Pembahasan 10 Contoh Soal Pengetahuan Kuantitatif UTBK-SNBT 2023 Dari Simulasi Tes BPPP Kemdikbud

Dari catatan Ciri Bilangan Habis Dibagi kita peroleh:

• Ciri bilangan yang habis dibagi tiga adalah jumlah angka pembentuknya merupakan kelipatan $3$.
• Ciri bilangan yang habis dibagi $5$ adalah angka satuannya $0$ atau $5$.

Dari bilangan yang diberkan pada pilihan dapat kita peroleh:
1. $12345$ (SALAH)
   Habis dibagi $3$ karena $1+2+3+4+5=15$ dan $15$ kelipatan $3$
   Habis dibagi $5$ karena satuannya adalah $5$.
2. $13689$ (BENAR)
   Habis dibagi $3$ karena $1+3+6+8+9=27$ dan $27$ kelipatan $3$
   Tidak Habis dibagi $5$ karena satuannya tidak $0$ atau $5$.
3. $14670$ (SALAH)
   Habis dibagi $3$ karena $1+4+6+7+0=18$ dan $18$ kelipatan $3$
   Habis dibagi $5$ karena satuannya adalah $0$.
4. $15223$ (SALAH)
   Tidak Habis dibagi $3$ karena $1+5+2+2+3=13$ dan $13$ tidak kelipatan $3$
   Tidak Habis dibagi $5$ karena satuannya tidak $0$ atau $5$.
5. $20579$ (SALAH)
   Tidak Habis dibagi $3$ karena $2+0+5+7+9=23$ dan $23$ tidak kelipatan $3$
   Tidak Habis dibagi $5$ karena satuannya tidak $0$ atau $5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 13689$

Dari catatan Fungsi Kuadrat kita peroleh jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$x$ di dua titik yang berbeda maka $D \gt 0$.

Diketahui kurva $y = ax^{2} + 2x + 1$ memotong sumbu-$x$ di dua titik yang berbeda maka kita peroleh:
$\begin{align} D\ & \gt 0 \\ b^{2}-4ac\ & \gt 0 \\ 2^{2}-4(a)(1) & \gt 0 \\ 4-4a & \gt 0 \\ 4 & \gt 4a \\ 1 & \gt a \\ a & \lt 1 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a \lt 1$

Dari catatan Fungsi Kuadrat kita peroleh jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$x$ di dua titik yang berbeda maka $D \gt 0$.

Kurva $y = ax^{2} + 2x + 1$ memotong sumbu-$x$ di dua titik yang berbeda maka kita peroleh:
$\begin{align} D\ & \gt 0 \\ b^{2}-4ac\ & \gt 0 \\ 2^{2}-4(a)(1) & \gt 0 \\ 4-4a & \gt 0 \\ 4 & \gt 4a \\ 1 & \gt a \\ a & \lt 1 \\ \end{align}$
Kurva $y = ax^{2} + 2x + 1$ terbuka ke atas atau ke bawah dipengaruhi nilai $a$, karena nilai $a \lt 1$ sehingga kurva bisa terbuka ke atas atau terbuka ke bawah.

Titik potong kurva $y = ax^{2} + 2x + 1$ terhadap sumbu-$y$ saat $x=0$ adalah:
$\begin{align} y\ & = ax^{2} + 2x + 1 \\ y\ & = a(0)^{2} + 2(0) + 1 \\ y\ & = 1 \end{align}$
titik potong kurva $y = ax^{2} + 2x + 1$ terhadap sumbu-$y$ adalah $\left( 0,1 \right)$.

Letak titik puncak kurva $y = ax^{2} + 2x + 1$ dipengaruhi oleh nilai $a$ dan $b$, karena nilai $a$ belum pasti maka letak titik puncak belum bisa ditentukan.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{kurva memotong sumbu-y positif}$.

Dengan menggunakan catatan persamaan garis kita ketahui gradien garis $2x + y = 4$ adalah $m_{1}=-2$ dan gradien garis $x + 2y = 2$ adalah $m_{2}=-\dfrac{1}{2}$.

Untuk mengetahui garis ketiga apakah memotong dua garis di dua titik yang berbeda, dapat kita periksa dari nilai gradien garis ketiga tidak sama dengan gradien kedua garis dan garis ketiga tersebut tidak melalui titik potong kedua garis.

Titik potong kedua garis di atas adalah $\left( 2,0 \right)$
$\begin{align} 2x + y &= 4\ (\times 2) \\ x + 2y &= 2\ (\times 1) \\ \hline 4x + 2y &= 8 \\ x + 2y &= 2\ \ (-) \\ \hline 3x &= 6\ \ (-) \\ x &= 2\ \longrightarrow y=0 \end{align}$

Kita periksa persamaan garis yang diberikan:
1. Garis $y = -x + 5$ memotong kedua garis di dua titik yang berbeda, karena gradien $m=-1$ dan tidak melalui $\left( 2,0 \right)$
2. Garis $y = x - 2$ tidak memotong kedua garis di dua titik yang berbeda, karena melalui $\left( 2,0 \right)$
3. Garis $y = 3x -1$ memotong kedua garis di dua titik yang berbeda, karena gradien $m=3$ dan tidak melalui $\left( 2,0 \right)$
4. Garis $y = -2x + 7$ tidak memotong kedua garis di dua titik yang berbeda, karena gradien $m=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1,3\ \text{Benar}$.

Dengan menggunakan catatan statistika untuk data $3,5,7, a$ kita peroleh:

1. Rata-rata kumpulan data tersebut $6$ bila $a=9$ (BENAR).
   $\begin{align} \bar{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+ x_{n}}{n} \\ \bar{x} &= \dfrac{3+5+7+a}{4} \\ \bar{x} &= \dfrac{3+5+7+9}{4}= \dfrac{24}{4}=6 \end{align}$
2. Median kumpulan data tersebut $5$ bila $a=7$ (SALAH).
   $\begin{align} & 3,\ 5,\ 7,\ a \\ & 3,\ 5,\ 7,\ 7 \\ \hline Me &=\dfrac{5+7}{2}=6 \end{align}$
3. Jangkauan kumpulan data tersebut $4$ bila $a=6$ (BENAR).
   $\begin{align} & 3,\ 5,\ 7,\ a \\ & 3,\ 5,\ 7,\ 4 \\ \hline J &=x_{max}-x_{max} \\ J &=7-3=4 \end{align}$
4. Modus kumpulan data tersebut $3$ bila $a=5$ (SALAH).
   $\begin{align} & 3,\ 5,\ 7,\ a \\ & 3,\ 5,\ 7,\ 5 \\ \hline Mo &= 5 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

Dengan menggunakan catatan teorema peluang dapat kita peroleh.

Tiga bola diambil dari sebuah kotak yang berisi $3$ bola merah dan $2$ bola putih.
$\begin{align}
n (S)\ & = C(5,3) \\ & = \dfrac{5!}{3!(5-3)!}=10 \end{align}$

$B$ menyatakan kejadian terambil $2$ bola merah dan $1$ bola putih dari pengambilan tiga bola dari sebuah kotak yang berisi $3$ bola merah dan $2$ bola putih.
$\begin{align}
n (B)\ & = C(3,2) \cdot C(2,1) \\ & = \dfrac{3!}{2!(3-2)!} \cdot \dfrac{2!}{1!(2-1)!} \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{align}$

Peluang terambil $2$ bola merah dan $1$ bola putih dari pengambilan tiga bola dari sebuah kotak yang berisi $3$ bola merah dan $2$ bola putih adalah:
$\begin{align}
P (B)\ & = \dfrac{n(B)}{n(S)} \\ & = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \gt Q
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ P \gt Q$

Dengan menggunakan catatan pertidaksamaan satu variabel dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2x+1 & \lt 4 \\ 2x+1-1 & \lt 4-1 \\ 2x & \lt 3 \\ x & \lt \dfrac{3}{2} \end{align}$

Untuk nilai $x \lt \dfrac{3}{2}$ dimana $P=-2x$ dan $Q=2$ maka hubungan nilai $P$ dan $Q$ tidak dapat ditentukan karena masih memungkinkan $P \gt Q$, $P = Q$ atau $P \lt Q$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \text{Tidak dapat ditentukan hubungan}$

Jika kita gambarkan limas $PBQ.F$ dan kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Untuk mempermudah perhitungan dapat kita gunakan rusuk kubus $a=6$, dengan menggunakan catatan dimensi tiga dapat kita peroleh:

Luas $\bigtriangleup PBQ$ adalah:
$ \begin{align} \left[ PBQ \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}a \cdot \dfrac{1}{2}a \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}(6) \cdot \dfrac{1}{2}(6) \\ & = 6 \end{align}$

Luas Persegi $ABCD$ adalah:
$ \begin{align} \left[ ABCD \right] & = a \cdot a \\ & = 6 \cdot 6 = 36 \end{align}$

Perbandingan luas $\bigtriangleup PBQ$ dengan luas persegi $ABCD$ adalah $6:36 \equiv 1:6$.

Volume Limas $PBQ.F$ adalah:
$ \begin{align} V & = \dfrac{1}{3} \cdot \text{luas alas} \cdot \text{tinggi} \\ & = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ PBQ \right] \cdot a \\ & = \dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 \\ & = 12 \end{align}$

Volume Kubus $ABCD.EFGH$ adalah:
$ \begin{align} V & = \left[ ABCD \right] \cdot \text{tinggi} \\ & = 36 \cdot a \\ & = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216 \end{align}$

Perbandingan volume limas $PBQ.F$ dan volume kubus $ABCD.EFGH$ adalah $12:216 \equiv 1:18$.

Pajang $PQ$ dapat kita hitung dengan Teorema Pythagoras pada segitiga $PBQ$ yaitu:
$\begin{align} PQ^{2} & = PB^{2}+BQ^{2} \\ PQ^{2} & = 4^{2}+3^{2} \\ PQ^{2} & = 16+9=25 \\ PQ & = 5 \end{align}$
Panjang $AC$ yang merupakan diagonal sisi kubus panjangnya adalah $a\sqrt{2}$ atau $6\sqrt{2}$.
sehingga $PQ:AC = 5:6\sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Pernyataan (1) dan (2) SAJA yang benar.}$

Kita ketahui pada sebuah segitiga $ABC$ berlaku $\angle A+\angle B + \angle C = 180^{\circ}$, sehingga untuk $\angle B = 30^{\circ}$ maka $\angle A+ \angle C = 150^{\circ}$

Untuk $\angle B = 30^{\circ}$ dan $\angle A – \angle C = 20^{\circ}$ sudah dapat kita pastikan bahwa segitiga $ABC$ bukan segitiga siku-siku. Karena saat $\angle A – \angle C = 20^{\circ}$ tidak mungkin salah satu sudutnya $90^{\circ}$ mengakibatkan $\angle A+ \angle C = 150^{\circ}$.

Untuk $\angle B = 30^{\circ}$ dan $\angle C \lt \angle A$ tidak dapat untuk memastikan bahwa segitiga $ABC$ segitiga siku-siku atau tidak. Karena saat $\angle C \lt \angle A$ masih banyak kemungkinan yang bisa terjadi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)$ Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(2)$ SAJA tidak cukup.

Bilangan prima adalah bagian dari bilangan asli (bilangan bulat positif), dimana bilangan prima hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Untuk $b = 2 \times c$, $b – d = 3$ dan $d = 2c – 3$ kita peroleh:
$\begin{align} b – d & = 3 \\ 2 \times c – d & = 3 \\ 2c – d & = 3 \\ d+3 – d & = 3 \\ 3 & = 3 \end{align}$
Tidak dapat kita ketahui apakah $d$ bilangan prima atau tidak.

Untuk $b = 2 \times c$, $b – d = 3$ dan $b – 2c = 0$ kita peroleh:
$\begin{align} b – d & = 3 \\ 2 \times c – d & = 3 \\ 2c – d & = 3 \\ b – d & = 3 \end{align}$
Tidak dapat kita ketahui apakah $d$ bilangan prima atau tidak.

Untuk $b = 2 \times c$, $b – d = 3$, $d = 2c – 3$, dan $b – 2c = 0$ kita peroleh:
$\begin{align} b – d & = 3 \\ 2 \times c – d & = 3 \\ 2c – d & = 3 \\ d+3 – d & = 3 \\ 3 & = 3 \end{align}$
Tidak dapat kita ketahui apakah $d$ bilangan prima atau tidak.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ Pernyataan $(1)$ dan pernyataan $(2)$ tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.