Maka, keunggulan bukanlah sebuah tindakan, melainkan sebuah kebiasaan
![Cek [EDISI TERBARU 2026] Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT TPS 2026 dengan harga Rp99.999. Dapatkan di Shopee sekarang!](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSh7VsO79R_yFAgAad58-YmVNQFRf0VkolE1nfb10rI3ab55JbYhOve2VUls12RktUmQncuggnd_8SKLVZznlFo2poRc9szF6fXVFA0ccwR5SmE1WxfR_wyDioPVn6Y4_iNlTohRUAlHZsGqCg64ZjRUIIhQDnWbNThB4l1XD-VsyyKgPYIUyaizdA8b1X/s1600/WhatsApp%20Image%202025-08-16%20at%2017.31.07.jpeg "Cek [EDISI TERBARU 2026] Buku Wangsit Om Jero UTBK SNBT TPS 2026 dengan harga Rp99.999. Dapatkan di Shopee sekarang!")
