Skip to main content

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Soal matematika yang kita diskusikan berikut ini adalah soal Lomba Matematika Tingkat SMP Sederajat yang dilaksanakan oleh Himpunan Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UNS (Universitas Sebelas Maret). Soal ini cocok dijadikan bahan latihan dalam mempersiapkan diri untuk menghadapi Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten (OSK) Matematika tingkat SMP.

Terkait latihan untuk mempersiapkan diri dalam menghadapi kompetisi matematika atau bidang lainnya, kita kutip apa yang ditulis oleh Tutur Widodo pada sebuah ilustrasi percakapan berikut ini:

X:"Pak, ini soal-soal latihannya bakal ada yang keluar di soal lomba ndak?"
Y:"Saya sih sangat berharap tidak ada yang keluar di soal lomba manapun setelah ini."
X:"Loh! Terus buat apa donk kalau gitu?"
Y:"Ya, supaya Anda latihan mempertajam intuisi dan collect ide"
X:"Rugi donk Pak. Sudah capek capek kerja, eh tidak ada yang keluar satupun."
Y:"Lho, olimpiade ya harus gitu donk. Sebisa mungkin soal harus fresh. Ini soal buat latihan kalian kan saya ambilkan dari beberapa soal negara lain. Artinya, soal ini sudah pernah keluar di lomba lomba terdahulu. Masak ya mau keluar lagi. Kagak seru bro!"

Belajar mengerjakan soal itu (bagi saya) bukan untuk menghafal dan berharap suatu saat keluar lagi di lomba lain. Namun, lebih kepada mengasah otak kita supaya lebih siap dan mempunyai cadangan ide yang berlimpah. Alhasil, jika sewaktu waktu ide itu diperlukan, kita sudah siap dan tahu cara memakainya.

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Sebagai contoh, pada gambar di atas ada dua soal, nomor (1) dan nomor (2). Menurut saya, jika setidaknya Anda pernah bisa mengerjakan soal nomor (1), yg jauh lebih gampang tentunya, lalu dikemudian hari Anda menjumpai soal nomor (2) yang jauh lebih sulit, setidaknya Anda akan tahu harus berbuat apa. Itulah manfaat kita belajar.

Nah catatan di atas memperjelas atau menambahkan bahwa Manfaat dari Belajar dan Berlatih mengerjakan soal yaitu "Mengasah otak kita supaya lebih siap dan Mempunyai cadangan ide yang berlimpah" dalam menghadapi soal-soal yang kita jumpai dalam matematika atau bidang lainnya.

Untuk menambah frekuensi latihan soal kita, mari kita diskusikan soal-soal yang diujikan ada pada Lomba Matematika Tingkat SMP Sederajat oleh Himpunan Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UNS (Universitas Sebelas Maret) berikut ini, Mari berdiskusi😊
1. Diketahui $xy+2x+y=10$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat positif. Nilai minimum dari $x+y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi pada persamaan $xy+2x+y=10$
$\begin{align}
x=1\ & \rightarrow y+2+y=10 \\
& \rightarrow y=4 \\
\hline
x=2\ & \rightarrow 2y+4+y=10 \\
& \rightarrow y=2 \\
\hline
x=3\ & \rightarrow 3y+6+y=10 \\
& \rightarrow y=1 \\
\hline
x=4\ & \rightarrow 4y+8+y=10 \\
& \rightarrow y=\dfrac{2}{5}\ (TM)
\end{align}$
Nilai minimum $x+y=1+3=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

2. Urutan bilangan-bilangan $2^{5555},\ 5^{2222},\ \text{dan}\ 4^{3333}$ dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5^{2222},\ 4^{3333},\ 2^{5555} \\
(B)\ & 5^{2222},\ 2^{5555},\ 4^{3333} \\
(C)\ & 4^{3333},\ 5^{2222},\ 2^{5555} \\
(D)\ & 4^{3333},\ 2^{5555},\ 5^{2222} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk membandingkan dua bilangan berpangkat yang sangat besar atau kecil, kita usahakan pada kedua bilangan mempunyai bilangan yang sama, baik pada pangkat atau pada bilangan pokok.
$\begin{align}
5^{2222} & = \left(5^{2} \right)^{1111} \\
& = 25^{1111} \\
4^{3333} & = \left(4^{3} \right)^{1111} \\
& = 64^{1111} \\
2^{5555} & = \left(2^{5} \right)^{1111} \\
& = 32^{1111} \\
\end{align}$
Jika kita urutkan dari terkecil menjadi $25^{1111}, 32^{1111},64^{1111}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5^{2222},\ 2^{5555},\ 4^{3333}$

3. Nilai dari $\dfrac{2^{3}-1}{2^{3}+1} \cdot \dfrac{3^{3}-1}{3^{3}+1} \cdot \dfrac{4^{3}-1}{4^{3}+1} \cdot \dfrac{5^{3}-1}{5^{3}+1} \cdot \dfrac{6^{3}-1}{6^{3}+1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{53}{63} \\
(B)\ & \dfrac{47}{63} \\
(C)\ & \dfrac{45}{63} \\
(D)\ & \dfrac{43}{63}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan perkalian pecahan di atas, kita coba dengan menyederhanakan bentuk soal dan manipulasi aljabar seperti penjabaran berikut ini:
$\begin{align}
& \dfrac{2^{3}-1}{2^{3}+1} \cdot \dfrac{3^{3}-1}{3^{3}+1} \cdot \dfrac{4^{3}-1}{4^{3}+1} \cdot \dfrac{5^{3}-1}{5^{3}+1} \cdot \dfrac{6^{3}-1}{6^{3}+1} \\
& = \dfrac{8-1}{8+1} \cdot \dfrac{27-1}{27+1} \cdot \dfrac{64-1}{64+1} \cdot \dfrac{125-1}{124+1} \cdot \dfrac{216-1}{216+1} \\
& = \dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{26}{28} \cdot \dfrac{63}{65} \cdot \dfrac{124}{125} \cdot \dfrac{215}{217} \\
& = \dfrac{7 \cdot 26 \cdot 63 \cdot 124 \cdot 215}{9 \cdot 28 \cdot 65 \cdot 126 \cdot 217}
\end{align}$
Dengan membagikan kepada faktor bilangan yang sejenis maka hasil perkalian di atas dapat kita sederhanakan dan hasil yang akan kita peroleh adalah $\dfrac{43}{63}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{43}{63} $

4. $P$ adalah himpunan "bilangan ganjil positif yang habis dibagi $3$ dan kurang dari $30$" bentuk $P$ dalam notasi pembentukan himpunan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & P=\left \{ x | x=6n-3,\ 0 \lt x \lt 30,\ n \in \mathbb{N} \right \} \\
(B)\ & P=\left \{ x | x=3n+3,\ x \lt 30,\ n \in \mathbb{N} \right \} \\
(C)\ & P=\left \{ x | x=6n-3,\ x \lt 30,\ n \in \mathbb{N} \right \} \\
(D)\ & P=\left \{ x | x=6n+3,\ 0 \lt x \lt 30,\ n \in \mathbb{N} \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Himpunan "bilangan ganjil positif yang habis dibagi $3$ dan kurang dari $30$" jika kita tuliskan adalah $3, 9,15,21,27$ yang paling tepat menyatakan bilangan itu dalam notasi himpunan adalah $P=\left \{ x | x=6n-3,\ 0 \lt x \lt 30,\ n \in \mathbb{N} \right \}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ P=\left \{ x | x=6n-3,\ 0 \lt x \lt 30,\ n \in \mathbb{N} \right \}$

5. Diketahui $A$ adalah himpunan yang memiliki tepat tiga anggota. Hasil penjumlahan setiap dua anggota $A$ adalah $1209$, $1690$, $2019$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota $A$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 329 \\
(B)\ & 481 \\
(C)\ & 520 \\
(D)\ & 810
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan anggota himpunan $A$ adalah $a,b,c$ sehingga kita peroleh beberapa persamaan yaitu:
$\begin{align}
a+b &= 1209 \\
a+c &= 1690 \\
b+c &= 2019\ (+) \\
\hline
2a+2b+2c &= 4918 \\
a+ b+ c &= 2459 \\
\hline
c &= 2459 - 1209 = 1250 \\
b &= 2459 - 1690 = 769 \\
a &= 2459 - 2019 = 440 \\
\end{align}$
Selisih bilangan yang terbesar dan terkecl adalah $1250-440=810$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 810$

6. Jika $f(x+y)=x+f(y)$ dan $f(0)=2$ maka nilai $f(2019)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2019 \\
(B)\ & 2021 \\
(C)\ & 4038 \\
(D)\ & 4040
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita mulai dari $y=0$ karena pada $f(x+y)=x+f(y)$ yang diketahui adalah $f(0)=2$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
y=0 \rightarrow & f(x)=x+f(0) \\
& f(x)=x+2 \\
\hline
f(x) &=x+2 \\
f(2019) &=2019+2 \\
&=2021
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2021$

7. Dua dadu dilempar bersama-sma satu kali. Peluang bahwa mata dadu yang muncul berangka sama adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{52} \\
(B)\ & \dfrac{1}{36} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada pelemparan dua buah dadu maka anggota yang mungkin muncul adalah $(1,1),\ (1,2), \cdots (5,6),\ (6,6)$, keseluruhan berjumlah $n(S)=36$.

Hasil yang diharapkan muncul adalah $(1,1),\ (2,2), \cdots , (6,6)$, banyak anggota adalah $n(E)=6$.

Berdasarkan Teorema Peluang, Peluang bahwa mata dadu yang muncul berangka sama adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{36} \\
& = \dfrac{1}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{ 6} $

8. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti ekstrakurikuler voli. Hasil survei menyatakan $25 \%$ dari total siswa putra dan $50 \%$ dari total siswa putri berminat mengikuti kegiatan tersebut. $90 \%$ dari total peminat kegiatan ekstrakurikuler voli adalah siswa putri. Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9:1 \\
(B)\ & 9:2 \\
(C)\ & 9:3 \\
(D)\ & 9:4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita coba mulai menyelesaikan soal di atas dengan memisalkan jumlah putri di kelas tersebut adalah $x$ dan jumlah putra adalah $y$ sehingga berdasarkan keterangan pada soal dapat kita simpulkan:

  • Putra senang voli adalah $25 \% y$
  • Putri senang voli adalah $50 \% x$
  • $90 \%$ dari total peminat kegiatan ekstrakurikuler voli adalah siswa putri, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    90 \% \left( 50 \% x + 25 \% y \right) & = 50 \% x \\
    \dfrac{9}{10} \left( \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{4}y \right) & = \dfrac{1}{2} x \\
    \dfrac{9}{20} x + \dfrac{9}{40}y & = \dfrac{1}{2} x \\
    \dfrac{9}{40}y & = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{9}{20} x \\
    \dfrac{9y}{40} & = \dfrac{x}{20} \\
    \dfrac{ y}{x} & = \dfrac{40}{180} \\
    \dfrac{ y}{x} & = \dfrac{2}{9}
    \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9:2$

9. Terdapat $5$ bilangan bulat positif dengan rata-rata $45$ dan jangkauan dari ke-5 bilangan tersebut adalah $5$. Nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari $5$ bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 43 \\
(B)\ & 44 \\
(C)\ & 48 \\
(D)\ & 49
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Lima bilangan bulat positif yang sudah diurutkan dari terkecil sampai ke terbesar kita misalkan $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$, berdasarkan keterangan pada soal dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}}{5} \\
45 \cdot 5 &= x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \\
225 &= x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \\
\hline
x_{5}-x_{1}=5 \\
\end{align}$
Agar nilai $x_{5}$ maksimum maka nilai $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}$, sehingga:
$\begin{align}
225 &= x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \\
225 &= 4x_{1}+x_{5} \\
225 &= 4\left(x_{5}-5 \right)+x_{5} \\
225 &= 4 x_{5}-20+x_{5} \\
225+20 &= 5 x_{5} \\
\dfrac{245}{5} &= x_{5} \\
49 &= x_{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 49$



10. Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak maka terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{16}{33} \\
(C)\ & \dfrac{1}{12} \\
(D)\ & \dfrac{1}{16}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari $12$ koin diambil dua koin secara acak maka keseluruhan hasil yang mungkin adalah:
$\begin{align}
n(S) & = C_{2}^{12} \\
&=\dfrac{12!}{2! \cdot (12-2)!} \\
&=\dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!}=66
\end{align}$

Hasil yang diharapkan muncul adalah satu koin asli dan satu koin palsu, banyak anggota adalah:
$\begin{align}
n(E) &=C_{1}^{4} \cdot C_{1}^{8} \\
&= 4 \cdot 8 =32
\end{align}$

Berdasarkan Teorema Peluang, Peluang muncul adalah satu koin asli dan satu koin palsu adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{32}{66} = \dfrac{16}{33}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{16}{33}$

11. Arit dan Matika melakukan permainan lempar anak panah. Arit melempar tepat sasaran dengan peluang $0,65$. Sedangkan Matika melempar tepat sasaran dengan peluang $0,45$. Arit memenangkan permainan jika dirinya mampu melempar tepat sasaran dan Matika tidak mengenai sasaran. Sebaliknya, Matika menang jika dirinya melempar tepat sasaran dan Arit tidak mengenai sasaran. Kondisi lainnya adalah permainan seri. Peluang bahwa permainan akan berakhir seri adalah....
$\begin{align}
(A)\ & 0,4850 \\
(B)\ & 0,2925 \\
(C)\ & 0, 2425 \\
(D)\ & 0,2275
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Peluang Arit berhasil melempar tepat sasaran kita misalkan dengan $P(A)=0,65$ dan peluang Arit gagal dengan $P'(A)=0,35$.
Peluang Matika berhasil melempar tepat sasaran kita misalkan dengan $P(M)=0,45$ dan peluang Matika gagal dengan $P'(M)=0,55$.

Permainan berakhir seri ketika Arit dan Matika sama-sama berhasil atau sama-sama gagal.
$\begin{align}
P(E) & = P(A) \cdot P(M) + P'(A) \cdot P'(M) \\
& = 0,65 \cdot 0,45 + 0,35 \cdot 0,55 \\
& = 0,2925 + 0,1925 \\
& = 0,4850
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0,4850$

12. Di kelas 7G terdapat $40$ siswa yang nilai rata-rata ujian matematikanya adalah $60$. Jika dua siswa yang paling rendah nilainya (nilai mereka sama) tidak diikutsertakan, maka rata-ratanya adalah $61,5$. Nilai paling rendah di kelas tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 28,5 \\
(B)\ & 30,4 \\
(C)\ & 31,5 \\
(D)\ & 32,5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika $40$ nilai siswa sudah diurutkan dari terkecil sampai ke terbesar kita misalkan $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{40}$, berdasarkan keterangan pada soal dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{40}}{40} \\
60 \cdot 40 &= x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{40} \\
2400 &= x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{40} \\
\hline
\overline{x} &= \dfrac{x_{3}+\cdots+x_{40}}{38} \\
61,5 \cdot 38 &= x_{3}+\cdots+x_{40} \\
2337 &= x_{3}+\cdots+x_{40} \\
\hline
2400 &= x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{40} \\
2400 &= x_{1}+x_{2}+2337 \\
2400-2337 &= x_{1}+x_{2} \\
63 &= x_{1}+x_{2}
\end{align}$
Karena $x_{1}=x_{2}$, maka nilai $x_{1}=\dfrac{63}{2}=32,5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 32,5$

13. Perhatikan gambar di bawah ini!
Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Diketahui rangkaian bangun datar yang disusun secara berkesinambungan dan membentuk sudut-sudut seperti pada gambar. Tentukan Besar sudut $X$

$\begin{align}
(A)\ & 23^{\circ} \\
(B)\ & 30^{\circ} \\
(C)\ & 60^{\circ} \\
(D)\ & 75^{\circ} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Saya belum menemukan ide untuk menyelesaikan soal di atas. Jika Anda sudah dapat, tolong sampaikan di kotak komentar.

14. Perhatikan gambar di bawah ini!
Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Sebuah persegi panjang $ABCD$ tersusun dari $9$ persegi. Jika dua diantaranya diketahui luasnya seperti pada gambar, maka luas daerah yang belum diketahui pada gambar adalah...$cm^{2}$

$\begin{align}
(A)\ & 79 \\
(B)\ & 86 \\
(C)\ & 89 \\
(D)\ & 99 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari dua luas persegi yang diketahui pada gambar di atas dapat kita keathui luas persegi-persegi lainnya melalui menganalisis gambar seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Karena persegi panjang $ABCD$ dibangun oleh persegi maka panjang sisinya adalah $5+6=11$ dan $5+4=9$, sehingga luasnya adalah $11 \times 9 =99$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 99$

15. Selembar kain berbentuk persegi panjang memiliki ukuran perbandingan panjang dan lebar $5:3$. Jika luas kain adalah $135\ cm^{2}$, maka panjang dan lebar kain tersebut adalah...$m$
$\begin{align}
(A)\ & 9\ \text{dan}\ 3 \\
(B)\ & 15\ \text{dan}\ 9 \\
(C)\ & 84\ \text{dan}\ 15 \\
(D)\ & 84\ \text{dan}\ 51
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebar $5:3$ dapat kita tuliskan menjadi $5k:3k$.
Luas persegi panjang adalah $135\ cm^{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
5k \times 3k &= 135 \\
15k^{2} &= 135 \\
k^{2} &= \dfrac{135}{15} \\
k &= \sqrt{9}=3
\end{align}$
Ukuran persegi panjang adalah $5k=15$ dan $3k=9$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15\ \text{dan}\ 9$

16. Diketahui panjang salah satu diagonal belah ketupat adalah $24\ cm$. Jika luas belah ketupat tersebut adalah $120\ cm^{2}$, maka panjang sisi-sisi belah ketupat tersebut adalah...$cm$.
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada sebuah belah ketupat jika $d_{1}$ dan $d_{2}$ adalah diagonal-diagonal belah ketupat maka luas belah ketupat adalah $L=\dfrac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$.

Dengan kita terapkan kepada soal di atas maka berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} &= L \\
\dfrac{24\ cm \cdot d_{2}}{2} &= 120\ cm^{2} \\
24\ cm \cdot d_{2} &= 240\ cm^{2} \\
d_{2} &= \dfrac{240\ cm^{2}}{24\ cm }=10\ cm
\end{align}$
Dengan panjang diagonal belah ketupat adalah $10\ cm$ dan $24\ cm$ maka ukuran sisi belah ketupat adalah:
$\begin{align}
s^{2} &= \left( \dfrac{d_{1}}{2} \right)^{2} +\left( \dfrac{d_{2}}{2} \right)^{2} \\
s^{2} &= \left( \dfrac{24}{2} \right)^{2} +\left( \dfrac{10}{2} \right)^{2} \\
s^{2} &= 144 + 25 \\
s^{2} &= 169 \\
s &= 13
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13$

17. Pada persegi $ABCD$ dibuat titik $P$ pada $AB$ dan $Q$ pada $BC$ sehingga luas $ADP=$ luas $CDQ$ yaitu $\dfrac{1}{6}$ luas persegi $ABCD$. Perbandingan luas $DPQ$ dengan luas $ABCD$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1:3 \\
(B)\ & 3:1 \\
(C)\ & 9:4 \\
(D)\ & 4:9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)

Jika kita misalkan panjang sisi persegi adalah $a$ maka luas persegi adalah $a^{2}$.

Luas $[ADP]=[DQC]$ yaitu $\dfrac{1}{6}$ luas persegi $ABCD$, sehingga berlaku
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot AP &= \dfrac{1}{6} \cdot a^{2} \\
AP &= \dfrac{1}{3} \cdot a
PB &= \dfrac{2}{3} \cdot a
\end{align}$
Perbandingan luas $DPQ$ dengan luas $ABCD$ adalah:
$\begin{align}
\dfrac{\left[ DPQ \right]}{\left[ ABCD \right]} &= \dfrac{\left[ ABCD \right]-2\left[ ADP \right]-\left[ PBQ \right]}{\left[ ABCD \right]} \\
&= \dfrac{a^{2}-2\left( \dfrac{1}{6} \cdot a^{2} \right)-\left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} a \cdot \dfrac{2}{3} a \right) }{a^{2}} \\
&= \dfrac{a^{2}- \dfrac{1}{3} a^{2} - \dfrac{2}{9}a^{2} }{a^{2}} \\
&= \dfrac{ \dfrac{4}{9}a^{2} }{a^{2}} \\
&= \dfrac{4}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4:9$

18. Segitiga siku-siku $ABC$ mempunyai sisi-sisi $a,b,\ text{dan}\ c$. Jika diketahui $a+b=17\ cm$, $b+c=25\ cm$, dan $c+a=18\ cm$, maka luas segitiga $ABC$ tersebut adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 30
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita jumlahkan ketiga persamaan di atas maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
a+b &= 17 \\
b+c &= 25 \\
a+c &= 18\ (+) \\
\hline
2a+2b+2c &=60 \\
a+b + c &=30 \\
a &=30-25=5 \\
b &=30-18=12 \\
c &=30-17=13
\end{align}$
Karena sisi segitiga membentuk bilangan triple phytagoras, sehingga luas segitiga adalah $\dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12=30$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 30$


19. Diketahui jajargenjang $ABCD$ dengan panjang $CD$ adalah $8\ cm$. Titik $N$ terletak pada $AB$. Titik $M$ berada pada diagonal $AC$. $M$ titik potong garis $AC$ dan garis $DN$. Jika panjang $CM$ adlaah empat kali panjang $AM$ maka panjang $AN$ adalah...$cm$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan keterangan soal menjadi seperti berikut ini;

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Dari gambar di atas dapat kita ketahui bahwa $\bigtriangleup DMC \sim \bigtriangleup AMN$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{CD}{AN} &= \dfrac{CM}{AM} \\
\dfrac{8}{AN} &= \dfrac{4\ AM}{AM} \\
\dfrac{8}{AN} &= 4 \\
\dfrac{8}{4} &= AN \\
2 &= AN
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

20. Diketahui titik $A(0,4)$ dan $B(-1,-1)$ terletak pada garis $l$. Jika garis $l$ dirotasikan oleh $R(0,-90)$ maka hasil rotasi garis $l$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+5y-4=0 \\
(B)\ & x+4y-5=0 \\
(C)\ & 5x+ y+4=0 \\
(D)\ & 5x+4y-1=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Soal tranformasi di atas dapat kita selesaikan dengan menentukan bayangan titik dengan Rotasi oleh $R(0,-90)$ atau $R(0,270)$
$\begin{align}
A(x, y)\ \rightarrow & A'(y, -x) \\
A(0, 4)\ \rightarrow & A'(4, 0) \\
B(-1, -1)\ \rightarrow & B'(-1, 1)
\end{align}$

Bayangan persamaan garis $l$ melalui $A'(4, 0)$ dan $B'(-1, 1)$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} &= \dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\dfrac{y-0}{1-0} &= \dfrac{x-4}{-1-4} \\
y &= \dfrac{x-4}{-5} \\
-5y &= x-4 \\
-5y-x+4 &= 0 \\
5y+x-4 &= 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+5y-4=0$

21. Sebuah $\bigtriangleup ABC$ dicerminkan terhadap sumbu $Y$, kemudian dicerminkan lagi terhadap garis $y=3$ sehingga hasil penerminannya adalah $\bigtriangleup A'B'C'$. Jika koordinat $A'(8,0)$, $B'(8,-4)$ dan $C'(4,0)$, maka koordinat titik $A,B,$ dan $C$ berturut-turut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & A(8,6);B(8,10);C(4,6); \\
(B)\ & A(8,6);B(8,10);C(4,-6); \\
(C)\ & A(-8,6);B(-8,10);C(-4,6); \\
(D)\ & A(-8,6);B(8,10);C(4,-6)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Soal tranformasi di atas kita coba selesaikan dengan memisalkan sebuah titik $A(m,n)$ dicerminkan terhadap sumbu $Y$ hasilnya $A'(-m,n)$, kemudian dicerminkan lagi terhadap garis $y=k$ sehingga $A''(-m,2k-n)$ untuk $k=3$ maka $A''(-m,6-n)$.
$\begin{align}
A''(-m,6-n) & \rightarrow A(m,n) \\
A''(-m,6-n) \equiv & A''(8,0) \rightarrow A(-8,6) \\
B''(-m,6-n) \equiv & B''(8,-4) \rightarrow B(-8,10) \\
C''(-m,6-n) \equiv & C''(4,0) \rightarrow C(-4,6)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ A(-8,6);B(-8,10);C(-4,6)$

22. Diketahui $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif yang memenuhi sistem persamaan berikut:
$\left\{\begin{matrix}
x-y^{2}=4 \\
x^{2}+y^{4}=15
\end{matrix}\right.$
Jika $x=\dfrac{a+b^{\frac{1}{2}}}{c}$, maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 18 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 22 \\
(D)\ & 24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari sistem Persamaan $x-y^{2}=4$ dan $x^{2}+y^{4}=15$ kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{4} &=15 \\
x^{2}+ \left( y^{2} \right)^{2} &=15 \\
x^{2}+ \left( x-4 \right)^{2} &=15 \\
x^{2}+ x^{2}-8x+16 &=15 \\
2x^{2}-8x+1 &=0
\end{align}$
Dengan Rumus abc kita peroleh:
$\begin{align}
x_{12} &=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
x_{12} &=\dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^{2}-4(2)(1)}}{2(2)} \\
&=\dfrac{8 \pm \sqrt{56}}{4} \\
&=\dfrac{8 \pm 2\sqrt{14}}{4} \\
&=\dfrac{4 \pm \sqrt{14}}{2} \\
\hline
a+b+c &= 4+14+2=20
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

23. Pak Ali memiliki tangki minyak berbentuk tabung berdiameter $2$ meter dengan tinggi $1,4$ meter. Mula-mula tangki diisi minyak hingga penuh, karena bocor isinya tinggal $\dfrac{4}{5}$ nya saja. Minyak yang mengalir karena bocor sebanyak...liter
$\begin{align}
(A)\ & 780 \\
(B)\ & 800 \\
(C)\ & 850 \\
(D)\ & 880
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Volume tabung jika penuh adalah
$\begin{align}
V &= \pi \cdot r^{2} \cdot t \\
&= \dfrac{22}{7} \cdot (1\ m)^{2} \cdot 1,4\ m \\
&= 22 \cdot 1 \ m^{2} \cdot 0,2\ m \\
&= 4,4\ m^{3} \\
&= 4.400\ l \\
\hline
\text{terbuang} &= \dfrac{1}{5} \cdot 4.400\ l \\
\text{terbuang} &= 880\ l \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 880$

24. Tabel berikut adalah data berat badan dari sekelompok siswa.
Berat Badan (kg) 35 37 39 41 43
Frekuensi 5 3 5 4 3
Banyak siswa yang mempunyai berat badan kurang dari berat badan rata-rata adalah...orang
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Rata-rata dari data pada tabel di atas adalah:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{35 \cdot 5 +37 \cdot 3+39 \cdot 5+41 \cdot 4+43 \cdot 3}{5+3+5+4+3} \\
&= \dfrac{165 +111+195+164+129}{20} \\
&= \dfrac{764}{20} = 38,2
\end{align}$
Banyak siswa yang mempunyai berat badan kurang dari $38,2$ adalah $8$ orang

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$

25. Nilai Matematika siswa disajikan dalam tabel berikut.
Nilai 4 5 6 7 8 9 10
Banyak Siswa 2 4 5 5 9310
Median dari data di atas adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6,5 \\
(B)\ & 7,0 \\
(C)\ & 7,5 \\
(D)\ & 8,0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung
median dari data pada tabel di atas kita coba menghitung keseluruhan data yaitu $2+4+5+5+9+3+4=32$.

Median berada pada datum ke-$\dfrac{32+1}{2}=16,5$.
Nilai datum ke-$16$ adalah $7$ dan nilai datum ke-$17$ adalah $8$, sehingga median adalah $\dfrac{7+8}{2}=7,5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7,5$

26. Sebuah kotak berisi $10$ kelereng. $6$ buah kelereng berwarna merah dan $4$ kelereng berwarna kuning. Jika dari kotak diambil $2% kelereng satu per satu tanpa pengembalian maka peluang kelereng yang terambil berturut-turut berwarna merah dan kubing adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{30} \\
(B)\ & \dfrac{1}{10} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{4}{15}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Diketahui Dari $10$ kelereng $6M$ dan $4K$.

Diambil dua kelereng satu per satu tanpa pengembalian, maka pada pengambilan pertama $N(S)=10$ dan pada pengambilan kedua $N(S)=9$.

Hasil yang diharapkan muncul adalah merah pertama dan kubing kedua, maka berdasarkan Teorema Peluang, kisaran nilai peluang adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) & = P \left( E_{1} \right) \cdot P \left( E_{2} \right) \\
& = \dfrac{n \left( E_{1} \right)}{n \left( S_{1} \right)} \cdot \dfrac{n \left( E_{2} \right)}{n \left( S_{2} \right)}\\
& = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9}\\
& = \dfrac{24}{90} \\
& = \dfrac{4}{15}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{15} $

27. Pada kubus $ABCD.EFGH$ mempunyai panjang rusuk $2$ satuan. $O$ adalah titik potong dua diagonal pada bidang $BCGF$. Jarak $O$ ke bidang $BCEH$ adalah...satuan
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{5} \\
(B)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\
(C)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{3} \\
(D)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal dan kita beri titik tambahan sebagai bantuan yaitu titik $P$, $Q$, $R$ dan $S$ seperti ilustrasi berikut ini;

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Dari gambar di atas, jarak raka titik $O$ kebidang $EBCH$ adalah $OQ$. Dengan menggunakan bantuan dari kubus dapat kita ketahui:
$\begin{align}
\left[ PRS \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot RS \cdot PS \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2
\end{align}$

$\begin{align}
\left[ RSO \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot RS \cdot SO \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1
\end{align}$

$\begin{align}
\left[ OPR \right] &= \left[ RSP \right] - \left[ RSO \right] \\
&= 2 - 1 = 1
\end{align}$

$\begin{align}
\left[ OPR \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot PR \cdot OQ \\
1 &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot OQ \\
1 &= \sqrt{2} \cdot OQ \\
OQ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $


28. Trapesium sama kaki $ABCD$ dengan panjang sisi-sisinya adalah $16\ cm$, $10\ cm$, $5\ cm$ dan $5\ cm$. Berapa $cm$ PAda kubus $ABCD.EFGH$ mempunyai panjang rusuk $2$ satuan. $O$ adalah titik potong dua diagonal pada bidang $BCGF$. Jarak $O$ ke bidang $BCEH$ adalah...satuan
$\begin{align}
(A)\ & 8\ \text{dan}\ 18 \\
(B)\ & 4\ \text{dan}\ 18 \\
(C)\ & 8\ \text{dan}\ 36 \\
(D)\ & 4\ \text{dan}\ 52
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan apa yang disampaikan pada soal ilustrasi berikut ini;

Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Dari gambar di atas, karena trapesium $ABCD$ adalah sama kaki sehingga dapat kita simpulkan bahwa $CD=EF=10$ dan $AE=FB=5$. Segitiga $AED$ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras maka $ED=4$.

Luas trapesium adalah:
$\begin{align}
\left[ ABCD \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot (CD+AB) \cdot DE \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (10+16) \cdot 4 \\
&= 52
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4\ \text{dan}\ 52$

29. Sebanyak $28\ kg$ pasir mampu membuat istana pasir sederhana sebanyak $50$ istana pasir dengan ukuran $30 \times 30\ \times 30\ cm^{3}$. Berapakah istana pasir dengan ukuran sama yang dapat dibuat dengan pasir sebanyak $40\ kg $ pasir?
$\begin{align}
(A)\ & 61 \\
(B)\ & 65 \\
(C)\ & 63 \\
(D)\ & 71
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Banyak istana pasir yang dapat dibuat dari $28\ kg$ pasir adalah sebanyak $50$ sehingga untuk membuat sebuah istana dibutuhkan $\dfrac{50}{28}\ kg$ pasir.

Dari $40\ kg$ pasir maka banyak istana yang dapat dibuat adalah $40\ kg \times \dfrac{50}{28\ kg}=71,4...$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 71$

30. Nilai $b$ yang memenuhi persamaan berikut adalah...
$\left\{\begin{matrix}
2a+b+c+d=2018 \\
a+2b+c+d=2020 \\
a+b+2c+d=2018 \\
a+b+c+2d=2019 \\
\end{matrix}\right.$
$\begin{align}
(A)\ & 400 \\
(B)\ & 405 \\
(C)\ & 410 \\
(D)\ & 411
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari sistem Persamaan jika kita jumlahkan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2a+b+c+d &=2018 \\
a+2b+c+d &=2020 \\
a+b+2c+d &=2018 \\
a+b+c+2d &=2019\ \ (+)\\
\hline
5a+5b+5c+5d &=8075 \\
a+ b+ c+ d &=1615 \\
\hline
a+2b+c+d &=2020 \\
a+ b+ c+ d &=1615\ \ (-)\\
\hline
b &= 405
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 405$


sedang mengetik soal selanjutnya mohon bersabar dan ikuti perkembangan diskusi ini
πŸ™πŸ™πŸ™
Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Jika tertarik untuk menyelesaikan soal ini secara mandiri dan tidak sabar untuk menunggu pembahasan secara lengkap, silahkan download pada link berikut ini:
  • Soal Aritmatika SMP Jilid VIII UNS 2019 πŸ‘€ Download
Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Cara Pilar (Pintar Bernalar) Perkalian Dua Angka;
youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Soal dan Pembahasan Pra OSK Matematika SMP 2020 (*Soal Aritmatika UNS 2019)" sangat diharapkan 😊 and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar