Calon Guru belajar matematika SMA dari Soal dan Pemabahasan UTBK Tes Kemampuan Akademik (TKA) SAINTEK Matematika IPA Tahun 2019 sebanyak 20 soal. Bagaimana soal UTBK 2019 atau SBMPTN 2019 sudah banyak beredar pada grup-grup belajar WhatsApp, telegram atau media lainya, jadi model soal UTBK SNBT tahun ini sudah ada gambarannya seperti apa.
Pada catatan sebelumnya sudah ada dua catatan khusus membahas soal-soal matematika UTBK 2019. Ada sekitar $200$ soal dan pembahasan matematika UTBK 2019 sudah selesai kita diskusikan, yaitu:
- 100+ Soal dan Pembahasan UTBK Tes Kemampuan Akademik (TKA) SAINTEK Matematika Tahun 2019 Lihat 👀 Catatan Disini
- 100+ Soal dan Pembahasan UTBK Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika Tahun 2019 (SOSHUM, SAINTEK dan TBS) Lihat 👀 Catatan Disini
Berikut silahkan dicoba soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK untuk mata pelajaran Matematika kelompok IPA Tahun 2019.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 20 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} & \lt a^{x} \\
\dfrac{3+3m}{m+1} & \lt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+1) \\
\hline
3+3m & \lt m(m+1) \\
3+3m & \lt m^{2}+m \\
m^{2}-2m-3 & \gt 0 \\
(m-3)(m+1) & \gt 0 \\
m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 3
\end{align}$
- Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 3$.
- Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $a^{x} \gt 3$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
$\begin{align}
a^{x} & \gt 3 \\
{}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 3 \\
x & \lt {}^a\!\log 3 \\
x & \lt {}^ \!\log_{a} 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}3$
2. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ dengan $a,b \gt 3$, menyinggung garis $3x+4y=12$. Jika lingkaran tersebut berjari-jari $12$, maka $3a+4b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ - Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ menyinggung garis $3x+4y-12=0$, sehingga jarak titik pusat $(a,b)$ ke garis $3x+4y-12=0$ adalah jari-jari lingkaran $r=12$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\
12 &=\left| \dfrac{3a+4b-12}{5} \right| \\
\end{align}$
Karena $a,b \gt 3$ maka $3a+4b-12 \gt 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
12 &= \dfrac{3a+4b-12}{5} \\
60 &= 3a+4b-12 \\
72 &= 3a+4b
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 72$
3. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jumlah semua ordinat penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}-y^{2}=2y+8\\
x^{2}+y^{2}-4x+2y-8=0
\end{matrix}\right.$
adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dari soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}-y^{2}-2y-8 &= 0 \\
x^{2}+y^{2}-4x+2y-8 & = 0 \ \ (+) \\
\hline
2x^{2}-4x-16 &=0 \\
x^{2}-2x-8 &=0 \\
(x-4)(x+2) &=0 \\
x=4\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=4\ & \Rightarrow\ 4^{2}-y^{2}=2y+8 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-8=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2 \\
\hline
x=-2\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=4 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-4=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2
\end{align}$
Jumlah semua ordinatnya adalah $-2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$
4. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt \dfrac{6}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $3a+2b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x-1 \right| & \lt \dfrac{6}{x} \\
\left| x-1 \right| - \dfrac{6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x-1 \right|$ adalah $x=1$.
- Untuk $x \geq 1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left( x-1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}-x-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{(x-3)(x+2)}{x} & \lt 0
\end{align}$Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-3)(x+2)}{x} \lt 0$.
Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ adalah $1 \leq x \lt 3$, ilustrasinya seperti gambar dibawah ini:
- Untuk $ x \lt 1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left(-( x-1) \right)-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left(-x+1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{-x^{2}+x-6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{ x^{2}-x+6}{x} & \gt 0
\end{align}$ Karena $x^{2}-x+6$ adalah definit positif (Selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real) maka nilai $x$ yang mengakibatkan $\dfrac{(+)}{x} \gt 0$ adalah $x \gt 0$
Irisan $x \gt 0$ dan $x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
Himpunan penyelesaian soal adalah gabungan dari $1 \leq x \lt 3$ dan $0 \lt x \lt 1$ yaitu $0 \lt x \lt 3$.
Interval nilai $0 \lt x \lt 3$ dapat juga dituliskan dalam bentuk interval $(a,b)$ yaitu $(0,3)$ sehingga nilai $3a+2b=3(0)+2(3)=6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$
5. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $3a - b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal ini kita coba selesaikan dengan Cara Manipulasi Faktor, dengan manipulasi faktor ini, kita anggap faktornya adalah sama dengan nol. Dengan menganggap faktor (pembagi) $x^{2}+1=0$ sehingga diperoleh $x^{2}=-1$.
Dengan $x^{2}=-1$ dan $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
$\begin{align}
p(x) & \equiv ax^{3}+bx^{2}+2x-3 \\
p(x) & \equiv ax \cdot x^{2}+bx^{2}+2x-3 \\
0 & \equiv ax (-1) +b (-1) +2x-3 \\
0 & \equiv -ax -b +2x-3 \\
0 & \equiv (2-a)x -b-3 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\
\hline
-b-3\ & = 0 \\
b\ & = -3 \\
\hline
\text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$
6. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika diketahui suku barisan aritmatika bersifat $x_{k+2}=x_{k}+p$ dengan $p \neq 0$ untuk sembarang bilangan asli postif $k$, maka $x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
- Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
- Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$
Dari deret aritmatika $x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1}$
Deret aritmatika secara umum adalah
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6}+u_{7}+\cdots$
$S_{n}=(a)+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b)+(a+5b)+(a+6b)+\cdots$
Deret di atas sku pertama adalah $a$ dan beda $b$.
Jika kita pisah menjadi dua bagian suku-suku genap dan susku ganjil menjadi
$S_{genap}=u_{2}+ u_{4}+ u_{6}+ u_{8}+\cdots$
$S_{genap}= (a+b)+ (a+3b)+ (a+5b)+ \cdots$
Deret di atas dapat kita anggap deret aritmatika dengan suku pertama adalah $a+b$ dan beda $2b$
$S_{ganjil}=u_{1}+ u_{3}+ u_{5}+ u_{7}+\cdots$
$S_{ganjil}=(a)+ (a+2b)+ (a+4b)+ (a+6b)+\cdots$
Deret di atas dapat kita anggap deret aritmatika dengan suku pertama adalah $a$ dan beda $2b$
Jika kita terapkan pada soal, yang diminta adalah jumlah suku-suku ganjil dimana suku pertama adalah $x_{3}$ dan beda $2b$
$\begin{align}
x_{k+2} & = x_{k}+p \\
x_{k+2}-x_{k} & = p \\
x_{k+2}-x_{k} & = 2b \\
\hline
p & = 2b \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
S_{n} & = x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1} \\
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2x_{3}+(n-1)p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 \left(x_{2}+b \right)+(n-1)p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2}+2b +pn-p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2}+p +pn-p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2} +pn \right) \\
& = \dfrac{2nx_{2}+pn^{2}}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{pn^{2}+2nx_{2}}{2}$
7. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}}{t^{2}-a^{2}} \right )=K$, maka nilai $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right ) \\
& = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \right ) \\
& = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \cdot \dfrac{\left (t+a \right )}{\left (t+a \right )} \right ) \\
&= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{t^{2}-a^{2}} \right ) \\
&= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t^{2}-a^{2}} \right ) \cdot \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{1} \right ) \\
&= K \cdot \left ( \left [\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (a+a \right ) \right ) \\
&= K \cdot \left ( 2 \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \cdot \left (2a \right ) \right ) \\
&= 4aK \cdot \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2}$
8. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Diketahui grafik fungsi $f'$ dan $g'$ dengan beberapa nilai fungsi $f$ dan $g$ sebagai berikut.
Jika $h(x) = \left ( f \circ g \right )(x)$, maka nilai $h'(2)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menerapkan aturan turunan fungsi $\dfrac{d}{dx}[u^{n}]=nu^{n-1}u'$ kepada fungsi komposisi $h(x)$, sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
h(x) & = \left ( f \circ g \right )(x) \\
h(x) & = f \left ( g(x) \right ) \\
h'(x) & = f' \left ( g(x) \right ) \cdot g'(x) \\
h'(2) & = f' \left ( g(2) \right ) \cdot g'(2) \\
& = f' \left ( 3 \right ) \cdot 3 \\
& = -3 \cdot 3 \\
& = - 9
\end{align}$
Keterangan:
- dari kurva $y=g'(x)$ dapat kita peroleh nilai $g'(2)=2$
- dari tabel $f(x)$ dan $g(x)$ dapat kita peroleh nilai $g(2)=3$
- dari kurva $y=f'(x)$ dapat kita peroleh nilai $f'(3)=-3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -9$
9. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x+3)=f(x)$ untuk tiap $x$. Jika $\int \limits_{-3}^{6} f(x)\ dx = -6$, maka $\int \limits_{3}^{9} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
$'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
$\begin{align}
\int \limits_{3}^{9} f(x) dx &= \int \limits_{0}^{6} f(x) \\
\hline
-6 &= \int \limits_{-3}^{6} f(x) dx \\
-6 &= \int \limits_{-3}^{0} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{3}^{6} f(x) dx \\
-6 &= \int \limits_{-3}^{0} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{3-3}^{6-3} f(x+3) dx \\
-6 &= \int \limits_{0}^{3} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\
-6 &= 3 \int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\
-2 &= \int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\
\hline
\int \limits_{3}^{9} f(x) dx & = \int \limits_{0}^{6} f(x) \\
& = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{3}^{6} f(x)\\
& = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{3-3}^{6-3} f(x+3)\\
& = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{0}^{3} f(x)\\
& = (-2) + (-2) \\
&= -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -4$
10. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Misalkan $l_{1}$ menyatakan garis singgung kurva $y=x^{2}+1$ di titik $(2,5)$ dan $l_{2}$ menyatakan garis singgung kurva $y=1-x^{2}$ yang sejajar dengan garis $l_{1}$. Jarak $l_{1}$ dan $l_{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan soal, ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m_{1} = y'& = 2x \\
\text{untuk}\ x=2 & \rightarrow m_{1} = 4 \\
\hline
y-y_{1} & = m \left( x- x_{2} \right) \\
y-5 & = 4 \left( x- 2 \right) \\
y-5 & = 4 x - 8 \\
y & = 4 x - 3
\end{align}$ Garis $l_{2}$ menyinggung $y=1-x^{2}$ dan garis $l_{1}$ sejajar $l_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}=4$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m_{2} = y'& = -2x \\
4 & = -2x \\
x = -2 & \rightarrow y=-3
\end{align}$
Titik $(-2,-3)$ berada pada $l_{2}$ dan $l_{1} \parallel l_{2}$ sehingga jarak $l_{1}$ dan $l_{2}$ adalah jarak titik $(-2,-3)$ ke garis $y = 4 x - 3$ atau $4x-y-3=0$.
dimana:
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c} {\sqrt{a^2+b^2} } \right| \\
&= \left| \dfrac{(4)(-2)+(-1)(-3)-3}{\sqrt{(1)^2+(-4)^2}} \right| \\
&= \left| \dfrac{-8+3-3}{\sqrt{ 1 + 16}} \right| \\
&= \left| \dfrac{-8}{\sqrt{17}} \right| \\
&= \dfrac{8}{\sqrt{17}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{\sqrt{17}} $
11. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika garis $y=mx+4$ tidak memotong elips $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{8}=1$, maka nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis tersebut tidak memotong elips maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{8} &= 1 \\
2 x^{2} + y^{2} &= 8 \\
2 x^{2} + \left( mx+4 \right)^{2} &= 8 \\
2 x^{2} + m^{2}x^{2}+8mx+16-8 &= 0 \\
\left( m^{2}+2 \right)x^{2} +8mx+8 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( 8m \right)^{2}-4\left( m^{2}+2 \right)\left( 8 \right) & \lt 0 \\
64m^{2}-32m^{2}-64 & \lt 0 \\
32m^{2} -64 & \lt 0 \\
m^{2} - 2 & \lt 0 \\
(m-\sqrt{2})(m+\sqrt{2}) & \lt 0 \\
-\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2}
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2}$
12. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Diketahui $B=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ dan $B+C=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}$. Jika $A$ adalah matriks berukuran $2 \times 2$ sehingga $AB+AC=\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}$, maka determinan matriks $AB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ |A_{m\times m} \times B_{m\times m}| = |A| \times |B|$, maka berlaku:
$\begin{align}
AB+AC & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \\
A \left( B+ C \right) & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \\
A \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \\
A & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}^{-1} \\
A & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2+3} \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 2
\end{pmatrix} \\
A & = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}
10 & 0 \\
0 & 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\hline
\left|AB \right| & = \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix} \\
& = 2 \cdot 2 \\
&= 4
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$
13. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Sebuah kotak berisi $10$ bola berwarna merah dan berwarna biru. Diambil dua bola sekaligus secara acak. Jika peluang terambilnya sedikitnya $1$ bola merah adalah $\dfrac{1}{5}$, maka banyaknya bola biru adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus, maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih $2$ bola dari $10$ bola
$ \begin{align}
n(S) & = C_{2}^{10} \\
& = \dfrac{10!}{2! (10-2)!} \\
& = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!}=45
\end{align} $
Hasil yang diharapkan adalah paling sedikit satu bola merah, banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil dua bola merah dari banyak bola merah atau terambil satu bola merah dari banyak bola merah dan satu bola biru dari banyak bola biru.
Jika kita misalkan banyak bola merah adalam $m$, sehingga banyak bola biru adalah $10-m$ sehingga banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi, yaitu:
$ \begin{align}
n(E) & = C_{2}^{m}+C_{1}^{m} \cdot C_{1}^{10-m} \\
& = \dfrac{m(m-1)(m-2)!}{2! \cdot (m-2)!} + \dfrac{m(m-1)!}{1! \cdot (m-1)!} \cdot \dfrac{ (10-m)!}{1! (10-m-1)!} \\
& = \dfrac{m(m-1) }{2 } + m \cdot (10-m) \\
& = \dfrac{m^{2}-m }{2 } + \dfrac{20m-2m^{2})}{2 } \\
& = \dfrac{-m^{2}+19m }{2 }
\end{align} $
Peluang kejadian $E$ adalah $\dfrac{1}{5}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{\dfrac{-m^{2}+19m }{2 }}{45} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{-m^{2}+19m }{2 \cdot 45 } \\
\dfrac{18}{90} & = \dfrac{-m^{2}+19m }{90} \\
\hline
-m^{2}+19m & = 18 \\
m^{2}-19m+18 & = 0 \\
(m-1)(m-18) & = 0 \\
m=1 \ \text{atau} m=18 &
\end{align}$
Banyak bola biru saat $m=1$ adalah $10-1=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 9$
14. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Diberikan $7$ data, setelah diurutkan, sebagai berikut $a,a+1,a+1,7,b,b,9$. Jika rata-rata data tersebut adalah $7$ dan simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang statistika data tunggal terkhusus simpangan rata-rata untuk data tunggal. Rumus simpangan rata-rata (deviasi rata-rata) yaitu
$ SR=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n}$
Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=7$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+a+1+a+1+7+b+b+9}{7} \\
7 &= \dfrac{3a+2b+18}{7} \\
49 &= 3a+2b+18 \\
31 &= 3a+2b
\end{align}$
Diketahui simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
SR &=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n} \\
\dfrac{8}{7} &=\dfrac{\left | a-7 \right |+2\left | a+1-7 \right |+\left | 7-7 \right |+2\left | b-7 \right |+\left | 9-7 \right | }{7} \\
8 &= 7-a+2(6-a)+0+2(b-7)+2\\
8 &= 7-a+12-2a+2b-14+2\\
1 &= -3a+2b
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+2b = 31 & \\
-3a+2b = 1 & (+) \\
\hline
4b = 32 & \\
b = 8 & \\
a = 5
\end{array} $
Nilai dari $a+b=8+5=13$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13$
15. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika diketahui $x = \sin \alpha + \sin \beta$ dan $y =\cos \alpha - \cos \beta$, maka nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ tercapai saat...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$
- $\cos \left ( A-B \right )=\cos A\ \cos B + \sin A\ \sin B$
x &= \sin \alpha + \sin \beta \\
y &= \cos \alpha - \cos \beta \\
\hline
x^{2} &= \sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta+2\ \sin \alpha \sin \beta \\
y^{2} &= \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta-2\ \cos \alpha \cos \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2 \sin \alpha \sin \beta-2 \cos \alpha \cos \beta \\
&=2 +2\ \left( \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta \right) \\
&=2 -2\ \left( \cos \alpha\ \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \right) \\
&=2 - 2 \cos \left ( \alpha+\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $\cos \left ( \alpha+ \beta \right )=-1$ terkecil, dan $\cos \left ( \alpha+\beta \right )=-1$ tercapai salah satunya saat $\alpha+\beta =180^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \alpha = - \beta + 180^{\circ}$
16. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Joni menabung di Bank Central yang menggunakan sistem bunga majemuk dengan saldo awal $A$. Dalam waktu $3$ tahun, saldo Joni di tabungan menjadi $B$. Citra menabung di bank yang sama dengan saldo awal $X$. Jika dalam waktu $6$ tahun, saldo Citra $A$ lebih banyak daripada saldo milik Joni, maka $X=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Salah satu cara untuk menghitung banyak uang yang ditabung setelah $t$ tahun dengan bunga majemuk $i\%$ pertahun adalah:
$M_{t}=M_{o} \left(1+i \right)^{n}$
dimana:
$\begin{align}
M_{t} & = \text{uang setelah akhir}\ t\ \text{tahun} \\
M_{o} & = \text{uang awal tahun} \\
i & = \text{persentase bunga setiap tahun} \\
n & = \text{lama ditabung}
\end{align}$
Pada soal disampaikan Joni menabung sebesar $A$ setelah $3$ tahun menjadi $B$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
M_{t} &= M_{o} \left(1+i \right)^{n} \\
B &= A \left(1+i \right)^{3} \\
B &= A \cdot p^{3} \\
p^{3} &= \dfrac{B}{A}\ \rightarrow\ p^{6} = \dfrac{B^{2}}{A^{2}}
\end{align}$
*Untuk kasus ini, karena $(1+i)$ tidak diketahui sehingga dapat kita misalkan $p=(1+i)$
Pada bank yang sama Citra menabung saldo awal $X$, dalam waktu $6$ tahun saldo Citra $A$ lebih banyak daipada saldo milik Joni, saldo Joni setelah $6$ tahun yaitu:
$\begin{align}
M_{t} &= M_{o} \left(1+i \right)^{n} \\
M_{J} &= A \left(1+i \right)^{6} \\
M_{J} &= A \cdot p^{6} \\
\end{align}$
Dalam waktu $6$ tahun saldo Citra $A$ lebih banyak daripada saldo milik Joni, saldo citra adalah $A+A \cdot p^{6}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
M_{t} &= M_{o} \left(1+i \right)^{n} \\
M_{C} &= X \left(1+i \right)^{6} \\
A+A \cdot p^{6} &= X \cdot p^{6} \\
A+A \cdot \dfrac{B^{2}}{A^{2}} &= X \cdot \dfrac{B^{2}}{A^{2}} \\
A \cdot \dfrac{A^{2}}{B^{2}} +A &= X \\
\dfrac{A^{3}}{ B^{2}} +A &= X
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) \ \dfrac{A^{3}}{B^{2}}+A$
17. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika garis $y= ax+b$ digeser ke bawah sejauh $6$ satuan kemudian diputar dengan pusat $O(0,0)$ searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ sehingga menghasilkan bayangan garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$, maka nilai $\dfrac{b}{a^{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $270^{\circ}$, $T: \begin{pmatrix}
\cos 270 & -\sin 270\\
\sin 270 & \cos 270
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$.
0 \\ -6
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+0$ dan $y'=y-6$ sehingga persamaan garis $y=ax+b$ berubah menjadi $ y'+6 =ax'+b$ atau $y=ax+b-6$.
Garis $y=ax+b-6$ dirotasi searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ sama dengan sejauh $270^{\circ}$ berlawanan dengan jarum jam terhadap titik asal
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
y \\ -x
\end{pmatrix}
\end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'= y$ dan $y'=-x$
$\begin{align}
y &= ax+b-6 \\
x' &= a(-y')+b-6 \\
x' &= -ay'+b-6 \\
x &= -ay+b-6 \\
ay &= x+b-6 \\
y &= \dfrac{1}{a}x+\dfrac{b-6}{a}
\end{align} $
Bayangan garis yang dihasilkan adalah $y = \dfrac{1}{a}x+\dfrac{b-6}{a}$ dan $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{1}{a}x+\dfrac{b-6}{a} & \equiv \dfrac{1}{\sqrt{3}}x \\
\hline
\dfrac{1}{a} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
a &= \sqrt{3} \\
\hline
\dfrac{b-6}{a} &= 0 \\
b-6 &= 0 \\
b &= 6 \\
\hline
\dfrac{b}{a^{2}} &= \dfrac{6}{\left( \sqrt{3} \right)^{2}} \\
&= \dfrac{6}{3}=2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
18. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Titik $D$ berada pada sisi $AB$ sehingga $AD=2 \cdot BD$. Jika $AC=a$ dan $BC=b$, maka luas segitiga $CDD'$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa $AD=2 \cdot BD$ dan dari besar sudut pada gambar dapat kita ketahui bahwa $\bigtriangleup APE$ sebangun dengan $\bigtriangleup BDD'$, sehingga berlaku:
$\dfrac{DD'}{AC}=\dfrac{BD'}{BC}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{1}{3}$
- dengan $AC=a$ maka $DD'=\dfrac{1}{3}a$,
- dengan $BC=b$ maka $BD'=\dfrac{1}{3}b$ dan $CD'= \dfrac{2}{3}b$,
$\begin{align}
\left[ CDD' \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot CD' \cdot DD' \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}b \cdot \dfrac{1}{3}a \\
&= \dfrac{1}{9} ab
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{9}ab$
19. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Misalkan balok $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $AB=2\ cm$, $BC=1\ cm$ dan $AE=1\ cm$ . Jika $P$ adalah titik tengah $AB$ dan $\theta$ adalah $\angle EPG$, maka $cos\ \theta$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
- dari $\bigtriangleup APE$, $AP=1$ dan $AE=1$ maka $EP= \sqrt{2}$,
- dari $\bigtriangleup PBC$, $PB=1$ dan $BC=1$ maka $PC= \sqrt{2}$,
- dari $\bigtriangleup PCG$, $PC=\sqrt{2}$ dan $CG=1$ maka $PG= \sqrt{3}$,
- dari $\bigtriangleup EFG$, $EF=2$ dan $FG=1$ maka $EG= \sqrt{5}$
Sudut $\theta$ pada $\bigtriangleup EPG$ adalah sudut antara $EP$ dan $PG$, dapat kita hitung dengan menggunakan aturan cosinus:
$\begin{align}
EG^{2} &= EP^{2}+PG^{2}- 2 \cdot EP \cdot PG\ cos\ \theta \\
\cos \theta &= \dfrac{EP^{2}+PG^{2}-EG^{2}}{2 \cdot EP \cdot PG} \\
&= \dfrac{\left( \sqrt{2} \right)^{2}+\left( \sqrt{3} \right)^{2}-\left( \sqrt{5} \right)^{2}}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} \\
&= \dfrac{0}{8 \sqrt{6}} \\
&= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
20. Soal UTBK TKA SAINTEK Matematika IPA 2019
Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \pi $, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
\cos 2x+ \cos 2y= \dfrac{2}{5} \\
\sin y=2 \sin x\\
\end{matrix}\right.$
maka $3 \sin x-2 \sin y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $\cos \left ( 2A \right )=\cos^{2} A-\sin^{2} A$
- $\cos \left ( 2A \right )=1-2\sin^{2} A$
$\begin{align}
\cos 2x+\cos 2y &= \dfrac{2}{5} \\
1-2 \sin^{2} x+1-2 \sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2 \sin^{2} x -2 \sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
\sin^{2} x + \sin^{2} y &= -\dfrac{1}{5}+1 \\
\sin^{2} x + \left( 2 \sin x \right)^{2} &= \dfrac{4}{5} \\
\sin^{2} x +4 \sin^{2}\ x &= \dfrac{4}{5} \\
5 \sin^{2}\ x &= \dfrac{4}{5} \\
\sin^{2}\ x &= \dfrac{4}{25} \\
\sin x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
\sin x &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \pi &\ \text{maka}\ \sin x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
3 \sin x - 2 \sin y &= 3 \cdot \dfrac{2}{5} - 2 \cdot 2 \sin x \\
&= \dfrac{6}{5} - 2 \cdot 2\ \dfrac{2}{5} \\
&= \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5} = -\dfrac{2}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ - \dfrac{2}{5}$
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019
Catatan Pembahasan 20 Soal Matematika UTBK SBMPTN TKA SAINTEK Tahun 2019 (Model Soal UTBK SNBT) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
