Cara Menghitung Sudut Antara Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) dan Pembahasan Soal Latihan

The good student, bersama calon guru kita belajar matematika bagaimana cara menghitung sudut antara garis dengan garis, garis dengan bidang, dan bidang dengan bidang pada ruang (dimensi tiga) dan pembahasan soal-soal latihan.

Pada catatan sebelumnya kita sudah mengetahui cara menghitung jarak titik ke garis dan bidang atau cara menghitung jarak titik ke garis dan bidang.

Sebagai modal dasar dalam belajar menghitung sudut antara garis dan garis, garis dan bidang, atau bidang dan bidang ada baiknya kita sudah bisa tentang Teorema Pythagoras dan Perbandingan Trigonometri Dasar.

CARA MENENTUKAN dan MENGHITUNG SUDUT ANTARA GARIS DENGAN GARIS

Untuk menentukan sudut antara dua garis berpotongan dapat kita tentukan dari kedudukan garis, misalkan garis $g$ dan garis $h$ yang berpotongan mempunyai sudut yang terbentuk oleh kedua garis tersebut.

Selain berpotongan, ada posisi garis yang bersilangan, iika ada dua garis bersilangan maka besar sudutnya tidak dapat langsung kita tentukan. Untuk menentukan besar sudut antara dua garis yang bersilangan dapat dengan cara menggeser salah satu garis (atau keduanya), sampai kedua garis berpotongan. Besar sudut garis bersilangan tersebut adalah besar sudut garis yang berpotongan setelah di geser tersebut.

Untuk menentukan besar sudut antara dua garis yang bersilangan dapat dengan cara menggeser salah garis (atau keduanya), sampai kedua garis berpotongan. Besar sudut garis bersilangan tersebut adalah besar sudut garis yang berpotongan setelah di geser tersebut.

Untuk menghitung besar sudut dua garis berpotongan atau bersilangan pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan unsur-unsur yang diketahui pada ruang (dimensi tiga).

CARA MENENTUKAN dan MENGHITUNG SUDUT ANTARA GARIS DENGAN BIDANG

Untuk menentukan sudut antara garis dan bidang yang berpotongan dapat kita tentukan dari kedudukan garis dan bidang, misalkan garis $g$ dan bidang $\alpha$ yang berpotongan seperti gambar di bawah ini:

Memproyeksikan garis $g$ terhadap bidang $\alpha$, pada gambar di atas diperoleh hasil proyeksi adalah garis $AB$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $g$ dan proyeksinya garis $AB$ adalah sudut antara garis $g$ dan bidang $\alpha$ yaitu $\beta$.

Untuk menghitung besar sudut antara garis dan bidang pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan unsur-unsur yang diketahui pada ruang (dimensi tiga).

CARA MENENTUKAN dan MENGHITUNG SUDUT ANTARA BIDANG DENGAN BIDANG

Untuk menentukan sudut antara bidang dan bidang yang berpotongan dapat kita tentukan dari kedudukan bidang dan bidang, misalkan bidang $\alpha$, bidang $\beta$ dan bidang $\gamma$ yang berpotongan seperti gambar di bawah ini:

$Untuk menentukan sudut antara bidang dan bidang yang berpotongan dapat kita tentukan dari kedudukan bidang dan bidang, misalkan bidang $\alpha$, bidang $\beta$ dan bidang $\gama$ yang berpotongan seperti gambar di bawah ini$

Kita tentukan garis potong bidang $\alpha$ dan bidang $\beta$.
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang, kita misalkan titik $O$.
Kita buat garis pada bidang $\beta$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong, kita misalkan $AO$.
Kita buat garis pada bidang $\alpha$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong, kita misalkan $BO$.
Kita peroleh garis $AO$ dan $BO$ berpotongan di $O$, sudut yang dibentuk oleh kedua garis ini merupakan sudut antara bidang $\alpha$ dan bidang $\beta$ yaitu $AOB$.

Dengan langkah-langkah yang sama seperti di atas, kita juga dapat menentukan sudut antara bidang $\beta$ dan bidang $\gamma$ yaitu $QPR$, gambarannya seperti berikut ini.

Untuk menghitung besar sudut antara bidang dan bidang pada ruang (dimensi tiga), dapat kita gunakan bantuan unsur-unsur yang diketahui pada ruang (dimensi tiga).

Soal Latihan dan Pembahasan Sudut Garis - Bidang

Untuk menambah pemahaman kita terkait cara menentukan dan menghitung sudut antara garis - bidang dalam ruang (dimensi tiga) mari kita coba berlatih dari beberapa soal latihan berikut. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika Cara Menghitung Sudut Antara Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Untuk melihat soal-soal terkait geometri atau dimensi tiga yang sudah pernah diujikan pada tes masuk PTN atau sekolah kedinasan, silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Dimensi Tiga.

1. Soal Latihan Sudut Garis dan Garis

Pada kubus $ABCD.EFGH$ besar sudut antara garis $AH$ dan garis $HC$ adalah...

$(A)\ 30^{\circ}$
$(B)\ 45^{\circ}$
$(C)\ 60^{\circ}$
$(D)\ 90^{\circ}$
$(E)\ 120^{\circ}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $AH$ dan garis $HC$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Contoh soal dan pembahasan sudut antara garis dan garis

Garis $AH$ dan garis $CH$ adalah dua garis berpotongan di $H$, sehingga sudut antara garis $AH$ dan garis $CH$ adalah $\angle AHC=\beta$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh bidang segitiga $ACH$. Dari panjang sisi-sisi segitiga $ACH$ kita peroleh bahwa segitiga $ACH$ merupakan segitiga sama sisi sehingga $\angle AHC=\beta=60^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$

2. Soal Latihan Sudut Garis dan Garis

Pada kubus $ABCD.EFGH$ besar sudut antara garis $AC$ dan garis $HF$ adalah...

$(A)\ 30^{\circ}$
$(B)\ 45^{\circ}$
$(C)\ 60^{\circ}$
$(D)\ 90^{\circ}$
$(E)\ 120^{\circ}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $AC$ dan garis $HF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Garis $AC$ dan garis $HF$ adalah dua garis bersilangan, sehingga untuk mendapatkan sudut antara garis $AC$ dan garis $HF$, kita harus menggeser salah satu garis (atau keduanya) sampai kedua garis berpotongan di satu titik.

Pada gambar di atas, setelah garis $HF$ kita geser kebawah mendekati garis $AC$ diperoleh titik potong di $O$. Karena titik $O$ adalah titik potong dua diagonal persegi $ABCD$ sehingga sudut yang dapat dibentuk garis $AC$ dan garis $HF$ adalah $90^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 90^{\circ}$

3. Soal Latihan Sudut Garis dan Garis

Pada kubus $ABCD.EFGH$ besar sudut antara garis $EG$ dan garis $FC$ adalah...

$(A)\ 30^{\circ}$
$(B)\ 45^{\circ}$
$(C)\ 60^{\circ}$
$(D)\ 90^{\circ}$
$(E)\ 120^{\circ}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $EG$ dan garis $FC$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Garis $EG$ dan garis $FC$ adalah dua garis bersilangan, sehingga untuk mendapatkan sudut antara garis $EG$ dan garis $FC$, kita harus menggeser salah satu garis (atau keduanya) sampai kedua garis berpotongan di satu titik.

Pada gambar di atas, setelah garis $EG$ kita geser kebawah mendekati garis $AC$ diperoleh titik potong di $C$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh bidang segitiga $ACF$. Dari panjang sisi-sisi segitiga $ACF$ kita peroleh bahwa segitiga $ACF$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisinya adalah diagonal sisi kubus, sehingga $\angle ACF=60^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$

4. Soal Latihan Sudut Garis dan Garis

Pada kubus $ABCD.EFGH$ besar sudut antara garis $AG$ dan garis $HF$ adalah...

$(A)\ 30^{\circ}$
$(B)\ 45^{\circ}$
$(C)\ 60^{\circ}$
$(D)\ 90^{\circ}$
$(E)\ 120^{\circ}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $AG$ dan garis $HF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Garis $AG$ dan garis $HF$ adalah dua garis bersilangan, sehingga untuk mendapatkan sudut antara garis $AG$ dan garis $HF$, kita harus menggeser salah satu garis (atau keduanya) sampai kedua garis berpotongan di satu titik.

Pada gambar di atas, setelah garis $HF$ kita geser ke tengah mendekati garis $AG$ diperoleh titik potong di $O$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh bidang segiempat $AF'GH'$. Dari panjang sisi-sisi segiempat $AF'GH'$ kita peroleh bahwa segiempat $AF'GH'$ merupakan sebuah belah ketupat sehingga perpotongan dua diagonal belahketupat membentuk sudut $\angle AOF=90^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 90^{\circ}$

5. Soal Latihan Sudut Garis ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$ terdapat titik $P$ yakni perpotongan diagonal $AC$ dan $BD$. Jika $\alpha$ adalah besar sudut antara $PE$ dan $EA$ maka nilai $\tan \alpha = \cdots $

$(A)\ \sqrt{3}$
$(B)\ \sqrt{2}$
$(C)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(E)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $PE$ dan garis $EA$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Contoh soal dan pembahasan sudut antara garis dan bidang

Garis $PE$ dan garis $EA$ adalah dua garis berpotongan di titik $E$. Sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut adalah sudut $PEA=\alpha$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $PEA$ yang siku-siku di $A$, dan dengan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align} \tan \angle PEA &= \dfrac{AP}{AE} \\ \tan \alpha &= \dfrac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{2}a\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$

6. Soal Latihan Sudut Garis ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara $DF$ dan bidang $ABCD$. Nilai dari $\cos \alpha=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$
$(B)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{6}$
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{5}$
$(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $DF$ dan bidang $ABCD$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

$Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara $DF$ dan bidang $ABCD$. Nilai dari $\cos \alpha=\cdots$$

Garis $DF$ dan bidang $ABCD$ mempunyai titik potong di $D$, sehingga jika kita proyeksikan $DF$ ke bidang $ABCD$ kita peroleh hasil proyeksi adalah $DB$.

Sudut antara garis $DF$ dan bidang $ABCD$ adalah sudut antara garis $DF$ dan garis $BD$ yaitu $\alpha$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $DFB$ yang siku-siku di $B$, dan dengan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align} \cos \angle FDB &= \dfrac{BD}{FD} = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} \\ \cos \alpha &= \dfrac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{ \sqrt{3}}{ \sqrt{3}} = \dfrac{1}{3} \sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$

7. Soal Latihan Sudut Garis ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara $AF$ dan bidang $ACGE$. Nilai $\tan \alpha=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(B)\ \frac{1}{2} $
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(D)\ \frac{1}{3}\sqrt{2}$
$(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $AF$ dan bidang $ACGE$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

$Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara $AF$ dan bidang $ACGE$. Nilai $\tan \alpha=\cdots$$

Garis $AF$ dan bidang $ACGE$ mempunyai titik potong di $A$, sehingga jika kita proyeksikan $AF$ ke bidang $ACGE$ kita peroleh hasil proyeksi adalah $AO$.

Sudut antara garis $AF$ dan bidang $ACGE$ adalah sudut antara garis $AF$ dan garis $AO$ yaitu $\alpha$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $AFO$ yang siku-siku di $O$, dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} AO^{2} &= AE^{2} + EO^{2} \\ AO^{2} &= a^{2} + \left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)^{2} \\ AO^{2} &= a^{2} + \frac{1}{2}a^{2} \\ AO &= \sqrt{\frac{3}{2}a^{2}} \\ AO &= \frac{1}{2}a \sqrt{6} \end{align}$

Dari segitiga $AFO$ yang siku-siku di $O$, dengan perbandingan trigonometri dapat juga kita peroleh:
$\begin{align} \tan \angle FAO &= \dfrac{OF}{AO} = \dfrac{ \frac{1}{2}a \sqrt{2} }{\frac{1}{2}a \sqrt{6}} \\ \tan \alpha &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

8. Soal Latihan Sudut Garis ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara $DF$ dan bidang $ACGE$. Nilai $\tan \alpha=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(B)\ \sqrt{3} $
$(C)\ \sqrt{2}$
$(D)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$
$(E)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $DF$ dan bidang $ACGE$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

$Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara $AF$ dan bidang $ACGE$. Nilai $\tan \alpha=\cdots$$

Garis $DF$ dan bidang $ACGE$ mempunyai titik potong di $O$, sehingga jika kita proyeksikan $DF$ ke bidang $ACGE$ kita peroleh hasil proyeksi adalah $OP$ dan $OQ$.

Sudut antara garis $DF$ dan bidang $ACGE$ adalah sudut antara garis $OF$ dan garis $OP$ atau sudut antara garis $OD$ dan garis $OQ$ yaitu $\alpha$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $OFP$ yang siku-siku di $P$, dengan perbandingan trigonometri dapat juga kita peroleh:
$\begin{align} \tan \angle FOP &= \dfrac{FP}{OP} = \dfrac{ \frac{1}{2}a \sqrt{2} }{\frac{1}{2}a} = \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2}$

9. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara bidang $ADHE$ dan bidang $BDHF$. Nilai $\sin \alpha = \cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(B)\ \frac{1}{2}\sqrt{2} $
$(C)\ \frac{1}{2} $
$(D)\ \frac{1}{3}\sqrt{2}$
$(E)\ \frac{1}{3} $

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan bidang $ACF$ dan bidang $ACH$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Contoh soal dan pembahasan sudut antara Bidang dan Bidang

Kita tentukan garis potong bidang $ADHE$ dan bidang $BDHF$: garis $HD$
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang: titik $H$
Kita buat garis pada bidang $BDHF$ melalui $H$ yang tegak lurus dengan garis potong: garis $FH$.
Kita buat garis pada bidang $ADHE$ melalui $H$ yang tegak lurus dengan garis potong: garis $EH$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $FH$ dan $EH$ merupakan sudut antara bidang $ADHE$ dan bidang $BDHF$ yaitu sudut $EHF=\alpha$ .

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $EHF$ yang siku-siku di $E$, dengan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin \angle EHF &= \dfrac{EF}{HF} = \dfrac{ a }{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$

10. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara bidang $ACF$ dan bidang $ACH$. Nilai $\cos \alpha = \cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{5}$
$(B)\ \frac{1}{2} $
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$(D)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$
$(E)\ \frac{1}{3} $

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan bidang $ADHE$ dan bidang $BDHF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Kita tentukan garis potong bidang $ACF$ dan bidang $ACH$: garis $AC$
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang: titik $O$
Kita buat garis pada bidang $ACF$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $AC$: garis $OF$.
Kita buat garis pada bidang $ACH$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $AC$: garis $OH$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $OF$ dan $OH$ merupakan sudut antara bidang $ACF$ dan bidang $ACH$ yaitu sudut $HOF=\alpha$ .

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $OHF$ yang merupakan segitiga sama kaki $OH=OF=\frac{1}{2}a\sqrt{6}$ dan $HF= a\sqrt{2}$.

$Pada kubus $ABCD.EFGH$, $\alpha$ adalah sudut antara bidang $ACF$ dan bidang $ACH$.$

Dengan aturan cosinus pada segitiga $OHF$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \angle HOF &= \dfrac{OH^{2}+OF^{2}-HF^{2}}{2 \cdot OH \cdot OF} \\ \cos \alpha &= \dfrac{\left( \frac{1}{2}a\sqrt{6} \right)^{2}+\left( \frac{1}{2}a\sqrt{6} \right)^{2}-\left( a\sqrt{2} \right)^{2}}{2 \cdot \left( \frac{1}{2}a\sqrt{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2}a\sqrt{6} \right) } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ \frac{6}{4}a^{2}+ \frac{6}{4}a^{2}-2a^{2} }{ 3a^{2} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ a^{2} }{ 3a^{2} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{1}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{3}$

11. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Suatu limas teratur $T.ABCD$ dimana panjang $TA = 6\ \text{cm}$ dan $AB = 4\ \text{cm}$. Jika $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk oleh bidang $TBC$ dan $ABCD$, maka $\cos \alpha = \cdots$

$(A)\ \frac{1}{3} $
$(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{2} $
$(C)\ \frac{1}{2} $
$(D)\ \frac{1}{4}\sqrt{2}$
$(E)\ \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan bidang $TBC$ dan $ABCD$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:

Kita tentukan garis potong bidang $TBC$ dan $ABCD$: garis $BC$
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang: titik $O$
Kita buat garis pada bidang $TBC$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $BC$: garis $OT$.
Kita buat garis pada bidang $ABCD$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $BC$: garis $OP$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $OT$ dan $OP$ merupakan sudut antara bidang $TBC$ dan bidang $ABCD$ yaitu sudut $TOP=\alpha$ .

Dari segitiga $BOT$ yang siku-siku di $O$, sehingga dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} BT^{2} &= OB^{2} + OT^{2} \\ 6^{2} &= 2^{2} + OT^{2} \\ 36 &= 4 + OT^{2} \\ OT &= \sqrt{36-4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \end{align}$

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $TOP$ yang merupakan segitiga sama kaki $OT=PT$.

Dengan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \alpha &= \dfrac{OT'}{OT} = \dfrac{ 2 }{4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{4}\sqrt{2}$

12. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Suatu balok $ABCD.EFGH$ dimana $AB = 3\ \text{cm}$, $AD = 4\ \text{cm}$ dan $AE = 6\ \text{cm}$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara bidang $ABCD$ dan $BCHE$ maka nilai $\cos \alpha = \cdots$

$(A)\ \sqrt{5} $
$(B)\ \frac{1}{5}\sqrt{5} $
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{5}$
$(E)\ \sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan bidang $ABCD$ dan $BCHE$ pada balok $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Kita tentukan garis potong bidang $ABCD$ dan $BCHE$: garis $BC$
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang: titik $B$
Kita buat garis pada bidang $ABCD$ melalui $B$ yang tegak lurus dengan garis potong $BC$: garis $AB$.
Kita buat garis pada bidang $BCHE$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $BC$: garis $BE$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $AB$ dan $BE$ merupakan sudut antara bidang bidang $ABCD$ dan $BCHE$ yaitu sudut $ABE=\alpha$ .

Dari segitiga $ABE$ yang siku-siku di $A$, sehingga dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} BE^{2} &= AE^{2} + AB^{2} \\ BE^{2} &= 3^{2} + 6^{2} \\ BE^{2} &= 9 + 36 \\ BE &= \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \end{align}$

Dari segitiga $ABE$ yang siku-siku di $A$, sehingga dengan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \alpha &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{ 3 }{3\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{5}\sqrt{5}$

13. Soal Latihan Sudut Garis ke Bidang

Pada limas teratur $T.ABC$ dengan panjang rusuk $6\ \text{cm}$. $\alpha$ adalah sudut antara $TA$ dan bidang $ABC$. Nilai $\tan \alpha = \cdots$

$(A)\ \sqrt{2} $
$(B)\ \sqrt{3} $
$(C)\ 2\sqrt{2} $
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(E)\ \sqrt{5}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan antara garis $TA$ dan bidang $ABC$ pada limas teratur $T.ABC$ seperti berikut ini:

Garis $AT$ dan bidang $ABC$ mempunyai titik potong di $A$, sehingga jika kita proyeksikan $AT$ ke bidang $ABC$ kita peroleh hasil proyeksi adalah $AO$.

Sudut antara garis $AT$ dan bidang $ABC$ adalah sudut antara garis $AT$ dan garis $AO$ yaitu $\alpha$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $AFO$ yang siku-siku di $O$, dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} AT^{2} &= AO^{2} + OT^{2} \\ 6^{2} &= \left( \frac{2}{3}AP \right)^{2} + OT^{2} \\ \hline AC^{2} &= AP^{2} + PC^{2} \\ 6^{2} &= AP^{2} + 3^{2} \\ AP^{2} &= 36-9 = 27 \\ AP &= \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \\ \hline 6^{2} &= \left( \frac{2}{3}AP \right)^{2} + OT^{2} \\ 36 &= \left( \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} \right)^{2} + OT^{2} \\ 36 &= 12 + OT^{2} \\ OT &= \sqrt{36-12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \end{align}$

Dari segitiga $AFO$ yang siku-siku di $O$, dengan perbandingan trigonometri dapat juga kita peroleh:
$\begin{align} \tan \angle AFO &= \dfrac{OT}{AO} = \dfrac{ 2\sqrt{6} }{ \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} } \\ \tan \alpha &= \dfrac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{2}$

14. Soal Latihan Sudut Garis ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$ terdapat titik $P$ yaitu perpotongan kedua diagonal $ABCD$. Besar sudut antara $PG$ dan $BDHF$ adalah $\alpha$. Maka nilai $\sin \alpha=\cdots$

$(A)\ \sqrt{2}$
$(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{3} $
$(C)\ \sqrt{3}$
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{2}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $PG$ dan bidang $BDHF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Garis $PG$ dan bidang $BDHF$ mempunyai titik potong di $P$, sehingga jika kita proyeksikan $PG$ ke bidang $BDHF$ kita peroleh hasil proyeksi adalah $OP$.

Sudut antara garis $PG$ dan bidang $BDHF$ adalah sudut antara garis $PG$ dan garis $OP$ yaitu $\angle GPO=\alpha$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $PGO$ yang siku-siku di $O$, dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} PG^{2} &= OP^{2} + OG^{2} \\ PG^{2} &= a^{2} + \left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)^{2} \\ PG^{2} &= a^{2} + \frac{1}{2}a^{2} \\ PG &= \sqrt{\frac{3}{2}a^{2}} \\ PG &= \frac{1}{2}a \sqrt{6} \end{align}$

Dari segitiga $PGO$ yang siku-siku di $O$, dengan perbandingan trigonometri dapat juga kita peroleh:
$\begin{align} \sin \angle GPO &= \dfrac{OG}{GP} = \dfrac{ \frac{1}{2}a \sqrt{2} }{\frac{1}{2}a \sqrt{6}} \\ \sin \alpha &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

15. Soal Latihan Sudut Garis ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$ besar sudut yang dibentuk oleh $AC$ dan bidang $BDG$ adalah $\alpha$, maka nilai $\sin \alpha=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{5}$
$(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{6} $
$(C)\ \frac{1}{3}\sqrt{5}$
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{6}$
$(E)\ \frac{1}{6}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $AC$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Garis $AC$ dan bidang $BDG$ mempunyai titik potong di $P$, sehingga jika kita proyeksikan $AC$ ke bidang $BDG$ kita peroleh hasil proyeksi adalah $PQ$.

Sudut antara garis $AC$ dan bidang $BDG$ adalah sudut antara garis $PC$ dan garis $PO$ yaitu $\angle CPO=\alpha$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $CPO$ yang siku-siku di $O$ dapat kita peroleh $PC=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$ dan $OC=\frac{1}{3}a\sqrt{3}$ dimana $a$ adalah rusuk kubus. Silahkan di simak catatan cara menghitung jarak titik ke titik jika kurang paham cara mendapatkannya.

Dari segitiga $CPO$ yang siku-siku di $O$, dengan perbandingan trigonometri dapat juga kita peroleh:
$\begin{align} \sin \angle CPO &= \dfrac{OC}{PC} = \dfrac{ \frac{1}{3}a\sqrt{3} }{\frac{1}{2}a \sqrt{2}} \\ \sin \alpha &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$

16. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$ terdapat titik $P$ ditengah-tengah $BF$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara bidang $ACP$ dan bidang $ABC$, maka nilai $\sin \alpha = \cdots$

$(A)\ \frac{1}{3}\sqrt{3} $
$(B)\ \frac{1}{2}\sqrt{2} $
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$(D)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$
$(E)\ \frac{1}{2}\sqrt{6}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan bidang $ACP$ dan bidang $ABC$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Kita tentukan garis potong bidang $ACP$ dan $ABC$: garis $AC$
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang: titik $O$
Kita buat garis pada bidang $ACP$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $AC$: garis $OP$.
Kita buat garis pada bidang $ABC$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $AC$: garis $OB$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $OB$ dan $OP$ merupakan sudut antara bidang bidang $ACP$ dan $ABC$ yaitu sudut $POB=\alpha$ .

Dari segitiga $POB$ yang siku-siku di $B$, sehingga dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} OP^{2} &= OB^{2} + BP^{2} \\ OP^{2} &= \left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2}a \right)^{2} \\ OP^{2} &= \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{4}a^{2} \\ OP^{2} &= \frac{3}{4}a^{2} \\ OP &= \sqrt{\frac{3}{4}a^{2}} = \frac{1}{2}a \sqrt{3} \end{align}$

Dari segitiga $POB$ yang siku-siku di $B$, sehingga dengan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} \sin \alpha &= \dfrac{PB}{OP} = \dfrac{ \frac{1}{2}a }{ \frac{1}{2}a \sqrt{3} } = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

17. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Pada bidang empat $D.ABC$, tiga rusuk yang saling berpotongan di $A$ saling tegak lurus. Jika $AB = AC = 4 \sqrt{2}\ \text{cm}$ dan $AD = 4\sqrt{3}\ \text{cm}$ maka besar sudut antara bidang $BCD$ dan $ABC$ adalah$\cdots$

$(A)\ 30^{\circ}$
$(B)\ 45^{\circ}$
$(C)\ 60^{\circ}$
$(D)\ 90^{\circ}$
$(E)\ 120^{\circ}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan bidang $BCD$ dan $ABC$ pada bidang empat $D.ABC$ seperti berikut ini:

Kita tentukan garis potong bidang $BCD$ dan $ABC$: garis $BC$
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang: titik $E$
Kita buat garis pada bidang $BCD$ melalui $E$ yang tegak lurus dengan garis potong $BC$: garis $DE$.
Kita buat garis pada bidang $ABC$ melalui $E$ yang tegak lurus dengan garis potong $BC$: garis $AE$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $DE$ dan $AE$ merupakan sudut antara bidang $BCD$ dan $ABC$ yaitu sudut $DEA=\alpha$ .

Dari segitiga $ABC$ yang siku-siku di $A$ dan juga merupakan segitiga samakaki, dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} BC^{2} &= AB^{2} + AC^{2} \\ BC^{2} &= \left( 4\sqrt{2} \right)^{2} + \left( 4\sqrt{2} \right)^{2} \\ BC^{2} &= 32 + 32 \\ BC &= \sqrt{64} = 8\ \longrightarrow BE=CE=4 \end{align}$

Dari segitiga $AEC$ yang siku-siku di $E$, dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} AC^{2} &= AE^{2} + CE^{2} \\ \left( 4\sqrt{2} \right)^{2} &= AE^{2} + 4^{2} \\ 32 &= AE^{2} + 16 \\ AE &= \sqrt{16} = 4 \end{align}$

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $AED$ yang merupakan segitiga siku-siku di $A$, dengan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} \tan \alpha &= \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{ 4\sqrt{3} }{4} = \sqrt{3} \\ \alpha &= 60^{\circ} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$

18. Soal Latihan Sudut Garis dan Garis

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara garis $BG$ dengan garis yang ditarik dari $H$ ke pusat diagonal $ABCD$, maka $\sin \alpha=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}$
$(B)\ \frac{2}{3}\sqrt{3}$
$(C)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$
$(D)\ \frac{2}{3}$
$(E)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $BG$ dengan garis yang ditarik dari $H$ ke pusat diagonal $ABCD$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Garis $OH$ dan garis $BG$ adalah dua garis bersilangan, sehingga untuk mendapatkan sudut antara garis $OH$ dan garis $BG$, kita harus menggeser salah satu garis (atau keduanya) sampai kedua garis berpotongan di satu titik.

Pada gambar di atas, setelah garis $OH$ kita geser mendekati garis $BG$ diperoleh garis baru $BP$ yang berpotongan dengan $BG$ di titik $B$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $BPG$, dimana $BG=a\sqrt{2}$, $PG=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$, dan $BP=\frac{1}{2}a\sqrt{6}$ dimana $a$ adalah rusuk kubus, silahkan di simak catatan cara menghitung jarak titik ke titik jika kurang paham cara mendapatkannya.

Dengan aturan cosinus pada segitiga $BPG$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \angle PBG &= \dfrac{BP^{2}+BG^{2}-PG^{2}}{2 \cdot BP \cdot BG} \\ \cos \alpha &= \dfrac{\left( \frac{1}{2}a\sqrt{6} \right)^{2}+ \left( a\sqrt{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)^{2}}{2 \cdot \left( \frac{1}{2}a\sqrt{6} \right) \cdot \left( a\sqrt{2} \right) } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ \frac{6}{4}a^{2}+ 2a^{2}-\frac{2}{4}a^{2} }{ 2a^{2}\sqrt{3} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ 3a^{2} }{ 2a^{2}\sqrt{3} } \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3}\ \longrightarrow \alpha=30^{\circ} \\ \sin 30^{\circ} &= \dfrac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{2}$

19. Soal Latihan Sudut Garis dan Garis

Pada balok $ABCD.EFGH$ dimana panjang $AB = 6\ \text{cm}$, $AD = 6\ \text{cm}$ dan $AE = 8\ \text{cm}$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara $BD$ dan $AH$ maka nilai $\cos \alpha=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}$
$(B)\ \frac{3}{2}\sqrt{2}$
$(C)\ \frac{3}{10}\sqrt{2}$
$(D)\ \frac{2}{3}\sqrt{2}$
$(E)\ \frac{3}{5}\sqrt{5}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $BD$ dan $AH$ pada balok $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Garis $BD$ dan $AH$ adalah dua garis bersilangan, sehingga untuk mendapatkan sudut antara garis $BD$ dan $AH$, kita harus menggeser salah satu garis (atau keduanya) sampai kedua garis berpotongan di satu titik.

Pada gambar di atas, setelah garis $AH$ kita geser mendekati garis $BD$ diperoleh garis $BG$ yang berpotongan dengan $BD$ di titik $B$.

Dari segitiga $ABD$, dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} BD^{2} &= AB^{2} + AD^{2} \\ BD^{2} &= 6^{2} + 6^{2} \\ BD &= \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \end{align}$

Dari segitiga $CDG$, dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} DG^{2} &= CD^{2} + CG^{2} \\ DG^{2} &= 6^{2} + 8^{2} \\ DG &= \sqrt{100} = 10 \end{align}$

Dengan aturan cosinus pada segitiga $BDG$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \angle DBG &= \dfrac{BD^{2}+BG^{2}-DG^{2}}{2 \cdot BD \cdot BG} \\ \cos \alpha &= \dfrac{\left( 6\sqrt{2} \right)^{2}+ \left( 10 \right)^{2}-\left( 10 \right)^{2}}{2 \cdot \left( 6\sqrt{2} \right) \cdot \left( 10 \right) } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ 72 + 100 - 100 }{ 120\sqrt{2} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ 72 }{ 120\sqrt{2} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{3}{5\sqrt{2}}= \dfrac{3}{10}\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{10}\sqrt{2}$

20. Soal Latihan Sudut Garis dan Garis

Sebuah kubus $ABCD.EFGH$ diketahui $P$, $Q$ dan $R$ berturut-turut adalah titik tengah $GC$, $CD$ dan $AD$, serta $\alpha$ adalah sudut antara $HP$ dan $QR$. Nilai $\tan\ \alpha=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{6}$
$(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$
$(C)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$
$(D)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$
$(E)\ \sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan titik-titik $P$, $Q$ dan $R$ serta garis $HP$ dan $QR$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Garis $HP$ dan $QR$ adalah dua garis bersilangan, sehingga untuk mendapatkan sudut antara garis $HP$ dan $QR$, kita harus menggeser salah satu garis (atau keduanya) sampai kedua garis berpotongan di satu titik.

Pada gambar di atas, setelah garis $QR$ kita geser mendekati garis $HP$ diperoleh garis baru $MN$ yang berpotongan dengan $HP$ di titik $M$ dan kita peroleh sudut $\alpha$ sudut antara $HP$ dan $MN$.

Untuk menghitung $\tan \alpha$ kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $OPH$ yang siku-siku di $O$, panjang $OH=\frac{1}{2}a\sqrt{3}$, dan $OP=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$ dimana $a$ adalah rusuk kubus. Silahkan di simak catatan cara menghitung jarak titik ke titik jika kurang paham cara mendapatkannya.

Dengan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} \tan \alpha &= \dfrac{OH}{OP} = \dfrac{ \frac{1}{2}a\sqrt{3} }{\frac{1}{2}a\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{2} \sqrt{6}$

21. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Diketahui limas teratur $T.ABCD$ dengan tinggi $\sqrt{2}\ \text{cm}$ dan panjang rusuk alas $2\ \text{cm}$. Besar sudut antara garis $TA$ dan bidang $ABCD$ adalah$\cdots$

$(A)\ 15^{\circ}$
$(B)\ 30^{\circ}$
$(C)\ 45^{\circ}$
$(D)\ 60^{\circ}$
$(E)\ 75^{\circ}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan garis $TA$ dan bidang $ABCD$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:

Garis $TA$ dan bidang $ABCD$ mempunyai titik potong di $A$, sehingga jika kita proyeksikan $TA$ ke bidang $ABCD$ kita peroleh hasil proyeksi adalah $AO$.

Sudut antara garis $TA$ dan bidang $ABCD$ adalah sudut antara garis $TA$ dan garis $AO$ yaitu $TAO$.

Dari persegi $ABCD$ kita peroleh $AC=2\sqrt{2}$ dan $AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$.

Jika kita ambil garis bantu sehingga kita peroleh segitiga $TAO$ yang siku-siku di $O$ juga merupakan segitiga sama kaki karena $AO=\sqrt{2}=OT$ sehingga sudut pada kaki-kainya atau $\angle TAO=\angle TCO=45^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 45^{\circ}$

22. Soal Latihan Sudut Garis dan Garis

Pada limas beraturan $P.QRS$ diketahui panjang $QR = a\ \text{cm}$ dan $PQ = a\sqrt{3}\ \text{cm}$. Sudut antara $PS$ dan bidang $QRS$ adalah $\alpha$, maka nilai dari $\cos \alpha=\cdots$.

$(A)\ \frac{1}{3}$
$(B)\ \frac{2}{3}$
$(C)\ \frac{1}{2}$
$(D)\ \frac{3}{4}$
$(E)\ \frac{2}{5}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan antara garis $PS$ dan bidang $QRS$ pada limas teratur $P.QRS$ seperti berikut ini:

Garis $PS$ dan bidang $QRS$ mempunyai titik potong di $S$, sehingga jika kita proyeksikan $PS$ ke bidang $QRS$ kita peroleh hasil proyeksi adalah $OS$.

Sudut antara garis $PS$ dan bidang $QRS$ adalah sudut antara garis $PS$ dan garis $OS$ yaitu $\alpha$.

Dari segitiga siku-siku $QTS$ dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} QS^{2} &= ST^{2} + QT^{2} \\ a^{2} &= ST^{2} + \left( \frac{1}{2}a \right)^{2} \\ ST^{2} &= a^{2} - \frac{1}{4}a^{2} \\ ST^{2} &= \frac{3}{4}a^{2} \\ ST &= \sqrt{\frac{3}{4}a^{2}} = \frac{1}{2}a\sqrt{3} \end{align}$

Dari segitiga $SOP$ yang siku-siku di $O$, dimana $OS=\frac{2}{3}TS$, dengan perbandingan trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \angle PSO &= \dfrac{OS}{PS} = \dfrac{ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}a\sqrt{3} }{ a\sqrt{3} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{1}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3}$

23. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Diketahui bidang empat beraturan $T.ABC$ dengan panjang rusuk $6\ \text{cm}$. $P$ adalah titik tengah $TB$. Nilai cosinus sudut antara bidang $APC$ dan bidang $ABC$ adalah$\cdots$

$(A)\ \frac{1}{2}\sqrt{6}$
$(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(D)\ \frac{1}{3}\sqrt{2}$
$(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan bidang $APC$ dan bidang $ABC$ pada bidang empat $T.ABC$ seperti berikut ini:

Kita tentukan garis potong bidang $APC$ dan $ABC$: garis $AC$
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang: titik $O$
Kita buat garis pada bidang $APC$ melalui $P$ yang tegak lurus dengan garis potong $AC$: garis $OP$.
Kita buat garis pada bidang $ABC$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $AC$: garis $OB$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $OP$ dan $OB$ merupakan sudut antara bidang $APC$ dan $ABC$ yaitu sudut $POB=\alpha$ .

Pada segitiga samasisi $TAB$, garis $AP$ merupakan garis tinggi yang juga garis berat sehingga $AP \bot BT$. Dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} AT^{2} &= TP^{2} + AP^{2} \\ 6^{2} &= 3^{2} + AP^{2} \\ 36 &= 9 + AP^{2} \\ AP &= \sqrt{36-9} = \sqrt{27} =3\sqrt{3} \end{align}$

Dari segitiga samakaki $APC$, garis $OP$ merupakan garis tinggi yang juga garis berat sehingga $OP \bot AC$. Dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align} AP^{2} &= AO^{2} + OP^{2} \\ 27 &= 3^{2} + OP^{2} \\ 27 &= 9 + OP^{2} \\ OP &= \sqrt{27-9} = \sqrt{18}=3\sqrt{2} \end{align}$

Dari segitiga $BOP$ dimana $OP=3\sqrt{2}$, $OB=AP=3\sqrt{3}$ dan $BP=3$, dengan aturan cosinus pada segitiga $BPG$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \angle BOP &= \dfrac{OP^{2}+OB^{2}-BP^{2}}{2 \cdot OP \cdot OB} \\ \cos \alpha &= \dfrac{\left( 3\sqrt{2} \right)^{2}+ \left( 3\sqrt{3} \right)^{2}-\left( 3 \right)^{2}}{2 \cdot \left( 3\sqrt{2} \right) \cdot \left( 3\sqrt{3} \right) } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ 18 + 27 - 9 }{ 18\sqrt{6} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ 36 }{ 18 \sqrt{6} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{1}{3} \sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$

24. Soal Latihan Sudut Bidang ke Bidang

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $4\ \text{cm}$. Titik $P$ pada pertengahan $CG$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara bidang $BDG$ dan bidang $BDP$ maka nilai $\cos \alpha = \cdots$

$(A)\ \frac{1}{3}\sqrt{2} $
$(B)\ \frac{1}{6}\sqrt{6} $
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{2} $
$(D)\ \frac{2}{3}\sqrt{2}$
$(E)\ \frac{2}{3}\sqrt{6}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan kedudukan bidang $BDG$ dan bidang $BDP$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Kita tentukan garis potong bidang $BDG$ dan $BDP$: garis $BD$
Pada garis potong tersebut kita ambil sebuah titik sembarang: titik $O$
Kita buat garis pada bidang $BDG$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $BD$: garis $OG$.
Kita buat garis pada bidang $BDP$ melalui $O$ yang tegak lurus dengan garis potong $BD$: garis $OP$.
Sudut yang dibentuk oleh garis $OG$ dan $OP$ merupakan sudut antara bidang $BDG$ dan bidang $BDP$ yaitu sudut $POG=\alpha$ .

Dari segitiga $POG$ panjang $OG=2\sqrt{6}$, $OP=2\sqrt{3}$, dan $PG=2$. Silahkan di simak catatan cara menghitung jarak titik ke titik jika kurang paham cara mendapatkannya. Dengan aturan cosinus pada segitiga $POG$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \angle POG &= \dfrac{OP^{2}+OG^{2}-PG^{2}}{2 \cdot OP \cdot OG} \\ \cos \alpha &= \dfrac{\left( 2\sqrt{3} \right)^{2}+ \left( 2\sqrt{6} \right)^{2}-\left( 2 \right)^{2}}{2 \cdot \left( 2\sqrt{3} \right) \cdot \left( 2\sqrt{6} \right) } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ 12 + 24 - 4 }{ 8\sqrt{18} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{ 32 }{ 24 \sqrt{2} } \\ \cos \alpha &= \dfrac{4}{3\sqrt{2}} = \dfrac{2}{3} \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{2}{3}\sqrt{2}$

Catatan Cara Menghitung Sudut Antara Garis - Bidang dalam Ruang (Dimensi Tiga) dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda yang dialamatkan kepada admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.