Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran dari Titik di Luar Lingkaran dan pembahasan soal-soal latihan.
Pernah merasa bingung ketika harus menentukan persamaan garis singgung lingkaran, jika yang diketahui persamaan lingkaran dan sebuah titik yang berada diluar lingkaran.
Masalah persamaan garis singgung lingkaran, jika yang diketahui adalah persamaan lingkaran dan diluar lingkaran sering membuat siswa kesulitan menyelesaikannya, terutama saat menghadapi soal ujian. Tanpa pemahaman yang jelas, soal seperti ini bisa terasa rumit dan membingungkan.
Namun, jangan khawatir! Pada catatan ini, kita akan mempelajari langkah-langkah sederhana dan efektif untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan mudah, jika yang diketahui persamaan lingkaran dan titik pada lingkaran atau diluar lingkaran.
Catatan ini untuk melengkapi catatan lingkaran kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran dan cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran dari titik pada lingkaran.
Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran dari Titik di Luar Lingkaran
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dari titik di luar lingkaran, ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, antara lain menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan atau menggunakan persamaan garis dan persamaan garis singgung lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran dari titik diluar lingkaran berikut ini kita cari menggunakan diskriminan persamaan kuadrat persekutuan.
Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ yang ditarik dari titik $T \left(-7,1 \right)$ adalah...
Garis singgung lingkaran kita misalkan dengan $y=mx+n$ dan melalui titik $T \left(-7, 1 \right)$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &= mx+n \\
1 &= m \left( -7 \right) + n \\
1 &= -7m + n \\
7m+1 &= n
\end{align}$
Lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ menyinggung garis $y=mx+n$, sehingga garis dan lingkaran mempunyai titik persekutuan:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\
x^{2} + \left( mx+n \right)^{2} &= 5^{2} \\
x^{2} + m^{2}x^{2}+n^{2}+2mnx &= 25 \\
\left( 1 + m^{2} \right)x^{2}+2mnx+n^{2}-25 &= 0
\end{align}$
Garis menyinggung lingkaran sehingga diskriminan $\left(D=b^{2}-4ac \right)$ persamaan kuadrat persekutuan di atas adalah nol.
$\begin{align}
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\left( 2mn \right)^{2} - 4\left( m^{2}+1 \right)\left( n^{2}-25 \right) & = 0 \\
4m^{2}n^{2} - 4m^{2}n^{2}+ 100m^{2}-4n^{2}+100 & = 0 \\
100m^{2} -4n^{2}+100 & = 0 \\
25m^{2}+25- n^{2} & = 0 \\
25m^{2}+25-\left( 7m+1 \right)^{2} & = 0 \\
25m^{2}+25-49m^{2}-14m-1 & = 0 \\
-24m^{2} -14m+24 & = 0 \\
12m^{2}+7m-12 & = 0 \\
\left( 4m-3 \right) \left( 3m+4 \right)&= 0 \\
m= \frac{3}{4}\ \text{atau}\ & m=-\frac{4}{3}
\end{align}$
Untuk nilai $m= \frac{3}{4}$ kita peroleh $n= \frac{25}{4}$ dan persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y & = mx+n \\
y & = \frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \\
4y & = 3x+25 \\
3x-4y & = -25
\end{align}$
Untuk nilai $m=-\frac{4}{3}$ kita peroleh $n=-\frac{25}{3}$ dan persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y & = mx+n \\
y & = -\frac{4}{3}x-\frac{25}{3} \\
3y & = -4x-25 \\
4x+3y & = -25
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x – 4y = -25$
Contoh Soal Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran dari Titik di Luar Lingkaran
$(1).$ Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}+2x-19=0$ yang ditarik dari titik $T \left(1,6 \right)$ di luar lingkaran adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk meenentukan persmaan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2}+2x-19=0$ dari titik $T \left(1,6 \right)$ berikut ini kita cari menggunakan persamaan garis dan persamaan garis singgung lingkaran.
Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $T \left(1,6 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\
y - 6 &= m \left( x - 1 \right) \\
y &= mx - m + 6
\end{align}$
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}+2x-19=0$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2}+2x-19 &= 0 \\
\left( x+1 \right)^{2}-1 + \left( y-0 \right)^{2} -19 &= 0 \\
\left( x+1 \right)^{2} + \left( y-0 \right)^{2} &= 20 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-0 &= m \left(x+1 \right) \pm \sqrt{20} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\
y &= mx+m \pm \sqrt{20m^{2}+20}
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\
mx+m \pm \sqrt{20m^{2}+20} &= mx - m + 6 \\
m \pm \sqrt{20m^{2}+20} &= -m + 6 \\
\pm \sqrt{20m^{2}+20} &= -2m+6 \\
20m^{2}+ 20 &= \left( -2m+6 \right)^{2} \\
20m^{2} + 20 &= 4m^{2}-24m+36 \\
16m^{2} +24m - 16 &= 0 \\
2m^{2} +3m - 2 &= 0 \\
\left( 2m-1 \right) \left( m+2 \right)&= 0 \\
m= \frac{1}{2}\ \text{atau}\ & m=-2
\end{align}$
- untuk $m=\frac{1}{2}$ kita peroleh $y= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 6$ atau $2y= x+11$
- untuk $m= -2$ kita peroleh $y=-2x +2 + 6$ atau $ y=-2x+8$.
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2x + y = 8$
$(2).$ Persamaan garis singgung pada suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0$ yang ditarik dari titik $T \left( 0,0 \right)$ di luar lingkaran adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk meenentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0$ dari titik $\left( 0,0 \right)$ berikut ini kita cari menggunakan persamaan garis dan persamaan garis singgung lingkaran.
Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $T \left( 0,0 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\
y - 0 &= m \left( x - 0 \right) \\
y &= mx
\end{align}$
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
x^{2} + y^{2}-6x-2y+8=0 &= 0 \\
\left( x-3 \right)^{2}-9 + \left( y-1 \right)^{2} -1+8 &= 0 \\
\left( x-3 \right)^{2} + \left( y-1 \right)^{2} &= 2 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
y-b &= m \left(x-a \right) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y-1 &= m \left(x-3 \right) \pm \sqrt{2} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\
y-1 &= mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} \\
y &= mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\
mx-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1 &= mx \\
-3m \pm \sqrt{2m^{2}+2} +1 &= 0 \\
\pm \sqrt{2m^{2}+2} &= 3m-1 \\
2m^{2}+ 2 &= \left( 3m-1 \right)^{2} \\
2m^{2} + 2 &= 9m^{2}-6m+1 \\
7m^{2} -6m - 1 &= 0 \\
\left( 7m+1 \right) \left( m-1 \right)&= 0 \\
m= -\frac{1}{7}\ \text{atau}\ & m=1
\end{align}$
- untuk $m=-\frac{1}{7}$ kita peroleh $y= -\frac{1}{7}x$ atau $7y= -x$.
- untuk $m= 1$ kita peroleh $y=x$.
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 7y= -x$
$(3).$ Salah satu garis singgung yang ditarik dari $\left( 0,10 \right)$ ke lingkaran $x^{2} + y^{2}=10$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk meenentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2}=10$ dari titik $\left( 0,10 \right)$ berikut ini kita cari menggunakan persamaan garis singgung lingkaran.
Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $\left( 0,10 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\
y - 10 &= m \left( x + 0 \right) \\
y &= mx + 10
\end{align}$
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=10$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
y &= m x \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y &= mx \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\
y &= mx \pm \sqrt{10m^{2}+10}
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\
mx \pm \sqrt{10m^{2}+10} &= mx + 10 \\
\pm \sqrt{10m^{2}+10} &= 10 \\
10m^{2}+ 10 &= 10^{2} \\
10m^{2} - 90 &= 0 \\
m^{2} - 9 &= 0 \\
\left( m+3 \right) \left( m-3 \right)&= 0 \\
m= -3\ \text{atau}\ & m=3
\end{align}$
- untuk $m=3$ kita peroleh $y= 3x+10$
- untuk $m= -3$ kita peroleh $y=-3x+10$.
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y = -3x + 10$
$(4).$ Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=8$ yang ditarik dari titik $T \left(-3,1 \right)$ di luar lingkaran adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk meenentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2}=8$ dari titik $T \left(-3,1 \right)$ berikut ini kita cari menggunakan persamaan garis singgung lingkaran.
Garis singgung lingkaran kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $T \left(-3, 1 \right)$ sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\
y - 1 &= m \left( x + 3 \right) \\
y &= mx + 3m + 1
\end{align}$
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=8$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align}
y &= m x \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\
y &= mx \pm \sqrt{8} \cdot \sqrt{m^{2}+1} \\
y &= mx \pm \sqrt{8m^{2}+8}
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\
mx \pm \sqrt{8m^{2}+8} &= mx + 3m + 1 \\
\pm \sqrt{8m^{2}+8} &= 3m + 1 \\
8m^{2}+ 8 &= \left( 3m + 1 \right)^{2} \\
8m^{2}+ 8 &= 9m^{2}+6m+ 1 \\
m^{2}+6m - 7 &= 0 \\
\left( m+7 \right) \left( m-1 \right)&= 0 \\
m= -7\ \text{atau}\ & m= 1
\end{align}$
- untuk $m=-7$ kita peroleh $y= -7x + 3(-7) + 1$ atau $ y=-7x-20$
- untuk $m= 1$ kita peroleh $y= x+3 (1)+1$ atau $ y= x+4$.
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7x + y + 20 = 0$
$(5).$ Diketahui lingkaran yang melalui titik-titik $O \left( 0,0 \right)$, $A \left( 0,8 \right)$ dan $B \left( 6,0 \right)$. Persamaan garis singgung lingkaran tersebut di titik $A$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ melalui titik-titik $O \left( 0,0 \right)$, $A \left( 0,8 \right)$ dan $B \left( 6,0 \right)$ sehingga dapat kita tuliskan
- Lingkaran melalui titik $O \left(0, 0 \right)$, kita peroleh $0^{2}+0^{2}+A(0)+B(0)+C= 0$ sehingga $C=0$
- Lingkaran melalui titik $A \left( 0,8 \right)$, kita peroleh $0^{2}+8^{2}+A(0)+B(8)+0= 0$ sehingga $B=-8$
- Lingkaran melalui titik $B \left(6, 0 \right)$, kita peroleh $6^{2}+0^{2}+A(6)+B(0)+0= 0$ sehingga $A=-6$
Untuk $A=-6$, $B=-8$ dan $C=0$ maka persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} -6x -8y = 0$
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} -6x -8y = 0$ jika titik singgungnya $A \left( 0,8 \right)$ adalah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\
x(0) +y(8)+\frac{1}{2}(-6)(x+(0))+\frac{1}{2}(-8)(y+(8)) &= 0 \\
8y-3x-4y-32 &= 0 \\
4y -3x-32 &= 0
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x – 4y + 32 = 0$
$(6).$ Jika lingkaran $x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 = 0$, menyinggung sumbu $x$. maka nilai $m$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran $x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 = 0$ menyinggung sumbu $x$ atau garis $y=0$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} x^{2} + y^{2} -mx -10y+4 &= 0 \\ x^{2} + (0)^{2} -mx -10(0)+4 &= 0 \\ x^{2} – mx + 4 &= 0 \\ \hline D &= 0 \\ b^{2} - 4ac &= 0 \\ (-m)^{2} - 4(1)(4) &= 0 \\ m^{2} - 16 &= 0 \\ \left( m-4 \right) \left( m + 4 \right) &= 0 \\ m=4\ \text{atau}\ m=-4 & \end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4\ \text{dan}\ 4$
Catatan Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran dari Titik di Luar Lingkaran di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
