The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri. Materi trigonometri yang kita diskusikan berikut kita rangkum soal-soal UJian Nasional (UN), Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara mandiri atau secara bersama.
Untuk dapat mengikuti belajar matematika dasar trigonometri ini, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema phytagoras, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar trigonometri dasar.
Penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mengukur tinggi gedung tanpa harus naik ke atas gedung. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada trigonometri juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal trigonometri dan menemukan solusinya.
Matematika dasar tentang trigonometri ini kita mulai dari pertanyaan siswa tentang trigonometri yang saya sebut merusak merusak RPP (Rencana Pelaksanaan Pembelajaran). Merusak RPP?, iya benar merusak RPP. Rencana pembelajaran yang sudah disusun berubah seketika setelah siswa mendapat satu masalah dari $10$ soal yang diberikan pada pertemuan sebelumnya.
Satu soal yang menjadi masalah ini ternyata tidak hanya membingungkan satu siswa saja, tetapi juga teman-temannya dan juga termasuk gurunya👀. Soal indentitas trigonometri ini terlihat sederhana, tetapi setelah dilakukan beberapa kali eksplorasi ternyata masih belum mendapatkan hasil yang memuaskan.
Ding... Dong... waktunya istirahat... Ding... Dong... it's time to have break...
Suara bel yang diikuti dengan pemberitahuan dari pengeras suara menghentikan sementara eksplorasi di dalam kelas, dengan sangat terpaksa eksplorasi dilanjutkan secara pribadi-pribadi.
Soal yang menjadi masalah adalah soal yang dikutip dari soal latihan uji kompetensi buku matematika kelas XI IPA penerbit yudisthira penulis Drs. H. Sigit Suprijanto pada halaman 194.
Soalnya adalah "Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ maka $\tan\ \frac{1}{2}\ \theta=...$"
Pada buku matematika IPA kelas XI Penerbit Esis penulis Sulistiyono dan kawan-kawan halaman 169 disampaikan bahwa soal tersebut sudah pernah disajikan pada saat UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2001. Perbedaannya hanya pada buku matematika penerbit Yudistira soal disajikan dalam bentuk uraian sedangkan pada buku penerbit Esis disajikan pilihan ganda. Soalnya kurang lebih disajikan sebagai berikut;
Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\tan\ \frac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
&(A)\ \dfrac{a}{a+1} && (C)\ \dfrac{a+1}{a-1} && (E)\ 2a^{2} \\ &(B)\ \dfrac{1}{a+1} && (D)\ \dfrac{a-1}{a+1} \end{align}$
Sebagai informasi tambahan bahwa soal di atas juga pernah disajikan pada saat Ujian Masuk Universitas Gajah Mada (UM UGM) pada tahun 2006 yang disajikan juga dalam bentuk pilihan ganda, soalnya seperti berikut ini:
Jika $\dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $\tan\ \frac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
&(A)\ \dfrac{a}{a+1} && (C)\ \dfrac{a+1}{a-1} && (E)\ \dfrac{a}{a-1} \\ &(B)\ \dfrac{1}{a+1} && (D)\ \dfrac{a-1}{a+1} \end{align}$
Untuk mengerjakan soal di atas, mungkin kita memerlukan beberapa catatan aturan dasar pada trigonometri, antara lain:
- $\cos\ 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
- $\cos\ 4\theta=\cos^{2}2\theta-\sin^{2}2\theta$
- $\cos\ \theta=\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
- $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
- $\sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
- $\sin\ 2\theta=2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$
- $\sin\ 4\theta=2\ \sin\ 2\theta\ \cos\ 2\theta$
- $\sin\ \theta=2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta$
Data-data yang kita peroleh di atas kita substitusikan ke soal, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
a &= \dfrac{\cos\ \theta}{1-\sin\ \theta} \\
a &= \dfrac{\cos^{2}\frac{1}{2}\theta-\sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( \sin^{2}\frac{1}{2}\theta+\cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ \sin\ \frac{1}{2}\theta\ \cos\ \frac{1}{2}\theta \right )} \\
a &= \dfrac{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( \cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}} \\
a &= \dfrac{\left (\cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right )}
\end{align}$
Diketahui $\theta \neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ sehingga $\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \neq 0$, maka dapat dikali silang sehingga berlaku:
$\begin{align}
a\left (\cos\frac{1}{2}\theta-\sin\frac{1}{2}\theta \right ) &= \left (\cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \right ) \\
a\ \cos\frac{1}{2}\theta-a\ \sin\frac{1}{2}\theta &= \cos\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \\
a\ \cos\frac{1}{2}\theta-\cos\frac{1}{2}\theta &= a\ \sin\frac{1}{2}\theta+\sin\frac{1}{2}\theta \\
\cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right ) &= \sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right ) \\
\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \frac{\sin\frac{1}{2}\theta}{\cos\frac{1}{2}\theta} \\
\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )} &= \tan\frac{1}{2}\theta
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \dfrac{a-1}{a+1}$
Soal dan Pembahasan Trigonometri Dasar Matematika SMA
Untuk melengkapi diskusi Matematika Dasar kita tentang Trigonometri beberapa soal tambahan berikut mungkin bermanfaat. Pembahasan soal Trigonometri Dasar matematika SMA ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal latihan Soal dan Pembahasan Trigonometri Dasar Matematika SMA ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
41. Soal SPMB 2004 Kode 741 |*Soal Lengkap
Jika $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku dan $\tan\ \alpha = \sqrt{2}\ \sin\ \beta$, maka $\sin^{2}\alpha =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku sehingga berlaku $\alpha+\beta =90^{\circ}$.
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \beta \\
\tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \left( 90^{\circ}-\alpha \right) \\
\dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha} &= \sqrt{2}\ \cos\ \alpha \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \cos^{2}\alpha \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \left( 1-\sin^{2}\alpha \right) \\
\sin\ \alpha &= \sqrt{2}-\sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha \\
0 &= \sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha +\sin\ \alpha - \sqrt{2} \\
0 &= \left( \sqrt{2}\ \sin\ \alpha - 1 \right)\left( \sin\ \alpha + \sqrt{2} \right) \\
\sin\ \alpha & = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{atau}\ \sin\ \alpha = -\sqrt{2}
\end{align}$
karena $\alpha$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\sin^{2}\alpha = \dfrac{1}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}$
42. Soal SPMB 2004 Kode 140 |*Soal Lengkap
Jika $\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ dan memenuhi $2\ \tan\ A = \sin\ B$, maka $\sin\ A=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ sehingga $A$ dan $B$ merupakan sudut lancip dan berlaku $A+B =90^{\circ}$.
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \tan\ A &= \sin\ B \\
2\ \tan\ A &= \sin\ \left( 90^{\circ}-A \right) \\
2\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &= \cos\ A \\
2\ \sin\ A &= \cos^{2} A \\
2\ \sin\ A &= 1-\sin^{2}A \\
0 &= \sin^{2} A + 2 \sin\ A - 1 \\
\hline
\sin\ A_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\
&= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\
&= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
karena $A$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ A = -1 + \sqrt{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2}-1$
43. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap
Jika sudut $\theta$ di kuadran IV dan $\cos\ \theta=\dfrac{1}{a}$, maka $\sin\ \theta=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta &= 1 \\
\sin^{2}\theta+\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} &= 1 \\
\sin^{2}\theta + \dfrac{1}{a^{2}} &= 1 \\
\sin^{2}\theta &= 1 - \dfrac{1}{a^{2}} \\
\sin^{2}\theta &= \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}} \\
\sin\ \theta &=\pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}}} \\
\sin\ \theta &=\pm \dfrac{\sqrt{\sqrt{a^{2}-1}}}{a}
\end{align}$
karena $\theta$ di kuadran IV maka $\sin\ \theta =- \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a}$
44. Soal SPMB 2005 Kode 270|*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang memenuhi $2\ \cos^{2}x+\cos\ x-1=0$, untuk $0 \leq x \leq \pi$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kudrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \cos^{2}x+\cos\ x -1 &= 0 \\
\left( 2\ \cos\ x -1 \right)\left( \cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
\cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.
Karena $0 \leq x \leq \pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3} \pi\ \text{dan}\ \pi$
45. Soal SPMB 2005 Kode 280 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian persamaan $\cos\ 2x + \cos\ x =0$, dimana $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kuadrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\cos\ 2x + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x-\sin^{2}x + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x-\left( 1 - \cos^{2}x \right) + \cos\ x &= 0 \\
\cos^{2}x- 1 + \cos^{2}x + \cos\ x &= 0 \\
2\cos^{2}x+\cos\ x -1&= 0 \\
\left( 2\cos\ x - 1 \right)\left(\cos\ x + 1 \right) &= 0 \\
\cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\
\end{align}$
Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$
dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$.
Karena $0 \leq x \leq 2\pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}, 300^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}$
46. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324|*Soal Lengkap
Jika $a-b=\sin\ \theta$ dan $\sqrt{2ab}=\cos\ \theta$, maka $\left( a+b \right)^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan manipulasi aljabar, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} a-b & = \sin\ \theta \\ \left(a-b \right)^{2} & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ \hline \sqrt{2ab} & =\cos\ \theta \\ 2ab & =\cos^{2} \theta \\ \hline a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-\cos^{2} \theta & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2} & = \sin^{2}+\cos^{2} \theta \theta \\ a^{2}+b^{2} & = 1 \end{align}$
$\begin{align} \left(a+b \right)^{2} & = a^{2}+b^{2}+2ab \\ & = 1+\cos^{2} \theta \\ & = 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cos\ 2\theta \\ & = \frac{1}{2} \left( 3+ \cos\ 2\theta \right) \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} \left(3+\cos\ 2 \theta \right)$
47. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap
Jika $\cos\ \alpha=\dfrac{1}{3}$, maka
$ \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;
- $\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\ \alpha$
- $\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )=\cos\ \alpha$
- $\sin^{2}\alpha =1-\cos^{2}\alpha$
$\begin{align} \sin^{2}\alpha & = 1-\cos^{2}\alpha \\ & = 1- \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \\ & = 1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \\ \sin\ \alpha & = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \\ \tan\ \alpha & = \dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}=\dfrac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2} \\ \hline & \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\sin\ \alpha + \cos\ \alpha }{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} +\dfrac{\frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{3 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = -\dfrac{4}{12 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 } \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 }$
48. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap
Jika $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$, maka nilai minimum dari $\cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right)$ tercapai saat $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$.
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah:
$\begin{align}
y &= cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right) \\
&= cot\ \left( x+ 60^{\circ} \right)-\tan\ \left( 120^{\circ}-x \right) \\
&= \tan\ \left( 90^{\circ} - \left( x+ 60^{\circ} \right) \right)-\tan\ \left( 90^{\circ}+30^{\circ}-x \right) \\
&= \tan\ \left( 30^{\circ} - x \right)+\cot\ \left( 30^{\circ} -x \right) \\
&= \dfrac{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}+ \dfrac{\cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{\sin^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)+\cos^{2}\ \left( 30^{\circ} - x \right)}{\sin\ \left( 30^{\circ} - x \right) \cdot \cos\ \left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)} \\
&= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)}
\end{align}$
Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 1 \\
\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right) &= \sin\ 90^{\circ} \\
\hline
2\left( 30^{\circ} - x \right) &= 90^{\circ} \\
30^{\circ} - x &= 45^{\circ} \\
- x &= 45^{\circ}-30^{\circ} \\
x &= -15^{\circ}=-\dfrac{\pi}{12}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\frac{1}{12}\pi$
49. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Jika $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ dan $x$ memenuhi $5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x \geq 1$, maka himpunan semua $y=\tan\ x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq 1 \\
5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x \\
5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x-\cos^{2}x& \geq 0 \\
4\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x & \geq 0 \\
\hline
\text{dibagi}\ \cos^{2} x & \\
\hline
\dfrac{4\cos^{2} x}{\cos^{2} x} +\dfrac{3 \sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2} x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\
4 +\dfrac{3 \sin\ x }{\cos\ x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\
4 + 3 \tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\
\tan^{2}x - 3 \tan\ x - 4 & \leq 0 \\
y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\
\left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\
y=4\ \text{atau}\ y=-1 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \leq y \leq 4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}$
50. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Jika $\sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x=0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan\ 2x =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x & =0 \\
\sin\ x + \sin\ 3x+ \sin\ 2x & =0 \\
2\ \sin\ \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ \cos\ \left(\frac{x-3x}{2} \right) + \sin\ 2x & =0 \\
2\ \sin\ 2x\ \cos\ \left( -x \right) + \sin\ 2x & =0 \\
2\ \sin\ 2x\ \cos\ x + \sin\ 2x & =0 \\
\sin\ 2x \left( 2\cos\ x + 1 \right) & =0 \\
\sin\ 2x=0\ \text{atau}\ \cos\ x + 1=0 & \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\sin\ 2x &= 0 \\
\sin\ 2x &=\sin\ 0 \\
x &= 0\ \text{(TM)} \\
\hline
2\cos\ x + 1 &= 0 \\
2\cos\ x &= -1\\
\cos\ x &= -\dfrac{1}{2} \\
\cos\ x &= \cos\ 120 \\
x &= 120 \\
\hline
\tan\ 2x & = \tan\ 240 \\
& = \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$
51. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Jika $\tan x=2$, maka $\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari nilai $\tan x=2$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} & = \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\
& = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos x}} \\
& = \dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} \\
& = \dfrac{2+1}{2-1} = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
52. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Jika $x$ adalah sudut, dengan $90^{\circ} \lt x \lt 180^{\circ}$ dan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$, maka $\cos x = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$ dan beberapa identitas trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
4-2 \cos^{2} x &= 5 \sin x \\
4-2 \left( 1- \sin^{2}x \right) &= 5 \sin x \\
4-2 +2 \sin^{2}x &= 5 \sin x \\
2 \sin^{2}x - 5 \sin x +2 &= 0 \\
\left( 2 \sin x - 1 \right) \left( \sin x - 2 \right) &= 0 \\
\sin x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ \sin x = 2\ & \text{(TM)} \\
\hline
\sin x=\frac{1}{2} & \longrightarrow x=150^{\circ} \\
\cos 150^{\circ} &= \cos \left( 180^{\circ}- 30^{\circ} \right) \\
&= -\cos 30^{\circ} \\
&= -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
53. Soal SPMB 2004 Kode 440 |*Soal Lengkap
Pada $\bigtriangleup ABC$ diketahui $\angle B=45^{\circ}$ dan $CT \perp AB$. Jika $BC=x$ dan $AT=1\frac{1}{2}\sqrt{x}$, maka $\cos x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kta gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini:
Pada segitiga siku-siku $CBT$, karena $\angle B=45^{\circ}$ maka berlaku:
$\begin{align}
\\sin\ 45^{\circ} &= \dfrac{CT}{BC} \\
\frac{1}{2}\sqrt{2} &= \dfrac{CT}{x} \\
\frac{1}{2}\sqrt{2}x &= CT
\end{align}$
Pada segitiga siku-siku $ACT$, berlaku:
$\begin{align}
AC^{2} &= AT^{2}+CT^{2} \\
AC^{2} &= \left(\frac{3}{2}\sqrt{2}x \right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}x \right)^{2} \\
AC^{2} &= \frac{9}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}x^{2}=5x^{2} \\
AC &= \sqrt{5x^{2}} = x\sqrt{5} \\
\hline
\cos\ A &= \dfrac{AT}{AC} \\
&= \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{2}x}{x\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{3}{10}\sqrt{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{3}{10}\sqrt{10}$
54. Soal SPMB 2004 Kode 440 |*Soal Lengkap
Pada $\bigtriangleup ABC$ diketahui titik $D$ adalah titik tengah $AC$. Jika $BC=a$, $AC=B$, $AB=c$ dan $BD=d$, maka $d^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini:
Pada $\bigtriangleup ABD$ dan $\bigtriangleup ABC$, dapat kita terapakn aturan cosinus yaitu:
$\begin{align}
d^{2} &= c^{2} + \left( \frac{1}{2}b \right)^{2} -2 \cdot \left( \frac{1}{2}b \right) \cdot \left( c \right)\ \cos\ A \\
&= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - bc \cdot \cos A \\
&= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - bc \cdot \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\
&= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2} \\
&= c^{2} + \frac{1}{4}b^{2} - \frac{1}{2}b^{2} - \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}a^{2} \\
&= \frac{1}{2}a^{2} - \frac{1}{4}b^{2} + \frac{1}{2}c^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}$
55. Soal SPMB 2004 Kode 241 |*Soal Lengkap
Jika $0 \lt x \lt \frac{1}{2} \pi $ dan $\cos x =p$, maka $\tan\ x + \sin x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\cos x =p$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:
Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \tan\ x + \sin x \\
&= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}}{p} + \sqrt{1-p^{2}} \\
&= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}}{p} + \dfrac{p\sqrt{1-p^{2}}}{p} \\
&= \dfrac{\sqrt{1-p^{2}}+p\sqrt{1-p^{2}}}{p} \\
&= \dfrac{ \left( 1+p \right) }{p}\sqrt{1-p^{2}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1+p}{p}\sqrt{1-p^{2}}$
56. Soal SPMB 2004 Kode 640 |*Soal Lengkap
Jika $2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 = 0$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $, maka $\sin x + \cos x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 &= 0 \\
\left(2 \tan x -1 \right)\left( \tan x + 2 \right) &= 0 \\
\tan x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \tan x = -2 &
\end{align}$
Karena $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka yang kita pakai adalah $\tan x = -2$
Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\tan x = -2$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:
Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sin\ x + \cos x &= \dfrac{2}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5} \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{5} \sqrt{5}$
57. Soal SPMB 2004 Kode 541 |*Soal Lengkap
Jika $x$ memenuhi $\sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} = 0$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $, maka $\cos x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} &= 0 \\ 4\sin^{2} x - 4\sin x + 1 &= 0 \\ \left(2 \sin x - 1 \right)\left( 2 \sin x - 1 \right) &= 0 \\ \sin x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \sin x = \frac{1}{2} & \end{align}$
Untuk $\sin x = \frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka $x=150^{\circ}$. Nilai $\cos 150^{\circ}=-\frac{1}{2} \sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{1}{2} \sqrt{3}$
58. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap
Pada $\bigtriangleup ABC$ dengan sisi $a,b,$ dan $c$ berlaku $a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc$. Besarnya sudut $A$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
a^{2} &= b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\
\hline
&\ a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc \\
&\ a^{2} =b^{2}+c^{2}-bc \\
\hline
b^{2}+c^{2}-bc &= b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos A \\
-bc &= -2bc\ \cos A \\
\dfrac{-bc}{-2bc} &= \cos A \\
\dfrac{1}{2} &= \cos A \longrightarrow A =60^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 60^{\circ}$
59. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap
Panjang bayangan sebuah menara adalah $12\ \text{meter}$. Jika sudut elevasi matahari pada saat itu $60^{\circ}$, maka tinggi menara adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan menara dan sudut elevasinya, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita hitung tinggi menara dengan menggunakan tangen,
$\begin{align}
\tan 60^{\circ} &= \dfrac{\text{tinggi menara}}{\text{panjang bayangan}} \\
\sqrt{3} &= \dfrac{\text{tinggi menara}}{12\ m} \\
12\sqrt{3}\ m &= \text{tinggi menara}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12\sqrt{3}\ \text{meter}$
60. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap
Bilangan bulat terkecil $n$ yang memenuhi $n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi \gt 30$ adalah...$\left(*\text{gunakan}\ \sqrt{3}=1,732 \right)$
Alternatif Pembahasan:
Dari pertidaksamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi & \gt 30 \\
n \cdot \cos 30^{\circ} & \gt 30 \\
n \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} & \gt 30 \\
n\ & \gt \frac{60}{\sqrt{3}} \\
n\ & \gt 20 \sqrt{3} \\
n\ & \gt 20 \cdot 1,732 \\
n\ & \gt 34,64
\end{align}$
$n$ bilangan bulat terkecil adalah $35$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 35$
61. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap
Pada gambar di bawah ini, jika $\angle AOB = \theta$, $AB=p$ dan $OA=q$ maka $\cos \theta=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar dapat kita peroleh bahwa $OA=OB=q$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
p^{2} &= q^{2}+q^{2}-2q \cdot q \cdot \cos \theta \\
p^{2} &= 2q^{2}-2q^{2} \cos \theta \\
p^{2} &= 2q^{2} \left( 1 - \cos \theta \right) \\
\dfrac{p^{2}}{2q^{2}} &= 1 - \cos \theta \\
\cos \theta &= 1 - \dfrac{p^{2}}{2q^{2}} \\
\cos \theta &= \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}}$
62. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
Jika $2\ \cos^{2} x+ \cos x\ \sin x - \sin^{2}x = 0$, maka $\tan x =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2\ \cos^{2} x+ \cos x\ \sin x - \sin^{2}x &= 0 \\
\left( \cos x + \sin x \right)\left(2 \cos x - \sin x \right) &= 0 \\
\hline
\cos x + \sin x &= 0 \\
\sin x &= -\cos x \\
\dfrac{\sin x}{\cos x} &= -1 \\
\tan x &= -1 \\
\hline
2 \cos x - \sin x &= 0 \\
-\sin x &= -2 \cos x \\
\dfrac{-\sin x}{- \cos x} &= 2 \\
\tan x &= 2 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{dan}\ 2$
63. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap
Jika $\cos x\ \tan x + \frac{1}{2}\sqrt{3}=0$ untuk $1\frac{1}{2} \pi \lt x \lt 2 \pi$, maka $\cos x =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\cos x\ \tan x + \frac{1}{2}\sqrt{3} & =0 \\
\cos x\ \tan x & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\
\cos x\ \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\
\sin x & = - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\
\hline
1\frac{1}{2} \pi \lt x \lt 2 \pi & \\
\hline
x & = 300^{\circ} \\
\cos 300^{\circ} & = \frac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{2}$
64. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap
Jika $\tan x\ - 3 \sin^{2} x =0$ maka $\sin x\ \cos x =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan x\ - 3 \sin^{2} x & =0 \\
\tan x\ & = 3 \sin^{2} x \\
\dfrac{\sin x}{\cos x}\ & = 3 \sin^{2} x \\
\dfrac{1}{\cos x} & = 3 \sin x \\
\dfrac{1}{3} & = \sin x\ \cos x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$
65. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap
Jika $\tan x=- \frac{2}{3}$ maka $\dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} \\
& = \dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\
& = \dfrac{\frac{5\ \sin x}{\cos x} + \frac{6\ \cos x}{\cos x} }{\frac{2\ \cos x}{\cos x} - \frac{3\ \sin x}{\cos x} } \\
& = \dfrac{5\ \tan x + 6 }{ 2- 3\ \tan x } \\
& = \dfrac{5\ \cdot \left( - \frac{2}{3} \right) + 6 }{ 2- 3\ \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)} \\
& = \dfrac{ - \frac{10}{3} + 6 }{ 2 + 2} \\
& = \dfrac{ \frac{8}{3} }{4}=\dfrac{ 2 }{ 3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{2}{3}$
66. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap
Jika sudut lancip $\alpha$ memenuhi $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$, maka $\tan \left(\frac{1}{2}\pi-\alpha \right) +3 \cos \alpha =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan sudut $\alpha$ dan $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini:
Dari segitiga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \tan \left(\frac{1}{2}\pi-\alpha \right) +3 \cos \alpha \\
&= \tan \left( 90^{\circ}-\alpha \right) +3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \\
&= \cot \alpha + \sqrt{6} \\
&= \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} + \sqrt{6} \\
&= \sqrt{2} + \sqrt{6} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{6}+\sqrt{2}$
67. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal Lengkap
Jika $x+y=\pi$ maka $\sin \left( x-\frac{1}{2}\pi \right) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x+y & =\pi \\
x & = y-\pi \\
\hline
\sin \left( x-\frac{1}{2}\alpha \right) & = \sin -\left( \frac{1}{2}\pi-x \right) \\
& = \sin -\left( \frac{1}{2}\pi- \left( y-\pi \right) \right) \\
& = -\sin \left( \frac{1}{2}\pi- y + \pi \right) \\
& = -\sin \left( \frac{3}{2}\pi- y \right) \\
& = -\sin \left( 270^{\circ}- y \right) \\
& = - \left( -\cos\ y \right) = \cos\ y
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \cos y$
68. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal Lengkap
Dalam bentuk lain, $3\ \sin^{2}x- 2\ \cos^{2}x= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
3\ \sin^{2}x- 2\ \cos^{2}x & = 3\ \left( 1 - \cos^{2}x \right)- 2\ \cos^{2}x \\
& = 3\ - 3\ \cos^{2}x - 2\ \cos^{2}x \\
& = 3\ - 5\ \cos^{2}x \\
& = 3\ - 5\ \left( 1 - \sin^{2}x \right) \\
& = 3\ - 5\ + 5\ \sin^{2}x \\
& = 2\ + 5\ \sin^{2}x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2\ + 5\ \sin^{2}x$
69. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap
Jika $\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ sudut-sudut dalam segitiga $ABC$, maka $\sin \frac{1}{2}\left(\alpha + \beta \right)= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ adalah sudut-sudut dalam segitiga $ABC$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\alpha + \beta + \gamma & = 180^{\circ} \\
\alpha + \beta & = 180^{\circ}- \gamma \\
\frac{1}{2} \left(\alpha + \beta \right) & = \frac{1}{2} \left( 180^{\circ}- \gamma \right) \\
\sin \frac{1}{2} \left(\alpha + \beta \right) & = \sin \left( \frac{180^{\circ}}{2}- \frac{1}{2} \gamma \right) \\
& = \sin \left( 90^{\circ} - \frac{1}{2} \gamma \right) \\
& = \cos \frac{1}{2} \gamma
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \cos \frac{1}{2} \gamma$
70. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap
Jika $p=\tan x - \frac{1}{\cos x}$ dan $q=\sin x$, maka $\dfrac{p}{q}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{p}{q} & = \dfrac{\tan x - \frac{1}{\cos x}}{\sin x} \\
& = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x}}{\sin x} \\
& = \dfrac{\frac{\sin x-1}{\cos x}}{\sin x} \\
& = \dfrac{ \sin x-1 }{\sin x\ \cos x} \cdot \dfrac{ \sin x+1 }{\sin x+1}\\
& = \dfrac{ \sin^{2} x-1 }{\sin x\ \cos x \cdot \left( \sin x+1\right)} \\
& = \dfrac{ -\cos^{2} x }{\sin x\ \cos x \cdot \left( \sin x+1\right)} \\
& = \dfrac{ -\cos x }{\sin^{2} x + \sin x }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\sin x}$
71. Soal SPMB 2004 Kode 640 |*Soal Lengkap
Jika $\bigtriangleup PQR$ sama kaki dan siku-siku di $Q$, $S$ titik tengah $QR$, dan $\angle SPR =\alpha$ maka $\cos \alpha=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan sudut $\angle$ dan segitiga $PQR$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
RS^{2} &= PS^{2}+PR^{2}-2PS \cdot PR \cdot \cos \alpha \\
\left( \frac{1}{2}a \right)^{2} &= \left( \frac{1}{2}a\sqrt{5} \right)^{2} +\left( a\sqrt{2} \right)^{2} -2\left( a\sqrt{2} \right)\left( \frac{1}{2}a\sqrt{5} \right) \cdot \cos \alpha \\
\frac{1}{4}a^{2} &= \frac{5}{4}a^{2} + 2a^{2} - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\
\frac{1}{4}a^{2} - \frac{5}{4}a^{2} - 2a^{2} &= - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\
-3a^{2} &= - a^{2} \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\
\frac{-3a^{2}}{- a^{2} \sqrt{10}} &= \cos \alpha \\
\frac{ 3}{ \sqrt{10}} &= \cos \alpha \\
\frac{ 3}{ 10} \sqrt{10} &= \cos \alpha
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{10} \sqrt{10}$
72. Soal SPMB 2004 Kode 710 |*Soal Lengkap
Diketahui $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$. Nilai $\sin R =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan sudut $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r^{2} &= p^{2}+q^{2}-2pq \cdot \cos R \\
6^{2} &= 5^{2}+5^{2}-2(5)(5) \cdot \cos R \\
36 &= 25+25-2(5)(5) \cdot \cos R \\
36 &= 50-50 \cdot \cos R \\
-14 &= -50 \cdot \cos R \\
\frac{-14}{-50} &= \cos R \\
\frac{7}{25} &= \cos R \\
\hline
sin^{2}R &= 1-\cos^{2} R \\
sin^{2}R &= 1-\frac{49}{625} \\
sin R &= \pm \sqrt{ \frac{625-49}{625} } \\
&= \pm \sqrt{ \frac{576}{625} }=\pm \frac{24}{25}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{24}{25}$
73. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal Lengkap
Jika $\alpha = \frac{4}{3} \pi$ maka $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \alpha\ \sin \alpha + \cos \alpha=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $\alpha = \frac{4}{3} \pi=240^{\circ}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \alpha\ \sin \alpha + \cos \alpha \\
& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan 240^{\circ}\ \sin 240^{\circ} + \cos 240^{\circ} \\
& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right)\ \sin \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right) + \cos \left(180^{\circ}+60^{\circ} \right) \\
& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan 60^{\circ}\ \left(-\sin 60^{\circ} \right) - \cos 60^{\circ} \\
& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} \ \left(- \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) - \frac{1}{2} \\
& = - \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
74. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap
Jika sudut $\alpha$ memenuhi $\cos^{2} \alpha + 2\ \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin^{2} \left(\pi+\alpha \right)+1\frac{1}{2}$, maka $\sin \alpha = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\cos^{2} \alpha + 2\ \sin \left(\pi -\alpha \right) & = \sin^{2} \left(\pi+\alpha \right)+1\frac{1}{2} \\
\cos^{2} \alpha + 2\ \sin \alpha & = \left( -\sin \alpha \right)^{2}+1\frac{1}{2} \\
1-\sin^{2} \alpha + 2\ \sin \alpha & = \sin^{2} \alpha +1\frac{1}{2} \\
2\sin^{2} \alpha - 2\ \sin \alpha + \frac{1}{2} & = 0 \\
4\sin^{2} \alpha - 4\ \sin \alpha + 1 & = 0 \\
\left( 2\sin \alpha - 1 \right)^{2} & = 0 \\
2\sin \alpha - 1 & = 0 \\
\sin \alpha & = \frac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{2}$
75. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap
Dalam $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ maka $\tan\ BAC =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan sinus, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{AC}{\sin B} &= \dfrac{BC}{\sin A} \\
\dfrac{8}{\sin 45^{\circ}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A} \\
\dfrac{8}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin A} \\
\dfrac{4}{\sqrt{2}} &= \dfrac{ \sqrt{2}}{\sin A} \\
\sin A &= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \\
\angle A &= 30^{\circ} \\
\hline
\tan\ BAC &= \tan 30^{\circ} \\
&= \frac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$
76. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang memenuhi $2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0$ dimana $0 \leq x \leq \pi$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \cos^{2} x + \cos x - 1 &= 0 \\ \left( 2\cos x-1 \right)\left( \cos x+1\right) &= 0 \\ \hline 2\cos x-1 &= 0 \\ 2\cos x &= 1 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline \cos x+1 &= 0 \\ \cos x &= -1 \\ x &= 180^{\circ}, 540^{\circ},\cdots \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq \pi$ adalah $\left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{3}\pi\ \text{dan}\ \pi$
77. Soal UMPTN 1995 Rayon A |*Soal Lengkap
Jika $0 \lt x \lt \pi$ dan $x$ memenuhi persamaan $\tan^{2} x - \tan x - 6=0$ maka himpunan nilai $\sin x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $\tan^{2} x - \tan x - 6=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} \tan^{2} x - \tan x - 6 &= 0 \\ \left( \tan x-3 \right)\left( \tan x+2\right) &= 0 \\ \hline \tan x-3 &= 0 \\ \tan x &= 3\\ \hline & \text{atau} \\ \hline \tan x+2 &= 0 \\ \tan x &= -2 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ \dfrac{3\sqrt{10}}{10},\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \right \}$
78. Soal UMPTN 1995 Rayon A |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2 \cos 3x^{\circ}=1$ untuk $0 \leq x \leq 180$, adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $2 \cos 3x^{\circ}=1$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \cos 3x^{\circ} &= 1 \\ \cos 3x^{\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \cos 3x^{\circ} &= \cos 60^{\circ} \\ \hline 3x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} - 120^{\circ} = -100^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 0 = 20^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 120^{\circ} = 140^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 240^{\circ} = 260^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 0 = -20^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 120^{\circ} = 100^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 240^{\circ} = 220^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq 180$ adalah $\left \{ 20,\ 100,\ 140 \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ 20,\ 100,\ 140 \right \} $
79. Soal UM UNJ 2012 Kode 18 |*Soal Lengkap
Himpunan penyelesaian untuk $2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1=0$ untuk $0 \leq x \leq 180^{\circ}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan pada soal $2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri.
$\begin{align} 2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1 &= 0 \\ 2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= 1 \\ \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= \sin 30^{\circ} \\ \hline 3x+24^{\circ} &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 30^{\circ}-24^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x+24^{\circ} &= 180^{\circ}-30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 126^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 42^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$.
$\begin{align} x &= 2^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} - 120^{\circ} = -118^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 0 = 2^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 120^{\circ} = 122^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 240^{\circ} = 242^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= 42^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} - 120^{\circ} = -78^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 0 = 42^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 120^{\circ} = 162^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 240^{\circ} = 282^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$
Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq 180$ adalah $\left \{ 2^{\circ},\ 122^{\circ},\ 42^{\circ}, 162^{\circ} \right \}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 2^{\circ},\ 42^{\circ},\ 122^{\circ},\ 162^{\circ} \right \}$
80. Soal UM UNJ 2012 Kode 25 |*Soal Lengkap
Suatu segitiga memuat sudut $45^{\circ}$ dan $75^{\circ}$. Jika panjang sisi di hadapan sudut $45^{\circ}$ adalah $2\sqrt{2}\ cm$ maka luas segitiga tersebut adalah...$cm^{2}$.
Alternatif Pembahasan:
Jika segitiga yabg disampaikan pada soal kita misalkan adalah segitiga $ABC$, maka segitiga $ABC$ dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita hitung besar sudut $B$ yaitu $\angle B=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}$ sehingga $\angle B=60^{\circ}$.
Untuk menghitung luas segitiga $ABC$ dapat kita gunakan luas segitiga jika diketahui dua sudut satu sisi yaitu $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab \sin C$
Untuk dapat menggunakan aturan $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab \sin C$ kita perlu hitung terlebih dahulu panjang sisi $b$ dan nilai $\sin 75^{\circ}$.
- Panjang sisi $b$ dengan menggunakan atuarn sinus,
$\begin{align} \dfrac{a}{\sin A} & =\dfrac{b}{\sin B} \\ \dfrac{2\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} & =\dfrac{b}{\sin 60^{\circ}} \\ \dfrac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} & =\dfrac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ 2\sqrt{3} & =b \end{align}$ - Nilai $\sin 75^{\circ}$,
$\begin{align} \sin 75^{\circ} & = \sin \left( 30^{\circ} + 45^{\circ} \right) \\ & = \sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \dfrac{1}{4}\sqrt{2} + \dfrac{1}{4}\sqrt{6} \\ \end{align}$ - Luas segitiga $ABC$,
$\begin{align} \left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} ab \sin C \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} \sin 75^{\circ} \\ & = 2\sqrt{6} \cdot \left( \dfrac{1}{4}\sqrt{2} + \dfrac{1}{4}\sqrt{6} \right) \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{12} + \dfrac{1}{2} \sqrt{36} \\ & = \sqrt{3} + 3 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3+\sqrt{3}$
Beberapa pembahasan soal Soal dan Pembahasan Triginometri Dasar Matematika SMA di atas adalah coretan kreatif siswa pada;
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Triginometri Dasar Matematika SMA di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
