Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

70+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Matriks (41-73)

defantri.com
defantri.com
... menit baca
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Matriks

Catatan Calon Guru berikut belajar matematika SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang tergolong banyak disenangi oleh siswa, karena untuk belajar matriks di tingkat SMA jika sabar dan teliti maka akan dapat dipahami.

Matriks pertama kali diperkenalkan sekitar tahun 1859 oleh Arthur Cayley (16 Agustus 1821 - 26 Januari 1895) seorang pengacara berkebangsaan Inggris yang juga merupakan seorang ahli matematika.

Matriks sering dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalahan dalam matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear atau transformasi geometri. Salah satu fungsi matriks di tingkat yang lebih tinggi digunakan pada teknik sipil, matriks dapat membantu menemukan gaya yang bekerja pada struktur bangunan (untuk mengetahui kekuatan struktur bangunan, cukup kuat atau tidak menahan beban yang akan di bangun).

Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi (objek) berbentuk persegipanjang yang diatur menurut aturan baris dan kolom. Susunan bilangan (objek) itu diletakkan di dalam kurung biasa "$(\ \ )$" atau kurung siku "$[\ \ ]$".

Masing-masing bilangan (objek) dalam matriks disebut entri atau elemen. Secara umum penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya.

Soal-soal yang berkembang pada matriks sering juga dikaitkan dengan materi matematika lainnya, seperti: Eksponen, Bentuk Akar, Logaritma, Trigonometri, dan materi lainnya berpeluang dikaitkan dengan matriks.

Catatan pembahasan 70+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Matriks ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.

Soal dan Pembahasan Matematika SMA Matriks

Soal Latihan Matematika SMA Matriks berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

TKA Matematika SMA
Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :33 soal
Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

41. Soal SIMAK UI 2009 kode 921 |*Soal Lengkap

Jika $B=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $\left(BA^{-1} \right)^{-1} =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$, maka matriks $A=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan sifat invers matriks $\left( A \cdot B \right)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $\left( A^{-1} \right)^{-1}=A$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} \left(BA^{-1} \right)^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \left(A^{-1} \right)^{-1} \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B \\ A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} (2)(3)+(1)(-2) & (2)(-1)+(1)(1) \\ (4)(3)+(3)(-2) & (4)(-1)+(3)(1) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$

42. Soal SIMAK UI 2010 kode 205 |*Soal Lengkap

Diketahui $AX=B$, $BC=D$. Jika $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D=\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$, maka $X$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} AX &= B \\ AX &= D \cdot C^{-1} \\ X &= A^{-1} \cdot D \cdot C^{-1} \\ &= \dfrac{1}{ (-5)-(-6)} \cdot \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{(3)-(2)} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (-5)(7)+(-2)(5) & (-5)(2)+(-2)(1) \\ (3)(7)+(1)(5) & (3)(2)+(1)(1) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -45 & -12 \\ 26 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix}$

43. Soal SIMAK UI 2012 kode 223 |*Soal Lengkap

Jika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$, $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan...
  1. $ BD=CD $
  2. $ B=C $
  3. $ ABD=ACD $
  4. $ B^{-1}-C^{-1}=DA $
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan sifat distributif dan $ A \cdot A^{-1} =I$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= A \\ D \cdot D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ I \cdot \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$ Pernyataan BENAR hanya (4)

44. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 |*Soal Lengkap

Jika $M$ adalah matriks sehingga
$M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix}$
maka determinan matriks $M$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:

  • $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
  • $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
  • $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $

Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix} \\ \left| M \right| \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{vmatrix} \\ \left| M \right| \times \left( ad-bc \right) &= \left( (ab-bd)-(ab-bc) \right) \\ \left| M \right| &= \dfrac{\left( ab-bd-ab+bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= \dfrac{\left( -bd +bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= \dfrac{-\left( bd-bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= -1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

45. Soal SNMPTN 2010 Kode 774 |*Soal Lengkap

Jika $M$ adalah matriks sehingga
$M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix}$
maka determinan matriks $M$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks:

  • $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
  • $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
  • $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $

Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix} \\ \left| M \right| \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{vmatrix} \\ \left| M \right| \times \left( ad-bc \right) &= \left( (-ad-cd)-(-bc-cd) \right) \\ \left| M \right| &= \dfrac{\left( -ad-cd+bc+cd \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= \dfrac{\left( -ad +bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= \dfrac{-\left( ad-bc \right)}{\left( ad-bc \right)} \\ &= -1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

46. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal Lengkap

Jika matriks $A=\begin{pmatrix} a & 1-a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ maka nilai $b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan:


$\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{(a)(1)-(1-a)(0)} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-1+a}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

  • $\dfrac{1}{a}=2$ sehingga $a=\dfrac{1}{2}$
  • $\dfrac{-1+a}{a}=b$ sehingga $b=\dfrac{-1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

47. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap

Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix}$ memenuhi $AB=C$, maka $\left| a-b \right|=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan perkalian pada matriks karena $AB=C$, maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} AB &= C \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (2)(a)+(1)(1) \\ (-2)(a)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+1 \\ -2a+ 3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

  • $2a+1=11$ sehingga $a= 5$
  • $-2a+3=1-4b$ sehingga $ b=\dfrac{2a-2}{4}=\dfrac{8}{4}=2$
  • $\left| a-b \right|=\left| 5-2 \right|=3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

48. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap

Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan invers matriks dan perkalian pada matriks, maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} A^{-1}B^{T} &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 1 \end{pmatrix}^{T} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{(2)(3)-(1)(7)}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} (2)(4)+(-7)(1) \\ (-1)(4)+(3)(1) \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

49. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap

Jika $I$ matriks satuan dan matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}=pA+qI$ maka $p+q$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align} A^{2} &= pA+qI \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} &= p\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} (2)(2)+(1)(-4) & (2)(1)+(1)(3) \\ (-4)(2)+(3)(-4) & (-4)(1)+(3)(3) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p+q & p \\ -4p & 3p+q \end{pmatrix} \\ \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

  • $p=5$
  • $2p+q=0$ sehingga $q=-2p=-10$
  • $p+q=5-10=-5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -5$

50. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap

Bila $A=\begin{pmatrix} \sin^{2}x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan trigonometri sudut istimewa dan bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ akan kita perlukan.

$\begin{align} \left| A \right| &= 1 \\ \begin{vmatrix} \sin^{2}x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \sin^{2}x+\sqrt{3}\sin x\ \cos x &= 1 \\ \sin^{2}x+\sqrt{3}\sin x\ \cos x &= \sin^{2}x+\cos^{2}x \\ \sqrt{3}\sin x\ \cos x &= \cos^{2}x \\ \sqrt{3}\sin x &= \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\pi}{6}$

51. Soal SPMB 2005 Regional III |*Soal Lengkap

Jika $det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$, maka $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2(x-3)(x-1) &= 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \text{atau}\ 3$

52. Soal SPMB 2005 Regional I |*Soal Lengkap

Jika $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $ \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$, $p \neq q$, $p \neq 0$, dan $q \neq 0$ maka $x+y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p & -q \\ -q & p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} (p)(p)+(-q)(q) \\ (-q)(p)+(p)(q) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p^{2}-q^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=0$ sehingga $x+y=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

53. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap

Matriks $\begin{pmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix}$ tidak mempunyai invers untuk nilai $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan syarat sebuah matriks tidak mempunyai invers jika determinan sama dengan nol atau $\left| A \right| = 0$, maka dapat kita tuliskan.

$\begin{align} \begin{vmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{vmatrix} & = 0 \\ (x)(1-x)-(1)(-2) & = 0 \\ x-x^{2}+2 & = 0 \\ x^{2}-x-2 & = 0 \\ \left(x-2 \right)\left(x+1 \right) & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{atau}\ 2$

54. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal Lengkap

Agar matriks $ \begin{pmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{pmatrix}$, mempunyai invers, syaratnya adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan syarat sebuah matriks mempunyai invers jika determinan tidak sama dengan nol atau $\left| A \right| \neq 0$, maka dapat kita tuliskan.

$\begin{align} \begin{vmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ (p-1)(p+1)-(p-q)(p+q) & \neq 0 \\ p^{2}-1- \left(p^{2}-q^{2} \right) & \neq 0 \\ p^{2}-1- p^{2}+q^{2} & \neq 0 \\ -1 +q^{2} & \neq 0 \\ q^{2}-1 & \neq 0 \\ \left( q+1 \right)\left(q-1 \right) & \neq 0 \\ q \neq -1\ \text{atau}\ q \neq 1 & \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1$

55. Soal SPMB 2005 Kode 772 (Regional I) |*Soal Lengkap

Jika sistem persamaan linear $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{matrix}\right.$ dan $x=\dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ maka $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi, maka kita peroleh:

$\begin{array}{c|c|cc}
2x-3y=p & (\times 2)\\ 3x+2y=q & (\times 3) \\ \hline 4x-6y=2p & \\ 9x+6y=3q & (+) \\ \hline 13x =2p+3q \\ x =\dfrac{2p+3q}{13} \end{array} $

Nilai $x$ di atas kita substitusi ke persamaan yang diketahui pada soal, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} x &= \dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}} \\ \dfrac{2p+3q}{13} &= \dfrac{a}{4+9} \\ \hline a & = 2p+3q \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2p+3q$

56. Soal SPMB 2005 Kode 171 (Regional III) |*Soal Lengkap

Jika $P=\begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}$ dan $P^{-1}$ adalah invers dari $P$, maka $\left(P^{-1} \right)^{2}$ sama dengan matriks
Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan:

$\begin{align} P &= \begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \\ P^{-1} &=\dfrac{1}{(1+x)(1-x)-(-x)(x)} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ \left(P^{-1} \right)^{2} &= \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (1-x)^{2}-x^{2} & (1-x)(-x)-x(1+x) \\ x(1-x) + x(1+x) & -x^{2}+(1+x)^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x+x^{2}-x^{2} & -x+x^{2}-x-x^{2} \\ x-x^{2} + x+x^{2} & -x^{2}+1^{2}+2x+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$

57. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap

Jika $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $ dan $\alpha$ suatu konstanta maka $x+y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan identitas trigonometri sedikit kita butuhkan salah satunya bentuk $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$.

Dari persamaan $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$, dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \\ \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{ \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha } \cdot \begin{pmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha & -\sin \alpha\ \cos \alpha + \sin \alpha\ \cos \alpha \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh nilai $x+y=1+0=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

58. Soal SPMB 2006 Kode 111 (Regional I) |*Soal Lengkap

Jika konstanta $k$ memenuhi persamaan $ \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$, maka $x+y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{(k)(0)-(1)(1)} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -k \\ -1 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} (0)(0)+(-1)(k) \\ (-1)(0)+(k)(k) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= -1 \cdot \begin{pmatrix} -k \\ k^{2} \end{pmatrix} \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

  • $x-1=k$ sehingga $x=k+1$
  • $y-1=-k^{2}$ sehingga $y=1-k^{2}$
  • $x+y$ adalah $-k^{2}+k+2=-(k-2)(k+1)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 2-k \right)\left( 1+k \right)$

59. Soal SPMB 2006 Kode 411 (Regional I) |*Soal Lengkap

Jika $A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & x \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} bx & a \\ b & x \end{pmatrix}$ maka jumlah kuadrat semua akar persamaan $det\ A=det\ B$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas kita pinjam catatan persamaan kuadrat yaitu untuk $ax^{2}+bx+c=0$ yang akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku:

  • $ x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
  • $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
  • Jumlah kuadrat akar-akar adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

$\begin{align} det\ A &= det\ B \\ \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\ ax-b^{2} &= bx^{2}-ab \\ ax-b^{2}-bx^{2}+ab &= 0 \\ bx^{2}-ax+b^{2}-ab &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b^{2}-ab}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( \dfrac{b (b-a)}{b} \right) \\ &= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2 \left( (b-a) \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}-2\left( b-a \right)$

60. Soal SPMB 2006 Kode 310 (Regional II) |*Soal Lengkap

Jika $x=1$, $y=-1$, $z=2$ adalah solusi sistem persamaan linear $\begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} $ maka nilai $a^{2}-bc=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi atau substitusi, maka kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b-6 \\ -2+b+2c \\ a-3-2c \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

$\begin{array}{c|c|cc}
a-b-6=-3 & \\ -2+b+2c=-1 & \\ a-3-2c=-3 & \\ \hline a-b= 3 & \cdots (1) \\ b+2c= 1 & \cdots (2) \\ a -2c=0 (+) & \cdots (3) \\ \hline 2a=4 & \\ a=2 \end{array} $

Untuk $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$. Sehingga nilai $a^{2}-bc=(2)^{2}-(-1)(1)=5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

61. Soal SPMB 2006 Kode 510 (Regional III) |*Soal Lengkap

Jika $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix}$ dimana $B$ adalah transpose dari matriks $A$, maka $x^{2}+\left( x+y \right)+\left( x y \right)+y^{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka transpose matriks $A$ adalah $A^{T}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix}$.

$\begin{align} A^{T} &= B \\ \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

  • $-1=\dfrac{1}{2}x$ sehingga $x=2$
  • $x=-2y$ sehingga $y=-1$
    $\begin{align} & x^{2}+\left( x+y \right)+\left( x y \right)+y^{2} \\ & = \left( 2 \right)^{2}+\left( 2-1 \right)+\left( 2 \right)\left( -1 \right)+\left( -1 \right)^{2} \\ & = 4+1-2+1 \\ & =4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

62. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap

Apabila $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} $ maka $x+y=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{(1)(3)-(-2)(-1)} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (3)(-1)+(2)(2) \\ (1)(-1)+(1)(2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

63. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap

Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka determinan dari matriks $\left( A+B \right)^{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dan determinan matriks $\left| A^{n} \right|=\left| A \right|^{n}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \left| \left( A+B \right)^{2} \right| &= \left| \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)^{2} \right| \\ &= \left| \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} ^{2} \right| \\ &= \left( \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} \right)^{2} \\ &= \left( 15-15 \right)^{2}=0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

64. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap

Pada matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$, jika bilangan positif $1,a,c$ membentuk barisan geometri berjumlah $13$ dan bilangan positif $1,b,c$ membentuk barisan aritmatika, maka $det\ A=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, silahkan di simak catatan tentang Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri.

  • Dari barisan geometri $1,a,c$ berjumlah $13$ berlaku:
    $\begin{align} u_{2}^{2} &= u_{1} \cdot u_{3} \\ a^{2} &= 1 \cdot c \\ a^{2} &= c \\ \hline 1+a+c &= 13 \\ c &= 12-a \\ \hline a^{2} &= 12-a \\ a^{2} +a -12 &= 0 \\ (a+4)(a-3) &= 0 \\ a=3 & \\ c=9 & \end{align}$
  • Dari barisan aritmatika $1,b,c$ berlaku:
    $\begin{align} 2u_{2} &= u_{1} + u_{3} \\ 2b &= 1 + c \\ 2b &= 1 + 9 \\ b &= 5 \end{align}$
  • Determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ adalah $9-15=-6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$

65. Soal SPMB 2007 Kode 441 |*Soal Lengkap

Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}-2A+I$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align} &A^{2}-2A+I \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (2)(2)+(0)(4) & (2)(0)+(0)(1) \\ (4)(2)+(1)(4) & (4)(0)+(1)(1) \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4-4+1 & 0 -0+0 \\ 12-8+0 & 1-2+1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$

66. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap

Diketahui invers matriks $A$ adalah
$A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$
Matriks $x$ yang memenuhi hubungan
$AX=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$
adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan salah satu sifat matriks $A \cdot A^{-1} = I$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} AX &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} \cdot AX &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ I \cdot X &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} (1)(2)+(0)(1)+(2)(0) & (1)(-1)+(0)(0)+(2)(-3) \\ (1)(2)+(2)(1)+(1)(0) & (1)(-1)+(2)(0)+(1)(-3) \\ (3)(2)+(5)(1)+(3)(0) & (3)(-1)+(5)(0)+(3)(-3) \\ \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix}$

67. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap

Diberikan dua buah matriks $M=\begin{bmatrix} a+b & a \\ b & a-b \end{bmatrix}$ dan $N=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix}$.
Jika $M^{t}=N$, dengan $M^{t}$ menyatakan transpose matriks $M$, maka nilai $a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan persamaan $M^{t}=N$ ke matriks $M$ dan $N$, sehingga dapat kita peroleh.

$\begin{align} M^{t} & = N \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \hline a+b & = 1 \\ a-b & = 3 \\ \hline 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

68. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan $k$ merupakan skalar sehingga $A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix}$ maka $x+y+z=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh:

  • $1+k=-1$ sehingga $k=-2$.
  • $z+kz=-2$ sehingga $z-2z=-2 \rightarrow z=2$.
  • $\begin{array}{c|c|cc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &(+) \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array} $
  • Nilai $x+y+z=3-1+2=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks:

  • $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right| $
  • $\left| A^{T} \right| = \left| A \right| $
  • $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|} $
  • $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T} $
  • $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$

Dari $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$ maka dapat kita peroleh:

$\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$

70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left| A^{T} A+BB^{T} \right| &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= (3)(10)-(5)(5) \\ &= 30-25 =5 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah >$(E)\ 5$

71. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Matriks $A$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $c$ dan $d$.
Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?
$P$ $Q$
$d-c$
$1$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ A^{-1} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= A^{-1} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ I \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2c-d \\ 2c+d \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
4+d &= 2c+d \\ 4 &= 2c\ \longrightarrow c=2 \\ \hline 3-c &= 2c-d \\ d &= 2c+c-3 \\ d &= 3(2)-3= 3 \end{align}$

Nilai kuantitas $P=d-c=3-2=1$ dan $Q=1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$

72. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Matriks $F$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix}=F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $m$ dan $n$.
Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?
$P$ $Q$
$2m-n$
$3$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ F^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F^{-1} \cdot F \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= I \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -5+8 & n+2m \\ -5+4 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & n+2m \\ -1 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
n+m &= 0 \\ n &= -m \\ \hline n+2m &= 1 \\ -m+2m &= 1 \\ m &= 1\ \longrightarrow n=-1 \end{align}$

Nilai kuantitas $P=2m-n=2(1)-(-1)=3$ dan $Q=3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$

73. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Matriks $\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ merupakan invers matriks $B$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix}=3B$ untuk suatu bilangan real $x$ dan $y$.
Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?
$P$ $Q$
$3x-2y$
$0$
Alternatif Pembahasan:

Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
B &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \\ B &= \dfrac{1}{(-5)(1)-(2)(-3)} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ B &= \dfrac{1}{-5+6} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari persamaan matriks pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3B \\ \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x+1 & -9+y \\ 2+y+2x & -15 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & -15 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh:
$\begin{align}
x+1 &= 3 \\ x &= 2 \\ \hline -9+y &= -6 \\ y &= 3 \end{align}$

Nilai kuantitas $P=3x-2y=3(2)-2(3)=0$ dan $Q=0$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$


Beberapa dari Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Catatan 70+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Matriks di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.

Related Posts

close