Calon guru belajar matematika dasar SMA dari 100+ Soal dan Pembahasan UTBK Matematika Kelompok SAINTEK Tahun 2019. Soal TKA SAINTEK UTBK-SBMPTN Matematika IPA tahun 2019 ini masih sangat baik dan cocok digunakan sebagai bahan latihan dalam persiapan menghadapi UTBK SNBT tahun ini pada TPS Pengetahuan Kuantitatif atau Tes Literasi Penalaran Matematika.
Soal-soal UTBK SBMPTN tahun 2019 matematika ipa kelompok saintek ini juga didukung dari file kumpulan soal-soal UTBK Matematika kelompok SAINTEK tahun 2019 yang dibagikan oleh bapak Suherman,S.Si. M.Si. dan m4th-lab.net.
SOAL dan PEMBAHASAN TKA SAINTEK UTBK-SBMPTN MATEMATIKA
Catatan 100+ Soal dan Pembahasan TKA SAINTEK UTBK SBMPTN Matematika Tahun 2019 ini kita bagi menjadi tiga catatan, agar dapat dipelajari secara optimal atau dicoba sebagai bahan latihan dalam persiapan menghadapi UTBK SNBT tahun ini.
Soal-soal latihan UTBK SNBT berikut ini silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 45 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$
dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$.
Determinan matriks $A^{4}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas, maka berlaku:
$\begin{align} A^{2}+B &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-B \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}\\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3-1 & -2+4\\ 4-5 & -1+2 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \left| A^{2} \right| &=(2)(1)-(-1)(2)=4 \\ \end{align} $
Dengan menggunakan sifat determinan matriks $\left| A^{n} \right| = \left | A \right | ^{n}$ maka:
$\begin{align} \left| A^{4} \right| &= \left| A^{2} \right|^{2} \\ &= 4^{2} =16 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$
2. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 3\\
0 & 2
\end{pmatrix}$.
Jika $B-A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ maka $det \left( 2A^{-1} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada pengurangan matriks soal di atas, maka berlaku:
$\begin{align}
B-A &=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
B-\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-1 & 3\\
0 & 2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-1-2 & 3-(-1)\\
0-1 & 2-0
\end{pmatrix} &= A \\
\begin{pmatrix}
-3 & 4 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} &= A \\
(-3)(2)-(-1)(4) &= \left| A \right| \\
-2 &= \left| A \right|
\end{align} $
Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left | A \right |}$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $maka:
$\begin{align}
\left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\
&= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\
&= -2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
3. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B=\begin{pmatrix}
-3 & 5\\
-1 & 2
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
4 & 5\\
2 & 3
\end{pmatrix}$. Jika $A$ memenuhi $B \cdot A=C$ maka determinan dari $\left( 2A^{-1} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada perkalian matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ \left|A \cdot B \right| = \left|A \right| \cdot \left| B \right|$ dan $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku:
$\begin{align}
\left|B \right| &= \begin{vmatrix}
-3 & 5\\
-1 & 2
\end{vmatrix} \\
&= (-3)(2)-(-1)(5)=-1 \\
\left|C \right| &= \begin{vmatrix}
4 & 5\\
2 & 3
\end{vmatrix} \\
&= (4)(3)-(5)(2)=2 \\
\hline
B \cdot A &=C \\
\left|B \cdot A \right| &= \left| C \right| \\
\left|B \right| \cdot \left| A \right| &= \left| C \right| \\
-1 \cdot \left| A \right| &= 2 \\
\left| A \right| &= -2 \\
\hline
\left| 2 A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left | A \right |} \\
&= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\
&= -2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$
4. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
-3 & 2
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
-7 & 2\\
0 & 4
\end{pmatrix}$. Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^{3}+B=C$, maka determinan matriks $3 A^{-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$, maka berlaku:
$\begin{align}
A^{3}+B &= C \\
A^{3} &= C-B \\
&= \begin{pmatrix}
-7 & 2\\
0 & 4
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 & -1\\
-3 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-7-2 & 2-(-1)\\
0+3 & 4-2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-9 & 3 \\
3 & 2
\end{pmatrix} \\
\hline
\left| A^{3} \right| &= (-9)(2)-(3)(3) \\
\left| A \right|^{3} &= -27 \\
\left| A \right| &= -3 \\
\hline
\left| 3 A^{-1} \right| &= 3^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\
&= 9 \cdot \dfrac{1}{-3} \\
&= -3
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
5. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 5
\end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix}
-5 & 3\\
1 & -2
\end{pmatrix}$. Matriks $C=\begin{pmatrix}
3 & 2\\
1 & -5
\end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Hubungan matriks:
$\begin{align}
A & \Leftrightarrow B \\
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
-5 & 3\\
1 & -2
\end{pmatrix}
\end{align} $
Jika kita perhatikan hubungan kedua matriks di atas adalah unsur-unsur pada diagonal utama bertukar tempat lalu dikalikan dengan $-1$ dan unsur-unsur pada diagonal samping bertukar tempat.
$\begin{align}
C & \Leftrightarrow D \\
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
1 & -5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
5 & 1\\
2 & -3
\end{pmatrix}\\
\hline
C + D &=
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
1 & -5
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
5 & 1\\
2 & -3
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
8 & 3\\
3 & -8
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
8 & 3\\
3 & -8
6. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
sin\left ( x+y \right )=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\left ( x-y \right )=-1+cos\ y\\
\end{matrix}\right.$
dengan $0 \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$. maka $cos\ 2x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $sin\left ( A+B \right )=sin\ A\ cos\ B + sin\ B\ cos\ A$
- $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
- $cos\ 2A = 1 - 2\ sin^{2}A$
$\begin{align}
sin\left ( x+y \right ) &=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\left ( x-y \right ) &=-1+cos\ y\\
\hline
sin\ x\ cos\ y + sin\ y\ cos\ x &=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\ x\ cos\ y - sin\ y\ cos\ x &=-1+cos\ y\ [+] \\
\hline
2\ sin\ x\ cos\ y &= \dfrac{6}{5}\ cos\ y \\
2\ sin\ x &= \dfrac{6}{5} \\
sin\ x &= \dfrac{3}{5} \\
\hline
cos\ 2x &= 1 - 2\ sin^{2}x \\
&= 1 - 2\ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\
&= 1 - 2\ \cdot \dfrac{9}{25} \\
&= 1 - \dfrac{18}{25} \\
&= \dfrac{7}{25}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{7}{25}$
7. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\
sin\ x=2\ sin\ y\\
\end{matrix}\right.$
Untuk $x \gt 0 $ dan $y \gt \pi$. Nilai $3\ sin\ x-5\ sin\ y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
- $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
$\begin{align}
cos\ 2x+cos\ 2y &= \dfrac{2}{5} \\
cos^{2} x-sin^{2} x+cos^{2} y-sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
1-sin^{2} x-sin^{2} x+1-sin^{2} y-sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
2-2sin^{2} x-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2\left( 2\ sin\ y \right)^{2}-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
-8\ sin^{2} y -2sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
-10\ sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
sin^{2} y &= \dfrac{4}{25} \\
sin\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{4}{25}} \\
sin\ y &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ y \gt \pi\ & \text{maka}\ sin\ y = -\dfrac{2}{5} \\
\hline
3\ sin\ x-5\ sin\ y &= 3 \cdot 2\ sin\ y - 5 \cdot -\dfrac{2}{5} \\
&= 3 \cdot 2\ \cdot -\dfrac{2}{5} + 2 \\
&= \dfrac{-12}{5}+2 \\
&= -\dfrac{2}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{5}$
8. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\left ( a-b \right )=\dfrac{4}{5}sin\left ( a+b \right )\\
sin\ 2a+sin\ 2b=\dfrac{9}{10} \\
\end{matrix}\right.$
Nilai dari $sin\left ( a+b \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $sin\ A+ sin\ B=2\ sin\ \left (\dfrac{A+B}{2}\right )\ cos\ \left (\dfrac{A-B}{2}\right ) $
- $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$
$\begin{align}
sin\ 2a+sin\ 2b &= \dfrac{9}{10} \\
2\ sin\ \left (\dfrac{2a+2b}{2}\right )\ cos\ \left (\dfrac{2a-2b}{2}\right ) &= \dfrac{9}{10} \\
2\ sin\ \left( a+b \right)\ cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{10} \\
sin\ \left( a+b \right)\ cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{20} \\
sin\ \left( a+b \right)\ \cdot \dfrac{4}{5}sin\left ( a+b \right ) &= \dfrac{9}{20} \\
sin^{2} \left( a+b \right) &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{4}\\
sin \left( a+b \right) &= \pm \sqrt{ \dfrac{9}{16}} \\
&= \pm \dfrac{3}{4}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{4}$
9. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =cos\ A - 2 sin\ B\\
y =sin\ A + 2 cos\ B
\end{matrix}\right.$
Nilai minimum dari $x^{2}+y^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
- $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
x &=cos\ A - 2 sin\ B \\
y &=sin\ A + 2 cos\ B \\ \hline
x^{2} &=cos^{2}\ A + 4 sin^{2} B-4\ cos\ A\ sin\ B \\
y^{2} &=sin^{2}\ A + 4 cos^{2} B+4\ sin\ A\ cos\ B \, \, [+]\\ \hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 4 -4\ cos\ A\ sin\ B+4\ sin\ A\ cos\ B \\
&=5 +4 \left( sin\ A\ cos\ B - cos\ A\ sin\ B \right) \\
&=5 +4 sin\left ( A-B \right )
\end{align} $
Nilai minimum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $sin\left ( A-B \right )=-1$ minimum, sehingga nilai minimum $x^{2}+y^{2}=5 +4 \left ( -1 \right )=5-4=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
10. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =sin\ \alpha + \sqrt{3}\ sin\ \beta \\
y =cos\ \alpha + \sqrt{3}\ cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
Nilai maximum dari $x^{2}+y^{2}$ adalah $a+b\sqrt{3}$. Nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
- $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$
x &= sin\ \alpha + \sqrt{3}\ sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha + \sqrt{3}\ cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha +3\ sin^{2} \beta+2\sqrt{3}\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha +3\ cos^{2} \beta+2\sqrt{3}\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 3 +2\sqrt{3}\ sin\ \alpha\ sin\ \beta+2\sqrt{3}\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=4 +2\sqrt{3} \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta+cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=4 +2\sqrt{3}\ cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $x^{2}+y^{2} =4 +2\sqrt{3}(1)$.
Nilai $a+b\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$, maka $a+b=4+2=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
11. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
a =sin\ x + cos\ y\\
b =cos\ x - sin\ y
\end{matrix}\right.$
Nilai miaximum dari $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
- $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
a &=sin\ x + cos\ y\\
b &=cos\ x - sin\ y \\ \hline
a^{2} &=sin^{2}\ x + cos^{2} y+2\ sin\ x\ cos\ y \\
b^{2} &=cos^{2}\ x + sin^{2} y-2\ cos\ x\ sin\ y \, \, [+]\\ \hline
a^{2}+b^{2} &=1 + 1+2\ sin\ x\ cos\ y -2\ cos\ x\ sin\ y \\
&=2+2\ \left( sin\ x\ cos\ y - cos\ x\ sin\ y \right) \\
&=2 +2\ sin\left ( x-y \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $a^{2}+b^{2}$ terjadi saat $sin\left ( x-y \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $a^{2}+b^{2}=2 +2 \left ( 1 \right )=4$
Nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ terjadi saat $a^{2}+b^{2}$ maximum, sehingga nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah:
$\begin{align}
4a^{2}+4b^{2}+4 &= 4 \left( a^{2}+ b^{2} \right)+4 \\
&= 4 \left( 4 \right)+4 \\
&= 20
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$
12. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= -\dfrac{2}{5} \\
cos\ y=2\ cos\ x\\
\end{matrix}\right.$
maka $cos\ x+cos\ y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
- $cos \left ( 2A \right )=2cos^{2} A-1$
cos\ 2x+cos\ 2y &= -\dfrac{2}{5} \\
2cos^{2} x-1+2cos^{2} y-1 &= -\dfrac{2}{5} \\
2cos^{2} x +2cos^{2} y &= -\dfrac{2}{5}+2 \\
2cos^{2} x +2 \left(2 cos\ x \right)^{2} &= \dfrac{8}{5} \\
2cos^{2} x +8 cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
10 cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{1}{10} \\
cos\ x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
cos\ x &= \pm \dfrac{2}{5} \\ \hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}\ & \text{maka}\ cos\ x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
cos\ x + cos\ y &= \dfrac{2}{5} + 2 \cdot \dfrac{2}{5} \\ &= \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$
13. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =sin\ \alpha - sin\ \beta \\
y =cos\ \alpha + cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
maka nilai terbesar dari $x^{2}+y^{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
- $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$
x &= sin\ \alpha - sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha + cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha + sin^{2} \beta-2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha + cos^{2} \beta-2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta+2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=2 +2\ \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta+ cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=2 +2\ cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ terbesar, sehingga nilai terbesar $x^{2}+y^{2} =2 +2(1)=4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
14. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui $0 \lt x,y \lt \pi $, $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $, memenuhi:
$\left\{\begin{matrix}
2sin\ x+cos\ y =2\\
2cos\ x-sin\ y =\sqrt{3}\\
\end{matrix}\right.$
Nilai $cos \left( x-y \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
- $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
2sin\ x+cos\ y &=2\\
2cos\ x-sin\ y &=\sqrt{3}\\
\hline
4sin^{2}\ x +cos^{2} y+4\ sin\ x\ cos\ y &=4\\
4cos^{2}\ x +sin^{2} y-4\ cos\ x\ sin\ y &=3\, \, [+]\\ \hline
4+1+4\ sin\ x\ cos\ y\ - 4\ cos\ x\ sin\ y &= 7 \\
4\left( sin\ x\ cos\ y\ - cos\ x\ sin\ y \right) &= 7-5 \\
4\ sin\ \left( x-y \right) &= 2 \\
sin\ \left( x-y \right) &= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align} $
$\begin{align}
sin^{2}A +cos^{2}A&=1\\
sin^{2}\left( x-y \right) +cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} +cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
cos^{2}\left( x-y \right)&=1- \dfrac{1}{4} \\
cos \left( x-y \right) &=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
&=\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align} $
Karena $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $ maka $cos \left( x-y \right) = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
15. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui $f(x)$ merupakan fungsi genap, Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16$, $\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11$ dan $\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6$, maka $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
- Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16\ & \Rightarrow\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 16 \\ \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8\ & \Rightarrow\ \left | F(x) \right | _{0}^{4} = 8 \\ F(4)-F(0) &= 8 \\ \hline
\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11\ & \Rightarrow\ \left( \dfrac{1}{2} \right) \cdot \left | F(2x-2) \right | _{3}^{4} = 11 \\ F(2(4)-2)-F(2(3)-2) &= 22 \\ F(6)-F(4) & = 22 \\ \hline
\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6\ & \Rightarrow\ \left( \dfrac{1}{-1} \right) \cdot \left | F(1-x) \right | _{-5}^{-1} = 6 \\ F(1-(-1))-F(1-(-5)) &= -6 \\ F(2)-F(6) & = -6
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
F(6)-F(4) & = 22 \\ F(2)-F(6) & = -6\ \ (+) \\ \hline
-F(4)+F(2) &= 16 \\ F(4)-F(0) &= 8\ \ (+) \\ \hline
F(2)-F(0) &= 24
\end{align}$
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= \left | F(x) \right | _{0}^{2} \\ &= F(2)-F(0) \\ &= 24
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \ 24$
16. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x)=f(-x)$. Jika nilai $\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6$, $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx = 1$, maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
- Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6\ &\Rightarrow \ 2 \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 6 \\ \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3\ &\Rightarrow \ \left | F(x) \right | _{0}^{3} = 3 \\ F(3)-F(0) = 3 \ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3 \\ \hline
\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= 1
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx \\ \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 1 &= 3 \\ \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 3-1 =2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B) \ 2$
17. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diberikan fungsi dengan sifat $f(-x)=3f(x)$ untuk setiap $x \geq 0$. Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 12$ maka nilai $\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{-a}^{-b} f(-x)\ dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
$\begin{align}
\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= \int \limits_{-4}^{0} f(x) + \int \limits_{0}^{4} f(x) dx \\ 12 &= - \int \limits_{ 4}^{0} f(-x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x) dx \\ 12 &= - \int \limits_{ 4}^{0} 3f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x) dx \\ 12 &= - \left(- \int \limits_{0}^{4} 3f(x) dx \right) + \int \limits_{0}^{4} f(x) dx \\ 12 &= \int \limits_{0}^{4} 3f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x) dx \\ 12 &= 3 \int \limits_{0}^{4} f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x) dx \\ 12 &= 4 \int \limits_{0}^{4} f(x) dx \\ \dfrac{12}{4} &= \int \limits_{0}^{4} f(x) dx \\ 3 &= \int \limits_{0}^{4} f(x) dx
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \ 3$
18. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Misalkan fungsi $f$ memenuhi $f(x+5)=f(x)$ untuk setiap $x \in R$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 3$ dan $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx =-2$ maka nilai $\int \limits_{5}^{15} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
$'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
- $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = \int \limits_{6}^{10} f(x)\ dx = \int \limits_{11}^{15} f(x)\ dx = 3$
- $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx = \int \limits_{5}^{6} f(x)\ dx =\int \limits_{10}^{11} f(x)\ dx =-2$;
$\begin{align}
\int \limits_{5}^{15} f(x) dx &= \int \limits_{5}^{6} f(x) dx+\int \limits_{6}^{10} f(x) dx+\int \limits_{10}^{11} f(x) dx+\int \limits_{11}^{15} f(x) dx \\ &= -2+3+(-2)+3 \\ &= 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \ 2$
>19. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ dan $x \gt 0$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 2$ dan $\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx = -3$ maka $\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
- $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{1}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\ 2 &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{1}^{5} 3\ dx \\ 2 - \int \limits_{1}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx \\ 2 - \left | 3x \right | _{1}^{5} &= - \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\ 2 - (15 -3) &= - \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\ -10 &= \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\ \hline
\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{3}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\ -3 &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{3}^{5} 3\ dx \\ -3 - \int \limits_{3}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx \\ -3 - \left | 3x \right | _{3}^{5} &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\ -3 - (15 -9) &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\ -9 &= - \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\ 9 &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx + \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\ &= 9 - 10 \\ &= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B) \ -1$
20. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui fungsi $f(x)$ adalah fungsi genap, Jika nilai $\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx = 260$ dan $\int \limits_{2}^{4} f(x) dx = 2$ maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx+\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
- Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\ 2 \cdot \int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\ \int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 130 \\ \int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{5} 3x^{2}\ dx &= 130 \\ \int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \left | x^{3} \right | _{0}^{5} &= 130 \\ \int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx +125 &= 130 \\ \int \limits_{0}^{5} f(x) &= 5
\end{align}$
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{2}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\ 5 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 2 +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\ 5-2 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\ 3 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \ 3$
21. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
y=-mx+c\\
y= \left ( x+4 \right )^{2}
\end{matrix}\right.$
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persekutuan persamaan kuadrat adalah nol.
$\begin{align}
y & = y \\
\left ( x+4 \right )^{2} & = -mx+c \\
x^{2}+8x+16 +mx -c & = 0 \\
x^{2}+(8+m)x+16-c & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(8+m)^{2} -4(1)(16-c) & = 0 \\
m^{2}+16m+64-64+4c & = 0 \\
m^{2}+16m+4c & = 0 \\
m_{1} + m_{2} & = -\dfrac{b}{a}\\
&=-\dfrac{16}{1}=-16
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -16$
22. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $(a,b)$ solusi dari sistem persamaan kuadrat
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2x=19\\
x+y^{2}=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $a+4b$ yang terbesar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-2x &=19 \\
x^{2}+(1-x)-2x &=19 \\
x^{2}-3x+-18 &= 0 \\
(x-6)(x+3) & = 0 \\
x=6\ \text{atau}\ x=-3 & \\
\hline
y^{2}=1-x & \\
\hline
x=6\ \Rightarrow\ & y^{2}=-5\ (imajiner) \\
x=-3\ \Rightarrow\ & y^{2}=4 \\
& y=2\ \text{atau}\ y=-2 \\
\hline
(-3,2)\ \Rightarrow\ & a+4b=5 \\
(-3,-2)\ \Rightarrow\ & a+4b=-11
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$
23. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan $(x,y)$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=6\\
\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8}=3
\end{matrix}\right.$
Jumlah dari semua nilai $x$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8} &=3 \\
8x^{2} + 2y^{2} &=48 \\
8x^{2} + 2 \left( 6-x^{2} \right) &=48 \\
8x^{2} + 12-2x^{2}-48&=0 \\
6x^{2}- 36 &=0 \\
x^{2}- 6 &=0 \\
(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6}) &=0 \\
x=\sqrt{6}\ \text{atau}\ x=-\sqrt{6} & \\
\hline
y^{2}=6-x^{2} & \\
\hline
x=\sqrt{6}\ \Rightarrow\ & y^{2}=0 \\
x=-\sqrt{6}\ \Rightarrow\ & y^{2}=0 \\
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah $0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
24. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2y=8\\
x^{2}-y^{2}-2y+4x+8=0
\end{matrix}\right.$
Mempunyai solusi $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}+2y-8 &= 0 \\
x^{2}-y^{2}-2y+4x+8 & = 0 \ \ (+) \\
\hline
2x^{2}+4x &=0 \\
x^{2}+2x &=0 \\
x(x+2) &=0 \\
x=0\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=0\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=0 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-8=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2 \\
\hline
x=-2\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=4 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-4=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2
\end{align}$
Jumlah semua ordinatnya adalah $(-2)+(-2)=-4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4$
25. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2y=13\\
x^{2}-y=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $x^{2}+2y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-2y &=13 \\
y+1+y^{2}-2y &=13 \\
y^{2}-y -12&= 0 \\
(y-4)(y+3) & = 0 \\
y=4\ \text{atau}\ y=-3 & \\
\hline
x^{2}=y+1 & \\
\hline
y=4\ & \Rightarrow\ x^{2}=5 \\
& \rightarrow\ x^{2}+2y=13 \\
y=-3\ & \Rightarrow\ x^{2}=-2\ (imajiner) \\
& \rightarrow\ x^{2}+2y=-8
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13$
26. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
\left ( a+2 \right )x+y=0\\
x+\left ( a+2 \right )y=0
\end{matrix}\right.$
tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai terbesar $a^{2}+3a+9=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan yang disampaiakn di atas yaitu penyelesaian sistem persamaan di atas lebih dari satu maka perbandingan koefisien variabel nilainya adalah sama.
sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{a+2}{1} & = \dfrac{1}{a+2} \\
(a+2)(a+2) & = (1)(1) \\
a^{2}+4a +4 & = 1 \\
a^{2}+4a +3 & = 0 \\
(a+1)(a+3) & = 0 \\
a=-1\ & \text{atau}\ a=-3 \\
\hline
a=-1\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =1-3+9=7 \\
a=-3\ \rightarrow\ a^{2}+3a+9 & =9-9+9=9 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$
27. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jumlah semua ordinat penyelesaian sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}-y^{2}=2y+8\\
x^{2}+y^{2}-4x+2y-8=0
\end{matrix}\right.$
adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}-y^{2}-2y-8 &= 0 \\
x^{2}+y^{2}-4x+2y-8 & = 0 \ \ (+) \\
\hline
2x^{2}-4x-16 &=0 \\
x^{2}-2x-8 &=0 \\
(x-4)(x+2) &=0 \\
x=4\ \text{atau}\ x=-2 & \\
\hline
x=4\ & \Rightarrow\ 4^{2}-y^{2}=2y+8 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-8=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2 \\
\hline
x=-2\ & \Rightarrow\ -y^{2}-2y+8=4 \\
& \Rightarrow\ y^{2}+2y-4=0 \\
& \Rightarrow\ y_{1}+y_{2} =-2
\end{align}$
Jumlah semua ordinatnya adalah $-2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$
28. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $(a,b)$ solusi dari sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=5 \\
x-y^{2}=1
\end{matrix}\right.$
maka nilai $a-3b$ yang terkecil adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh nilai $a$ dan $b$, yaitu:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2} &= 5 \\
x^{2}+(x-1) &= 5 \\
x^{2}+x-6 &= 0 \\
(x+3)(x-2) & = 0 \\
x=-3\ \text{atau}\ x=2 & \\
\hline
y^{2}=x-1 & \\
\hline
x=-3\ \Rightarrow\ & y^{2}=-4\ (imajiner) \\
x=2\ \Rightarrow\ & y^{2}=1 \\
& y=1\ \text{atau}\ y=-1 \\
\hline
(2,1)\ \Rightarrow\ & a-3b=-1 \\
(2,-1)\ \Rightarrow\ & a-3b=5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
29. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y=16\\
x^{2}+y^{2}-11y=-19
\end{matrix}\right.$
Mempunyai solusi $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ bilangan real. Jumlah semua ordinatnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+y^{2}-11y &=-19 \\
16-y+y^{2}-11y &=-19 \\
y^{2}-12y+35 &=0 \\
\hline
y_{1}+y_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{-12}{1}=12
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
30. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 2x+1 \right| \lt 2 + \left| x+1 \right|$ adalah berbentuk interval $(a,b)$. Nilai $a+b+2=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$ dan dari $\left| 2x+1 \right|$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$.
- Untuk $x \lt -1$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ -\left( 2x+1 \right)-\left(- (x+1) \right) & \lt 2 \\
- 2x-1+x+1 & \lt 2 \\
- x & \lt 2 \\
x & \gt -2
\end{align}$
Irisan $x \lt -1$ dan $x \gt -2$ adalah $-2 \lt x \lt -1$
- Untuk $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ -\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\
- 2x-1-x-1 & \lt 2 \\
- 3x-2 & \lt 2 \\
- 3x & \lt 4 \\
x & \gt -\dfrac{4}{3}
\end{align}$
Irisan $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$ dan $x \gt -\dfrac{4}{3}$ adalah $-1 \leq x \lt -\dfrac{1}{2}$
- Untuk $x \leq -\dfrac{1}{2}$, maka
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right| - \left| x+1 \right| & \lt 2 \\ \left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right) & \lt 2 \\
2x+1-x-1 & \lt 2 \\
x & \lt 2
\end{align}$
Irisan $x \leq -\dfrac{1}{2}$ dan $x \lt -2$ adalah $-\dfrac{1}{2} \leq x \lt 2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
31. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt 3 - \left| x \right|$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ pembuat nol yang kita peroleh dari $\left| x-1 \right|$ adalah $x=1$ dan dari $\left| x \right|$ adalah $x=0$.
- Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ -\left( x-1 \right)+\left(- x \right) & \lt 3 \\
-x+1 -x & \lt 3 \\
- 2x & \lt 2 \\
x & \gt -1
\end{align}$
Irisan $x \lt 0$ dan $x \gt -1$ adalah $-1 \lt x \lt 0$
- Untuk $0 \leq x \lt 1$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ -\left( x-1 \right)+ x & \lt 3 \\ - x+1 + x & \lt 3 \\ 1 & \lt 3 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $0 \leq x \lt 1$ dan $x \in R$ adalah $0 \leq x \lt 1$
- Untuk $x \geq 1$, maka
$\begin{align}
\left| x-1 \right|+ \left| x \right| & \lt 3 \\ x-1 + x & \lt 3 \\ 2x-1 & \lt 3 \\
2x & \lt 4 \\ x & \lt 2
\end{align}$
Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt 2$ adalah $1 \leq x \lt 2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
32. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $(a,b)$ adalah interval dari penyelesaian pertidaksamaan $\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| \lt 4$ maka nilai $a-b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+2 \right|$ adalah $x=-2$ dan dari $\left| x+4 \right|$ adalah $x=-4$.
- Untuk $x \lt -4$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ -\left( x+2 \right)+\left(- (x+4) \right) & \lt 4 \\
-x-2-x-4 & \lt 4 \\
-2x & \lt 4+6 \\
x & \gt -5
\end{align}$
Irisan $x \lt -4$ dan $x \gt -5$ adalah $-5 \lt x \lt -4$
- Untuk $-4 \leq x \lt -2$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ -\left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\ - x-2 + x+4 & \lt 4 \\ 2 & \lt 4 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $-4 \leq x \lt -2$ dan $x \in R$ adalah $-4 \leq x \lt -2$
- Untuk $x \geq -2$, maka
$\begin{align}
\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| & \lt 4 \\ \left( x+2 \right)+ \left( x+4 \right) & \lt 4 \\ 2x+6 & \lt 4 \\ 2x & \lt -2 \\ x & \lt -1
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $x \lt -1$ adalah $-2 \leq x \lt -1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$
33. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x+1| \right| \lt 2$ adalah
$(A)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$
$(B)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$
$(C)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 5$
$(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
$(E)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 5$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\ 1 \lt |x+1| & \\ x+1 \lt -1\ \text{atau}\ x+1 \gt 1 & \\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0 & \\ \hline
|x+1| \lt 5 & \\ -5 \lt x+1 \lt 5 & \\ -5-1 \lt x \lt 5-1 & \\ -6 \lt x \lt 4 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari pertidaksamaan $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 0$ dan $-6 \lt x \lt 4$ , jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$
34. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| |x|+x \right| \leq 2$ adalah
$(A)\ 0 \leq x \lt 1$
$(B)\ x \leq 1$
$(C)\ x \leq 2$
$(D)\ x \leq 0$
$(E)\ x \geq 0$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$\begin{align}
\left| |x|+x \right| & \leq 2 \\
\sqrt{\left( |x|+x \right)^{2}} & \leq \sqrt{2^{2}} \\
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4
\end{align}$
- Untuk $x \leq 0$, maka
$\begin{align}
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\ \left( x+x \right)^{2} & \leq 4 \\ 4x^{2} & \leq 4 \\ x^{2}-1 & \leq 0 \\ (x+1)(x-1) & \leq 0 \\ -1 \leq x \leq 1 & \\ \end{align}$
Irisan $x \leq 0$ dan $-1 \leq x \leq 1$ adalah $0 \leq x \leq 1$
- Untuk $ x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \\ \left( -x+x \right)^{2} & \leq 4 \\ 0 & \leq 4 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R
\end{align}$
Irisan $ x \lt 0$ dan $x \in R$ adalah $x \lt 0$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \leq 1$
35. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 3$ yang memenuhi $\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $2a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Pertama kita mulai dari syarat fungsi $\sqrt{4x+8}$, agar bernilai real, maka $4x+8 \geq 0$ atau $x \geq -2$.
$\begin{align}
\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} & \leq 0 \\
\sqrt{\left( x+2 \right)^{2}} & \leq \left(\sqrt{4x+8}\right)^{2} \\
x^{2}+4x+4 & \leq 4x+8 \\
x^{2}+4x+4-4x-8 & \leq 0 \\
x^{2}-4 & \leq 0 \\
(x-2)(x+2) & \leq 0 \\
-2 \leq x \leq 2 &
\end{align}$
Irisan $x \geq -2$ dan $-2 \leq x \leq 2$ adalah $-2 \leq x \leq 2$.
Karena nilai $x$ yang diminta adalah semua nilai $x$ pada $-1 \leq x \leq 3$ sehingga himpunan penyelesaian yang diminta adalah irisan dari $-1 \leq x \leq 3$ dan $-2 \leq x \leq 2$, yaitu:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
36. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt \dfrac{6}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $3a+2b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x-1 \right| & \lt \dfrac{6}{x} \\
\left| x-1 \right| - \dfrac{6}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x-1 \right|$ adalah $x=1$.
- Untuk $x \geq 1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left( x-1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-x-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{(x-3)(x+2)}{x} & \lt 0
\end{align}$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-3)(x+2)}{x} \lt 0$.
Irisan $x \geq 1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 3$ adalah $1 \leq x \lt 3$, ilustrasinya seperti gambar dibawah ini:
- Untuk $ x \lt 1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-( x-1) \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-x+1 \right)-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}+x-6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{ x^{2}-x+6}{x} & \gt 0
\end{align}$
Karena $x^{2}-x+6$ adalah definit positif (Selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real) maka nilai $x$ yang mengakibatkan $\dfrac{(+)}{x} \gt 0$ adalah $x \gt 0$
Irisan $x \gt 0$ dan $x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
Himpunan penyelesaian soal adalah gabungan dari $1 \leq x \lt 3$ dan $0 \lt x \lt 1$ yaitu $0 \lt x \lt 3$.
Interval nilai $0 \lt x \lt 3$ dapat juga dituliskan dalam bentuk interval $(a,b)$ yaitu $(0,3)$ sehingga nilai $3a+2b=3(0)+2(3)=6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$
37. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian dari $\left| x+1 \right| \lt \dfrac{2}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+5b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Bentuk soal coba kita ubah menjadi:
$\begin{align}
\left| x+1 \right| & \lt \dfrac{2}{x} \\
\left| x+1 \right| - \dfrac{2}{x} & \lt 0 \\
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0
\end{align}$
Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$.
- Untuk $x \geq -1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left( x+1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+x-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{(x+2)(x-1)}{x} & \lt 0
\end{align}$
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+2)(x-1)}{x} \lt 0$.
Irisan $x \geq -1$ dan $x \lt -2$ atau $0 \lt x \lt 1$ adalah $0 \lt x \lt 1$
- Untuk $ x \lt -1$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(-( x+1) \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left(- x-1 \right)-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}-x-2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{ x^{2}+x+2}{x} & \gt 0
\end{align}$
Karena $x^{2}+x+2$ definit positif maka himpunan penyelesaian adalah $x \gt 0$
Irisan $ x \lt -1$ dan $x \gt 0$ adalah himpunan kosong sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Karena pada syarat kedua hasilnya himpunan kosong maka himpunan penyelesaian hanya pada syarat yang pertama yaitu $0 \lt x \lt 1$ jika ditulis dalam bentuk interval adalah $(0,1)$ sehingga nilai $2a+5b=0+5=5$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
38. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $1 \lt p \left| p-1 \right| $, maka...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
Batasan nilai $p$ yang kita peroleh dari $\left| p-1 \right|$ adalah $p=1$.
- Untuk $p \geq 1$, maka
$\begin{align}
p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\ p \left( p-1 \right) & \gt 1 \\ p^{2}-p & \gt 1 \\ p^{2}-p-1 & \gt 0 \\ \end{align}$
Untuk menentukan pembuat nol dari $p$, kita coba gunakan rumus abc,
$\begin{align}
p_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{align}$
Dengan menggunakan cara alternatif pertidaksamaan kuadrat, himpunan penyelesaian dari $p^{2}-p-1 \gt 0$ adalah $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $.
Irisan $p \geq 1$ dan $p \lt \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ atau $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $ adalah $p \gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $
- Untuk $ p \lt 1$, maka
$\begin{align}
p \left| p-1 \right| & \gt 1 \\ p \left( -(p-1) \right) & \gt 1 \\ -p^{2}+p & \gt 1 \\ -p^{2}+p-1 & \gt 0 \\ p^{2}-p+1 & \lt 0
\end{align}$
Karena $p^{2}-p+1$ definit positif 'selalu bernilai positif untuk setiap $p$' maka tidak ada nilai $p$ yang mengakibatkan $p^{2}-p+1 \lt 0$ sehingga pada syarat ini himpunan penyelesaian adalah himpunan kosong.
Irisan $ p \lt 1$ dan himpunan kosong adalah himpunan kosong.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
39. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Nilai $x$ bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{8}{a^{x}+2} \gt a^{x}$ dengan $a \gt 1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{8}{a^{x}+2} & \gt a^{x} \\
\dfrac{8}{m+2} & \gt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+2) \\
\hline
8 & \gt m(m+2) \\
8 & \gt m^{2}+2m \\
m^{2}+2m-8 & \lt 0 \\
(m+4)(m-2) & \lt 0 \\
-4 \lt m \lt 2 &
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $-4 \lt a^{x} \lt 2$.
$\begin{align}
a^{x} & \lt 2 \\
{}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^a\!\log 2 \\
x & \lt {}^\!\log_{a}2
\end{align}$
Karena $a^{x} \gt 1$ maka $-4 \lt a^{x}$ berlaku untuk $x \in R$.
Irisan dari $x \lt {}^\!\log_{a}2$ dan $x \in R$ adalah $x \lt {}^\!\log_{a}2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$
40. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} & \lt a^{x} \\
\dfrac{3+3m}{m+1} & \lt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m+1) \\
\hline
3+3m & \lt m(m+1) \\
3+3m & \lt m^{2}+m \\
m^{2}-2m-3 & \gt 0 \\
(m-3)(m+1) & \gt 0 \\
m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 3
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 3$.
- Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $a^{x} \gt 3$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
$\begin{align}
a^{x} & \gt 3 \\ {}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 3 \\ x & \lt {}^a\!\log 3 \\ x & \lt {}^ \!\log_{a} 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}3$
41. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 \gt 0 $ dengan $0 \lt a \lt 1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 & \gt 0 \\ m^{2}-m-2 & \gt 0 \\ (m-2)(m+1) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara alternatif pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $m \lt -1$ atau $m \gt 2$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka:
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\ {}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-1} \\ x & \gt a^{-1}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt 2 \\ {}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{2} \\ x & \lt a^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1}$
42. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 \lt 0 $ dengan $ a \gt 1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 & \lt 0 0 \\ m^{2}+4m+3 & \lt 0 \\ (m+1)(m+3) & \lt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara alternatif pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $ -3 \lt m \lt -1$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka $ -3 \lt {}^\!\log_{a}x \lt -1$
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt -3$ dan $ a \gt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt -3 \\ {}^\!\log_{a}x & \gt {}^\!\log_{a} a^{-3} \\ x & \gt a^{-3}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -1$ dan $ a \gt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -1 \\ {}^\!\log_{a} x & \lt {}^\!\log_{a}a^{-1} \\ x & \lt a^{-1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1}$
43. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Untuk $0 \lt a \lt 1$, himpunan penyelesaian dari $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 \gt 0 $ dengan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu:
Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
- Untuk $a \gt 1$ berlaku: $ f(x) \gt g(x)$
- Untuk $0 \lt a \lt 1$ berlaku: $ f(x) \lt g(x)$
$\begin{align}
\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 & \gt 0 \\ m^{2}-2m-8 & \gt 0 \\ (m-4)(m+2) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menggunakan cara alternatif pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $m \lt -2$ atau $m \gt 4$.
Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ atau ${}^\!\log_{a}x \gt 4$.
- Untuk ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \lt -2 \\ {}^\!\log_{a}x & \lt {}^\!\log_{a} a^{-2} \\ x & \gt a^{-2}
\end{align}$ - Untuk ${}^\!\log_{a}x \gt 4$ dan $0 \lt a \lt 1$
$\begin{align}
{}^\!\log_{a}x & \gt 4 \\ {}^\!\log_{a} x & \gt {}^\!\log_{a}a^{4} \\ x & \lt a^{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2}$
44. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Misalkan $(u_{n})$ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $2a$. Jika $u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=100$, maka $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots+u_{20}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$.
$\begin{align}
100 & = u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5} \\
& = a+a+b+a+2b+a+3b+a+4b \\
& = 5a +10b \\
& = 5a +10(2a) \\
100 &= 25a \\
a &= 4 \\
b &= 8
\end{align}$
$\begin{align}
& u_{2}+u_{4}+\cdots+u_{18}+u_{20} \\
& = (a+b)+(a+3b)+\cdots+(a+17b)+(a+19b) \\
& = 10a +b(1+3+5+\cdots+19) \\
& = 10a +b(100) \\
& = 10(4) +8(100) \\
&= 840
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 840$
45. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui deret aritmatika:
$u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}$, untuk setiap $n \geq 1$. Beda deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
- Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
- Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$
Dari $u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n-1} = \dfrac{n(n+1)}{2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
u_{1} &=\dfrac{1(1+1)}{2}=1 \\
u_{1}+u_{3} &= \dfrac{2(2+1)}{2}=3 \\
u_{3} &=2 \\
u_{1}+u_{3}+u_{5} &= \dfrac{3(3+1)}{2}=6 \\
u_{5} &=3 \\
\hline
b &= \dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q} \\
&= \dfrac{u_{5}-u_{3}}{5-3} \\
&= \dfrac{3-2}{5-3}=\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{2}$
Catatan 100+ Soal dan Pembahasan UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika (#Soal Latihan UTBK SNBT 2025) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
