Calon guru belajar matematika dasar SMA dari soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar Integral Tak tentu dan Tentu untuk Fungsi Aljabar. Agar lebih mudah belajar integral fungsi ini ada baiknya kita sudah belajar tentang matematika dasar turunan fungsi.
Integral fungsi dan turunan fungsi itu ibarat penjumlahan dan pengurangan, jadi jika kita mau belajar integral fungsi maka setidaknya kita harus belajar turunan fungsi terlebih dahulu.
DEFINISI INTEGRAL FUNGSI TAK TENTU
Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk:
\begin{align} \int f(x)dx & = F(x)+c \end{align}
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ terhadap $x$ sama dengan $F(x)$ ditambah $c$" atau sering juga dibaca cepat "integral $f\ x\ d\ x=f\ x\ +\ c$
$\begin{align} \int f(x) & : \text{notasi integral tak tentu} \\ F(x)+c & : \text{fungsi antiturunan} \\ f(x) & : \text{fungsi yang diintegralkan (integran)} \\ c & : \text{konstanta} \\ d(x) & : \text{diferensial (turunan) dari}\ x \end{align}$
ATURAN DASAR INTEGRAL TAK TENTU
- $\int dx= x + c$
- $\int k\ dx= kx + c$
- $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
- $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
- $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
- $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
- $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
- $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
- $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
- $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
- $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
- $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
INTEGRAL PARSIAL
$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$SOAL dan PEMBAHASAN INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR
Untuk memantapkan penerapan beberapa aturan dasar Integral Tak tentu Fungsi aljabar di atas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional, seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri atau sekolah kedinasan.
Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 68 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
$\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\
& = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\
& = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x^{3}-2x^{2}+x + C$
2. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits \left ( 3x^{2}-5x+4 \right )\ dx =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
&\int \limits \left ( 3x^{2}-5x+4 \right )\ dx \\
& = \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}+4x+C \\
& = x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x+C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x + C $
3. Soal UNBK SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right )\ dx =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
& \int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right ) \\
& = \dfrac{2}{3+1}x^{3+1}-\dfrac{9}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}-5x+C \\
& = \dfrac{2}{4}x^{4}-\dfrac{9}{3}x^{3}+\dfrac{4}{2}x^{2}-5x+C \\
& = \dfrac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C$
4. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-4x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\
\dfrac{1}{2}\ du & = (x-2)\ dx
\end{align}$
Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
&\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx \\
& = \int u^{5} \left ( x-2 \right )\ dx \\
& = \int u^{5} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} \cdot \dfrac{1}{2}+C \\
& = \dfrac{1}{12} u^{6} +C \\
& = \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} +C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C$
5. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-1 \\
du & = (2x-1)\ dx
\end{align}$
Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
&\int \limits \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx \\
& = \int \limits \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ \left ( 2x-1 \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( u \right )^{3}\ du \\
& = \dfrac{1}{3+1}u^{3+1} + C\\
& = \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C$
6. Soal UM STIS 2013 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
u &= 4x+1 \rightarrow x= \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \\
du &= 4 dx \\
\dfrac{1}{4} du &= dx
\end{align}$
Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx &= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \sqrt{u}\ dx \\
&= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \cdot u^{\frac{1}{2}}\ \dfrac{1}{4} du \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \int \limits \left( u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}} \right)\ du \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right] + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \left( \dfrac{1}{10} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}u^{\frac{3}{2}} \left( 6 u^{1}-10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6 \left( 4x+1 \right)-10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x+6 -10 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x-4 \right) + C \\
&= \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6x-1 \right) + C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{60} \left( 6x-1 \right) \left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} + C $
7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C$
8. Soal UMPTN 1995 Rayon C |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\int x^{2}\ dx$. Jika $f(2)=-\dfrac{19}{3}$, maka kurva itu memotong sumbu $x$ pada...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
f \left( x \right) &= \int x^{2}\ dx \\
&= \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}+c \\
&= \dfrac{1}{3}x^{3}+c \\
\hline
f \left( 2 \right) &= \dfrac{1}{3}(2)^{3}+c \\
-\dfrac{19}{3} &= \dfrac{8}{3}+c \\
-\dfrac{19}{3} -\dfrac{8}{3}&= c \\
-\dfrac{27}{3} &= c \\
-9 &= c \\
\hline
f \left( x \right) &= \dfrac{1}{3}x^{3}+c \\
&= \dfrac{1}{3}x^{3} -9
\end{align} $
$f \left( x \right) = \dfrac{1}{3}x^{3}-9$ memotong sumbu $x$ saat $\dfrac{1}{3}x^{3}-9=0$ sehingga $x^{3}-27=0$ atau $x=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( 3,0 \right)$
9. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap
Diketahui $\int f\left( x \right)\ dx=\dfrac{1}{4}ax^{2}+bx+c$ dan $a \neq 0$. Jika $f(a)=\dfrac{a+2b}{2}$ dan $f(b)=6$, maka fungsi $ f\left( x \right) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
Untuk $\int f\left( x \right)\ dx=\dfrac{1}{4}ax^{2}+bx+c$ dapat kita tentukan $ f\left( x \right) =\dfrac{1}{2}ax +b$
Untuk $f(a)=\dfrac{a+2b}{2}$ maka berlaku:
$ \begin{align}
f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}ax +b \\
f\left( a \right) &= \dfrac{1}{2}a(a) +b \\
\dfrac{a+2b}{2} &= \dfrac{1}{2}a^{2}+b \\
a+2b &= a^{2}+2b \\
0 &= a^{2}-a \\
0 &= a \left( a-1 \right) \\
&a=0\ \text{atau}\ a=1
\end{align} $
Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=1$, sehingga $ f\left( x \right) =\dfrac{1}{2}x +b$. Untuk $f(b)=6$, kita peroleh:
$ \begin{align}
f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}x +b \\
f\left( b \right) &= \dfrac{1}{2}b +b \\
6 &= \dfrac{3}{2}b \\
b &= 4 \\
\hline
f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}x +4
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}x +4$
10. Soal SNMPTN 2011 Kode 591 |*Soal Lengkap
Diberikan $ f\left( x \right) =a+bx$ dan $F(x)$ adalah anti turunan $f(x)$. Jika $F(1)-F(0)=3$ maka $2a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk $ f\left( x \right) =a+bx$ dan $F(x)$ adalah anti turunan $f(x)$ maka berlaku:
$ \begin{align} F\left( x \right) &= \int f\left( x \right)\ dx \\ F\left( x \right) &= \int \left( a+bx \right)\ dx \\ F\left( x \right) &= ax+\frac{1}{2}bx^{2}+c \\ \hline F\left( 1 \right) &= a(1) +\frac{1}{2}b(1)^{2}+c \\ F\left( 1 \right) &= a +\frac{1}{2}b +c \\ F\left( 0 \right) &= a(0) +\frac{1}{2}b(0)^{2}+c \\ F\left( 0 \right) &= c \\ \hline F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) &= a +\frac{1}{2}b +c-c \\ 3 &= a +\frac{1}{2}b \\ 6 &= 2a + b \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
11. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\
& = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\
& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\
& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\
& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C $
12. Soal SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 226 |*Soal Lengkap
$\int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ dx \\
&= \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ \times \dfrac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}\ dx \\
&= \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)\left( 1 - \sqrt{x} \right)}{1 - x}\ dx \\
&= 3 \int \left( 1 - \sqrt{x} \right) dx \\
&= 3 \left( x - \frac{2}{3} x \sqrt{x} \right) + C\\
&= 3 x - 2x \sqrt{x} + C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3x-2x \sqrt{x}+C$
13. Soal SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 241 |*Soal Lengkap
$\int \dfrac{x^{2}-\sqrt{x}}{x}\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \dfrac{x^{2}-\sqrt{x}}{x}\ dx \\
&= \int \left( \dfrac{x^{2}}{x}-\dfrac{\sqrt{x}}{x} \right)\ dx \\
&= \int \left( x - x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx \\
&= \dfrac{1}{2}x^{2} -2x^{ \frac{1}{2}} +C \\
&= \dfrac{1}{2}x^{2} -2\sqrt{x} + C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}x^{2}- 2 \sqrt{x}+C$
14. Soal SBMPTN 2017 SAINTEK Kode 229 |*Soal Lengkap
$\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{3}-1 \\
\dfrac{du}{dx} & = 3x^{2} \\
du & = 3x^{2}\ dx
\end{align}$
Soal di atas, kini dapat kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
&\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\
& = \int 3 \cdot 3x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\
& = \int 3 \cdot \sqrt{x^{3}-1}\ 3x^{2}\ dx \\
& = \int 3 \cdot \sqrt{u}\ du \\
& = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( u \right) \sqrt{u}\ +C \\
& = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C \\
& = 2 \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C$
15. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
$\int \limits \left ( \dfrac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2} dx=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( \dfrac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{ \left( x^{2}-1 \right)\left( x^{2}+1 \right)}{x \left( x^{2}+1 \right)} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{ \left( x^{2}-1 \right) }{x } \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( \dfrac{ x^{2} }{x }-\dfrac{ 1 }{x } \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( x-x^{-1} \right )^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( x^{2}-2+x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}-2x+ \dfrac{1}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{1}{3}x^{3}-2x- \dfrac{1}{x} + C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{x}-2x + C$
16. Soal UM UNDIP 2016 Kode 501/515 |*Soal Lengkap
$\int \limits x^{5}\left ( 2-x^{3} \right )^{\frac{1}{2}}\ dx=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = 2-x^{3} \rightarrow 2-u = x^{3}\\
\dfrac{du}{dx} & = -3x^{2} \\
du & = -3x^{2}\ dx \rightarrow -\dfrac{1}{3}du = x^{2}dx \\
\end{align}$
Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
& \int \limits x^{5}\left ( 2-x^{3} \right )^{\frac{1}{2}}\ dx \\
& = \int \limits x^{2} \cdot x^{3} \left ( u \right )^{\frac{1}{2}}\ dx \\
& = \int \limits x^{3} \cdot u^{\frac{1}{2}}\ x^{2} dx \\
& = \int \limits \left ( 2-u \right ) u^{\frac{1}{2}}\ \left (-\dfrac{1}{3}du \right ) \\
& = -\dfrac{1}{3} \int \limits \left ( 2u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{3}{2}} \right ) \ du \\
& = -\dfrac{1}{3} \cdot \left ( \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right ) + C \\
& =-\dfrac{1}{3} \cdot \left ( \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right ) + C \\
& =-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{15}u^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 6u \right )+ C \\
& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 6\left (2-x^{3} \right ) \right )+ C \\
& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 12+6x^{3} \right )+ C \\
& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 8+6x^{3} \right )+ C \\
& =-\dfrac{2}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 4+3x^{3} \right )+ C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{-2}{45} \left(3x^{3}+4 \right)\left(-x^{3}+2 \right)^{\frac{3}{2}} + C$
17. Soal UM UNDIP 2016 Kode 501/515 |*Soal Lengkap
Jika $f'(x)=9x^{2}-12x+2$ dan $f(-1)=0$, maka $f(0)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & =9x^{2}-12x+2 \\
f(x ) &= \int \limits f'(x)\ dx \\
&= \int \limits 9x^{2}-12x+2 \ dx \\
&= \dfrac{9}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{12}{1+1}x^{1+1}+2x + C \\
& = 3x^{3}-6x^{2}+2x + C \\
\hline
f(-1) & = 3(-1)^{3}-6(-1)^{2}+2(-1) + C \\
0 & = -3-6 -2 + C \\
0 & = -11 + C \\
C & =11 \\
\hline
f(x) & = 3x^{3}-6x^{2}+2x + 11 \\
f(0) & = 3(0)^{3}-6(0)^{2}+2(0) + 11 \\
& = 11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11$
18. Soal UNBK SMA IPA 2018 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Hasil $\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$
Soal diatas, kini bisa kita tuliskan menjadi;
$ \begin{align}
& \int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx \\
&=\int \limits 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx \\
&=\int \limits 2 u^{5}\ 2x\ dx \\
&=\int \limits 2 u^{5}\ du \\
&=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C \\
&=\dfrac{2}{6} u^{6}+C
\end{align} $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$ \begin{align}
\dfrac{2}{6} u^{6}+C &=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
19. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $g$ dan $h$ didefinisikan sebagai berikut:
$g(x)=2-bx$ dan $h(x)=1-bx+x^{2}$.
Grafik fungsi $g$ memotong sumbu $x$ di titik $\left(1,0\right)$.
$\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-h(x) \right) dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Fungsi $g(x)=2-bx$ dan $h(x)=1-bx+x^{2}$ mempunyai konstanta $b$ yang sama.
Dengan menggunakan catatan integral tak tentu dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-h(x) \right) dx & = \int \limits_{ }^{ } \left( \left( 2-bx \right)-\left( 1-bx+x^{2} \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( 2-bx-1+bx-x^{2} \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( 1-x^{2} \right) dx \\
& = x-\dfrac{1}{3}x^{3} + C
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{3}x^{3}+x+C$
20. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=x^{2}+x-2$ dan $g(x)=x+2$.
$\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-f(x) \right) dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan catatan integral tak tentu dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-f(x) \right) dx & = \int \limits_{ }^{ } \left( \left( x+2 \right)-\left( x^{2}+x-2 \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( x+2 - x^{2}-x+2 \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( 4 - x^{2} \right) dx \\
& = 4x-\dfrac{1}{3}x^{3} + C
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{1}{3}x^{3}+4x+C$
21. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=-2 \left( x-5 \right)$ dan $g(x)=\left( x-2 \right)^{2}-2$.
$\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-f(x) \right) dx=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan catatan integral tak tentu dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{ }^{ } \left( g(x)-f(x) \right) dx & = \int \limits_{ }^{ } \left( \left( x-2 \right)^{2}-2-\left( -2 \left( x-5 \right) \right) \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( x^{2}-4x+4-2+2x-10 \right) dx \\
& = \int \limits_{ }^{ } \left( x^{2}-2x-8 \right) dx \\
& = \dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}-8x+C
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}-8x+C$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Fungsi Aljabar di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 20+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Integral Tak tentu Fungsi Aljabar di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan
