Processing math: 4%
Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar TKDU UM UGM Tahun 2019 Kode 634

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634. Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Dasar Umum (TKDU) yang terdiri dari 20 soal Matematika Dasar.

Materi Ujian UM UGM-CBT T.A. 2024/2025

  • Kelompok SAINTEK
    1. TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
    2. TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
    3. Tes Potensi Akademik (TPA)
  • Kelompok SOSHUM
    1. TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi
    2. TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
    3. Tes Potensi Akademik (TPA)
  • Kelompok Campuran
    1. TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
    2. TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
    3. Tes Potensi Akademik (TPA)
    4. TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi

Soal dan Pembahasan Matematika TKDU UM UGM Tahun 2019 Kode 634

Soal latihan yang kita diskusikan berikut ini adalah soal TKDU mata ujian Matematika Dasar. Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

TKA Matematika SMA
Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Kamis, 14 Agustus 2025
Jumlah Soal :20 soal
Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Matematika UM UGM 2019

Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah 1:9. Jika penghasilan rata-rata tahunan pegawai tetap Rp2.400.000,00 dan penghasilan tahunan rata-rata pegawai tidak tetap Rp1.800.000,00 maka penghasilan tahunan rata-rata seluruh pegawai adalah....
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan ˉxgab=ˉx1n1+ˉx2n2+ˉx3n3n1+n2+n3.

Kelompok pegawai tetap rata-ratanya adalah ˉxt=2,4 juta dan anggotanya nt. Kelompok pegawai tidak tetap rata-ratanya adalah ˉxtt=1,8 juta dan anggotanya ntt. Perbandingan nt:ntt=1:9 atau ntt=9nt, sehingga penghasilan rata-rata seleuruh pegawai dapat kita tuliskan:
ˉxgab=ˉxtnt+ˉxttnttnt+ntt=2,4nt+1,89ntnt+9ntt=2,4nt+16,2nt10nt=18,6nt10nt=1,86

Pilihan yang sesuai adalah (C)\ Rp1.860.000,00

2. Soal Matematika UM UGM 2019

Diberikan fungsi f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}. Nilai \left( f^{-1} \circ f^{-1} \right)\left( \frac{1}{2} \right) adalah....
Alternatif Pembahasan:

Invers fungsi f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} adalah f^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}. Sehingga untuk f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1} dapat kita peroleh:
\begin{align} f^{-1} \left( x \right)\ & = \dfrac{-x-1}{x-2} \\ f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)\ & = \dfrac{-\left( \frac{1}{2} \right)-1}{\left( \frac{1}{2} \right)-2} \\ & = \dfrac{- \frac{3}{2} }{ -\frac{3}{2} }=1 \\ \hline \left( f^{-1} \circ f^{-1} \right)\left( \frac{1}{2} \right) & = f^{-1} \left( f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) \right) \\ & = f^{-1} \left( 1 \right) \\ & = \dfrac{-\left( 1 \right)-1}{\left( 1 \right)-2} \\ & =\dfrac{-2}{-1} = 2 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 2

3. Soal Matematika UM UGM 2019

\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.

Sedikit catatan kita tentang perkalian akar sekawan yaitu \left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)=x-1

\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(9x-9\right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( 9x-9\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right) }{\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\left( x-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9 \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{1} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+1\right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( 1+1+1 \right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 27 \right)^{\frac{1}{3}} =3 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai (D)\ 3

4. Soal Matematika UM UGM 2019

Diketahui f\left(x \right)=\sqrt{x^{2}-ax+b}. Jika f\left( 1 \right)=f'\left( 1 \right)=2, maka a+b=\cdots
Alternatif Pembahasan:

\begin{align} f\left(x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f\left( 1 \right) & = \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b} \\ 2 & = \sqrt{1-a+b} \\ 4 & = 1-a+b \\ 3 & = -a+b \\ \hline f\left( x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f'\left( x \right) & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x^{2}-ax+b}} \cdot \left( 2x -a \right) \\ f'\left( 1 \right) & = \dfrac{\left( 2(1) -a \right)}{2 \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1-a+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1+3}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{4} \\ 8 & = 2-a \rightarrow a=-6 \\ \hline 3 & = -a+b \\ 3 & = 6+b \rightarrow b=-3 \end{align}
Nilai a+b=-9.

\therefore Pilihan yang sesuai (A)\ -9

5. Soal Matematika UM UGM 2019

Tiga bilangan real a,b, dan c dengan c \lt a membentuk barisan geometri yang hasil jumlahannnya adalah -14 dan hasil perkaliannya adalah 216. Nilai c adalah....
Alternatif Pembahasan:

Bilangan real a,b, dan c membentuk barisan geometri sehingga berlaku b^{2}=a \cdot c.

Hasil perkalian ketiga bilangan adalah 216, dapat kita peroleh:
\begin{align} abc & = 216 \\ b^{3} & = 216 \\ b & = 6 \\ a \cdot c & = 36 \\ \hline a+b+c & = -14 \\ a+6+c & = -14 \\ a+ c & = -20 \\ a+ \dfrac{36}{a} & = -20 \\ a^{2}+ 36 & = -20a \\ a^{2}+20a+36 & = 0 \\ \left(a+2\right)\left(a+18 \right) & = 0 \\ a=-2\ \text{atau}\ a=-18 & \end{align}
Untuk a=-2 maka c=-18 atau sebaliknya, karena c \lt a maka c=-18.

\therefore Pilihan yang sesuai (D)\ -18

6. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix} dan k merupakan skalar sehingga A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} maka x+y+z=\cdots
Alternatif Pembahasan:

\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}

Dari kesamaan dua matrisk di atas kita peroleh:

  • 1+k=-1 sehingga k=-2.
  • z+kz=-2 sehingga z-2z=-2 \rightarrow z=2.
  • \begin{array}{c|c|cc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &(+) \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array}
  • Nilai x+y+z=3-1+2=4

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 4

7. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika \cos\ \alpha=\dfrac{1}{3}, maka
\dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} =\cdots
Alternatif Pembahasan:

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

  • \sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha
  • \sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=\cos\ \alpha
  • \sin^{2}\alpha =1-\cos^{2}\alpha

\begin{align} sin^{2}\alpha & = 1-cos^{2}\alpha \\ & = 1- \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \\ & = 1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \\ \sin\ \alpha & = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \\ \tan\ \alpha & = \dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}=\dfrac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2} \\ \hline & \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\sin\ \alpha + \cos\ \alpha }{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} +\dfrac{\frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{3 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = -\dfrac{4}{12 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 } \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 }

8. Soal Matematika UM UGM 2019

Dari angka 0,1,2,\cdots,9 disusun bilangan ratusan sehingga tidak ada angka yang muncul berulang. Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan 5 adalah....
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyusun bilangan ratusan dengan tidak ada angka berulang adalah:

  • Angka ratusan yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9, sehingga banyak kemungkinannya adalah (9),
    \begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (-) & (-) \end{array}
  • Berikutnya adalah puluhan, angka yang mungkin adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 tetapi satu angka sudah dipakai pada ratusan, sehingga banyak kemungkinannya adalah (9),
    . \begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (-) \end{array}
  • Berikutnya adalah satuan, angka yang mungkin adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 tetapi dua angka sudah dipakai pada ratusan dan puluhan, sehingga banyak kemungkinannya adalah (8),
    . \begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (9) & (9) & (8) \end{array}
  • Banyak bilangan ratusan yang mungkin adalah 9 \cdot 9 \cdot 8=648, kita sebut n \left( S \right)=648

Untuk menyusun bilangan ratusan kelipatan 5 dengan tidak ada angka berulang adalah:

  • Untuk angka satuan yang mungkin adalah 5, sehingga banyak kemungkinannya adalah,
    \begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (8) & (9) & (1) \end{array}
    Banyak bilangan ratusan adalah 8 \cdot 9 \cdot 1 =72
  • Untuk angka satuan yang mungkin adalah 0, sehingga banyak kemungkinannya adalah,
    \begin{array}{c|c|cc} \text{ratusan} & \text{puluhan} & \text{satuan} \\ \hline (8) & (8) & (1) \end{array}
    Banyak bilangan ratusan adalah 8 \cdot 8 \cdot 1 =64
  • Banyak bilangan ratusan kelipatan 5 adalah 72+64=136, kita sebut n \left( E \right)=136

Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan 5 adalah P \left( E \right)=\dfrac{n \left( E \right)}{n \left( S \right)}=\dfrac{136}{648}=\dfrac{17}{81}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ \dfrac{17}{81}

9. Soal Matematika UM UGM 2019

Diberikan bilangan positif m dan n. Jika mx+ny=1, maka nilai maksimum xy adalah....
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi f(x) dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika x=a pada f'(a)=0 sehingga f''(a) \gt 0 maka x=a adalah pembuat f(x) minimum atau nilai minimum f(x) adalah f(a).
  • Jika x=a pada f'(a)=0 sehingga f''(a) \lt 0 maka x=a adalah pembuat f(x) maskimum atau nilai maksimum f(x) adalah f(a).

Dari persamaan mx+ny=1 dapat kita peroleh y=\frac{1}{n}\left( 1-mx \right).

Hasil perkalian xy kita misalkan dengan N, sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align} N & = xy \\ & = x \cdot \dfrac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{x}{n}-\dfrac{mx^{2}}{n} \\ N'& = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ \hline N' & = 0 \\ 0 & = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ 0 & = 1 - 2mx \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x = \dfrac{1}{2m} \end{align}


Dari yang kita peroleh di atas maka N=xy akan maksimum/minimum di x=\dfrac{1}{2m} (*silahkan diuji dengan menggunakan turunan kedua apakah benar x pembuat maksimum).

Nilai maksimumnya adalah:
\begin{align} xy_{max} & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-m \cdot \frac{1}{2m} \right) \\ & = \dfrac{1}{2mn} \left( 1- \dfrac{1}{2 } \right) \\ & = \dfrac{1}{4mn} \end{align}

Sebagai alternatif kreatif:
\begin{align} \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2} & \geq 0 \\ a+b-2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a+b & \geq 2\sqrt{ab} \\ \hline mx+ny & \geq 2\sqrt{mx \cdot ny} \\ 1 & \geq 2\sqrt{mxny} \\ 1 & \geq 4 mxny \\ \dfrac{1}{4mn} & \geq xy \\ xy & \leq \dfrac{1}{4mn} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai (A)\ \dfrac{1}{4mn}

10. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika \left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2}- {}^{9}\!\log (x-1)^{2}=a mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu x=b, maka a+b=\cdots
Alternatif Pembahasan:

\begin{align} \left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2} - {}^{9}\!\log (x-1)^{2} &= a \\ \left ( {}^{9}\!\log (x-1) \right )^{2} -2 \cdot {}^{9}\!\log (x-1) &= a \\ \hline \text{misal}\ {}^{9}\!\log (x-1)=p & \\ \hline p^{2} -2p &= a \\ p^{2} -2p - a &= 0 \end{align}

Bentuk persamaan kuadrat di atas dikatakan mempunyai tepat satu penyelesaian, sehingga diskriminan persamaan kuadrat yaitu D=b^{2}-4ac adalah nol. Dapat kita tuliskan:
\begin{align} b^{2}-4ac &= 0 \\ (-2)^{2}-4(1)(-a) & = 0 \\ 4+4a & = 0 \\ 4a & = -4 \\ a & = -1 \end{align}


Untuk a=-1 kita peroleh:
\begin{align} p^{2} -2p + 1 &= 0 \\ (p-1)(p-1) & = 0 \\ p=1 & \\ \hline {}^{9}\!\log (x-1) & = 1 \\ (x-1) & = 9 \\ x & = 10 \rightarrow b=10 \end{align}

Nilai a+b=-1+10=9

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D)\ 9

11. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika \left\{\begin{matrix} 2a+b = {}^{2}\!\log 45 \\ a+2b = {}^{2}\!\log 75 \end{matrix}\right. maka a+b=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka dapat kita tuliskan:
\begin{array}{c|c|cc} 2a+b = {}^{2}\!\log 45 & \\ a+2b = {}^{2}\!\log 75 & (+) \\ \hline 3a + 3b = {}^{2}\!\log (45)(75) & \\ 3 \left(a + b \right) = {}^{2}\!\log (9 \cdot 5)(3 \cdot 25) & \\ 3 \left(a + b \right) = {}^{2}\!\log \left( 3 \cdot 5 \right)^{3} & \\ 3 \left(a + b \right) = 3 \cdot {}^{2}\!\log 15 & \\ a+b= {}^{2}\!\log 15 \end{array}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D)\ {}^{2}\!\log 15

12. Soal Matematika UM UGM 2019

Diketahui \left \{ U_{n} \right \} adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a dan b, dengan b \gt 0. Jika a-b=1 dan determinan matriks \begin{pmatrix} u_{1} & u_{2} \\ u_{3} & u_{4} \end{pmatrix} adalah -2, maka a^{2}+b^{2}=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Dengan \left \{ U_{n} \right \} adalah barisan aritmetika sehingga u_{1}=a, u_{2}=a+b, u_{3}=a+2b, dan u_{4}=a+3b.

Dari a-b=1 kita peroleh a=b+1, dan determinan matriks \begin{pmatrix} u_{1} & u_{2} \\ u_{3} & u_{4} \end{pmatrix} adalah -2, sehingga dapat kita tuliskan:

\begin{align} \begin{vmatrix} a & a+b \\ a+2b & a+3b \end{vmatrix} &= -2 \\ \begin{vmatrix} b+1 & b+1+b \\ b+1+2b & b+1+3b \end{vmatrix} &= -2 \\ \begin{vmatrix} b+1 & 2b+1 \\ 3b+1 & 4b+1 \end{vmatrix} &= -2 \\ \left( b+1 \right) \left( 4b+1 \right)-\left( 2b+1 \right) \left( 3b+1 \right) &= -2 \\ 4b^{2}+5b+1-\left( 6b^{2}+2b+3b+1 \right) &= -2 \\ 4b^{2}+5b+1- 6b^{2}-5b-1 -2 &= 0 \\ -2b^{2} +2 &= 0 \\ b^{2} -1 &= 0 \\ \left( b+1 \right)\left( b-1 \right) &= 0 \\ b=-1\ (TM)\ \text{atau}\ b=1 & \\ \hline b=1 \rightarrow a=2 & \\ a^{2}+b^{2} = 2^{2}+(-1)^{2} = 5 & \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D)\ 5

13. Soal Matematika UM UGM 2019

Diberikan sistem persamaan linear
\left\{\begin{matrix} 2x+3y= a \\ \dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5 \end{matrix}\right.
Jika x+y=2a+3, maka a=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
\begin{array}{c|c|cc} 2x+3y= a &\ (\times 2) \\ \dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{5}y =5 &\ (\times 35) \\ \hline 4x+6y=2a & \\ 5x+7y=175 &\ (-) \\ \hline -x-y=2a-175 \\ x+y=175-2a \\ \hline 2a+3=175-2a \\ 4a =175-3 \\ a =\dfrac{172}{4}=43 \end{array}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E)\ 43

14. Soal Matematika UM UGM 2019

Diberikan bilangan real a. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan \left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x adalah \left \{ x : x\ \text{bilangan real}, p \leq x \leq q \right \}, maka p+q=\cdots

Alternatif Pembahasan:

Jika kita selesaikan bentuk pertidaksamaan \left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x, penyelesaiannya seperti penjabaran berikut ini:
\begin{align} \left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} & \leq 1-4x \\ 4x^{2}-4x+1-a^{2} & \leq 1-4x \\ 4x^{2}-4x+1-a^{2}-1+4x & \leq 0 \\ 4x^{2} -a^{2} & \leq 0 \\ \left(2x-a \right) \left(2x+a \right) & \leq 0 \end{align}

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah x=\dfrac{1}{2}a dan x=-\dfrac{1}{2}a, Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah -\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a.

Berdasarkan keterangan soal bahwa p \leq x \leq q merupakan himpunan penyelesaian maka dapat kita simpulkan bahwa p \leq x \leq q \equiv -\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a.

Dari bentuk di atas dapat kita peroleh nilai p=-\dfrac{1}{2}a dan q=\dfrac{1}{2}a, sehingga nilai p+q=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}a=0

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ 0

15. Soal Matematika UM UGM 2019

Seorang apoteker mencoba meracik obat baru yang berbahan dasar zat A dan zat B. Racikan pertama mebutuhkan 400\ mg zat A dan 300\ mg zat B. Racikan kedua membutuhkan 200\ mg zat A dan 100\ mg zat B. Obat racikan pertama dijual Rp8.000,- dan obat racikan kedua dijual Rp3.200,-. Jika persediaan yang ada hanya 6 gram zat A dan 4 gram zat B, maka pendapatan maksmimum apoteker tersebut adalah....
Alternatif Pembahasan:

Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, kurang lebih menjadi seperti berikut ini;

Deskripsi Soal
Obat Racikan Zat A Zat B Harga Jual
I 400 300 Rp8.000
II 200 100 Rp3.200
Ketersediaan 6.000 4.000 \cdots

Dari tabel di atas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya (*dengan memisalkan \text{racikan}\ I=x dan \text{racikan}\ II=y).
\begin{align} 400x+200y & \leq 6000 \\ 300x+100y & \leq 4000 \\ x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \end{align}

Tips dan Trik
Untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien y pada ax+by \cdots c.
#Jika koefisien y positif dan tanda \leq maka daerah HP berada di bawah garis.
#Jika koefisien y positif dan tanda \geq maka daerah HP berada di atas garis.

Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah;

Soal dan Pembahasan Program LInear UM UGM Tahun 2019 Kode 634

Untuk mendapatkan penjualan maksimum, salah satu caranya dapat dengan titik uji pada titik sudut daerah HP kepada fungsi tujuan Z=8.000x+3.200y.

  • A\ (0,0) maka Z=8.000(0)+3.200(0)=0
  • B\ \left( \frac{40}{3},0 \right) maka Z=8.000 \left( \frac{40}{3}\right)+3.200(0)=\dfrac{320.000}{3}
  • C\ \left( 10,10 \right) maka Z=8.000 \left( 10 \right)+3.200(10)=112.000
    *Titik (C) kita peroleh dengan mengelimiasi atau substitusi garis (1) dan garis (2).
  • D\ (0,30) maka Z=8.000(0)+3.200( 30)=96.000

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D)\ Rp112.000,-

16. Soal Matematika UM UGM 2019

Jumlah tiga suku pertama barisan geometri adalah 91. Jika suku ketiga dikurangi 13, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Suku pertama barisan tersebut adalah....
Alternatif Pembahasan:

Misal tiga suku pertama barisan geometri adalah a,\ ,b,\ c, sehingga berlaku a+b+c=91

Suku ketiga dikurangi 13, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika sehingga pada a,\ ,b,\ c-13 berlaku:
\begin{align} 2u_{2} & = u_{1}+u_{2} \\ 2b & = a+c-13 \\ \hline \hline a+b+c &= 91 \\ a+c &= 91-b \\ \hline \hline 2b & = 91-b-13 \\ 3b & = 78 \\ b & = 26 \\ \end{align}

Untuk b=26 dan a,\ b,\ c adalah barisan geometri sehingga dapat kiat tuliskan:
\begin{align} ac & = b^{2} \\ ac & = 26^{2}=676 \\ \hline a+b+c &= 91 \\ a+26+c &= 91 \\ a+ c &= 65 \\ c &= 65-a \\ \hline ac & = 676 \\ a \left( 65-a \right) & = 676 \\ 65a-a^{2} & = 676 \\ a^{2}-65a+676 & = 0 \\ \left( a-13 \right)\left( a-52 \right) & = 0 \\ a=13\ \text{atau}\ a=52 & \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai (D)\ 13\ \text{atau}\ 52

17. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika \dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}}=4^{x}, maka x=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
\begin{align} \dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} &=4^{x} \\ \dfrac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} \cdot \dfrac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\ \dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}+2^{-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}} &=4^{x} \\ \dfrac{\left (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}} \right ) \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}+2^{ \frac{1}{2}}} &=4^{x} \\ 2^{\frac{5}{6}} &=2^{2x} \\ \hline \dfrac{5}{6} &= 2x \\ \dfrac{5}{12} &= x \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D)\ \dfrac{5}{12}

18. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika {}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right)=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log \sqrt{5} \cdot {}^{2}\!\log 81}, maka 4p^{2}=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
\begin{align} {}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right) &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log \sqrt{5} \cdot {}^{2}\!\log 81} \\ &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{{}^{3}\!\log 5^{\frac{1}{2}} \cdot {}^{2}\!\log 3^{4}} \\ &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^{3}\!\log 5 \cdot {}^{2}\!\log 3} \\ &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{2 \cdot {}^{2}\!\log 3 \cdot {}^{3}\!\log 5} \\ &=\dfrac{{}^{2}\!\log 5}{2 \cdot {}^{2}\!\log 5} \\ {}^\left(p^{2}+4 \right)\!\log \left( p+1 \right) &=\dfrac{1}{2 } \end{align}
Dari persamaan di atas kita peroleh:
\begin{align} \left( p+1 \right) &= \left(p^{2}+4 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \left( p+1 \right)^{2} &= \left(p^{2}+4 \right) \\ p^{2}+2p+1 &= p^{2}+4 \\ 2p &= 4-1 \\ 2p &= 3 \\ 4p^{2} &= 9 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai (D)\ 9

19. Soal Matematika UM UGM 2019

Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x^{2}-7x+1=0, maka persamaan yang akar-akarnya \sqrt{p}+\sqrt{q} dan p^{2}+q^{2} adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat x^{2}-7x+1=0 yang akar-akarnya p dan q kita peroleh:

  1. p+q=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-7}{1}=7
  2. pq= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1
  3. p^{2}+q^{2}= \left( p+q \right)^{2}-2pq=49-2=47
  4. Nilai \sqrt{p}+\sqrt{q} = \cdots
    \begin{align} \sqrt{p}+\sqrt{q} &= k \\ \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)^{2} &= k^{2} \\ p+q+2\sqrt{pq} &= k^{2} \\ 7 + 2\sqrt{1} &= k^{2} \\ 3 &= k \\ \sqrt{p}+\sqrt{q} &= 3 \end{align}

Untuk menyusun persamaan kuadrat Baru yang akar-akarnya x_{1}=\sqrt{p}+\sqrt{q} dan x_{2}=p^{2}+q^{2} adalah:

\begin{align} x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right ) &= 0 \\ \hline x_{1}+x_{2} &=\sqrt{p}+\sqrt{q} + p^{2}+q^{2} \\ &=3 + 47 = 50 \\ x_{1} \cdot x_{2} &= \left( \sqrt{p}+\sqrt{q} \right)\left( p^{2}+q^{2} \right) \\ &= \left( 3 \right)\left( 47 \right) = 141 \\ \hline x^{2}-50x+141 &= 0 \\ \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai (C)\ x^{2}-50x+141=0

20. Soal Matematika UM UGM 2019

Diberikan fungsi kuadrat f(x)=9x^{2}+ax-b yang melalui titik (a,-b) dan (b,-a) dengan a\neq b. Nilai minimum f(x) adalah....
Alternatif Pembahasan:

Dari fungsi kuadrat f(x)=9x^{2}+ax-b melalui (a,-b) dan (b,-a) sehingga kita peroleh:

  • f(a)=9a^{2}+a(a)-b
    \begin{align} -b &=10a^{2}-b \\ 0 &=10a^{2} \\ 0 &=a \end{align}
  • f(b)=9b^{2}+a(b)-b
    \begin{align} -a &=9b^{2}+ab-b \\ 0 &=9b^{2}+0-b \\ 0 &=9b^{2}-b \\ 0 &=\left( 9b-1 \right)\left( b \right) \\ b=\dfrac{1}{9}\ & \text{atau}\ b=0\ \text{(TM)} \end{align}
  • f(x) =9x^{2}+ax-b
    \begin{align} f(x) &=9x^{2}-\dfrac{1}{9} \\ y_{p} &= \dfrac{-\left( b^{2}-4ac \right)}{ 4a} \\ &= \dfrac{-\left( 0-4(9) \left( -\dfrac{1}{9} \right) \right)}{ 4(9)} \\ &= \dfrac{-4}{ 36} = \dfrac{-1}{ 9} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai (C)\ -\dfrac{1}{9}


Catatan Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 634 di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Untuk siapapun yang sedang galau.. Jangan terus bersedih.. Percayalah Badai pasti berlalu.. Kegagalan dalam berusaha adalah tiket bagi kesuksesan. Sepekat apapun malam ini.. percayalah esok fajar kan bersinar kembali.
close