Calon guru belajar matematika dasar SMA dari 100+ Soal dan Pembahasan UTBK Matematika Kelompok SAINTEK Tahun 2019. Soal TKA SAINTEK UTBK-SBMPTN Matematika IPA tahun 2019 ini masih sangat baik dan cocok digunakan sebagai bahan latihan dalam persiapan menghadapi UTBK SNBT tahun ini pada TPS Pengetahuan Kuantitatif atau Tes Literasi Penalaran Matematika.
Soal-soal UTBK SBMPTN tahun 2019 matematika ipa kelompok saintek ini juga didukung dari file kumpulan soal-soal UTBK Matematika kelompok SAINTEK tahun 2019 yang dibagikan oleh bapak Suherman,S.Si. M.Si. dan m4th-lab.net.
SOAL dan PEMBAHASAN TKA SAINTEK UTBK-SBMPTN MATEMATIKA
Catatan 100+ Soal dan Pembahasan TKA SAINTEK UTBK SBMPTN Matematika Tahun 2019 ini kita bagi menjadi tiga catatan, agar dapat dipelajari secara optimal atau dicoba sebagai bahan latihan dalam persiapan menghadapi UTBK SNBT tahun ini.
Soal-soal latihan UTBK SNBT berikut ini silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
91. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Parabola $y=x^{2}-6x+8$ digeser ke kanan sejauh $2$ satuan searah dengan sumbu-$X$ dan digeser ke bawah sejauh $3$ satuan searah sumbu-$Y$. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu-$X$ di $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka nilai $x_{1}+x_{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri dan tentang persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
2 \\ -3
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+2$ dan $y'=y-3$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &=x^{2}-6x+8 \\ y'+3 &=(x'-2)^{2}-6(x'-2)+8 \\ \hline
y +3 &=(x -2)^{2}-6(x-2)+8 \\ y &= x^{2}-4x+4-6x+12+8-3 \\ y &= x^{2}-10x+21 \\ \hline
0 &= x^{2}-10x+21 \\ x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{-10}{1} \\ &= 10
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10$
92. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Garis $y= x+2$ digeser ke kiri sepanjang sumbu-$X$ sejauh $4$ satuan kemudian diputar $90^{\circ}$ searah jarum jam dengan pusat $O(0,0)$. Jika persamaan garis terakhir adalah $y=mx+b$, maka $m \cdot b =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $270^{\circ}$, $T: \begin{pmatrix}
cos\ 270 & -sin\ 270\\
sin\ 270 & cos\ 270
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$.
-4 \\ 0
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x-4$ dan $y'=y+0$ sehingga persamaan garis $y=x+2$ berubah menjadi $ y' =x'+4+2$ atau $y=x+6$.
Garis $y=x+6$ dirotasi searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ sama dengan sejauh $270^{\circ}$ berlawanan dengan jarum jam terhadap titik asal
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
y \\ -x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'= y$ dan $y'=-x$
$\begin{align}
y &= x+6 \\ x' &= (-y')+6 \\ x &= -y + 6 \\ y &= -x + 6
\end{align} $
Persamaan garis $y=-x+6$ ekuivalen dengan $y=mx+b$, sehingga dapat kita simpulkan $m=-1$ dan $b=6$ maka $m \cdot b=-6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -6$
93. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Sebuah balok $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $AB=8$ dan $BC=CG=6$. Jika titik $P$ terletak di tengah rusuk $AB$ dan $\theta$ adalah sudut antara $EP$ dan $PG$, maka nilai $cos\ \theta$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
- $AP=4$ dan $AE=6$ maka $EP=2\sqrt{13}$
- $PB=4$ dan $BC=6$ maka $PC=2\sqrt{13}$
- $PC=2\sqrt{13}$ dan $CG=6$ maka $PG=2\sqrt{22}$
- $EF=8$ dan $FG=6$ maka $EG=10$
$\begin{align}
EG^{2} &= EP^{2}+PG^{2}- 2 \cdot EP \cdot PG\ cos\ \theta \\ cos\ \theta &= \dfrac{EP^{2}+PG^{2}-EG^{2}}{2 \cdot EP \cdot PG} \\ &= \dfrac{\left( 2\sqrt{13} \right)^{2}+\left( 2\sqrt{22} \right)^{2}-\left( 10 \right)^{2}}{2 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{22}} \\ &= \dfrac{52+88-100}{8 \sqrt{286}} \\ &= \dfrac{40}{8 \sqrt{286}} \\ &= \dfrac{5}{\sqrt{286}} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5}{\sqrt{286}}$
94. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=12\ cm$ dan $BC=18\ cm$ dan $CG=20\ cm$. $T$ adalah titik tengah $AD$. Jika $\theta$ adalah sudut antara garis $GT$ dengan bidang $ABCD$, maka nilai $cos\ \theta$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $T$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
$\begin{align}
TC^{2} &= DT^{2}+CD^{2} \\ TC^{2} &= 9^{2}+12^{2} \\ TC &= \sqrt{225}=15 \\ \hline
TG^{2} &= TC^{2}+CG^{2} \\ TG^{2} &= (\sqrt{225})^{2}+20^{2} \\ TG &= \sqrt{225 +400}=25 \\ \end{align}$
Dengan menggunkan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ \theta &= \dfrac{TC}{TG} \\ &= \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{5}$
95. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. Jika $P$ titik tengah $AB$, $Q$ titik tengah $CG$, dan $R$ terletak pada $PD$ sehingga $QR$ tegak lurus dengan $PD$, maka panjang $QR$ adalah...$cm$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ R$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
- $AP=1$ dan $AD=2$ maka $DP=\sqrt{5}$
- $CQ=1$ dan $CD=2$ maka $DQ=\sqrt{5}$
- $PB=1$ dan $BC=2$ maka $PC=\sqrt{5}$
- $CQ=1$ dan $PC=\sqrt{5}$ maka $PQ=\sqrt{6}$
Panjang $QR$ coba kita hitung dengan menggunakan luas segitiga.
$\begin{align}
[DPQ] &= [DPQ] \\ \dfrac{1}{2} \cdot DP \cdot QR &= \dfrac{1}{2} \cdot QP \cdot DS \\ \sqrt{5} \cdot QR &= \sqrt{6} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{14} \\ QR &= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{5}} \\ QR &= \sqrt{\dfrac{21}{5}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{\dfrac{21}{5}}$
96. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diberikan fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$. Garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang turunan yaitu jika $y=f(x)$ maka $m=y'=f'(x)$.
Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ adalah sejajar sehingga gradien kedua garis adalah sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m = f'(x) & = 6x^{2}+6x+6 \\
\hline
x=a\ & \rightarrow m= 6a^{2}+6a+6 \\
x=a+1\ & \rightarrow m= 6(a+1)^{2}+6(a+1)+6
\end{align}$
$\begin{align}
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+12a+6+6 a+6+6 \\
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+18a+18 \\
-12 & = 12a \\
a & = -1
\end{align}$
Untuk $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-0 & = 6 \left( x+1 \right) \\
y & = 6 x+ 6
\end{align}$
Untuk $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung adalah $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 & = 6 \left( x+0 \right) \\
y & = 6 x+5
\end{align}$
Jarak kedua garis adalah jarak titik (-1,0) pada garis $y = 6 x+6$ ke garis $y = 6 x+5$, yaitu:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{1}{\sqrt{36+1}} \right| \\
& = \left| \dfrac{1}{\sqrt{37}} \right|
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$
97. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika fungsi $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$ terdefenisi untuk $x \leq a$ atau $x \geq b$, maka nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Agar sebuah $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".
Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.
Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.
Pada soal di atas penyebut adalah $y=x^{2}+x+12$ karena $a \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga fungsi selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real atau definit positif.
Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$. Karena penyebut adalah definit positif, sehingga agar fungsi $\dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12} \geq 0$ kita cukup mencari batasan nilai $x$ untuk $ x^{2}-8x+5 \geq 0$.
$ \begin{align}
x^{2}-8x+5 & \geq 0 \\
x_{1,2} & = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4(1)(5)}}{2(1)} \\
& = \dfrac{8 \pm \sqrt{64-20}}{2} \\
& = \dfrac{8 \pm \sqrt{44}}{2} \\
& = \dfrac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2} \\
x_{1}& = 4 + \sqrt{11} \\
x_{2}& = 4 - \sqrt{11}
\end{align} $
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-8x+5 \geq 0$ adalah Himpunan penyelesaian $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$, yaitu $x \leq 4 - \sqrt{11}$ atau $x \geq 4 + \sqrt{11}$, sehingga nilai $a+b= 4 - \sqrt{11}+4 + \sqrt{11}=8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$
98. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika garis $y=2x-3$ menyinggung parabola $y=4x^{2}+ax+b$ di titik $(-1,-5)$ serta $a$ dan $b$ adalah konstanta, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Titik $(-1,-5)$ adalah titik singgung sehingga berlaku:
$ \begin{align}
y & =4x^{2}+ax+b \\
-5 & =4(-1)^{2}+a(-1)+b \\
-5 & =4 -a+b \\
-9 & = -a+b \\
a-9 & = b
\end{align} $
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan yaitu jika garis $y=2x-3$ menyinggung parabola $y=4x^{2}+ax+b$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
y & = y \\
4x^{2}+ax+b & = 2x-3 \\
4x^{2}+ax-2x+b+3 & = 0 \\
4x^{2}+(a -2)x+b+3 & = 0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(a-2)^{2}-4(4)(b+3) & = 0 \\
a^{2}-4a+4-16b-48 & = 0 \\
a^{2}-4a -16(a-9)-44 & = 0 \\
a^{2}-4a -16 a+144-44 & = 0 \\
a^{2}-20a+100 & = 0 \\
(a-10) (a-10) &=0 \\
a=10 & \\
\hline
a+b & =10+1=11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11$
99. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika garis $y=mx$ menyinggung elips $\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2}=1$, maka nilai $4m=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan pada sistem persamaan yaitu jika garis $y=mx$ menyinggung elips $\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2}=1$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol $(D=0)$:
$\begin{align}
\dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2} &=1 \\
(x-2)^{2} + 2(mx+1)^{2} &=4 \\
x^{2}-4x+4 + 2m^{2}x^{2}+4mx+2 &=4 \\
\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+(4m-4)x+2 &=0 \\
\hline
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
(4m-4)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)(2) & = 0 \\
16m^{2}-32m-16m^{2}-8 & = 0 \\
-32m -8 & = 0 \\
-32m & = 8 \\
m & = -\dfrac{8}{32}=-\dfrac{1}{4} \\
4m &= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
100. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Garis $y=2x+1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{4}=1$, interval nilai $a$ yang memenuhi adalah....
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan pada sistem persamaan yaitu jika garis $y=2x+1$ tidak memotong maupun menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{a}=1$ maka berlaku diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$:
$\begin{align}
\dfrac{(x-2)^{2}}{2}-\dfrac{(y-a)^{2}}{4} &=1 \\
\dfrac{x^{2}-4x+4}{2}-\dfrac{y^{2}-2ay+a^{2}}{4} &=1 \\
2x^{2}-8x+8 - y^{2}+2ay-a^{2} &=4 \\
2x^{2}-8x+8 - (2x+1)^{2}+2a(2x+1)-a^{2} &=4 \\
2x^{2}-8x+8 - \left( 4x^{2}+4x+1 \right)+4ax +2a-a^{2} &=4 \\
-2x^{2}-12x+4ax-a^{2}+2a+3 &= 0 \\
2x^{2}+(12 -4a)x+a^{2}-2a-3 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(12-4a)^{2}-4 (2) \left( a^{2}-2a-3 \right) & \lt 0 \\
144-96a+16a^{2}-8a^{2}+16a+24 & \lt 0 \\
8a^{2}-80a +168 & \lt 0 \\
a^{2}- 10a +21 & \lt 0 \\
(a-3)(a-7) & \lt 0
\end{align}$
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $3 \lt a \lt 7 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3 \lt a \lt 7 $
101. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jarak terdekat pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ ke garis $2x-y=4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ dan garis $2x-y=4$ minimum (terdekat).
$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=\dfrac{1}{2}m^{2}+1$.
Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| $ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $2x-y-4=0$ adalah
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c} {\sqrt{a^2+b^2} } \right| \\
d &= \left| \dfrac{2m-n-4}{\sqrt{(2)^2+(-1)^2}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{2m-\left( \dfrac{1}{2}m^{2}+1 \right) -4}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2} m^{2}-1 -4}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\
\end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cari dari $d'=0$.
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\
d' &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5}-0}{ \left( \sqrt{5} \right)^{2}} \\
0 &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5} }{5}\\
0 &= \left( 2 - m \right) \sqrt{5} \\
\hline
m &= 2 \\
\hline
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{2(2)- \dfrac{1}{2}(2)^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{4 - 2 -5}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{-3}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \dfrac{3}{ \sqrt{5} }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5}$
102. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jarak terdekat pada kurva $y=x^{2}+1$ ke garis $4x-y=14$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=x^{2}+1$ dan garis $4x-y=14$ minimum (terdekat).
$y=x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=m^{2}+1$.
Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| $ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $2x-y-4=0$ adalah
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c} {\sqrt{a^2+b^2} } \right| \\
d &= \left| \dfrac{4m-n-14}{\sqrt{(4)^2+(-1)^2}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{4m-\left( m^{2}+1 \right) -14}{ \sqrt{17}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{4m- m^{2} -15}{ \sqrt{17}} \right|
\end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cari dari $d'=0$.
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{4m- m^{2} -15}{ \sqrt{17}} \right| \\
d' &= \dfrac{\left( 4 - 2m \right) \sqrt{17}-0}{ \left( \sqrt{17} \right)^{2} } \\
0 &= \dfrac{\left( 4 - 2m \right) \sqrt{17} }{17} \\
\hline
m &= 2 \\
\hline
d &= \left| \dfrac{4m- m^{2} -15}{ \sqrt{17}} \right| \\
&= \left| \dfrac{4(2)- (2)^{2} -15}{ \sqrt{17}} \right| \\
&= \left| \dfrac{-11}{ \sqrt{17}} \right| = \dfrac{11}{ \sqrt{17}} \\
&= \dfrac{11}{ 17}\sqrt{17}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{11}{ 17}\sqrt{17}$
103. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jarak kurva $y=x^{2}+1$ ke garis $x-2y=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=x^{2}+1$ dan garis $x-2y=0$ minimum (terdekat).
$y=x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=m^{2}+1$.
Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| $ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $x-2y=0$ adalah
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c} {\sqrt{a^2+b^2} } \right| \\
d &= \left| \dfrac{(m)(1)-(2)(n)+0}{\sqrt{(1)^2+(-2)^2}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{ m-2n}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{ m-2 \left( m^{2}+1 \right)}{ \sqrt{5}} \right| \\
d &= \left| \dfrac{ m-2m^{2}+2}{ \sqrt{5}} \right|
\end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cari dari $d'=0$.
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ m-2m^{2}+2}{ \sqrt{5}} \right| \\
d' &= \dfrac{\left( 1 - 2m \right) \sqrt{5}-0}{ \left( \sqrt{5} \right)^{2} } \\
0 &= \dfrac{\left( 1 - 2m \right) \sqrt{5} }{5} \\
0 &= \left( 1 - 2m \right) \sqrt{5} \\
\hline
m &= \dfrac{1}{2} \\
\hline
d &= \left| \dfrac{ m-2m^{2}+2}{ \sqrt{5}} \right| \\
&= \left| \dfrac{ \dfrac{1}{2}-2 \cdot \dfrac{1}{4}+2}{ \sqrt{5}} \right| \\
&= \left| \dfrac{ \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{2}+2}{ \sqrt{5}} \right| \\
&= \dfrac{2}{ \sqrt{5}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
104. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Misalkan $l_{1}$ menyatakan garis singgung kurva $y=x^{2}+1$ di titik $(2,5)$ dan $l_{2}$ menyatakan garis singgung kurva $y=1-x^{2}$ yang sejajar dengan garis $l_{1}$. Jarak $l_{1}$ dan $l_{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan apa yang disampaikan soal, ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m_{1} = y'& = 2x \\ \text{untuk}\ x=2 & \rightarrow m_{1} = 4 \\ \hline
y-y_{1} & = m \left( x- x_{2} \right) \\ y-5 & = 4 \left( x- 2 \right) \\ y-5 & = 4 x - 8 \\ y & = 4 x - 3
\end{align}$
Garis $l_{2}$ menyinggung $y=1-x^{2}$ dan garis $l_{1}$ sejajar $l_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}=4$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m_{2} = y'& = -2x \\ 4 & = -2x \\ x = -2 & \rightarrow y=-3
\end{align}$
Titik $(-2,-3)$ berada pada $l_{2}$ dan $l_{1} \parallel l_{2}$ sehingga jarak $l_{1}$ dan $l_{2}$ adalah jarak titik $(-2,-3)$ ke garis $y = 4 x - 3$ atau $4x-y-3=0$.
dimana:
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c} {\sqrt{a^2+b^2} } \right| \\ &= \left| \dfrac{(4)(-2)+(-1)(-3)-3}{\sqrt{(1)^2+(-4)^2}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-8+3-3}{\sqrt{ 1 + 16}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-8}{\sqrt{17}} \right| \\ &= \dfrac{8}{\sqrt{17}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{\sqrt{17}} $
105. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi;
$\begin{align}
\dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} & \lt a^{x} \\
\dfrac{m+2}{m} & \lt m \\
\hline
\text{sama-sama dikali}\ & (m) \\
\hline
m+2 & \lt m(m) \\
m+2 & \lt m^{2} \\
m^{2}-m-2 & \gt 0 \\
(m-2)(m+1) & \gt 0 \\
m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 2
\end{align}$
Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 2$.
- Untuk $a^{x} \lt -1$ dan $0 \lt a \lt 1$ sehingga tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
- Untuk $a^{x} \gt 2$ dan $0 \lt a \lt 1$, maka berlaku:
$\begin{align}
a^{x} & \gt 2 \\ {}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^ \!\log_{a} 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$
106. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Sebuah lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan $a,b \gt 3$, menyinggung garis $3x+4y=12$. Jika lingkaran tersebut berjari-jari $12$, maka $3a+4b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$
$\Leftrightarrow $ Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ - Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah:
$d=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
$\begin{align}
d &=\left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ 12 &=\left| \dfrac{3a+4b-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\ 12 &=\left| \dfrac{3a+4b-12}{5} \right| \\ \end{align}$
Karena $a,b \gt 3$ maka $3a+4b-12 \gt 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
12 &= \dfrac{3a+4b-12}{5} \\ 60 &= 3a+4b-12 \\ 72 &= 3a+4b
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 72$
107. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $3a - b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Soal ini kita coba selesaikan dengan Cara Manipulasi Faktor, dengan manipulasi faktor ini, kita anggap faktornya adalah sama dengan nol. Dengan menganggap faktor (pembagi) $x^{2}+1=0$ sehingga diperoleh $x^{2}=-1$.
Dengan $x^{2}=-1$ dan $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
$\begin{align}
p(x) & \equiv ax^{3}+bx^{2}+2x-3 \\
p(x) & \equiv ax \cdot x^{2}+bx^{2}+2x-3 \\
0 & \equiv ax (-1) +b (-1) +2x-3 \\
0 & \equiv -ax -b +2x-3 \\
0 & \equiv (2-a)x -b-3 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\
\hline
-b-3\ & = 0 \\
b\ & = -3 \\
\hline
\text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$
108. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui grafik fungsi $f'$ dan $g'$ dengan beberapa nilai fungsi $f$ dan $g$ sebagai berikut.
Jika $h(x) = \left ( f \circ g \right )(x)$, maka nilai $h'(2)$ adalah...
$x$ $f(x)$ $g(x)$ $1$ $3$ $2$ $2$ $1$ $3$ $3$ $2$ $1$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menerapkan aturan turunan fungsi $\dfrac{d}{dx}[u^{n}]=nu^{n-1}u'$ kepada fungsi komposisi $h(x)$, sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
h(x) & = \left ( f \circ g \right )(x) \\
h(x) & = f \left ( g(x) \right ) \\
h'(x) & = f' \left ( g(x) \right ) \cdot g'(x) \\
h'(2) & = f' \left ( g(2) \right ) \cdot g'(2) \\
& = f' \left ( 3 \right ) \cdot 3 \\
& = -3 \cdot 3 \\
& = - 9
\end{align}$
Keterangan:
- dari kurva $y=g'(x)$ dapat kita peroleh nilai $g'(2)=2$
- dari tabel $f(x)$ dan $g(x)$ dapat kita peroleh nilai $g(2)=3$
- dari kurva $y=f'(x)$ dapat kita peroleh nilai $f'(3)=-3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -9$
109. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $h(x) = \left ( f \circ g \right )(x)$, maka $h'(1)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar, dapat kita tentukan fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ yaitu:
- Fungsi $g(x)$ adalah garis yang memlalui $(2,0)$ dan $(0,-4)$ sehingga $g(x)$ adalah $2y-4x=-8 \rightarrow y=2x-4$ atau $g(x)=2x-4$ dan $g'(x)=2$
- Fungsi $f(x)$ adalah lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dan $r=2\sqrt{2}$ sehingga $f(x)$ adalah $x^{2}+y^{2}=8$.
$\begin{align}
f(x): y^{2} & = 8-x^{2} \\
y & = \left( 8-x^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \\
y' & = \dfrac{1}{2} \left( 8-x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -2x \right) \\
y' & = \dfrac{1}{2} \left( 8-x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -2x \right) \\
f'(x) & = \dfrac{1}{2} \left( 8-x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -2x \right) \\
\end{align}$
Dengan menerapkan aturan turunan fungsi $\dfrac{d}{dx}[u^{n}]=nu^{n-1}u'$ kepada fungsi komposisi $h(x)$, sehingga dapat berlaku:
$\begin{align}
h(x) & = \left ( f \circ g \right )(x) \\
h(x) & = f \left ( g(x) \right ) \\
h'(x) & = f' \left ( g(x) \right ) \cdot g'(x) \\
h'(1) & = f' \left ( g(1) \right ) \cdot 2 \\
& = f' \left ( -2 \right ) \cdot 2 \\
\hline
f'(x) & = \dfrac{1}{2} \left( 8-x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -2x \right) \\
f'(-2) & = \dfrac{1}{2} \left( 8-(-2)^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -2(-2) \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( 4 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 \\
& = 1 \\ \hline
h'(1) & = f' \left ( -2 \right ) \cdot 2 \\
& = 1 \cdot 2 \\
& = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2$
110. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x+3)=f(x)$ untuk tiap $x$. Jika $\int \limits_{-3}^{6} f(x)\ dx = -6$, maka $\int \limits_{3}^{9} f(x)\ dx = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
$'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
$\begin{align}
\int \limits_{3}^{9} f(x) dx &= \int \limits_{0}^{6} f(x) \\ \hline
-6 &= \int \limits_{-3}^{6} f(x) dx \\ -6 &= \int \limits_{-3}^{0} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{3}^{6} f(x) dx \\ -6 &= \int \limits_{-3}^{0} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{3-3}^{6-3} f(x+3) dx \\ -6 &= \int \limits_{0}^{3} f(x) dx +\int \limits_{0}^{3} f(x) dx+\int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\ -6 &= 3 \int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\ -2 &= \int \limits_{0}^{3} f(x) dx \\ \hline
\int \limits_{3}^{9} f(x) dx & = \int \limits_{0}^{6} f(x) \\ & = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{3}^{6} f(x)\\ & = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{3-3}^{6-3} f(x+3)\\ & = \int \limits_{0}^{3} f(x) + \int \limits_{0}^{3} f(x)\\ & = (-2) + (-2) \\ &= -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) \ -4$
111. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika garis $y=mx+4$ tidak memotong elips $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{8}=1$, maka nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis tersebut tidak memotong elips maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{8} &= 1 \\
2 x^{2} + y^{2} &= 8 \\
2 x^{2} + \left( mx+4 \right)^{2} &= 8 \\
2 x^{2} + m^{2}x^{2}+8mx+16-8 &= 0 \\
\left( m^{2}+2 \right)x^{2} +8mx+8 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( 8m \right)^{2}-4\left( m^{2}+2 \right)\left( 8 \right) & \lt 0 \\
64m^{2}-32m^{2}-64 & \lt 0 \\
32m^{2} -64 & \lt 0 \\
m^{2} - 2 & \lt 0 \\
(m-\sqrt{2})(m+\sqrt{2}) & \lt 0 \\
-\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2}
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\sqrt{2} \lt m \lt \sqrt{2}$
112. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika garis $y=mx$ tidak berpotongan dengan hiperbola $3x^{2}-4y^{2}=12$, maka nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis tersebut tidak memotong hiperbola maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
3x^{2}-4y^{2} &= 12 \\
3x^{2}-4(mx)^{2} &= 12 \\
3x^{2}-4 m^{2}x^{2} &= 12 \\
\left(3 -4 m^{2} \right)x^{2} -12 &= 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( 0 \right)^{2}-4\left( 3 -4 m^{2} \right)\left( -12 \right) & \lt 0 \\
0-4\left( 3 -4 m^{2} \right)\left( -12 \right) & \lt 0 \\
144-192m^{2} & \lt 0 \\
192m^{2}-144 & \gt 0 \\
4m^{2}-3 & \gt 0 \\
(2m-\sqrt{3})(2m+\sqrt{3}) & \gt 0 \\
m \lt -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \\
\left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \\
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
113. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Nilai $m$ agar garis $y=mx+1$ tidak memotong hiperbola $\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{y^{2}}{4} =1$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Garis tersebut tidak memotong hiperbola maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan kurang dari nol $(D \lt 0)$.
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{y^{2}}{4} & = 1 \\
2x^{2} - y^{2} & = 4 \\
2x^{2} - (mx+1)^{2} & = 4 \\
2x^{2} - (mx+1)^{2} - 4 & = 0 \\
2x^{2} - m^{2}x^{2}-2mx-1 - 4 & = 0 \\
\left( 2 - m^{2} \right)x^{2}-2mx - 5 & = 0 \\
\hline
D & \lt 0 \\
\left( -2m \right)^{2} - 4 \left( 2 - m^{2} \right)\left( -5 \right) & \lt 0 \\
4m^{2} + 40 - 20m^{2} & \lt 0 \\
-16m^{2} + 40 & \lt 0 \\
2m^{2} - 5 & \gt 0 \\
\left( m+\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \right) \left( m-\dfrac{1}{2}\sqrt{5} \right) & \gt 0 \\
m \lt - \dfrac{1}{2}\sqrt{5}\ \text{atau}\ m \gt \dfrac{1}{2}\sqrt{5} &
\end{align}$
Simak kembali jika masih kurang paham menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan mudah dan cepat
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left | m \right | \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
114. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui $B=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ dan $B+C=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}$. Jika $A$ adalah matriks berukuran $2 \times 2$ sehingga $AB+AC=\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}$, maka determinan matriks $AB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ |A_{m\times m} \times B_{m\times m}| = |A| \times |B|$, maka berlaku:
$\begin{align}
AB+AC & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \\
A \left( B+ C \right) & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \\
A \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \\
A & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}^{-1} \\
A & =\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2+3} \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 2
\end{pmatrix} \\
A & = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}
10 & 0 \\
0 & 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\
\hline
\left|AB \right| & = \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix} \\
& = 2 \cdot 2 \\
&= 4
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$
115. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika diketahui $x =sin\ \alpha + sin\ \beta$ dan $y =cos\ \alpha - cos\ \beta$, maka nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ tercapai saat...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
- $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$
x &= sin\ \alpha + sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha - cos\ \beta \\ \hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha + sin^{2} \beta+2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha + cos^{2} \beta-2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta-2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=2 +2\ \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta - cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=2 -2\ \left( cos\ \alpha\ cos\ \beta - sin\ \alpha\ sin\ \beta \right) \\
&=2 - 2\ cos\left ( \alpha+\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $cos\left ( \alpha+\beta \right )=-1$ terkecil, dan $cos\left ( \alpha+\beta \right )=-1$ tercapai salah satunya saat $\alpha+\beta =180^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \alpha = - \beta + 180^{\circ}$
116. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \pi $, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\
sin\ y=2\ sin\ x\\
\end{matrix}\right.$
maka $3sin\ x-2 sin\ y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
- $cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
- $cos \left ( 2A \right )=1-2sin^{2} A$
cos\ 2x+cos\ 2y &= \dfrac{2}{5} \\
1-2sin^{2} x+1-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2sin^{2} x -2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
sin^{2} x +sin^{2} y &= -\dfrac{1}{5}+1 \\
sin^{2} x + \left( 2 sin\ x \right)^{2} &= \dfrac{4}{5} \\
sin^{2} x +4 sin^{2}\ x &= \dfrac{4}{5} \\
5 sin^{2}\ x &= \dfrac{4}{5} \\
sin^{2}\ x &= \dfrac{4}{25} \\
sin\ x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
sin\ x &= \pm \dfrac{2}{5} \\ \hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \pi &\ \text{maka}\ sin\ x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
3 sin\ x - 2 sin\ y &= 3 \cdot \dfrac{2}{5} - 2 \cdot 2\ sin\ x \\ &= \dfrac{6}{5} - 2 \cdot 2\ \dfrac{2}{5} \\ &= \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5} = -\dfrac{2}{5}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ - \dfrac{2}{5}$
117. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika garis $y= ax+b$ digeser ke bawah sejauh $6$ satuan kemudian diputar dengan pusat $O(0,0)$ searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ sehingga menghasilkan bayangan garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$, maka nilai $\dfrac{b}{a^{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang Transformasi Geometri yang mungkin membantu yaitu;
- Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka: bayangan yang dihasilkan:
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$ - Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $270^{\circ}$, $T: \begin{pmatrix}
cos\ 270 & -sin\ 270\\
sin\ 270 & cos\ 270
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$.
0 \\ -6
\end{pmatrix}$ sehingga setelah pergesaran diperoleh $x'=x+0$ dan $y'=y-6$ sehingga persamaan garis $y=ax+b$ berubah menjadi $ y'+6 =ax'+b$ atau $y=ax+b-6$.
Garis $y=ax+b-6$ dirotasi searah jarum jam sebesar $90^{\circ}$ sama dengan sejauh $270^{\circ}$ berlawanan dengan jarum jam terhadap titik asal
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}
y \\ -x
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x'= y$ dan $y'=-x$
$\begin{align}
y &= ax+b-6 \\ x' &= a(-y')+b-6 \\ x' &= -ay'+b-6 \\ x &= -ay+b-6 \\ ay &= x+b-6 \\ y &= \dfrac{1}{a}x+\dfrac{b-6}{a}
\end{align} $
Bayangan garis yang dihasilkan adalah $y = \dfrac{1}{a}x+\dfrac{b-6}{a}$ dan $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{1}{a}x+\dfrac{b-6}{a} & \equiv \dfrac{1}{\sqrt{3}}x \\ \hline
\dfrac{1}{a} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ a &= \sqrt{3} \\ \hline
\dfrac{b-6}{a} &= 0 \\ b-6 &= 0 \\ b &= 6 \\ \hline
\dfrac{b}{a^{2}} &= \dfrac{6}{\left( \sqrt{3} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{6}{3}=2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
118. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Misalkan balok $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $AB=2\ cm$, $BC=1\ cm$ dan $AE=1\ cm$ . Jika $P$ adalah titik tengah $AB$ dan $\theta$ adalah $\angle EPG$, maka $cos\ \theta$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
- dari $\bigtriangleup APE$, $AP=1$ dan $AE=1$ maka $EP= \sqrt{2}$,
- dari $\bigtriangleup PBC$, $PB=1$ dan $BC=1$ maka $PC= \sqrt{2}$,
- dari $\bigtriangleup PCG$, $PC=\sqrt{2}$ dan $CG=1$ maka $PG= \sqrt{3}$,
- dari $\bigtriangleup EFG$, $EF=2$ dan $FG=1$ maka $EG= \sqrt{5}$
$\begin{align}
EG^{2} &= EP^{2}+PG^{2}- 2 \cdot EP \cdot PG\ cos\ \theta \\ cos\ \theta &= \dfrac{EP^{2}+PG^{2}-EG^{2}}{2 \cdot EP \cdot PG} \\ &= \dfrac{\left( \sqrt{2} \right)^{2}+\left( \sqrt{3} \right)^{2}-\left( \sqrt{5} \right)^{2}}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{0}{8 \sqrt{6}} \\ &= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
119. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Titik $D$ berada pada sisi $AB$ sehingga $AD=2 \cdot BD$. Jika $AC=a$ dan $BC=b$, maka luas segitiga $CDD'$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa $AD=2 \cdot BD$ dan dari besar sudut pada gambar dapat kita ketahui bahwa $\bigtriangleup APE$ sebangun dengan $\bigtriangleup BDD'$, sehingga berlaku:
$\dfrac{DD'}{AC}=\dfrac{BD'}{BC}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{1}{3}$
- dengan $AC=a$ maka $DD'=\dfrac{1}{3}a$,
- dengan $BC=b$ maka $BD'=\dfrac{1}{3}b$ dan $CD'= \dfrac{2}{3}b$,
$\begin{align}
\left[ CDD' \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot CD' \cdot DD' \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}b \cdot \dfrac{1}{3}a \\ &= \dfrac{1}{9} ab
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{9}ab$
120. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Agar sistem persamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
y=-mx^{2}-2 \\
4x^{2}+y^{2}=4
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.
Persamaan $y=-mx^{2}-2$ kita ubah menjadi $\dfrac{y+2}{-m}=x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $4x^{2}+y^{2}=4$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
4x^{2}+y^{2} &= 4 \\
4 \left( \dfrac{y+2}{-m} \right)+y^{2} &= 4 \\
-4y+8+my^{2} &= 4m \\
my^{2}-4y+8-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-4)^{2} -4(m)(8-4m) & = 0 \\
16-32m+16m^{2} & = 0 \\
16m^{2}-32m+16 & = 0 \\
m^{2}-2m+1 & = 0 \\
(m-1)^{2} & = 0 \\
m & = 1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
121. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Agar sistem persamaan kuadrat di bawah ini hanya mempunyai satu solusi
$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2} = 4 \\
(x-1)^{2}+my^{2}=1
\end{matrix}\right.$
Nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Karena sistem persamaan di atas memiliki tepat satu penyelesaian maka diskriminan $(D=b^{2}-4ac)$ dari persamaan kuadrat persekutuan adalah nol.
Persamaan $x^{2}+y^{2} = 4$ kita ubah menjadi $y^{2}= 4-x^{2}$ lalu kita substitusikan ke $(x-1)^{2}+my^{2}=1$ dan kita peroleh persamaan kuadrat baru.
$\begin{align}
(x-1)^{2}+my^{2} &=1 \\
(x-1)^{2}+m \left( 4-x^{2} \right) &=1 \\
x^{2}-2x+1+4m-mx^{2} &=1 \\
(m-1)x^{2}+2x-4m &= 0 \\
\hline
b^{2}-4ac & = 0 \\
(2)^{2} -4(m-1)(-4m) & = 0 \\
4 + 16m^{2}-16m & = 0 \\
\left(4m-2 \right)^{2} & = 0 \\
m=\dfrac{1}{2} &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
122. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian $\left( 0,25 \right)^{x+2} \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:
$\begin{align}
\left( 0,25 \right)^{x+2} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\
\left( 0,5 \right)^{2x+4} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\
\hline
2x+4 & \lt x^{2}+1 \\
0 & \lt x^{2}-2x+1-4 \\
x^{2}-2x+3 & \gt 0 \\
(x+1)(x-3) & \gt 0
\end{align}$
Dengan menerapkan cara kreatif menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$
123. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.
Agar ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $3x$
$\begin{align}
3x \gt 0\ & \text{dan}\ 3x \neq 1 \\
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq \dfrac{1}{3} \\
0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ & \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right) & \gt 0 \\
\left( \dfrac{x^{2}-4}{x-3} \right) & \lt 0 \\
\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & \lt 0
\end{align}$
Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}$ dan syarat (II) $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$ maka kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
124. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika untuk semua bilangan real $x \lt 7$ sehingga ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $b-a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$.
Agar ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Syarat (I) bilangan pokok $x$
$\begin{align}
x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq 1 \\
0 \lt x \lt 1\ & \text{atau}\ x \gt 1
\end{align}$
Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$:
$\begin{align}
\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right) & \gt 0 \\
\dfrac{(x+4)(x-3)}{x^{2}+x+12} & \gt 0 \\
\end{align}$
$x^{2}+x+12$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt 1$ atau $x \gt 1$, syarat (II) $x \lt -4$ atau $x \gt 3$ dan syarat soal $x \lt 7$ maka kita peroleh:
Himpunan penyelesaian akhir adalah $3 \lt x \lt 7$ sehingga nilai $b-a=7-3=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
125. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$, maka nilai $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}+x & \neq 0 \\
x \left( x+1 \right) & \neq 0 \\
x \neq 0\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$
Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} & \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+2x+2}{x \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+2x+2$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$
126. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$, maka nilai $b-2a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah:
$\begin{align}
x^{2}-x-2 & \neq 0 \\
\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) & \neq 0 \\
x \neq 2\ \text{atau}\ & x \neq -1
\end{align}$
Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$:
$\begin{align}
\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0 \\
\dfrac{x^{2}+x+3}{\left( x-2 \right) \left( x+1 \right)} & \lt 0
\end{align}$
$x^{2}+x+3$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
127. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 1$ yang memenuhi $\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $3ab$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊
$\begin{align}
\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| & \leq 0 \\
\left| 2x+1 \right| & \leq \left| 2-x \right| \\
\sqrt{ \left( 2x+1 \right )^{2}} & \leq \sqrt{ \left( 2-x \right)^{2}} \\
\sqrt{ 4x^{2}+4x+1} & \leq \sqrt{x^{2}-4x+4} \\
4x^{2}+4x+1 & \leq x^{2}-4x+4 \\
4x^{2}+4x+1-x^{2}+4x-4 & \leq 0 \\
3x^{2}+8x-3 & \leq 0 \\
\left(3x-1 \right)\left(x+3 \right) & \leq 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan cara kreatif menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$.
Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \leq 1$ dan $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
128. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika semua nilai $x$ dengan $0 \lt x \lt 10$ yang memenuhi $\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| \geq 0$ adalah $a \leq x \lt b$, maka nilai $b-a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊
$\begin{align}
\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| & \geq 0 \\
\left| 2x-1 \right| & \leq \left| x+2 \right| \\
\sqrt{ \left( 2x-1 \right )^{2}} & \geq \sqrt{ \left( x+2 \right)^{2}} \\
\sqrt{ 4x^{2}-4x+1} & \geq \sqrt{x^{2}+4x+4} \\
4x^{2}-4x+1 & \geq x^{2}+4x+4 \\
4x^{2}-4x+1-x^{2}-4x-4 & \geq 0 \\
3x^{2}-8x-3 & \geq 0 \\
\left(3x+1 \right)\left(x-3 \right) & \geq 0 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan cara kreatif menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat kita peroleh $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$.
Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $0 \lt x \lt 10$ dan $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
129. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Jika interval $\left[ a,b \right]$ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x-3| \right| \leq 3$, maka nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
- Jika $|f(x)| \lt a$ maka HP adalah $\left \{ x|-a\ \lt f(x) \lt a \right \}$
- Jika $|f(x)| \gt a$ maka HP adalah $\left \{ x|f(x) \lt -a\ \text{atau}\ f(x) \gt a \right \}$
Pertidaksamaan di atas kita kerjakan dalam dua tahap, yaitu:
\begin{array} \\ 0 \leq |x-3| & \\ x-3 \leq 0\ \text{atau}\ x-3 \geq 0 & \\ x \leq 3\ \text{atau}\ x \geq 3 & \\ \text{atau}\ \text{selalu benar untuk}\ x \in \text{Bilangan Real} & \\ \hline
|x-3| \leq 6 & \\ -6 \leq x-3 \leq 6 & \\ -6+3 \leq x \leq 6+3 & \\ -3 \leq x \leq 9 &
\end{array}
Himpunan penyelesaian soal adalah irisan dari pertidaksamaan $x \leq 3\ \text{atau}\ x \geq 3$ dan $-3 \leq x \leq 9$ , jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$
130. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK
Himpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt 3 + \left| x-3 \right|$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.
$|x|=\left\{\begin{matrix}
x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\
x,\ \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$
$|x-3|=\left\{\begin{matrix}
x-3,\ \text{untuk}\ x \geq 3 \\
-(x-3),\ \text{untuk}\ x \lt 3
\end{matrix}\right.$
Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:
- Untuk $x \lt 0$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ -\left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\ -x+x-3 & \lt 3 \\ -3 & \lt 3 \\ \text{selalu benar untuk}\ & x \in R \\ \end{align}$
Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Benar), maka semua nilai $x$ bilangan real memenuhi.
Irisan $x \lt 0$ dan $x \in R $ adalah $x \lt 0$ - Untuk $0 \leq x \lt 3$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ \left( x \right) - \left(- (x-3) \right) & \lt 3 \\ x +x-3 & \lt 3 \\ 2x & \lt 6 \\ x & \lt 3
\end{align}$
Irisan $0 \leq x \lt 3$ dan $x \lt 3$ adalah $0 \leq x \lt 3$
- Untuk $x \geq 3$, maka
$\begin{align}
\left| x \right| & \lt 3 + \left| x-3 \right| \\ \left| x \right| - \left| x-3 \right| & \lt 3 \\ x - x + 3 & \lt 3 \\ 0 & \lt 0 \\ \end{align}$
Jika dapat penyelesaian akhir seperti di atas (Pernyataan Salah), maka tidak ada nilai $x$ bilangan real yang memenuhi.
Irisan $x \geq 3$ dan tidak ada nilai $x \in R$ yang memenuhi adalah Himpunan Kosong $\left( \varnothing \right)$.
Berdasarkan ilustrasi di atas, himpunan penyelesaian yang merupakan gabungan pertidaksamaan yaitu $x \lt 3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt 3$
Catatan 100+ Soal dan Pembahasan UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika (#Soal Latihan UTBK SNBT 2025) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
