com.png "defantri.com")
The good student, Calon Guru belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar. Catatan limit fungsi kita bagi dalam tiga catatan yaitu matematika dasar limit fungsi aljabar, matematika dasar limit fungsi trigonometri dan matematika dasar limit fungsi takhingga.
Penerapan Limit Fungsi Aljabar dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam matematika bagaimana kita bisa belajar Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.
Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.
Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ \text{kg}$. Hasil $70,5\ \text{kg}$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang sebenarnya tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ \text{kg}$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.
Definisi Limit Fungsi
Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.
Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.
Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar, trigonometri atau limit menuju tak hingga, langkah awalnya adalah menentukan limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut. Akan tetapi kita memerlukan energi yang lebih banyak apabila untuk menentukan nilai sebuah limit fungsi kita gunakan definisi limit fungsi.
Untuk menghemat energi dalam menentukan nilai limit fungsi, langkah awal yang kita lakukan adalah dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$ (substitusi langsung).
Setelah dilakukan substitusi langsung dan diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya dengan tidak melanggar aturan dalam matematika sampai nilai limit fungsi hasilnya bukan bentuk tak tentu.
Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Pemfaktoran
Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:- $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
- $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
- $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$
Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Mengalikan Akar Sekawan
Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:- $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
- $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
- $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $
Teorema Limit Fungsi
Beberapa teorema limit fungsi yang dapat kita gunakan dalam menyelesaikan Masalah Limit Fungsi.
Andaikan $n$ adalah bilangan bulat positif, $k$ adalah konstanta, dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} c=c$
- $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Aturan L'Hospital atau Menggunakan Turunan
Cara alternatif menyelesaikan limit fungsi adalah dengan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Cara ini dapat kita gunakan jika kita sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi, apabila belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan maka menggunakan cara ini tidak dianjurkan.
Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}$ dan $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ada, maka $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)}= \dfrac{f^{\prime} (a)}{g^{\prime} (a)}$
Suatu fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Definisi di atas menjelaskan bahwa sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:- $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar
Soal latihan Limit Fungsi Aljabar berikut ini, kita pilih untuk bahan diskusi kita sadur dari Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri, soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan, Soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau Soal Ujian Sekolah yang dilaksanakan oleh satuan pendidikan.
Catatan pembahasan 100+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar ini kita bagi menjadi tiga catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal latihan limit fungsi berikut, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 60 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
41. Soal UN SMA IPA 2019 🔗
Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \cdot \dfrac{\sqrt{3x^{2}-2}+5}{\sqrt{3x^{2}-2}+5}\\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3x^{2}-2 -25} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x^{2}-9 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x-3 \right)\left( x+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x+3 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 3+2 \right)\left( \sqrt{3(3)^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( 3+3 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 5 \right)\left( \sqrt{27-2}+5 \right)}{18} \\ & = \dfrac{\left( 5 \right)\left( 10 \right)}{18} \\ & = \dfrac{25}{9} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{25}{9}$
42. Soal UN SMA IPA 2006 🔗
Nilai $\lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\left( 3x-2 \right)-\left( 2x+4 \right)}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{x-6}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left(\sqrt{3(6)-2}+\sqrt{2(6)+4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left(\sqrt{16}+\sqrt{16} \right)} = \dfrac{1}{8} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{1}{8}$
43. Soal EBTANAS SMA IPA 2000 🔗
$ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}} \times \dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{1-\left( 1+x^{2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{ x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ \left( 1+\sqrt{1+0} \right)}{ 1 } = 2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2$
44. Soal EBATANAS SMA IPA 1995 🔗
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x+2\right)-\left(3x-2\right)}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-2x}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 }{\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \dfrac{-2 }{\left( \sqrt{2+2}+\sqrt{3(2)-2} \right)} \\ & = \dfrac{-2}{2+2}= -\dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\frac{1}{2}$
45. Soal UMB PTN 2014 Kode 672 🔗
$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \times \dfrac{x+1+\sqrt{2x+5}}{x+1+\sqrt{2x+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{(x+1)^{2}-(2x+5)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-2x+1- 2x-5 } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-4 } \times \dfrac{\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) }{ \left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (9- 2x-5 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left (x-2 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 \left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \dfrac{-2 \left( 2+1+\sqrt{2(2)+5 } \right )}{ (2+2)\left (3+\sqrt{2(2)+5} \right ) } \\ & = \dfrac{-2 \left( 3+3 \right)}{(2+2) \left( 3+3 \right)}=-\dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\frac{1}{2}$
46. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 🔗 - Soal SPM UNNES 2009 Kode 9763 🔗
Jika $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$, maka $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Karena $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$ maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} f(x) & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{x}{\sqrt{x}}+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} \\
& = \dfrac{-1}{1}=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -1$
47. Soal UMB PTN 2013 Kode 172 🔗
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3}=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \times \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ x^{2}+5-9} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x-2)(x+2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x+2)} \\ & = \dfrac{2 \left( \sqrt{2^{2}+5}+3 \right)}{ (2+2)} \\ & = \dfrac{2 \left( 3+3 \right)}{ 4}= 3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$
48. Soal UM UGM 2013 Kode 251 🔗
Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai $4-a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} a & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{2-\sqrt{x+2}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{4-(x+2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-(x-2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-1} \\ & = \dfrac{ (2+2) \left( 2+\sqrt{2+2} \right)}{-1} \\ & = -16 \\ 4-a & = 4-(-16)=20 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 20$
49. Soal SPMB 2004 🔗
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{x-2}\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)^{2}}{1} \\ & = \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} = 8 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
50. Soal SPMB 2005 🔗
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x^{2}+x}{\sqrt{4+x} - 2} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x^{2}+x}{\sqrt{4+x} - 2} \cdot \dfrac{\sqrt{4+x} - 2}{\sqrt{4+x} + 2} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ 4+x - 4} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ x } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ \left(5(0) +1 \right) \left( \sqrt{4+0} + 2 \right)}{ 1 } \\ & = \left( 1 \right)\left( 2 \right) = 2 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
51. Soal SPMB 2005 Kode 470 🔗
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{ 9- \left( x^{2}+5 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{ 4- x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\ & = 3+\sqrt{(2)^{2}+5} = 3+\sqrt{9} = 6 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
52. Soal SIMAK UI 2010 Kode 506 🔗
Untuk $t \gt 0$ maka $\lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\sqrt{t}} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\sqrt{t}} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{\sqrt{t}}{t} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right) \times \dfrac{\sqrt{t+1}+1}{\sqrt{t+1}+1} \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{t} \right)\left( \dfrac{t+1-1}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{t} \right)\left( \dfrac{t}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \dfrac{\sqrt{0}+1}{\sqrt{0+1}+1} \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}$
53. Soal UM UGM 2004 🔗
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{9-x^{2}}{4-\sqrt{x^{2}+7}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{9-x^{2}}{4-\sqrt{x^{2}+7}} \cdot \dfrac{4+\sqrt{x^{2}+7}}{4+\sqrt{x^{2}+7}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( 9-x^{2} \right) \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right) }{ 16- \left( x^{2}+7 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( 9-x^{2} \right) \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right)}{ 9- x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right)}{1} \\ & = 4+\sqrt{(3)^{2}+7} = 4+\sqrt{16} = 8 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
54. Soal SPMB 2005 Kode 370 🔗
$\lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{q}}{\sqrt{x}+\sqrt{q}} \\ & = \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{qx}-q\sqrt{qx}-q^{2}}{x-q} \\ &= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{\left ( x-q \right )\left ( x+q \right )+\sqrt{qx}\left ( x-q \right )}{x-q} \\ &= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{ \left ( x+q \right )+\sqrt{qx} }{1} \\ &= \dfrac{ \left ( q+q \right )+\sqrt{q(q)} }{1} \\ &= 2q+ q =3q \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3q$
55. Soal UM UGM 2006 Kode 372 🔗
Jika $f(x)= \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x^{2}+3}}$, maka $\lim\limits_{x \to 1}\ f(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to 1}\ f(x) & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x^{2}+3}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{2+\sqrt{x^{2}+3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ 4- \left( x^{2}+3 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ 1-x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ \left( 1-x \right)\left( 1+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 2+\sqrt{x^{2}+3} }{ 1+x } \\ & = \dfrac{ 2+\sqrt{(1)^{2}+3} }{ 1+(1) } \\ & = \dfrac{ 2+2}{2}=2 \\ \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
56. Soal SPMB 2006 Kode 411 🔗
$\lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}} \\ & = \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{7} \right)}{x-7} \\ & = \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left( \sqrt{x}+\sqrt{7} \right)}{1} \\ & = \dfrac{\sqrt{7} \left( \sqrt{7}+\sqrt{7} \right)}{1} \\ &= \sqrt{7} \left( 2\sqrt{7} \right) = 14 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 14$
57. Soal SPMB 2007 Kode 341 🔗
$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}} \cdot \dfrac{5+\sqrt{x^{2}+9}}{5+\sqrt{x^{2}+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x^{2}-16 \right) \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 25- \left( x^{2} +9 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x^{2}-16 \right) \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 16- x^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ - \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ - \left( 5+\sqrt{(4)^{2}+9} \right)}{ 1 } \\ & = - \left( 5+\sqrt{25} \right) = -10 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10$
58. Soal SPMB 2007 Kode 141 🔗
$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+24}+7}{\sqrt{x^{2}+24}+7} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x^{2}-25 \right) \left( \sqrt{x^{2}+24}+7 \right)}{ x^{2}+24 -49 } \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x^{2}-25 \right) \left( \sqrt{x^{2}+24}+7 \right)}{ x^{2} - 25 } \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{ \sqrt{x^{2}+24}+7 }{ 1 } \\ & = \sqrt{(5)^{2}+24}+7 = \sqrt{25+24}+7 = 14 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$
59. Soal SPMB 2007 Kode 541 🔗
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)^{2}}{ x-1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)^{2}}{ 1 } \\ & = \left(\sqrt{1}+1 \right)^{2} = 2^{2} = 4 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
60. Soal SPMB 2007 Kode 441 🔗
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x+3}+2 \right) }{ x+3-4 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x+3}+2 \right) }{ x-1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{ 1 } \\ & = \sqrt{1+3}+2 = 2+2 = 4 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
61. Soal SPMB 2007 Kode 741 🔗
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \cdot \dfrac{\sqrt{2-x}+x}{\sqrt{2-x}+x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-x+x^{2} }{ \left( x^{2}-x \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) }{x \left( x -1 \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) }{x \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \dfrac{ \left( 1+2 \right) }{1 \left( \sqrt{2-1}+1 \right) } = \dfrac{ 3 }{2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\frac{1}{2}$
62. Soal SPMB 2007 Kode 641 🔗
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \cdot \dfrac{1+\sqrt{3x-2}}{1+\sqrt{3x-2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\left( 3x-2 \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-3x+2 }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3-3x }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3\left( 1-x \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3(1)-2} \right) } \\ & = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{1} \right) } = \dfrac{3}{2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\frac{1}{2}$
63. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 🔗
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3x-2 \right)-4 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3x-6 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3(x-2) }{ 2\left( x-2 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3(2)-2}+2 \right) } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{4}+2 \right)} = \dfrac{3}{8} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{3}{8}$
64. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 🔗
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 3x\sqrt{x}+3x+x^{2}+x\sqrt{x}-4\sqrt{x}-4 }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4x \sqrt{x} - 4\sqrt{x}+x^{2}+3x-4 }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} \left( x-1 \right)+\left( x+4 \right)\left( x-1 \right) }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} +\left( x+4 \right) }{1} \\ & = \dfrac{ 4\sqrt{1} +\left( 1+4 \right) }{1} = \dfrac{ 4 +\left( 5 \right) }{1} = 9 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
65. Soal UM UGM 2008 Kode 482 🔗
$\lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p \sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{p}}{\sqrt{x}+\sqrt{p}} \\ & = \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{px}-p\sqrt{px}-p^{2}}{x-p} \\ &= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{\left ( x-p \right )\left ( x+p \right )+\sqrt{px}\left ( x-p \right )}{x-p} \\ &= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ \left ( x+p \right )+\sqrt{px} }{1} \\ &= \dfrac{ \left ( p+p \right )+\sqrt{p(p)} }{1} \\ &= 2p+ p =3p \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3p$
66. Soal UM UGM 2007 Kode 741 🔗
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x\left(x-2 \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+5-9}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x-2 \right)\left(x + 2 \right)}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+2 \right)}{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 2+2 \right)}{2 \left( \sqrt{(2)^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \dfrac{ 4 }{2 \left( \sqrt{9}+3 \right)} = \dfrac{1}{3} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}$
67. Soal UMB PTN 2012 Kode 270 🔗
$ \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x+6}}{3+\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{9- \left(x+6 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3-x \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{1 } \\ & = \dfrac{- \left( 3+\sqrt{3+6} \right)}{1 } = -6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -6$
68. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 🔗
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \dfrac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(2x \right) \left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\ & = \dfrac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \dfrac{1}{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\frac{1}{6}$
69. Soal UM UPI 2009
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 2}\ \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$
70. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 🔗
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\
& = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\
& = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{2}$
71. Soal Simulasi US Matematika SMA 🔗
Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=4$
$\begin{align}
\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5} & = 0 \\
\sqrt{4a-3}-\sqrt{4b+5} & = 0\\
\sqrt{4a-3} & = \sqrt{4b+5} \\
4a-3 & = 4b+5 \\
4a-4b & = 8 \\
a- b & = 2
\end{align}$
Jika soal limit di atas kita kalikan dengan akar sekawan menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}}{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}} &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(ax-3 \right)-\left(bx+5 \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ ax-3 - bx-5}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( a-b \right)x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 \left( x - 4 \right) }{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} } &= \dfrac{1}{3} \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4(a-2) +5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-8+5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-3} &= 6 \\
2\sqrt{4a-3} &= 6 \\
\sqrt{4a-3} &= 3 \\
4a-3 &= 9 \\
a &= 3
\end{align}$
Untuk $a=3$ kita peroleh $b=a-2=1$ sehingga nilai $a+b=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$
72. Soal UM UNPAD 2006 🔗
$ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
$\begin{align}
\sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\
\sqrt{-6+a} &= 2 \\
-6+a &= 4 \\
a &= 6+4=10
\end{align}$
Untuk $a=10$ maka
$\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $
$\begin{align} \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \dfrac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\ \dfrac{1}{4} &= b \end{align}$
Untuk $a=10$ dan $b=\dfrac{1}{4}$ kita peroleh:
$\begin{align}
2a+4b &= 2(10)+4(\dfrac{1}{4}) \\
&= 20+1 \\
&= 21
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 21$
73. Soal UMPTN 1993 (Rayon A,B,C) 🔗 - Soal SPM UNNES 2008 Kode 140208 🔗
Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3}{4}$, maka $a+b$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3}{4}$. Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $ax+b -\sqrt{x}$ harus $0$, karena jika $ax+b -\sqrt{x}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Sehingga untuk $x=4$ berlaku:
$\begin{align}
ax+b -\sqrt{x} & = 0 \\
4a+b -\sqrt{4} & = 0 \\
4a+b & = 2
\end{align}$
Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4} \times \dfrac{ax+b +\sqrt{x}}{ax+b +\sqrt{x}} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}-x}{\left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(x-4 \right)\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)+\left(4a+b\right)^{2}-4}{\left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(x-4 \right)\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)+\left( 2 \right)^{2}-4}{ \left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)}{ \left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\dfrac{\left(4a^{2} +2ab+4a^{2}-1 \right)}{ \left( 4a+b +\sqrt{4} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\dfrac{\left(8a^{2} +2ab-1 \right)}{ \left( 2 + 2 \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\dfrac{\left( 8a^{2} +2ab -1 \right)}{4} &= \dfrac{3}{4} \\
\hline
8a^{2} +2ab -1 &= 3 \\
8a^{2} +2a\left( 2-4a\right) -1 &= 3 \\
8a^{2} +4a-8a^{2} &= 4 \\
4a &= 4 \\
a &= 1
\end{align}$
Warning!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$
74. Soal SBMPTN 2014 Kode 542 🔗
Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=0$
$\begin{align}
\sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\
\sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\
\sqrt{B} & = 2\\
B & = 4
\end{align}$
Untuk $B=4$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}+2} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{4} & = 1 \\
A & = 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4B=A^{2}$
75. Soal SPMB 2006 Kode 320 🔗
Agar $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$, maka nilai $p+2q=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ harus $0$, karena jika $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{p(x-1)+q}-3 & = 0 \\
\sqrt{p(1-1)+q}-3 & = 0 \\
\sqrt{q}-3 & = 0 \\
q & = 9
\end{align}$
$\begin{align} \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}-3}{x-1} \cdot \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}+3}{\sqrt{p(x-1)+9}+3} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)+9-9}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p }{ \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ \sqrt{p((1)-1)+9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ \sqrt{9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ 6 } &= -\dfrac{3}{2} \\ 2p &= - 18 \\ p &=-9 \end{align}$
Nilai $p+2q=-9+18=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$
76. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 🔗
$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}}=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{ 5+1}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{ 5+1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{6}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \cdot 2}}}{\sqrt{(3+2)-2 \sqrt{3 \cdot 2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}\\ & = \dfrac{3+2+2\sqrt{6}}{3- 2} \\ & = 5+2\sqrt{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5+2\sqrt{6}$
77. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 🔗
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} } \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{2}{5}\sqrt{5} $
78. Soal SPMB 2005 Kode 580 🔗
Jika $a \neq 0$, maka $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)}{\left(x-a \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a(a)}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\ & = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{a^{2}}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}} \\ & = \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a^{2}} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{3a}\sqrt[3]{a}$
79. Soal USM STIS 2017 🔗
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
Untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, karena $x \to 0$ maka $m \to 1$. Soal limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah bisa kita tuliskan menjadi $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)}$.
Sedikit catatan kita tentang perkalian akar sekawan yaitu $\left( \sqrt[3]{a}-1 \right)\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}+1 \right)=a-1$
$\begin{align} & \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{\left(\sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left(m-1 \right)\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{-\left(m^{2} -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left(m-1 \right)\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{-\left(m -1 \right)\left(m +1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{- \left(m +1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{(1)}+1 \right)}{- \left(1 +1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 1+1+1 \right)}{- \left( 2 \right)} \\ & = -\dfrac{3}{2} \end{align}$
Warning!
Jika soal ini kita kerjakan dengan dengan menggunakan Aturan L'Hospital, penyelesaian seperti berikut ini;
$\begin{align}
\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{1}{\frac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = - \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ - \dfrac{3}{2}$
80. Soal SIMAK UI 2009 Kode 951 🔗
$\lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \cdot \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{2+\sqrt[3]{x} -4}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -2}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{8} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{1}{\left ( 1 \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left ( \sqrt[3]{8^{2}}+\sqrt[3]{8 (8)}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{(8)}}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{ \left ( 4+4+4 \right ) \left( \sqrt{2+2}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{48} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{48}$
Beberapa pembahasan soal Limit Fungsi Aljabar di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
