Calon Guru Belajar Matematika SMP dari Soal dan Pembahasan Kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota (KSN-K) Tahun 2020 Untuk Matematika SMP. Tahun ini istilah Kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota (KSN-K) dikembalikan kepada sitilah sebelumnya yaitu Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota (OSN-K).
Pada catatan sebelumnya kita sudah mendiskusikan beberapa soal yang dapat dijadikan sebagai bahan latihan dalam menghadapi OSN Matematika pada tahun ini, diantaranya:
- Soal dan pembahasan Pra OSK matematika tahun 2019 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 1 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 2 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 3 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 4 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2017 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2016 👀Lihat Soal
Soal dan Pembahasan KSN Tingkat Kabupaten/Kota (KSN-K) Matematika SMP Tahun 2020
Berikut soal dan pembahasan soal OSN tingkat kabupaten mata pelajaran matematika untuk SMP😉.
Tunjukkan Kemampuan Matematika Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 25 soal |
1. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $a,b,c,d$ adalah bilangan bulat positif berbeda sehingga $abcd=2020$, maka nilai terkecil yang mungkin dari $\dfrac{a+b}{c+d}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa $a,b,c,d$ adalah bilangan bulat positif berbeda dan $abcd=2020$.
Karena $abcd=2020$ maka $a,b,c,d$ adalah faktor dari $2020$. Nilai $abcd$ yang mungkin dapat kita tentukan dengan memfaktorkan $2020$.
$\begin{align} 2020\ &= 2020 \times 1 \\ &= 1010 \times 2 \times 1 \\ &= 505 \times 2 \times 2 \times 1 \\ &= 101 \times 5 \times 2 \times 2 \times 1 \end{align}$
Dari hasil di atas, masih ada beberapa kemungkinan nilai $a,b,c,d$. Tetapi karena yang diinginkan adalah nilai terkecil $\dfrac{a+b}{c+d}$ maka kita susun nilai $a+b$ adalah yang terkecil sedangkan $c+d$ adalah yang terbesar.
$\begin{align} \dfrac{a+b}{c+d}\ &= \dfrac{1+2}{5+202} \\ &= \dfrac{3}{207} \\ &= \dfrac{1}{69} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{69}$
2. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Manakah di antara bilangan berikut yang merupakan bilangan prima?
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan bilangan prima dari keempat bilangan di atas, kita harus dapat menentukan bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, yang sesuai dengan definisi bilangan prima yaitu bagian dari bilangan asli hanya mempunyai dua faktor yaitu $1$ dan bilangan itu sendiri.
Untuk menentukan faktor-faktor dari bilangan di atas dapat digunakan ciri-ciri bilangan habis dibagi. Misalnya bilangan $2019$ habis dibagi $3$ karena jumlah $2+0+1+9=12$ habis dibagi $3$.
Bilangan $2023$ habis dibagi $7$ karena $202 – \left(3 \times 2 \right) = 196$, lalu $196$ habis dibagi $7$, karena $19 – \left(6 \times 2 \right) = 7$, dan $7$ habis dibagi $7$.
Bilangan $2021$ adalah bilangan hasil perkalian dari $43 \times 47$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2017$
3. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $\Delta(a,b,c)=ab+ac+bc$, dan misalkan $x_{1}$ dan $x_{1}$ adalah bilangan yang memenuhi $\dfrac{1}{3}\Delta \left( x+1,x-25 \right)=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$, maka nilai terbesar yang mungkin dari $2x_{1}-3x_{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \dfrac{1}{3}\Delta \left( x+1,x-2,5 \right) &= \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) \\ \Delta \left( x+1,x-2,5 \right) &= 3\left( x-2 \right)\left( x+2 \right) \\ \left( (x+1)(x-2)+(x+1)(5)+(x-2)(5) \right) &= 3\left( x^{2}-4 \right) \\ x^{2}-x-2+5x+5+5x-10 &= 3x^{2}-12 \\ x^{2}+9x-7 &= 3x^{2}-12 \\ 0 &= 2x^{2}-9x-5 \\ 0 &= \left( 2x+1 \right)\left( x-5 \right)\\ x=-\dfrac{1}{2}\ & \text{atau}\ x=5 \end{align}$
Untuk $x=-\dfrac{1}{2}$ atau $x=5$ nilai dari $2x_{1}-3x_{2}$ adalah:$\begin{align} 2x_{1}-3x_{2} &= 2\left( -\dfrac{1}{2} \right) -3 \left( 5 \right) \\ &= -1 -15 =-16 \\ \hline 2x_{1}-3x_{2} &= 2\left( 5 \right) -3 \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\ &= 10 + \dfrac{3}{2} =\dfrac{23}{2} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D\ \dfrac{23}{2}$
4. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika adalah $450$. Jika suku pertama adalah $n$ dan suku ke-$n$ adalah $45$, maka selisih barisan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jumlah $n$ suku pertama Deret aritmatika $S_{n}$ adalah $450$, Suku pertama $a$ adalah $n$, dan suku ke-$n$ adalah $45$. Dari beberapa informasi pada soal tersebut dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
S_{n}\ & = \dfrac{n}{2} \left(a+u_{n} \right) \\
450 & = \dfrac{n}{2} \left(n+45 \right) \\
900 & = n \left(n+45 \right) \\
900 & = n^{2}+45n \\
0 & = n^{2}+45n-900 \\
0 & = \left(n-15 \right)\left(n+60 \right) \\
\end{align}$
Karena $n$ adalah banyak suku sehingga $n$ adalah bilangan bulat positif, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=15$.
Untuk $n=15$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
u_{n}\ & = a+ \left(n-1 \right)b \\
45\ & = 15+ \left(15-1 \right)b \\
45-15\ & = 14b \\
30\ & = 14b \\
\dfrac{30}{14} & = b \\
\dfrac{15}{7} & = b \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{15}{7} $
Soal di atas sudah kita modifikasi dari soal aslinya, soal aslinya seperti berikut ini:
Dari beberapa informasi pada soal tersebut dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
S_{n}\ & = \dfrac{n}{2} \left(a+u_{n} \right) \\
450 & = \dfrac{n}{2} \left(n+3 \right) \\
900 & = n \left(n+3 \right) \\
900 & = n^{2}+3n \\
0 & = n^{2}+3n-900 \\
\end{align}$
Karena $n$ adalah banyak suku sehingga $n$ adalah bilangan bulat positif. Pada persamaan $n^{2}+3n-900 $ tidak ada $n$ bilangan bulat postif yang memenuhi, sehingga soal di atas tidak dapat diselesaikan.
5. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $f(x)=5x-3$, maka jumlah semua $x$ yang memenuhi $\left(f(x) \right)^{2}−6f(x)=−9$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk $f(x)=5x-3$ dan $\left(f(x) \right)^{2}−6f(x)=−9$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\left(f(x) \right)^{2}−6f(x) &= −9 \\
\left( 5x-3 \right)^{2}−6\left( 5x-3 \right) &= -9 \\
25x^{2}-30x+9−30x+18 &= −9 \\
25x^{2}-60x+27 &= −9 \\
25x^{2}-60x+27+9 &= 0 \\
25x^{2}-60x+36 &= 0 \\
\hline
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{-60}{25} \\
&= \dfrac{12}{5} \\
\end{align}$
Soal ini jika dikerjakan dengan rumus jumlah akar-akar seperti di atas tidak kita temukan jawabnya. Tetapi permintaan soal sepertinya lebih khusus lagi yaitu "jumlah nilai $x$ yang memenuhi".
Persamaan $25x^{2}-60x+36 = 0$ akar-akarnya adalah kembar sehingga nilai $x$ yang memenuhi hanya satu maka penjumlahan nilai $x$ yang memenuhi hanya $x=\dfrac{6}{5}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{6}{5}$
6. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
$R_{t}$ dan $R_{k}$ berturut-turut menyatakan jari-jari tabung dan jari-jari kerucut. Jika tinggi tabung dan tinggi kerucut adalah $3600$ cm, volum tabung $490\pi$ liter dan volum kerucut $30\pi$ liter, maka hubungan antara $R_{t}$ dan $R_{k}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal jika volume tabung dan kerucut kerucut kita bandingkan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{V_{tab}}{V_{ker}}\ & =\dfrac{\pi \times r^{2} \times t}{\frac{1}{3} \pi \times r^{2} \times t} \\
\dfrac{490 \pi}{30 \pi}\ & =\dfrac{\pi \times R_{t}^{2} \times 3600}{\frac{1}{3} \pi \times R_{k}^{2} \times 3600} \\
\dfrac{49}{3}\ & =\dfrac{R_{t}^{2} }{\frac{1}{3} R_{k}^{2} } \\
\dfrac{49}{9}\ & =\dfrac{R_{t}^{2} }{ R_{k}^{2} } \\
\left( \dfrac{7}{3} \right)^{2}\ & =\left( \dfrac{R_{t} }{ R_{k} } \right)^{2} \\
\dfrac{7}{3}\ & = \dfrac{R_{t} }{ R_{k} } \\
7R_{k}\ & =3R_{t}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3R_{t}=7R_{k}$
7. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Perhatikan bangun setengah lingkaran berikut.Jika $CA = 6$ cm dan $ED + DF = 8$ cm, maka keliling bangun yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebagai perbaikan itu, itu adalah gambar seperempat lingkaran. Dari gambar dapat kita perhatikan bahwa keliling yang diarsir adalah:
$\begin{align}
& BC+CD+DE+EF+FB \\
& = BC+CD+EF+DE+FB \\
& = BC+CA+AB \\
& = BC+6+6 \\
& = \dfrac{1}{4} \times 2 \pi r+12 \\
& = \dfrac{1}{4} \times 2 \pi (6)+12 \\
& = 3 \pi+12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3 \pi+12$
8. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Di dalam sebuah kerucut terdapat sebuah balok. Volum kerucut $600\pi\ cm^{3}$ dan jari-jarinya $10$ cm. Jika tinggi balok setengah tinggi kerucut, maka volum balok terbesar yang ada di dalam kerucut tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Volume kerucut adalah:
$\begin{align}
V\ & = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2}t \\
600 \pi\ cm^{3} & = \dfrac{1}{3} \times \pi (10\ cm)^{2}\ t \\
1.800 \pi\ cm^{3} & = \pi\ 100\ cm^{2}\ t \\
18 cm & = t
\end{align}$
Dengan tinggi kerucut $18$ cm maka tinggi balok adalah $9$ cm. Jika kita gambarkan kerucut dan balok kurang lebih seperti berikut ini.
Volume balok maksimum terjadi saat titik sudut balok bagian atas bersinggungan dengan sisi kerucut. Karena $t_{K}=18\ cm$ dan $t_{B}=9\ cm$ maka $CD=\dfrac{1}{2}AB$
Volume balok maksimum adalah:
$\begin{align}
V\ &=L_{alas} \times t \\
&=\dfrac{10\ cm \times 10\ cm}{2} \times 9\ cm \\
&=450\ cm^{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 450\ cm^{3}$
9. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Pada suatu pameran seni di sekolah, akan dipajang $8$ lukisan istimewa terdiri dari $3$ lukisan cat air dan $5$ lukisan cat minyak. Semua lukisan tersebut saling berbeda. Untuk alasan artistic, maka setiap lukisan cat air akan diletakkan di antara dua lukisan cat minyak. Banyak kemungkinan susunan lukisan cat air dan cat minyak tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Contoh susunan lukisan cat air $(A)$ dan cat minyak $(M)$ adalah $MAMAMAMM$ atau $MAMAMMAM$.
Pertama yang kita susun adalah lukisan cat minyak.
Banyak susunan lukisan cat minyak adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
M & - & M & - & M & - & M & - & M\\
\hline
5 & - & 4 & - & 3 & - & 2 & - & 1 \\
\end{array} $
Banyak susunan cat minyak adalah $5!=120$ susunan.
Selanjutnya untuk menyusun cat air di tempat yang tersedia di atas, ada dua hal yang harus kita perhatikan:
Pertama, kita akan pilih $3$ lukisan ke $4$ tempat yang tersedia. Caranya $C(4,3)=\dfrac{4!}{3!(4-3)!}=4$
Kedua, banyak susunan $3$ cat air pada tempat yang tersedia adalah $3!=6$ susunan.
Banyak susunan cat air adalah $4 \times 6=24$ susunan.
Susunan keseluruhan adalah susunan cat minyak dan susunan cat air, yaitu $120 \times 24 =2880$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2880$
Soal di atas sudah dimodifikasi dari soal aslinya, soal aslinya seperti berikut ini:
10. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Sebuah dadu bersisi enam dilempar sebanyak $n$ kali, $n \gt 0$. Jika rata-rata mata dadu yang keluar adalah $\dfrac{1}{4}n$, maka median dari seluruh nilai $n$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari pelemparan sebuah dadu bersisi enam, maka hasil yang mungkin adalah $\{1,2,3,4,5,6 \}$ dan rata-rata mata dadu yang keluar adalah $\dfrac{1}{4}n$.
Sehingga nilai dari $\dfrac{1}{4}n$ adalah:
\begin{align}
1 \leq & \dfrac{1}{4}n \leq 6 \\
4 \leq & n \leq 24
\end{align}
Jika $x_{1},x_{2}$ sampai $x_{n}$ adalah mata dadu yang keluar pada pelemaparan pertama, kedua, sampai ke-$n$ dan $n$ banyak percobaan. Maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} &=\bar{x} \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} &=\dfrac{1}{4}n \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n} &=\dfrac{1}{4}n^{2} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n} &= \left( \dfrac{n}{2} \right)^{2}
\end{align}$
Dengan $4 \leq n \leq 24$ bilangan bulat (banyak percobaan) dan jumlah mata dadu $\left( \dfrac{n}{2} \right)^{2}$ juga bilangan bulat maka $n$ yang mungkin adalah $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12,$ $14,$ $16,$ $18,$ $20,$ $22,$ dan $24$.
Median dari seluruh nilai $n$ yang mungkin adalah $14$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$
11. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $2^{5n}$ dan $5^{2m}$ adalah faktor dari $2020^{2020}$, maka jumlah digit dari nilai maksimum $m+2n$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika $2^{5n}$ dan $5^{2m}$ adalah faktor $2020^{2020}$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
2020^{2020}\ &= \left( 4 \right)^{2020} \cdot \left( 5 \right)^{2020} \left( 101 \right)^{2020} \\
&= \left( 2 \right)^{4040} \cdot \left( 5 \right)^{2020} \left( 101 \right)^{2020} \\
\hline
2^{5n} & \leq 2^{4040} \\
5n & \leq 4040 \\
n & \leq \dfrac{4040}{5}=808 \\
\hline
5^{2m} & \leq 5^{2020} \\
2m & \leq 2020 \\
m & \leq \dfrac{2020}{1}=1010
\end{align}$
Nilai $m+2n$ maksimum terjadi saat $n=808$ dan $m=1010$ sehingga nilai maksimumnya adalah $1010+2(808)=2626$. Jumlah digit-digitnya adalah $2+6+2+6=16$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 16$
12. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diberikan empat bilangan bulat positif $a, b, c,\ \text{dan}\ d$ yang memenuhi pertaksamaan $a \lt b \lt c \lt d$. Diketahui pula $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$.
Banyaknya pasangan bilangan $(a,b,c,d)$ yang memenuhi permasalahan di atas adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk bilangan bulat positif $a, b, c,\ \text{dan}\ d$ berlaku $a \lt b \lt c \lt d$ artinya $a$ adalah bilangan yang terkecil.
Diketahui juga $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$ maka $a \gt 1$, dan karena $a$ bilangan terkecil maka $\dfrac{1}{a}$ adalah bilangan terbesar sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a} & \gt 1 \\
\dfrac{4}{a} & \gt 1 \\
a & \lt 4 \\
a &= 2,3
\end{align}$
Untuk $a=2$, maka kita peroleh $2 \lt b \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = 1 \\
\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2} \\
\hline
\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b} & \gt \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{3}{b} & \gt \dfrac{1}{2} \\
b & \lt 6 \\
b &= 3,4,5
\end{align}$
Untuk $b=3$, maka kita peroleh $2 \lt 3 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{6} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{1}{6} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{1}{6} \\
c & \lt 12 \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{6} \\
\dfrac{1}{c} & \lt \dfrac{1}{6} \\
c & \gt 6 \\
c &= 7,8,9,10,11
\end{align}$
- Untuk $c=7$, maka $\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=42$
- Untuk $c=8$, maka $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=24$
- Untuk $c=9$, maka $\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=18$
- Untuk $c=10$, maka $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=15$
- Untuk $c=11$, maka $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=\dfrac{66}{5}$ (Tidak Memenuhi) Banyak pasangan $(a,b,c,d)$ adalah $4$.
Untuk $b=4$, maka kita peroleh $2 \lt 4 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{4} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{1}{4} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{1}{4} \\
c & \lt 8 \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{4} \\
\dfrac{1}{c} & \lt \dfrac{1}{4} \\
c & \gt 4 \\
c &= 5,6,7
\end{align}$
- Untuk $c=5$, maka $\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{4}$ kita peroleh $d=20$
- Untuk $c=6$, maka $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=12$
- Untuk $c=7$, maka $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=\dfrac{28}{3}$ (Tidak Memenuhi) Banyak pasangan $(a,b,c,d)$ adalah $2$.
Untuk $b=5$, maka kita peroleh $2 \lt 5 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{3}{10} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{3}{10} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{3}{10} \\
3c & \lt 20 \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{3}{10} \\
\dfrac{1}{c} & \lt \dfrac{3}{10} \\
3c & \gt 10 \\
c &= 6
\end{align}$
Untuk $c=6$, maka $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{3}{10}$ kita peroleh $d=\dfrac{15}{2}$ (Tidak Memenuhi)
Tidak ada pasangan $(a,b,c,d)$ yang memenuhi.
Untuk $a=3$, maka kita peroleh $3 \lt b \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = 1 \\
\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3} \\
\hline
\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b} & \gt \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{3}{b} & \gt \dfrac{2}{3} \\
2b & \lt 9 \\
b &= 4
\end{align}$
Untuk $b=4$, maka kita peroleh $3 \lt 4 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{5}{12} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{5}{12} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{5}{12} \\
5c & \lt 24 \\
c & =4 \text{(tidak memenuhi)}
\end{align}$
Tidak ada pasangan $(a,b,c,d)$ yang memenuhi.
Untuk $b=5$, maka kita peroleh $3 \lt 4 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{5}{12} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{5}{12} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{5}{12} \\
5c & \lt 24 \\
& \text{tidak memenuhi}
\end{align}$
Tidak ada pasangan $(a,b,c,d)$ yang memenuhi.
Total banyak pasangan $(a,b,c,d)$ adalah $4+2=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
13. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Perhatikan barisan bilangan berikut.
$1, 2, 4, 8, 15, 26, ?, ?, ?, \cdots$
Tiga bilangan selanjutnya berturut-turut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari pola di atas dapat kita simpulkan:
- Bilangan setelah $26$ adalah $26+11+5=42$,
- Bilangan setelah $42$ adalah $42+16+6=64$,
- Bilangan setelah $64$ adalah $64+22+7=93$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 42,64,93$
14. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ dengan $x_{1} \lt x_{2}$ adalah solusi yang memenuhi persamaan $x^{\left(x^{x} \right)}= \left(x^{x} \right)^{x} $, maka $25x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}−10x_{1}x_{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan yang diketahui pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{\left(x^{x} \right)} &= \left(x^{x} \right)^{x} \\
x^{\left(x^{x} \right)} &= x^{x \cdot x} \\
x^{\left(x^{x} \right)} &= x^{x^{2}} \\
\hline
x^{x} &= x^{2}
\end{align}$
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $x=1$, $x=-1$ atau $x=2$
| $x_{1} \lt x_{2}$ | ||
|---|---|---|
| $x_{1}$ | $x_{2}$ | $25x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}−10x_{1}x_{2}$ |
| $-1$ | $1$ | $\begin{align} & 25(-1)^{2}+4(1)^{2}−10(-1)(1) \\ &= 25+4+10 \\ &=39 \end{align}$ |
| $-1$ | $2$ | $\begin{align} & 25(-1)^{2}+4(2)^{2}−10(-1)(2) \\ &= 25+16+20 \\ &=61 \end{align}$ |
| $1$ | $2$ | $\begin{align} & 25(1)^{2}+4(2)^{2}−10(1)(2) \\ &= 25+16-20 \\ &=21 \end{align}$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 21$
Soal di atas sudah kita modifikasi dari soal aslinya, soal aslinya seperti berikut ini:
15. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diketahui tiga bilangan terurut $(x, y, z)$ dengan $x, y,\ \text{dan}\ z$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $(3x+y-1)^{y+z}=729$. Jika himpunan selesaiannya adalah $\{ \left(x_{1},y_{1},z_{1} \right),\left(x_{2},y_{2},z_{2} \right), \cdots ,\left(x_{1},y_{1},z_{1} \right)\}$, maka nilai dari $ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+y_{1}+$$y_{2}+\cdots+y_{n}+z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan yang diketahui pada soal, untuk $x, y,\ \text{dan}\ z$ adalah bilangan bulat positif dapat kita peroleh:
$\begin{align}
(3x+y-1)^{y+z}&= 729 \\
\hline
(3x+y-1)^{y+z}&= 729^{1} \\
x=729 & \rightarrow y=1,\ z=0 \text{(TM)} \\
(3x+y-1)^{y+z}&= 3^{6} \\
x=1 & \rightarrow y=1,\ z=5 \\
\hline
(3x+y-1)^{y+z}&= 9^{3} \\
x=3 & \rightarrow y=1,\ z=2 \\
\hline
(3x+y-1)^{y+z}&= 27^{2} \\
x=9 & \rightarrow y=1,\ z=1
\end{align}$
Nilai $ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+y_{1}+$$y_{2}+\cdots+y_{n}+z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}$ adalah $ 1+3+9+1+1+1+5+2+1=24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 24$
16. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Perhatikan gambar $\bigtriangleup ABC$ berikut.Diketahui $D$ titik tengah sisi $AC$, $F$ titik tengah sisi $BD$, dan $DE$ sejajar $BC$. Jika $G$ adalah titik potong $AF$ dan $DE$, maka perbandingan $BC:DG$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba pakai garis bantu yaitu perpanjangan garis $AF$ yang berpotongan dengan $BC$ di titik $H$. Misalkan $BH=x$, seperti gambar berikut:
Kita perhatikan $\bigtriangleup BFH$ dan $\bigtriangleup FDG$ adalah segitiga yang kongruen karena $\angle BFH =\angle DFG$, $BF=FD$ dan $\angle FBH =\angle FDG$. Sehingga kita peroleh untuk $BH=x$ maka $GD=x$.
Lalu kita perhatikan $\bigtriangleup AGD$ dan $\bigtriangleup AHC$ adalah segitiga yang sebangun karena $\angle GAD =\angle HAC$ dan $\angle GDA =\angle HCA$.
$\begin{align} \dfrac{AD}{AC}\ & = \dfrac{GD}{HC} \\ \dfrac{1}{2}\ & = \dfrac{x}{HC} \\ HC & = 2x \end{align}$
Untuk $HC=2x$ dan $BH=x$ maka $BC=3x$. Perbandingan $BC:DG=3x:x$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3 : 1$
17. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diketahui suatu bilangan terdiri dari $6$ digit. Jika digit terakhirnya sama dengan digit pertama, maka banyak kemungkinan bilangan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan $6$ digit dengan aturan digit terakhirnya sama dengan digit pertama. Bilangan ini disusun oleh $1,2,3,4,5,6,7,8,9,0$ sehingga banyak bilangan yang mungkin adalah:
Banyak susunan bilangan:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & D_{5} & D_{6} \\
\hline
9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 1 \\
\end{array} $
Banyak kemungkinan bilangan adalah $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1=90000$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 90000$
18. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Siswa-siswi sebuah SMP yang menyaksikan pertandingan sepak bola, oleh panitia diberi Nomor Undian Doorprize (NUD) pada kertas yang terdiri atas empat digit. Panitia pertandingan sudah menyiapkan hadiah untuk semua NUD untung, yaitu nomor yang digit ke-empatnya merupakan pengurangan bilangan dua digit pertama oleh bilangan digit ke-tiga. Contohnya $1156 \rightarrow 11 – 5 = 6$ adalah NUD untung. Banyak hadiah yang harus disediakan oleh panitia adalah...
Alternatif Pembahasan:
Nomor yang dikatakan NUD adalah jika bilangan dua digit pertama dikurang digit ke-3 sama dengan digit ke-4. Agar diperoleh nomor NUD maka digit pertama pada nomor itu harus angka $1$. Selain angka $1$ pada digit pertama maka dipastikan tidak akan diperoleh nomor NUD. Misal $2095$ bukan nomor NUD karena $20-9 \neq 5$
| Nomor Undian Doorprize (NUD) | |||
|---|---|---|---|
| Digit ke-1/ke-2 | Digit ke-3 | Digit ke-4 | Banyak NUD |
| $10$ | $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5,4,3,2,1$ | $9$ NUD |
| $11$ | $2,3,4,5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5,4,3,2$ | $8$ NUD |
| $12$ | $3,4,5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5,4,3$ | $7$ NUD |
| $13$ | $4,5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5,4$ | $6$ NUD |
| $14$ | $5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5$ | $5$ NUD |
| $15$ | $6,7,8,9$ | $9,8,7,6$ | $4$ NUD |
| $16$ | $7,8,9$ | $9,8,7$ | $3$ NUD |
| $17$ | $8,9$ | $9,8$ | $2$ NUD |
| $18$ | $9$ | $9$ | $1$ NUD |
Total banyak hadiah yang harus dipersiapkan oleh panitia adalah $9+8+7+\cdots+2+1=45$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 45$
19. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
$A$ adalah himpunan semua bilangan tiga digit yang tidak memuat $0$ dan semua digitnya berbeda. Jika $x,\ y,\ z$ berturut-turut adalah rata-rata, median, dan jangkauan dari semua anggota $A$, maka nilai dari $x-y+z$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan $A$ adalah himpunan semua bilangan tiga digit yang tidak memuat $0$ dan semua digitnya berbeda.
Bilangan $A$ adalah $123,$ $124,$ $125,$ $\cdots ,$ $985,$ $986,$ $987$.
Banyak bilangan $A$ adalah $9 \times 8 \times 7 =504$ bilangan.
Bilangan $A$ terkecil $123$ dan terbesar $987$, sehingga jangkauan $A$, $z=987-123=864$.
Rata-rata bilangan $A$ adalah:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{123+124+125+\cdots+985+986+987}{504} \\
&= \dfrac{(123+987)+(124+986)+(125+985)+\cdots}{504} \\
&= \dfrac{ (1110)+(1110)+(1110)+\cdots }{504} \\
&= \dfrac{\frac{504}{2}\left(1110 \right )}{504} \\
&= \dfrac{ 1110}{2} \\
&= 555
\end{align}$
Banyak bilangan $A$ sebanyak $504$ bilangan, sehingga median bilangan $A$ adalah jumlah dua bilangan yang paling tengah lalu dibagi dua. Jumlah dua bilangan itu adalah $1110$, kita ikuti pola sewaktu menghitung rata-rata. Sehingga median bilangan $A$ adalah $y=\dfrac{1110}{2}=555$.
Nilai $x-y+z=555-555+864=864$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 864$
20. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Bilangan $\dfrac{b}{a}$ terbesar dengan $a,b$ positif sedemikian sehingga $\dfrac{5}{a}+20b$ merupakan bilangan kuadrat sempurna yang kurang dari $2020$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa bilangan $\dfrac{5}{a}+20b$ merupakan bilangan kuadrat sempurna. Bentuknya dapat kita ubah menjadi $\dfrac{5}{a}+20b=5 \left( \dfrac{1}{a}+4b \right)$, artinya bilangan kuadrat yang diminta adalah bilangan kuadrat kelipatan $5$.
Bilangan kuadrat kelipatan $5$ adalah $5^{2}=25,$ $10^{2}=100,$ $15^{2}=225,$ $20^{2}=400,$ $25^{2}=625,$ $30^{2}=900,$ $35^{2}=1225,$ $40^{2}=1600,$ dan $45^{2}=2025$ karena yang kita butuhkan yang kurang dari $2020$.
Bilangan kuadrat kelipatan $5$ yang terdekat dan kurang dari $2020$ adalah $40^{2}$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{5}{a}+20b &= 1600 \\
5 \left( \dfrac{1}{a}+4b \right) &= 1600 \\
\dfrac{1}{a}+4b &= 320 \\
\dfrac{1}{a} &= 320-4b \\
\dfrac{b}{a} &= 320b-4b^{2}
\end{align}$
Dari persamaan di atas nilai $\dfrac{b}{a}$ maksimum dapat kita hitung dengan bantuan rumus $y$ puncak pada fungsi kuadrat, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{b}{a} &= -\dfrac{320^{2}-4(-4)(0)}{4(-4)} \\
&= -\dfrac{102.400-0}{-16} \\
&= 6400
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6400$
21. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $a,b$ bilangan real positif dengan $a^{505}+b^{505}=1$, maka nilai minimum dari $a^{2020}+b^{2020}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan $a,b$ adalah bilangan real positif sehingga soal dapat kita sederhanakan menjadi "Jika $x,y$ bilangan real positif dengan $x+y=1$, maka nilai minimum dari $x^{4}+y^{4}$ adalah..."
$\begin{align} x^{4}+y^{4}\ & = \left( x^{2}+y^{2} \right)^{2}- 2 \cdot x^{2} \cdot y^{2} \\ & = \left( \left[ x +y \right]^{2}-2xy \right)^{2}- 2 \cdot \left( xy \right)^{2} \\ & = \left( \left[ 1 \right]^{2}-2xy \right)^{2}- 2 \cdot \left( xy \right)^{2} \\ & = \left( 1-2xy \right)^{2}- 2 \cdot \left( xy \right)^{2} \\ & = 1-4xy+4\left( xy \right)^{2}- 2 \cdot \left( xy \right)^{2} \\ & = 2 \cdot \left( xy \right)^{2} -4xy + 1 \end{align}$
Untuk $x+y=1$ maka:
$\begin{align}
xy\ & = x(1-x) \\
& = x-x^{2}
\end{align}$
Nilai $xy$ minimum adalah $xy=-\dfrac{(1)^{2}-4(-1)(0)}{4(-1)}= \dfrac{1}{4}$ (*Nilai minimum pada fungsi kuadrat)
Agar $x^{4}+y^{4}=2 \cdot \left( xy \right)^{2} -4xy + 1$ minimum maka $xy$ juga harus minimum, sehingga nilai minimum $x^{4}+y^{4}$ adalah:
$\begin{align}
x^{4}+y^{4} & = 2 \cdot \left( xy \right)^{2} -4xy + 1 \\
a^{2020}+b^{2020} & = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} -4\left( \dfrac{1}{4} \right) + 1 \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{16} - 1 + 1 \\
& = \dfrac{1}{8}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{8}$
22. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diketahui segi delapan beraturan $ABCDEFGH$ dengan panjang sisinya $2$ cm. Akan dipilih secara acak $3$ titik sudutnya dan digunakan untuk membentuk suatu segitiga yang akan dihitung luas daerahnya. Jika $A$ adalah himpunan semua luas daerah segitiga yang mungkin dan jumlah semua anggota $A$ adalah $\left(a+b\sqrt{2} \right)\ cm^{2}$, maka nilai dari $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak segitiga yang mungkin terjadi dengan nama yang berbeda pada segidelapan beraturan adalah $C(8,3)=56$
Kita anggap $A$ adalah himpunan segitiga yang bentuk atau luasnya berbeda, sehingga banyak segitiga pada segi delapan ada sebanyak lima. Jika kita gambarkan seperti berikut ini:
- $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2}=\sqrt{2} $
- $\left[ ABD \right]=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \left( 2 + \sqrt{2} \right)=2+\sqrt{2} $
- $\left[ ABE \right]=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \left( 2 + 2\sqrt{2} \right)=2 + 2\sqrt{2} $
- $\left[ ACE \right]=\dfrac{1}{2} \times \left[ \left( 2 + \sqrt{2} \right)^{2}+2 \right]=4 + 2\sqrt{2} $
- $\left[ ACF \right]=\dfrac{1}{2} \times \left( 2 + 2\sqrt{2} \right)\left( 2 + \sqrt{2} \right)=4 + 3\sqrt{2} $
$\begin{align} \left[ A \right]\ & = \sqrt{2}+2+\sqrt{2}+2 + 2\sqrt{2}+ \\ &\ \ \ \ \ \ 4 + 2\sqrt{2}+4 + 3\sqrt{2} \\ & = 12+9\sqrt{2} \\ \left( a+b\sqrt{2} \right) & \equiv 12+9\sqrt{2} \\ \hline & a=12\ \text{dan}\ b=9 \\ \hline & a+b=21 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 21$
23. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diketahui persegipanjang $ABCD$ di bidang koordinat kartesius dengan $A$ dan $B$ di sumbu $X$, $D$ di sumbu $Y$, dan $C$ di kuadran $I$. Ada $4$ jenis rotasi yang akan dilakukan terhadap persegipanjang $ABCD:$ $1. R \left(C,-90^{\circ} \right),$ $2. R \left(A, 90^{\circ} \right)$ $3. R \left(C, 0^{\circ} \right),$ $4. R \left(A,-90^{\circ} \right)$ dimana $R \left(C, 90^{\circ} \right)$ berarti rotasi $90^{\circ} $ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $C$. Jika $ABCD$ dirotasi berturut-turut dengan urutan $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $1,$ $2,$ $3$ dan diperoleh koordinat akhir $A$ adalah $(38, 47)$, maka keliling persegi panjang $ABCD$ adalah...satuan panjang
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi yang diketahui persegipanjang $ABCD$ di bidang koordinat kartesius dengan $A$ dan $B$ di sumbu $X$, $D$ di sumbu $Y$, dan $C$ di kuadran $I$. Jika kita gambarkan hanya pada satu kemungkinan, ilustrasinya seperti berikut ini:
Titik $A \left( 0,0 \right),$ $B \left( x,0 \right),$ $C \left( x,y \right),$ dan $D \left( 0,y \right),$.
Kita analisa transformasi pertama Rotasi $-90^{\circ}$ dengan pusat $C(x,y)$.
- Titik $A \left( 0,0 \right)$ hasilnya $A\left(x-y,x+y \right)$
- Titik $B \left( x,0 \right)$ hasilnya $B\left( x-y,y \right)$
- Titik $C \left( x,y \right)$ tetap
- Titik $D \left( 0,y \right)$ hasilnya $D \left( x,x+y \right)$
Kita analisa transformasi kedua Rotasi $90^{\circ}$ dengan pusat $A\left(x-y,x+y \right)$.
- Titik $A\left(x-y,x+y \right)$ tetap
- Titik $B\left( x-y,y \right)$ hasilnya $B\left( 2x-y,x+y \right)$
- Titik $C \left( x,y \right)$ hasilnya $C \left( 2x-y,x+2y \right)$
- Titik $D \left( x,x+y \right)$ hasilnya $D \left( x-y,x+2y \right)$
Kita analisa transformasi ketiga Rotasi $90^{\circ}$ dengan pusat $C \left( 2x-y,x+2y \right)$.
- Titik $A\left(x-y,x+y \right)$ hasilnya $A\left( 2x,2y \right)$
- Titik $B\left( 2x-y,x+y \right)$ hasilnya $B\left( 2x,x+2y \right)$
- Titik $C \left( 2x-y,x+2y \right)$ tetap
- Titik $D \left( x-y,x+2y \right)$ hasilnya $D \left( 2x-y,2y \right)$
Kita analisa transformasi keempat Rotasi $-90^{\circ}$ dengan pusat $A\left( 2x,2y \right)$ .
- Titik $A\left( 2x,2y \right)$ tetap
- Titik $B\left( 2x,x+2y \right)$ hasilnya $B\left( 3x,2y \right)$
- Titik $C \left( 2x-y,x+2y \right)$ hasilnya $C\left( 3x,3y \right)$
- Titik $D \left( 2x-y,2y \right)$ hasilnya $D \left( 2x,3y \right)$
Jika kita lakukan Rotasi $R_{1234}$ sampai $5$ kali akan kita peroleh hasilnya transformasi kurang lebih seperti berikut ini:
- $A\left( 0,0 \right)$_$\left( 2x,2y \right)$_$\left( 4x,4y \right)$_$\left( 6x,6y \right)$_$\left( 8x,8y \right)$_$\left( 10x,10y \right)$
- $B\left( x,0 \right)$_$\left( 3x,2y \right)$_$\left( 5x,4y \right)$_$\left( 7x,6y \right)$_$\left( 9x,8y \right)$_$\left( 11x,10y \right)$
- $C\left( x,y \right)$_$\left( 3x,3y \right)$_$\left( 5x,5y \right)$_$\left( 7x,7y \right)$_$\left( 9x,9y \right)$_$\left( 11x,11y \right)$
- $D\left( 0,y \right)$_$\left( 2x,3y \right)$_$\left( 4x,5y \right)$_$\left( 6x,7y \right)$_$\left( 8x,9y \right)$_$\left( 10x,11y \right)$
Untuk titik $A\left( 10x,10y \right)$ hasil akhir adalah $A\left( 38,47 \right)$ maka $x=3,8$ dan $y=4,7$. Keliling persegipanjang $ABCD$ adalah $2(x+y)=2(3,8+4,7)=2(8,5)=17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 17$
24. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Pada suatu kotak terdapat $40$ bola warna merah dan hijau. Dua buah bola diambil secara acak dan diamati warnanya. Jika peluang bahwa terambil kedua bola berwarna merah adalah $\dfrac{5}{12}$, maka banyaknya bola merah di dalam kotak semula adalah...buah
Alternatif Pembahasan:
Dalam teorema peluang, jika diambil dua bola secara acak dari dalam kotak yang berisi $40$ bola, maka hasil yang mungkin terjadi atau disebut $n(S)=C(40,2)=\dfrac{40 \cdot 39 \cdot 38!}{2! \cdot 38!}=40 \cdot 39$.
Jika kita misalkan banyak bola merah adalah $x$, maka hasil yang diharapkan terjadi terpilih $2$ bola dari $x$ bola merah atau disebut $n(E)$.
$\begin{align}
n(E)\ & = C(x,2) \\
& = \dfrac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{2! \cdot (x-2)!} \\
& =x \cdot (x-1)
\end{align}$
Peluang terambilnya dua bola merah adalah $\dfrac{5}{12}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E)\ & =\dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{5}{12} & =\dfrac{x \cdot (x-1)}{40 \cdot 39} \\
5 & =\dfrac{x \cdot (x-1)}{130} \\
650 & =x^{2}-x \\
0 & =x^{2}-x-650 \\
0 & = \left( x-26 \right)\left( x+25 \right) \\
& x=26\ \text{atau}\ x=-25
\end{align}$
Banyak bola merah adalah $26$ bola
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 26$
25. Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Suatu kelas terdiri dari $35$ siswa. Pada saat ulangan matematika terdapat $2$ orang siswa berhalangan, misalnya siswa $A$ dan $B$. Nilai ulangan pada awalnya dicatat hanya dari $33$ siswa dan memiliki rata-rata $80$. Setelah ditambah nilai susulan dua siswa yang berhalangan tersebut, nilai rata-rata kelas menjadi $78$. Jika nilai $A$ dua kali lipat lebih tinggi dibandingkan nilai $B$, maka selisih nilai $A$ dan $B$ adalah
Alternatif Pembahasan:
Nilai ulangan dari $33$ siswa dan rata-rata $80$.
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}}{33} \\
80 &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}}{33} \\
80 \times 33 &= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33} \\
2640 &= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}
\end{align}$
Nilai ulangan dari $35$ siswa dan rata-rata $78$.
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}+x_{A}+x_{B}}{35} \\
78 &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}+x_{A}+x_{B}}{35} \\
78 \cdot 35 &= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}+x_{A}+x_{B} \\
2730 &= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}+x_{A}+x_{B} \\
2730 &= 2640 +x_{A}+x_{B} \\
90 &= x_{A}+x_{B} \\
\hline
90 &= 2x_{B}+x_{B} \\
90 &= 3x_{B} \\
30 &= x_{B}\ \Rightarrow 60= x_{A} \\
\hline
x_{A}-x_{B} &= 30
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30$
Ide, referensi, atau penjabaran dari alternatif penyelesaian soal diatas dibantu oleh teman-teman guru matematika di Matematika Nusantara dan Bapak Najamuddin dari MGMP Matematika SMP Kota Makassar.
Catatan Soal dan Pembahasan Kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota (KSN-K) Tahun 2020 Matematika SMP di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda yang dialamatkan kepada admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.