Calon guru belajar matematika dasar SMP lewat soal dan pembahasan himpunan pada matematika SMP. Apa yang diharapkan setelah mempelajari materi ini, yaitu dengan aturan yang berlaku dan kreativitas berpikir kita dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan himpunan, himpunan bagian, himpunan semesta, himpunan kosong, komplemen himpunan dan operasi biner pada himpunan.
Soal matematika dasar himpunan untuk SMP kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada soal Ujian Sekolah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Plus.
HIMPUNAN
Himpunan adalah sekelompok objek (kumpulan) yang mempunyai sifat keterlibatan yang sama dan dapat dibedakan antara objek yang satu dengan lainnya. Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar, misalnya $A,B,C, . . .$, sedangkan unsur suatu himpunan dituliskan dengan huruf kecil seperti $a,b,c,x,y,...$.
CARA PENULISAN HIMPUNAN
Suatu himpunan, dapat dituliskan dengan tiga cara, yaitu:
Cara pendaftaran (Roster Method)
Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi). Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal.
Jika banyak anggotanya sangat banyak, cara mendaftarkan ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda tiga titik $( \cdots )$ dengan pengertian "dan seterusnya mengikuti pola".Dengan kata lain, pada cara ini, unsur himpunan didaftarkan satu persatu, misalnya :
$ P = \left \{ x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n} \right \} $
Contoh:
$ A = \left \{ 3,5,7 \right \} $
$ B = \left \{ 2,3,5,7 \right \} $
$ C = \left \{ a,i,u,e,o \right \} $
$ D = \left \{ \cdots, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, \cdots \right \} $Dengan Cara Menuliskan Sifat yang Dimiliki Anggota Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Secara umum penulisan seperti berikut:- $A=\left \{ \text{himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari $1$ dan kurang dari $8$} \right \}$.
- $A=\left \{ \text{himpunan semua bilangan prima yang kurang dari $10$} \right \}$.
- $A=\left \{ \text{himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin} \right \}$.
Cara perincian (Rule Method)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum $ A = \left \{ x \mid P(x) \right \} $ dimana $x$ mewakili anggota dari himpunan, dan $P(x)$ menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh $x$ agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut.
Simbol $x$ bisa diganti oleh variabel yang lain, seperti $y$, $z$, dan lain-lain.
Misalnya $ A = \left \{ 1,2,3,4,5 \right \} $ bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan $A = \left \{x | x \lt 6,\ \text{dan}\ x\ \text{adalah bilangan asli} \right \}$.
KEANGGOTAAN HIMPUNAN
Untuk menyatakan suatu unsur merupakan "anggota" pada suatu himpunan digunakan lambang "$ \in $", sedangkan lambang "$ \notin $" digunakan menyatakan "bukan anggota" dari suatu himpunan.
Contoh:
- $A = \left \{ 1, 2, 3 \right \}$ maka $1\in A ; 2\in A ; 3\in A ; 0\notin A ; \left \{1 \right \}\notin A ; 4\notin A$.
- $B = \left \{ x \mid x^{2}-x-6=0,\ x\in\ \text{asli} \right \}$, maka $3\in B$ tetapi $-2\notin B$
Himpunan yang tidak mempunyai anggota dinamakan himpunan kosong (empty set) ditulis $ \left \{ \ \right \} $ atau $\varnothing$, misalnya: $A = \left \{ x \mid x^{2}+5x+6=0,\ x\in\ \text{asli} \right \}$, maka $A = \varnothing = \left \{ \ \right \}$
HIMPUNAN BAGIAN
Definisi: Himpunan $A$ dikatakan himpunan bagian dari $B$ jika dan hanya jika untuk setiap $ x\in A$ maka $x\in B$ ditulis $A \subset B$
Sifat Himpunan Bagian:
- $ \varnothing \subset A$, $A$ himpunan sembarang
- $A \subset B$ dan $B \subset C$ $\rightarrow$ $A \subset C$
Alternatif Pembahasan:
- Anggota himpunan $A$ adalah:
$1\ \in A$, $2\ \in A$, $3\ \in A$ - Anggota himpunan bagian $A$ adalah
$\varnothing$, $\{ 1\}$, $\{ 2\}$, $\{ 3\}$, $\{ 1,2\}$, $\{ 1,3\}$, $\{ 2,3\}$, $\{ 1,2,3\}$ - Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari $A$ adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari $A$. Notasinya adalah ${\mathcal {P}}(A)$
Banyaknya anggota himpunan kuasa dari $A$ adalah $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$
Anggota himpunan bagian dari $A$ adalah $2^{|A|}=2^{3}=8$
KOMPLEMEN HIMPUNAN $A$
Himpunan $A$ dan komplemen himpunan $A$ jika kita gambarkan dalam diagram venn, ilustrasinya seperti berikut ini:
Selain $A^{c}$, komplemen himpunan $A$ umumnya ditulis juga dengan bentuk $A^{c}=A'=\bar{A}$.
GABUNGAN dan IRISAN HIMPUNAN $A$ DENGAN $B$
Selisih dan Penjumlahan Himpunan $A$ dengan $B$
Sifat-sifat Operasi Pada Himpunan
- Sifat Kesamaan
$\begin{align}
A \cup A = A\ & \text{atau}\ A \cap A = A \\ A - A = \varnothing\ & \text{atau}\ A + A = \varnothing \\ A \cap \varnothing = \varnothing \ & \text{atau}\ A \cup \varnothing = \varnothing \\ A -\varnothing = \varnothing\ & \text{atau}\ A + \varnothing = \varnothing \end{align}$ - Sifat Komutatif
$\begin{align}
A \cup B & = B \cup A \\ A \cap B & = B \cap A \\ A + B & = B + A
\end{align}$ - Sifat Komplemen
$\begin{align} \left( A \cap A^{c} \right) & = \varnothing \\ \left( A \cup A^{c} \right) & = S \\ \left( A^{c} \right)^{c} & = A \\ S^{c} & = \varnothing \\ \varnothing^{c} & = S \\ \end{align}$ - Dalil De Morgan
$\begin{align} \left( A \cup B \right)^{c} & = A^{c} \cap B^{c} \\ \left( A \cap B \right)^{c} & = A^{c} \cup B^{c} \end{align}$ - Sifat Assosiatif
$\begin{align}
A \cup \left( B \cup C \right) & = \left( A \cup B \right) \cup C \\ A \cap \left( B \cap C \right) & = \left( A \cap B \right) \cap C \end{align}$ - Sifat Distributif
$\begin{align}
A \cup \left( B \cap C \right) & = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup B \right) \\ A \cap \left( B \cup C \right) & = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap B \right) \end{align}$ - Sifat Himpunan Bagian
Jika $A \subseteq B $, maka $\left( A \cap B \right) = A$ dan $\left( A \cup B \right) = B$
BILANGAN KARDINAL
Bilangan kardinal dari $A$ adalah bilangan cacah yang menyatakan banyaknya unsur dari $A$, ditulis $n(A)$.
Dari diagram venn di atas, dapat kita tuliskan bahwa:
$\begin{align}
n \left( A \right) &= n \left( A-B \right)+n \left( A \cap B \right) \\
n \left( B \right) &= n \left( B-A \right)+n \left( A \cap B \right) \\
\hline
n \left( A \right)+n \left( B \right) &= n \left( B-A \right)+ n \left( B-A \right)+2n \left( A \cap B \right)
\end{align}$
$\begin{align} n \left( S \right) &= n \left( A \cup B \right)+n \left( A \cup B \right)^{c} \\ n \left( S \right)-n \left( A \cup B \right)^{c} &= n \left( A \cup B \right) \\ n \left( S \right)-n \left( A \cup B \right)^{c} &= n \left( A - B \right) + n \left( A \cap B \right) + n \left( B-A \right) \\ n \left( S \right)-n \left( A \cup B \right)^{c} &= n \left( A \right)+n \left( B \right)-2n \left( A \cap B \right) + n \left( A \cap B \right) \\ n \left( S \right)-n \left( A \cup B \right)^{c} &= n \left( A \right)+n \left( B \right)- n \left( A \cap B \right) \end{align}$
Saat $n \left( A \cup B \right)^{c}=0$, maka berlaku:
$\begin{align}
n \left( S \right) = & n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\
n \left( A \cup B \right) =& n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right)
\end{align}$
Dengan cara yang sama dapat kita tentukan persamaan untuk himpunan $A$, $B$ dan $C$ dimana $n \left( A \cup B \cup C\right)^{c}=0$ berlaku:
$\begin{align}
n \left( A \cup B \cup C\right) = & n(A)+n(B)+n(C)-n\left( A \cap B \right)-n\left( A \cap C \right)- \\
& n\left( B \cap C \right)+n\left( A \cap B \cap C \right)
\end{align}$
Pembahasan Soal Himpunan Matematika SMP
1. Soal UNBK Matematika SMP 2019 |*Soal Lengkap
Sekelompok siswa terdiri dari $25$ orang. Terdapat $14$ orang gemar berenang, $15$ orang gemar sepakbola, dan yang tidak gemar keduanya $5$ orang. Banyak siswa yang gemar keduanya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $5$ orang tidak suka Renang atau Sepakbola sehingga pada diagram venn di atas $5$ di luar lingkaran Renang atau Sepakbola.
- Ada $14$ orang suka Renang, dan dari yang $14$ orang ini ada juga yang suka Sepakbola kita misalkan sebanyak $x$ orang.
Sehingga yang suka Renang tetapi tidak suka Sepakbola ada $14-x$ siswa. - Ada $15$ orang suka Sepakbola, dan dari yang $15$ orang ini ada juga yang suka Renang kita misalkan sebanyak $x$ orang.
Sehingga yang suka Sepakbola tetapi tidak suka Renang ada $15-x$ orang. - Banyak siswa keseluruhan adalah $25$ tetapi yang suka Renang atau Sepakbola hanya ada $25-5=20$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(R \cup SB) & =n(R)+n(SB)-n(R \cap SB) \\ 20 & =14 + 15 - x \\ 20 & =29- x \\ x & = 29-20 \\ x & = 9 \end{align}$
Banyak siswa yang suka Renang dan Sepakbola adalah $x=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9$
2. Soal UNBK Matematika SMP 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan
$ \begin{align}
S &= \text{ \{bilangan asli kurang dari 12\}} \\
A &= \text{\{bilangan ganjil kurang dari 11\}} \\
B &= \text{\{bilangan prima kurang dari 12\}} \\
\end{align} $
Maka $\left( A \cap B \right)^{c}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Himpunan Semesta $S$, Himpunan $A$ dan Himpunan $B$ jika kita tuliskan anggota himpunannya adalah;
$ \begin{align}
S &= \{1,2,3,4, \cdots ,9,10,11 \} \\
A &= \{1,3,5,7,9 \} \\
B &= \{2,3,5,7,11 \} \\
\hline
A \cap B &= \{ 3,5,7 \}
\end{align} $
$\left( A \cap B \right)^{c}$ artinya yang bukan anggota $A \cap B = \{ 3,5,7 \}$, yaitu: $\{1, 2, 4, 6, 8, 9, 10,11\}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \{1, 2, 4, 6, 8, 9, 10,11\}$
3. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $ H = \{ x | 1 \lt x \lt 16, \text{bilangan genap} \}$
Banyak himpunan bagian dari $H$ yang terdiri dari $6$ anggota adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak anggota himpunan bagian (HB) suatu himpunan adalah $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota himpunan.
Himpunan $H$ jika kita tuliskan anggota himpunannya menjadi;
$ H = \{ 2,4,6,8,10,12,14 \}$, $n=7$
Banyak anggota himpunan bagian $H$ adalah $2^{7}=128$.
Untuk menentukan banyak anggota himpunan bagian (HB) yang terdiri dari $0$, $1$, $2$, $3$ sampai $6$ anggota dapat kita gunakan segitiga pascal;
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $0$ anggota dari $7$ adalah $1$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $1$ anggota dari $7$ adalah $7$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $2$ anggota dari $7$ adalah $21$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $3$ anggota dari $7$ adalah $35$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $4$ anggota dari $7$ adalah $35$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $5$ anggota dari $7$ adalah $21$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $6$ anggota dari $7$ adalah $7$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $7$ anggota dari $7$ adalah $1$.
Banyak himpunan bagian $H$ yang memiliki $6$ anggota adalah $7$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$
4. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP 2019 |*Soal Lengkap
Dalam suatu kelas terdapat $36$ orang siswa. Banyak siswa yang gemar olahraga dua kali banyak siswa yang gemar kesenian, sedangkan banyak siswa gemar olahraga dan kesenian $5$ orang. Jika terdapat $8$ siswa yang tidak gemar olahraga maupun kesenian, banyak siswa yang hanya gemar olahraga adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $8$ orang tidak gemar Olahraga atau Kesenian sehingga pada diagram venn di atas $8$ di luar lingkaran Olahraga atau Kesenian.
- Banyak siswa yang gemar Olahraga dua kali banyak siswa yang gemar Kesenian. Jika banyak siswa yang gemar Kesenian adalah $x$ maka banyak siswa yang gemar Olahraga adalah $2x$.
- Ada $5$ orang gemar Olahraga dan Kesenian.
Sehingga banyak siswa yang gemar hanya Kesenian adalah $x-5$, dan banyak siswa yang gemar hanya Olahraga adalah $2x-5$. - Banyak siswa keseluruhan adalah $36$, tetapi yang suka Olahraga atau Kesenian hanya ada $36-8=28$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(O \cup K) & =n(O)+n(K)-n(O \cap K) \\ 28 & =2x + x - 5 \\ 28+5 & =3x \\ 33 & = 3x \\ 11 & = x \end{align}$
Banyak siswa yang gemar hanya Olahraga adalah $2x-5=2(11)-5=17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 17$
5. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan $D = \{ \text{bilangan genap antara 3 dan 14 } \}$, himpunan $L = \{ \text{bilangan prima kurang dari 8} \}$, himpunan semesta $S = \{ \text{bilangan asli kurang dari 14} \}$. Komplemen dari $D \cup L$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Himpunan Semesta $S$, Himpunan $D$ dan Himpunan $L$ jika kita tuliskan anggota himpunannya adalah;
$ \begin{align}
S & = \{1,2,\cdots ,9,13 \} \\
D & = \{2,4,6,8,10,12 \} \\
L & = \{2,3,5,7 \}
\end{align} $
$D \cup L = \{2,3,4,5,6,7,8,10,12 \}$
Komplemen $D \cup L $ artinya yang bukan anggota $D \cup L$, yaitu:
$\left (D \cup L \right )'=\{ 1, 9, 11, 13 \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \{ 1, 9, 11, 13 \}$
6. Soal UNBK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui
$ \begin{align}
S & = \text{\{bilangan asli kurang dari 11\}} \\
A & = \text{\{bilangan prima kurang dari 11\}} \\
B & = \text{\{bilangan genap kurang dari 11\}} \\
\end{align} $
Komplemen dari $A \cap B$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Himpunan Semesta $S$, Himpunan $A$ dan Himpunan $B$ jika kita tuliskan anggota himpunannya adalah;
$ \begin{align}
S & = \{1,2,3,4, \cdots ,9,10 \} \\
A & = \{2,3,5,7\} \\
B & = \{2,4,6,8,10\} \\
\end{align} $
$A \cap B = \{2\}$
Komplemen $A \cap B $ artinya yang bukan anggota $A \cap B$, yaitu:
$\left (A \cap B \right )'=\{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
7. Soal UNBK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui $ Q = \{ x | x \lt 13,\ x\ \text{bilangan genap} \}$
Banyak himpunan bagian $Q$ yang memiliki $5$ anggota adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak anggota himpunan bagian (HB) suatu himpunan adalah $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota himpunan, silahkan dipelajari Teori Dasar Himpunan
Himpunan $Q$ jika kita tuliskan anggota himpunannya menjadi;
$ Q = \{ 2,4,6,8,10,12 \}$, $n=6$
Banyak anggota himpunan bagian $Q$ adalah $2^{6}=64$.
Untuk menentukan banyak anggota himpunan bagian (HB) yang terdiri dari $0$, $1$, $2$, sampai $6$ anggota dapat kita gunakan segitiga pascal;
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $0$ anggota dari $6$ adalah $1$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $1$ anggota dari $6$ adalah $6$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $2$ anggota dari $6$ adalah $15$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $3$ anggota dari $6$ adalah $20$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $4$ anggota dari $6$ adalah $15$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $5$ anggota dari $6$ adalah $6$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $6$ anggota dari $6$ adalah $1$.
Banyak himpunan bagian $Q$ yang memiliki $5$ anggota adalah $6$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6$
8. Soal UNBK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Dalam suatu kelas terdapat $34$ orang siswa. Banyak siswa yang gemar olahraga dua kali banyak siswa yang gemar kesenian, sedangkan banyak siswa gemar olahraga dan kesenian $5$ orang. Jika terdapat $6$ siswa yang tidak gemar olahraga maupun kesenian, banyak siswa yang hanya gemar olahraga adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $6$ orang tidak gemar Olahraga atau Kesenian sehingga pada diagram venn di atas $6$ di luar lingkaran Olahraga atau Kesenian.
- Banyak siswa yang gemar Olahraga dua kali banyak siswa yang gemar Kesenian. Jika banyak siswa yang gemar Kesenian adalah $n$ maka banyak siswa yang gemar Olahraga adalah $2n$.
- Ada $5$ orang gemar Olahraga dan Kesenian.
Sehingga banyak siswa yang gemar hanya Kesenian adalah $n-5$, dan banyak siswa yang gemar hanya Olahraga adalah $2n-5$. - Banyak siswa keseluruhan adalah $34$, tetapi yang suka Olahraga atau Kesenian hanya ada $34-6=28$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(O \cup K) & =n(O)+n(K)-n(O \cap K) \\ 28 & =2n + n - 5 \\ 28+5 & =3n \\ 33 & = 3n \\ 11 & = n \end{align}$
Banyak siswa yang gemar hanya Olahraga adalah $2n-5=2(11)-5=17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 17$
9. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Dari $30$ siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler Paskibra terdapat $22$ siswa membawa peci, $14$ siswa membawa lencana burung garuda, dan $4$ siswa tidak membawa keduanya. Banyak siswa yang membawa kedua benda tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $4$ siswa tidak bawa Peci atau Lencana sehingga pada diagram venn di atas $4$ di luar lingkaran Peci atau Lencana.
- Ada $22$ siswa bawa Peci, dan dari yang $22$ siswa ini ada juga yang bawa Lencana kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang bawa Peci tetapi tidak bawa Lencana ada $22-x$ siswa. - Ada $14$ siswa bawa Lencana, dan dari yang $14$ siswa ini ada juga yang bawa Peci kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang bawa Lencana tetapi tidak bawa Peci ada $14-x$ siswa. - Banyak siswa keseluruhan adalah $30$ tetapi yang bawa Peci atau Lencana hanya ada $30-4=26$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(P \cup L) & =n(P)+n(L)-n(P \cap L) \\ 26 & =22 + 14 - x \\ 26 & =36- x \\ x & = 36-26 \\ x & = 10 \end{align}$
Banyak siswa yang bawa Peci dan Lencana adalah $x=10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10\ \text{siswa}$
10. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui:
$S=\left \{x | 1 \leq x \lt 10,\ x\ \text{bilangan asli}\right \}$
$P=\left \{x | 1 \lt x \lt 6,\ x\ \text{bilangan prima}\right \}$
$Q=\left \{x | 1 \lt x \lt 9,\ x\ \text{bilangan genap}\right \}$
Diagram Venn untuk himpunan-himpunan di atas adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan anggota himpunan-himpunan yang disampaikan pada soal, anggotanya adalah sebagai berikut;
$S=\left \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\right \}$
$P=\left \{2,\ 3,\ 5\right \}$
$Q=\left \{2,\ 4,\ 6,\ 8\right \}$
$P \cap Q={2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)$
11. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan $A=\{a,\ b,\ c,\ d\}$ dan $B=\{7,\ 8,\ 9\}$. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika $n(A)=a$ adalah banyak anggota himpunan $A$ dan $n(B)=b$ adalah banyak anggota himpunan $B$;
- Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah $b^{a}$
- Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan $B$ ke himpunan $A$ adalah $a^{b}$
Apabila kita cocokkan dengan informasi pada soal, $n(A)=4$ dan $n(B)=3$.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah $3^{4}=81$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 81$
12. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2009 |*Soal Lengkap
Diberikan himpunan
$\begin{align}
A\ & = \left\{ (\varnothing ),(a), (b), (a,b) \right \} \\ B\ & = \left\{ (\varnothing ),(a,b),(a,b,c) \right \}
\end{align}$
Pernyataan yang benar adalah...
Alternatif Pembahasan:
- $A \cap B =\varnothing$, salah karena $A \cap B= (\varnothing ),(a,b)$
- $\{ \varnothing \}\subseteq A\ ;\ \{ \varnothing \}\subseteq B$, salah karena $\{ (\varnothing) \}\subseteq A\ ;\ \{ (\varnothing) \}\subseteq B$
- $\varnothing \subseteq A\ ;\ \varnothing \subseteq B$, benar
- $n(A) \lt n(B)$, salah karena $n(A) \gt n(B)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \varnothing \subseteq A\ ;\ \varnothing \subseteq B$
13. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2008 |*Soal Lengkap
Dalam sebuah kelas, $20$ murid mengikuti les Bahasa Inggris, $70$ murid mengikuti les Matematika, $8$ murid mengikuti kedua-duanya dan $15$ murid tidak mengikuti les apapun. Berapakah jumlah murid di kelas tersebut?
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $15$ murid tidak ikut les Bahasa Inggris atau Matematika sehingga pada diagram venn di atas $15$ di luar lingkaran Bahasa Inggris atau Matematika.
- Ada $20$ murid ikut les Bahasa Inggris, dan dari yang $20$ murid ini ada juga yang ikut les Matematika yaitu sebanyak $8$ siswa.
Sehingga yang ikut les Bahasa Inggris tetapi tidak ikut les Matematika ada $20-8=12$ murid. - Ada $70$ murid ikut les Matematika, dan dari yang $70$ murid ini ada juga yang ikut les Bahasa Inggris, yaitu sebanyak $8$ siswa.
Sehingga yang ikut les Matematika tetapi tidak ikut les Bahasa Inggris ada $70-8=62$ siswa. - Banyak siswa keseluruhan kita misalkan adalah $x$, tetapi yang ikut les Bahasa Inggris atau Matematika hanya ada $x-15$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(P \cup L) & =n(P)+n(L)-n(P \cap L) \\ x-15 & =70+20-8 \\ x-15 & = 82 \\ x & = 82+15 \\ x & = 97 \end{align}$
Banyak siswa keseluruhan adalah $x=97$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 97\ \text{siswa}$
14. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2008 |*Soal Lengkap
Dalam suatu survey yang dilakukan terhadap $60$ orang, diperoleh informasi bahwa $25$ orang berlangganan Newsweek, $26$ orang berlangganan Time, dan $26$ orang berlangganan Fortune. Diketahui juga bahwa $9$ orang berlangganan Newsweek dan Fortune, $11$ orang berlangganan Newsweek dan Time, $8$ orang berlangganan Time dan Fortune, dan $8$ orang tidak berlangganan majalah apapun. Berapa orangkah yang berlangganan ketiga majalah Newsweek, Time dan Fortune?
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Kita misalkan yang berlangganan ketiga majalah Newsweek, Time dan Fortune adalah $x$ orang.
- $25$ orang langganan $N$,
- $9-x$ juga langganan $F$,
- $11-x$ juga langganan $T$,
- $x$ orang juga langanan $F$ dan $T$.
- $26$ orang langganan $T$,
- $8-x$ juga langganan $F$,
- $11-x$ juga langganan $N$,
- $x$ orang juga langanan $F$ dan $T$.
- $26$ orang langganan $F$,
- $8-x$ juga langganan $T$,
- $9-x$ juga langganan $N$,
- $x$ orang juga langanan $N$ dan $T$.
- Jumlah keseluruhan yang disurvei adalah $60$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} (5+x)+(9+x)+(7+x)+(8-x)+(9-x)+(11-x)+x+8\ & = 60 \\ 5+x + 9+x + 7+x + 8-x + 9-x + 11-x +x+8\ & = 60 \\ 57+x\ & = 60 \\ x\ & = 60-57 \\ x\ & = 3 \end{align}$
Banyak keluarga yang berlangganan ketiga majalah adalah $3$ keluarga
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
15. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2007 |*Soal Lengkap
Dari $44$ siswa dalam kelas, terdapat $30$ siswa gemar pelajaran matematika dan $26$ siswa gemar pelajaran fisika. Jika $3$ siswa tidak gemar kedua pelajaran tersebut, mana banyaknya siswa yang gemar dengan kedua pelajaran tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
- Ada $3$ siswa tidak gemar Matematika atau Fisika sehingga pada diagram venn di atas $3$ di luar lingkaran Matematika atau Fisika.
- Ada $30$ siswa gemar Matematika, dan dari yang $30$ siswa ini ada juga yang gemar Fisika kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang gemar Matematika tetapi tidak gemar Fisika ada $30-x$ siswa. - Ada $26$ siswa gemar Fisika, dan dari yang $26$ siswa ini ada juga yang gemar Matematika kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang gemar Fisika tetapi tidak gemar Matematika ada $22-x$ siswa. - Banyak siswa keseluruhan adalah $44$ tetapi yang gemar Matematika atau Fisika hanya ada $44-3=41$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(M \cup F) & =n(M)+n(F)-n(M \cap F) \\ 41 & =30 + 26 - x \\ 41 & =56- x \\ x & = 56-41 \\ x & = 15 \end{align}$
Banyak siswa yang gemar Matematika dan Fisika adalah $x=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15\ \text{siswa}$
16. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2006 |*Soal Lengkap
Kumpulan-kumpulan berikut ini yang merupakan himpunan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Himpunan adalah kumpulan benda ataupun obyek yang anggota-anggotanya dapat didefinisikan secara jelas, sehingga antara satu orang dengan yang lain tidak akan terjadi multi tafsir.
Antara kumpulan dan himpunan yang membedakan adalah pembatasannya, kumpulan tanpa adanya batasan yang jelas, sedangkan himpunan memiliki batasan yang jelas.
Dari kumpulan di atas yang paling jelas batasannya adalah Siswa-siswi SMA Yayasan Soposurung yang berkaca mata.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{Siswa-siswi SMA Yayasan Soposurung yang berkaca mata.}$
17. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2006 |*Soal Lengkap
Jika $M=\{\text{Huruf pembentuk kata "PARYASOP NABURJU"} \}$ maka $n(M)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Huruf-huruf pembentuk "PARYASOP NABURJU" adalah "PARYSOP NBUJ" $n(M)=11$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 11$
18. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2006 |*Soal Lengkap
$A=\left\{ \text{Himpunan bilangan bulat} \right\}$
$B=\left\{ \text{Himpunan bilangan prima} \right\}$
maka $A \cap B$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$A=\left\{ \text{Himpunan bilangan bulat} \right\}$
$A=\left\{\cdots,-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots \right\}$
$B=\left\{ \text{Himpunan bilangan prima} \right\}$
$B=\left\{ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ \cdots \right\}$
Irisan dari kedua himpunan diatas adalah $\text{Himpunan bilangan prima}$, atau karena semua bilangan prima merupakan bilangan bulat.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \text{Himpunan bilangan prima}$
19. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2006 |*Soal Lengkap
Jumlah siswa suatu kelas $60$ orang. Sebanyak $30$ siswa senang sepak bola dan $40$ siswa senang bulu tangkis. Jika $5$ siswa tidak senang sepak bola dan bulu tangkis maka jumlah siswa yang menyenangi sepak bola dan bulu tangkis adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $5$ siswa tidak senang Sepak bola atau Bulu tangkis sehingga pada diagram venn di atas $5$ di luar lingkaran senang Sepak bola atau Bulu tangkis.
- Ada $30$ siswa senang Sepak bola, dan dari yang $30$ siswa ini ada juga yang senang Bulu tangkis kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang senang Sepak bola tetapi tidak senang Bulu tangkis ada $30-x$ siswa. - Ada $40$ siswa senang Bulu tangkis, dan dari yang $40$ siswa ini ada juga yang senang Sepak bola kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang senang Bulu tangkis tetapi tidak senang Sepak Bola ada $40-x$ siswa. - Banyak siswa keseluruhan adalah $60$ tetapi yang senang Sepak bola atau Bulu tangkis hanya ada $60-5=55$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(SB \cup BT) & =n(SB)+n(BT)-n(SB \cap BT) \\ 55 & =30 + 40 - x \\ 55 & =70- x \\ x & = 70-55 \\ x & = 15 \end{align}$
Banyak siswa yang senang Sepak bola dan Bulu tangkis adalah $x=15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15\ \text{siswa}$
20. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2005 |*Soal Lengkap
Dari $20$ siswa diperoleh data bahwa $9$ siswa tidak suka jeruk, $7$ siswa tidak suka apel dan $7$ siswa suka jeruk maupun apel. Siswa yang tidak suka maupun apel sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Banyak siswa yang tidak suka Jeruk atau Apel kita misalkan sebanyak $x$ siswa, sehingga pada diagram venn di atas $x$ di luar lingkaran Jeruk atau Apel.
- Ada $9$ siswa tidak suka Jeruk, dan dari yang $9$ siswa ini ada juga tidak suka Apel yang kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang tidak suka hanya Jeruk (*atau hanya suka Apel) ada $9-x$ siswa. - Ada $7$ siswa tidak suka Apel, dan dari yang $7$ siswa ini ada juga tidak suka Jeruk yang kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang tidak suka hanya Apel (*atau hanya suka Jeruk) ada $7-x$ siswa. - Banyak siswa keseluruhan adalah $20$ tetapi yang suka Jeruk atau Apel hanya ada $20-x$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(J \cup A) & =n(J)+n(A)-n(J \cap A) \\ 20-x & = 14-x + 16 - x - 7 \\ 20-x & = 33 - 2x \\ 2x-x & = 23-20 \\ x & = 3 \end{align}$
Banyak siswa yang tidak suka Jeruk atau Apel adalah $x=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3\ \text{siswa}$
21. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2004 |*Soal Lengkap
Dari $14$ siswa $6$ siswa tidak suka matematika, $7$ siswa tidak suka Fisika, dan $4$ siswa tidak keduanya. Banyaknya siswa yang suka matematika adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $4$ siswa tidak suka Matematika atau Fisika sehingga pada diagram venn di atas $4$ diluar lingkaran Matematika atau Fisika.
- Ada $6$ siswa tidak suka Matematika, dan dari yang $6$ siswa ini ada $4$ siswa tidak suka juga Fisika.
Sehingga yang tidak suka Matematika tetapi suka Fisika ada $6-4=2$ siswa. - Ada $7$ siswa tidak suka Fisika, dan dari yang $7$ siswa ini ada $4$ siswa tidak suka juga Matematika.
Sehingga yang tidak suka Fisika tetapi suka Matematika ada $7-4=3$ siswa. - Banyak siswa keseluruhan adalah $14$, tetapi yang suka Matematika atau Fisika hanya ada $14-4=4$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(M \cup F) & =n(M)+n(F)-n(M \cap F) \\ 10 & =3+x + 2+x - x \\ 10 & =5+x \\ 10-5 & =x \\ 5 & =x
\end{align}$
Banyak siswa yang suka matematika adalah $3+x=8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8\ \text{orang}$
22. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2004 |*Soal Lengkap
Dari $30$ kepala keluarga, $19$ keluarga memiliki TV, $17$ keluarga memiliki radio dan $7$ keluarga tidak memiliki TV maupun radio. Keluarga yang tidak memiliki TV ada sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
Jika yang informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $7$ keluarga tidak punya TV atau Radio sehingga pada diagram venn di atas $7$ di luar lingkaran TV atau Radio.
- Ada $19$ keluarga punya TV, dan dari yang $19$ keluarga ini ada juga yang punya Radio kita misalkan sebanyak $x$ keluarga.
Sehingga yang punya TV tetapi tidak punya Radio ada $19-x$ siswa. - Ada $17$ keluarga punya Radio, dan dari yang $17$ keluarga ini ada juga yang punya TV kita misalkan sebanyak $x$ keluarga.
Sehingga yang punya Radio tetapi tidak punya TV ada $17-x$ siswa. - Banyak keluarga keseluruhan adalah $30$ tetapi yang punya TV atau Radio hanya ada $30-7=23$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(T \cup R) & =n(T)+n(R)-n(T \cap R) \\ 23 & =19 + 17 - x \\ 23 & =36- x \\ x & = 36-23 \\ x & = 13 \end{align}$
Banyak keluarga yang tidak punya TV adalah $17-x$ ditambah $7$ yaitu $(17-13)+7=11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 11$
23. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan $ K = \{ 1 \lt x \leq 11,\ x\ \text{bilangan ganjil} \}.$
Banyak himpunan bagian dari himpunan $K$ yang mempunyai $3$ anggota adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak anggota himpunan bagian (HB) suatu himpunan adalah $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota himpunan, silahkan dipelajari Teori Dasar Himpunan
Himpunan $K$ jika kita tuliskan anggota himpunannya menjadi;
$ K = \{ 3,5,7,9,11 \}$, $n=5$
Banyak anggota himpunan bagian $K$ adalah $2^{5}=32$.
Untuk menentukan banyak anggota himpunan bagian (HB) yang terdiri dari $0$, $1$, $2$, $3$ sampai $5$ anggota dapat kita gunakan segitiga pascal;
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $0$ anggota dari $5$ adalah $1$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $1$ anggota dari $5$ adalah $5$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $2$ anggota dari $5$ adalah $10$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $3$ anggota dari $5$ adalah $10$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $4$ anggota dari $5$ adalah $5$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $5$ anggota dari $5$ adalah $1$.
Banyak himpunan bagian $K$ yang memiliki $3$ anggota adalah $10$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$
24. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan $ K = \{ \text{bilangan bulat antara 2 dan 9} \}.$
Banyak himpunan bagian dari $K$ yang memiliki $2$ anggota adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak anggota himpunan bagian (HB) suatu himpunan adalah $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota himpunan, silahkan dipelajari Teori Dasar Himpunan
Himpunan $K$ jika kita tuliskan anggota himpunannya menjadi;
$ K = \{ 3,4,5,6,7,8 \}$, $n=6$
Banyak anggota himpunan bagian $K$ adalah $2^{6}=64$.
Untuk menentukan banyak anggota himpunan bagian (HB) yang terdiri dari $0$, $1$, $2$, sampai $6$ anggota dapat kita gunakan segitiga pascal;
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $0$ anggota dari $6$ adalah $1$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $1$ anggota dari $6$ adalah $6$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $2$ anggota dari $6$ adalah $15$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $3$ anggota dari $6$ adalah $20$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $4$ anggota dari $6$ adalah $15$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $5$ anggota dari $6$ adalah $6$.
- Banyak anggota HB yang terdiri dari $6$ anggota dari $6$ adalah $1$.
Banyak himpunan bagian $K$ yang memiliki $2$ anggota adalah $15$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15$
25. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui:
Komplemen dari $A \cap B$ adalah...
- Himpunan semesta $S$ adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari $20$.
- Himpunan semesta $A$ adalah himpunan bilangan prima antara $3$ dan $20$.
- Himpunan semesta $B$ adalah himpunan bilangan asli antara $2$ dan $15$.
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal kita peroleh:
- Himpunan semesta $S$ adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari $20$.
$S=\{0,1,2,3,\cdots,17,18,19,20 \}$. - Himpunan semesta $A$ adalah himpunan bilangan prima antara $3$ dan $20$.
$A=\{ 5,7,11,13,17,19 \}$. - Himpunan semesta $B$ adalah himpunan bilangan asli antara $2$ dan $15$.
$B=\{ 3,4,5,\cdots,13,14 \}$. - Irisan himpunan $A$ dan $B$.
$A \cap B=\{ 5,7,11,13 \}$. - Komplemen himpunan $A$ dan $B$.
$ \left( A \cap B \right)^{c}=\{ 0,1,2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,17,18,19 \}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \{ 0,1,2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,17,18,19 \}$
26. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Wawancara dari $40$ orang pembaca majalah diketahui $5$ orang suka membaca majalah tentang politik dan olahraga, $9$ orang yang tidak menyukai keduanya. Banyak pembaca menyukai majalah olahraga sama dengan dua kali banyak pembaca yang menyukai majalah politik. Banyak pembaca yang menyukai majalah politik adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $9$ orang tidak baca Olahraga atau Politik sehingga pada diagram venn di atas $9$ di luar lingkaran Olahraga atau Politik.
- Banyak orang yang baca Olahraga dua kali banyak orang yang baca Politik. Jika banyak siswa yang baca politik adalah $x$ maka banyak orang yang baca Olahraga adalah $2x$.
- Ada $5$ orang baca Olahraga dan Politik.
Sehingga banyak orang yang baca hanya Politik adalah $x-5$, dan banyak orang yang baca hanya Olahraga adalah $2x-5$. - Banyak orang keseluruhan adalah $40$, tetapi yang baca Olahraga atau Politik hanya ada $40-9=31$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(O \cup P) & =n(O)+n(P)-n(O \cap P) \\ 31 & =2x + x - 5 \\ 31+5 & =3x \\ 36 & = 3x \\ 12 & = x \end{align}$
Banyak orang yang baca Politik adalah $x=12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12\ \text{orang}$
27. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Sebuah kelas terdiri dari $40$ siswa, diperoleh data $30$ siswa pernah berkunjung ke Ancol, dan $25$ siswa pernah berkunjung ke Taman Mini. Jika $10$ anak tidak pernah berkunjung ke Ancol maupun Taman Mini, banyaknya anak yang pernah berkunjung ke dua tempat tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $10$ orang tidak pernah ke Ancol atau Taman Mini, sehingga pada diagram venn di atas $10$ di luar lingkaran Ancol atau Taman Mini.
- Ada $30$ orang pernah ke Ancol, dan dari yang $30$ orang ini ada juga yang pernah ke Taman Mini kita misalkan sebanyak $x$ orang.
Sehingga yang pernah ke Ancol tetapi tidak pernah ke Taman Mini ada $30-x$ siswa. - Ada $25$ orang pernah ke Taman Mini, dan dari yang $25$ orang ini ada juga yang pernah ke Ancol kita misalkan sebanyak $x$ orang.
Sehingga yang pernah ke Taman Mini tetapi tidak pernah ke Ancol ada $25-x$ orang. - Banyak siswa keseluruhan adalah $40$ tetapi yang pernah ke Ancol atau Taman Mini hanya ada $40-10=30$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(R \cup SB) & =n(R)+n(SB)-n(R \cap SB) \\ 30 & =30 + 25 - x \\ 30 & =55- x \\ x & = 55-30 \\ x & = 25 \end{align}$
Banyak siswa yang pernah ke Ancol dan Taman Mini adalah $x=25$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25\ \text{siswa}$
28. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui:
$S=\left \{x | x \leq 12,\ x\ \text{bilangan asli}\right \}$
$P=\left \{x | 1 \leq x \lt 12,\ x\ \text{bilangan prima}\right \}$
$Q=\left \{x | 1 \leq x \leq 12,\ x\ \text{bilangan ganjil}\right \}$
Diagram Venn yang tepat untuk himpunan atas adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan anggota himpunan-himpunan yang disampaikan pada soal, anggotanya adalah sebagai berikut;
$S=\left \{1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 11,\ 12\right \}$
$P=\left \{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11\ \right \}$
$Q=\left \{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11 \right \}$
$P \cap Q=\left \{ 3,\ 5,\ 7,\ 11, \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$
29. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap
Dalam suatu kelas yang terdiri dari $35$ anak, terdapat $25$ anak suka pelajaran matematika dan $20$ anak suka pelajaran fisika. Jika terdapat $3$ anak yang tidak suka pelajaran matematika maupun fisika, maka banyak anak yang suka kedua pelajaran itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $3$ siswa tidak suka Matematika atau Fisika sehingga pada diagram venn di atas $3$ di luar lingkaran Matematika atau Fisika.
- Ada $25$ siswa suka Matematika, dan dari yang $25$ siswa ini ada juga yang suka Fisika kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang suka Matematika tetapi tidak suka Fisika ada $25-x$ siswa. - Ada $20$ siswa suka Fisika, dan dari yang $20$ siswa ini ada juga yang suka Matematika kita misalkan sebanyak $x$ siswa.
Sehingga yang suka Fisika tetapi tidak suka Matematika ada $20-x$ siswa. - Banyak siswa keseluruhan adalah $35$ tetapi yang suka Matematika atau Fisika hanya ada $35-3=32$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(M \cup F) & =n(M)+n(F)-n(M \cap F) \\ 32 & =25 + 20 - x \\ 32 & =45- x \\ x & = 45-32 \\ x & = 7 \end{align}$
Banyak siswa yang suka Matematika dan Fisika adalah $x=7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 7\ \text{siswa}$
30. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap
Di sebuah pasar terdapat $40$ orang pedagang, $25$ orang pedagang menjual tas, $23$ orang pedagang menjua sepatu, dan $9$ orang pedagang menjual keduanya. Banyak pedagang yang tidak menjual tas maupun sepatu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Banyak pedagang yang tidak jual Tas atau Sepatu kita misalkan sebanyak $x$ orang, sehingga pada diagram venn di atas $x$ di luar lingkaran Tas atau Sepatu.
- Ada $25$ pedagang yang jual Tas, dan dari yang $25$ pedagang ini ada juga yang jual Sepatu yaitu sebanyak $17$ pedagang.
Sehingga yang hanya jual Tas ada $25-17=8$ pedagang. - Ada $23$ pedagang yang jual Sepatu, dan dari yang $23$ pedagang ini ada juga yang jual Tas yaitu sebanyak $17$ pedagang.
Sehingga yang hanya jual Sepatu ada $23-17=6$ pedagang. - Banyak pedagang keseluruhan adalah $40$ tetapi yang jual Tas atau Sepatu hanya ada $40-x$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(T \cup Se) & =n(T)+n(Se)-n(T \cap Se) \\ 40-x & = 25 + 23 - 17 \\ 40-x & = 31 \\ 40-31 & = x \\ 9 & = x \end{align}$
Banyak pedagang yang tidak jual Tas atau Sepatu adalah $x=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9\ \text{orang}$
31. Soal UN Matematika SMP 2015 |*Soal Lengkap
Diketahui
$ \begin{align}
P & = \{ 2, 3, 5, 7, 10, 12 \} \\
Q & = \{ 1, 3, 5, 7, 9 \} \\
\end{align} $
Hasil $P-Q$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
P-Q & = \{ 2, 3, 5, 7, 10, 12 \} - \{ 1, 3, 5, 7, 9 \} \\
& = \{ 2, 10, 12 \}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \{ 2, 10, 12 \}$
32. Soal UN Matematika SMP 2014 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan $ A = \{ 2, 3, 5, 7, 9, 11 \}.$
Banyak himpunan bagian dari himpunan $A$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan Teori Dasar Himpunan kita ketahui bahwa banyak anggota himpunan bagian (HB) suatu himpunan adalah $2^{n}$, dimana $n$ adalah banyak anggota himpunan.
Himpunan $A$ jika kita tuliskan anggota himpunannya menjadi;
$ A = \{ 2, 3, 5, 7, 9, 11 \}$, $n=6$
Banyak anggota himpunan bagian $A$ adalah $2^{6}=64$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 64$
33. Soal UN Matematika SMP 2014 |*Soal Lengkap
Ada $40$ peserta yang ikut lomba. Lomba baca puisi diikuti oleh $23$ orang, lomba baca puisi dan menulis cerpen diikuti $12$ orang. Banyak peserta yang mengikuti lomba menulis cerpen adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $23$ orang ikut lomba Puisi, dan dari yang $23$ orang ini ada juga yang ikut lomba Cerpen sebanyak $12$ orang.
Sehingga yang ikut Puisi tetapi tidak ikut Cerpen ada $23-12=11$ orang. - Misal peserta yang ikut lomba hanya Cerpen ada $x$ orang.
Sehingga untuk peserta keseluruhan $40$ dan semua ikut lomba dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(P \cup C) & =n(P)+n(C)-n(P \cap C) \\ 40 & =(11+12) + (x + 12)-(12) \\ 40 & = 23 + x \\ 40-23 & = x \\ 17 & = x \end{align}$
Banyak siswa yang lomba menulis cerpen adalah $x+12=17+12=29$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 29\ \text{orang}$
34. Soal UN Matematika SMP 2013 |*Soal Lengkap
Diketahui
$ \begin{align}
P & = \{ x | 7 \lt x \leq 11, x\ \text{bilangan bulat} \} \\ Q & = \{ x | x \leq 15, x\ \text{bilangan ganjil} \} \end{align} $
$P \cup Q$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Himpunan $P$ dan Himpunan $Q$ jika kita tuliskan anggota himpunannya adalah;
$ \begin{align}
P & = \{ 8,9,10,11 \} \\
Q & = \{ 1,3,5,7, 9, 11,13,15 \} \\
\hline
P \cup Q & = \{ 1,3,5,7,8,9,10,11,13,15 \}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \{ 1,3,5,7,8,9,10,11,13,15 \}$
35. Soal UN Matematika SMP 2011 |*Soal Lengkap
Jika $K = \{ x | 5 \leq x \leq 9, x\ \text{bilangan asli} \}$ dan $ L = \{ x | 7 \leq x \lt 13, x\ \text{bilangan cacah} \}$
$K \cup L =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Himpunan $K$ dan Himpunan $L$ jika kita tuliskan anggota himpunannya adalah;
$ \begin{align}
K & = \{ 5,6,7,8,9 \} \\
L & = \{ 7,8,9,10,11,12 \} \\
\hline
K \cup L & = \{ 5,6,7,8,9,10,11,12 \}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \{ 5,6,7,8,9,10,11,12 \}$
36. Soal UN Matematika SMP 2011 |*Soal Lengkap
Dalam sebuah kelas tercatat $21$ siswa gemar olahraga basket, $19$ siswa gemar olahraga sepakbola, $8$ siswa gemar basket dan sepakbola, serta $14$ siswa tidak gemar olahraga. Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $14$ siswa tidak gemar olahraga Basket atau Sepakbola sehingga pada diagram venn di atas $14$ di luar lingkaran Basket atau Sepakbola.
- Ada $21$ siswa gemar Basket, dan dari yang $21$ siswa ini ada juga yang gemar Sepakbola yaitu sebanyak $8$ siswa.
Sehingga yang gemar Basket tetapi tidak gemar Sepakbola ada $21-8=13$ siswa. - Ada $19$ siswa gemar Sepakbola, dan dari yang $19$ siswa ini ada juga yang gemar Basket yaitu sebanyak $8$ siswa.
Sehingga yang gemar Sepakbola tetapi tidak gemar Basket ada $19-8=11$ siswa. - Banyak siswa keseluruhan kita misalkan adalah $x$, tetapi yang gemar olahraga Basket atau Sepakbola hanya ada $x-14$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(B \cup SB) & =n(B)+n(SB)-n(B \cap SB) \\ x-14 & =21+19-8 \\ x-14 & = 32 \\ x & = 32+14 \\ x & = 46 \end{align}$
Banyak siswa keseluruhan adalah $x=46$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 46\ \text{siswa}$
37. Soal UN Matematika SMP 2010 |*Soal Lengkap
Dari $100$ orang yang disurvei tentang kegemaran menenonton acara televisi, diperoleh $68$ orang gemar menonton sinetron, $42$ orang gemar menonton berita, dan $10$ orang tidak gemar kedua acara tersebut. Banyak orang yang hanya gemar menonton berita adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $10$ orang tidak gemar Sinetron atau Berita sehingga pada diagram venn di atas $10$ di luar lingkaran Sinetron atau Berita.
- Ada $68$ orang gemar Sinetron, dan dari yang $68$ orang ini ada juga yang gemar Berita, kita misalkan sebanyak $x$ orang.
Sehingga yang gemar Sinetron tetapi tidak gemar Berita ada $68-x$ orang. - Ada $42$ orang gemar Berita, dan dari yang $42$ orang ini ada juga yang gemar Sinetron, kita misalkan sebanyak $x$ orang.
Sehingga yang gemar Berita tetapi tidak gemar Sinetron ada $42-x$ orang. - Banyak orang keseluruhan adalah $100$, tetapi yang gemar Sinetron atau Berita hanya ada $100-10=90$ orang sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(Be \cup Si) & =n(Be)+n(Si)-n(Be \cap Si) \\ 90 & =68+42-x \\ 90 & = 110-x \\ x & = 110-90 \\ x & = 20 \end{align}$
Banyak yang gemar Berita tetapi tidak gemar Sinetron ada $42-x=42-20=22$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 22\ \text{orang}$
38. Soal UN Matematika SMP 2010 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan-himpunan
$ \begin{align}
M & = \{ x | 1 \leq x \leq 9, x \in \text{bilangan prima} \} \\ N & = \{ x | 1 \lt x \lt 9, x \in \text{bilangan ganjil} \} \end{align} $
$M \cup N = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Himpunan $M$ dan Himpunan $N$ jika kita tuliskan anggota himpunannya adalah;
$ \begin{align}
M & = \{ 2,3,5,7 \} \\
N & = \{ 3,5,7 \} \\
\hline
M \cup N & = \{ 2,3,5,7 \}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \{ 2,3,5,7 \}$
39. Soal Simulasi US Matematika SMP |*Soal Lengkap
Suatu kelas terdiri dari $42$ siswa. $\dfrac{1}{3}$ dari seluruh siswa itu menyukai olahraga berenang, $\dfrac{1}{6}$ nya menyukai berenang dan sepakbola, dan $\dfrac{3}{7}$ nya tidak menyukai kedua olahraga tersebut. Banyak orang yang menyukai sepakbola adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- $\dfrac{1}{6} \times 42 = 7$ siswa menyukai berenang dan sepakbola.
- $\dfrac{1}{3} \times 42 = 14$ siswa menyukai olahraga berenang, dan ada $7$ diantara $14$ siswa ini yang juga suka sepakbola sehingga yang suka hanya berenang ada $7$ siswa.
- $\dfrac{3}{7} \times 42 = 18$ orang tidak menyukai kedua olahraga tersebut, maka yang menyukai olahraga tersebut hanya $42-18=24$ siswa. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(Se \cup Re) & =n(Se)+n(Re)-n(Se \cap Re) \\ 24 & =x+14-7 \\ 24 & =x+ 7 \\ 24-7 & = x \\ 17 & = x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 17\ \text{siswa}$
40. Model Soal US-UM Matematika SMP 2024 |*Soal Lengkap
Diketahui himpunan
$ \begin{align}
S &= \{ 1,2,3,4,5,6 \} \\
A &= \{2,4,6 \} \\
B &= \{2,3,5 \} \\
\end{align} $
Maka anggota dari $\left( A \cap B \right)^{c}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Himpunan Semesta $S$, Himpunan $A$ dan Himpunan $B$ jika kita tuliskan anggota himpunannya adalah;
$ \begin{align}
S &= \{ 1,2,3,4,5,6 \} \\
A &= \{2,4,6 \} \\
B &= \{2,3,5 \} \\
\hline
A \cap B &= \{ 2 \}
\end{align} $
$\left( A \cap B \right)^{c}$ artinya yang bukan anggota $A \cap B = \{ 2 \}$, yaitu: $\{ 1,3,4,5,6 \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \{1,3,4,5,6\} $
41. Model Soal US-UM Matematika SMP 2024 |*Soal Lengkap
Dari $56$ orang olahragawan, terdapat $35$ orang yang gemar bulu tangkis, $9$ orang gemar bulu tangkis dan basket, dan $7$ orang tidak gemar keduanya. Banyaknya olahragawan yang hanya gemar basket adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya dapat seperti berikut ini:
Keterangan tambahan terkait diagram venn di atas adalah sebagai berikut:
- Ada $7$ orang tidak gemar bulutangkis atau basket sehingga pada diagram venn di atas $7$ di luar lingkaran bulutangkis atau basket.
- Banyak siswa yang gemar bulu tangkis $39$, karena diantaranya $9$ orang juga gemar basket sehingga yang hanya gemar bulutangkis ada $35-9=26$ orang.
- Kita misalkan ada $x$ orang yang gemar basket.
Sehingga banyak olahragawan yang gemar hanya basket adalah $x-9$. - Banyak olahragawan keseluruhan adalah $56$ orang, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n(BT \cup BA) & =n(BT)+n(BA)-n(BT \cap BA)+n(BT \cup BA)^{c} \\ 56 & =26 + 9 + x - 9 + 7 \\ 56 & =33+x \\ 23 & = x \end{align}$
Banyak olahragawan yang gemar hanya basket adalah $x-9=23-9=14$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$
42. Soal Seleksi Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige |*Soal Lengkap
Hasil penelitian terhadap $56$ siswa diperoleh data sebagai berikut. $34$ siswa mempunyai kakak, $15$ siswa mempunyai kakak dan adik dan $10$ siswa tidak mempunyai kakak maupun adik. Banyak siswa yang hanya mempunyai adik adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;
- $34$ mempunyai kakak $K$ dan $15$ diantaranya juga punya adik $A$, jadi yang hanya punya kakak $K$ adalah $34-15=19$.
- $10$ tidak mempunyai kakak $K$ atau adik $A$
- Yang hanya punya adik $A$ adalah $x$
$\begin{align}
n(K \cup A) & =n(K)+n(A)-n(K \cap A) \\
56-10 & =34 +15+x-15 \\
46 & =34+x \\
x & =46-34 \\
x & =12
\end{align}$
Banyak siswa yang hanya punya adik $A$ adalah $12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
Catatan tentang Soal dan Pembahasan Himpunan Matematika SMP di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.